Annales CRPE · Mathématiques › 2026 · L3
Sujet CRPE 2026 Mathématiques · Groupement 2 : corrigé
Exercice 1 – Probabilités, dénombrement, tableau à double entrée (1,25 points)Voir le corrigé ↓
Dans cet exercice, les probabilités devront être données sous forme de fraction irréductible.
Enzo lance deux dés identiques à quatre faces portant chacun les nombres entiers de \(1\) à \(4\), puis additionne les deux nombres obtenus.
Exemple ci-dessous : les nombres obtenus après le lancer sont \(4\) et \(4\), leur somme donne \(8\).
Voir le corrigé de l'exercice 1
1
Corrigé
| + | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Les sommes possibles sont \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\) et \(8\) : il y en a bien \(7\).
Pour comprendre en détail
La plus petite somme est \(1+1=2\), la plus grande \(4+4=8\), et toutes les valeurs entières intermédiaires sont atteintes : \(8-2+1=7\) valeurs.
2
Corrigé
Les \(16\) lancers sont équiprobables et un seul donne la somme \(2\) (\(1+1\)).
\(P(\text{somme}=2)=\dfrac1{16}\ne\dfrac17\). Non.
Pour comprendre en détail
3
Corrigé
Somme \(5\) : \(4\) cases (\(1+4\), \(2+3\), \(3+2\), \(4+1\)) : \(P=\dfrac4{16}=\dfrac14\).
Somme \(6\) : \(3\) cases (\(2+4\), \(3+3\), \(4+2\)) : \(P=\dfrac3{16}\).
\(\dfrac4{16}>\dfrac3{16}\) : oui, obtenir \(5\) est plus probable qu'obtenir \(6\).
Pour comprendre en détail
Les cases de même somme sont sur les diagonales « montantes » du tableau. La somme \(5\) occupe la plus longue diagonale (\(4\) cases) : c'est la somme la plus probable.
📘 Revoir la méthode : fiches Probabilités dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 2 – Programmes de calcul, calcul littéral, équations (2,5 points)Voir le corrigé ↓
Voici deux programmes de calcul.
| Programme A | Programme B |
|---|---|
| • Choisir un nombre • Ajouter \(4\) à ce nombre • Multiplier le résultat par \(3\) • Retrancher \(11\) au résultat |
• Choisir un nombre • Multiplier ce nombre par \(-4\) • Ajouter \(5\) au résultat |
Voir le corrigé de l'exercice 2
1
Corrigé
\(-5+4=-1\) ; \(-1\times3=-3\) ; \(-3-11=-14\).
On obtient \(-14\).
Pour comprendre en détail
Vérification avec l'expression de la question 3 : \(3\times(-5)+1=-15+1=-14\) ✔.
2
Corrigé
Avec le nombre \(x\), le programme B donne \(-4x+5\).
\(-4x+5=-25\Leftrightarrow-4x=-30\Leftrightarrow x=\dfrac{-30}{-4}=7\text{,}5\).
Il faut choisir \(7\text{,}5\).
Pour comprendre en détail
Méthode « à rebours »
On part de \(-25\) et on applique les opérations inverses dans l'ordre inverse : \(-25-5=-30\), puis \(-30\div(-4)=7\text{,}5\).
Vérification
\(7\text{,}5\times(-4)=-30\) ; \(-30+5=-25\) ✔.
3
Corrigé
\(x\to x+4\to3(x+4)\to3(x+4)-11\).
\(3(x+4)-11=3x+12-11=3x+1\).
Pour comprendre en détail
4.a
Corrigé
\(f\) et \(g\) sont affines : leurs représentations sont des droites.
- \(\mathcal C_f\) passe par \((0\,;1)\) et \((2\,;7)\).
- \(\mathcal C_g\) passe par \((0\,;5)\) et \((2\,;-3)\).
Pour comprendre en détail
Choisir des points pratiques
L'image de \(0\) est l'ordonnée à l'origine (lue directement dans l'expression). On prend un second point assez éloigné pour tracer précisément, avec des coordonnées entières.
Un troisième point permet de vérifier l'alignement : \(f(1)=4\), \(g(1)=1\).
4.b
Corrigé
Sur le graphique (pointillés), le point de \(\mathcal C_g\) d'ordonnée \(-3\) a pour abscisse \(2\).
L'antécédent de \(-3\) par \(g\) est \(2\). (Vérification : \(g(2)=-8+5=-3\).)
Pour comprendre en détail
4.c
Corrigé
\(3x+1=-4x+5\Leftrightarrow7x=4\Leftrightarrow x=\dfrac47\).
L'abscisse du point d'intersection est \(\dfrac47\). C'est le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat (à savoir \(\dfrac{19}{7}\)).
Pour comprendre en détail
\(f\) traduit le programme A (question 3) et \(g\) le programme B (\(-4x+5\)). « \(f(x)=g(x)\) » signifie donc « les deux programmes donnent le même résultat ».
Résultat commun : \(f\left(\dfrac47\right)=\dfrac{12}{7}+1=\dfrac{19}{7}\) et \(g\left(\dfrac47\right)=-\dfrac{16}{7}+5=\dfrac{19}{7}\) ✔.
Le graphique ne permet qu'une valeur approchée (\(\approx0\text{,}57\)) : c'est pourquoi on demande le calcul algébrique.
📘 Revoir la méthode : fiches Calcul littéral et équations dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 3 – Parallélisme, Thalès, agrandissement (1,5 points)Voir le corrigé ↓
Lors du spectacle de fin d'année d'une école primaire, un spectacle d'ombres chinoises est programmé. Un objet de hauteur \(20\) centimètres doit avoir une ombre portée sur l'écran de hauteur \(1\text{,}2\) mètre comme illustré sur la figure suivante non réalisée à l'échelle.
![Source lumineuse en A. Segment [AB] horizontal de 9 mètres jusqu'à l'écran vertical. L'objet [DE] de 0,2 mètre est vertical en D sur [AB], avec un angle droit en D ; l'ombre [BC] de 1,2 mètre est verticale sur l'écran, angle droit en B. A, E, C sont alignés.](/crpe-annales/2026-l3-g2/fig/ex3_ombre.png)
Pour cela, l'objet représenté par le segment [DE] est placé à une certaine distance d'une source lumineuse placée en A. La source lumineuse est à \(9\) mètres de l'écran. L'ombre sur l'écran est représentée par le segment [BC].
Voir le corrigé de l'exercice 3
1
Corrigé
Les droites (DE) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AB) (angles droits en D et en B).
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles. Donc (BC) \(\parallel\) (DE).
2
Corrigé
Les points A, D, B d'une part et A, E, C d'autre part sont alignés, et (DE) \(\parallel\) (BC). D'après le théorème de Thalès :
\[\frac{\text{AD}}{\text{AB}}=\frac{\text{AE}}{\text{AC}}=\frac{\text{DE}}{\text{BC}}\quad\text{soit}\quad\frac{\text{AD}}{9}=\frac{0\text{,}2}{1\text{,}2}=\frac16.\]
\(\text{AD}=\dfrac96=1\text{,}5\). L'objet doit être placé à \(1\text{,}5\) m de la source lumineuse.
Pour comprendre en détail
Interprétation
L'ombre est \(6\) fois plus grande que l'objet (\(1\text{,}2\div0\text{,}2=6\)) : l'écran doit donc être \(6\) fois plus loin de la lampe que l'objet. \(9\div6=1\text{,}5\) m.
3
Corrigé
L'ombre est un agrandissement de la plaque de coefficient \(k=\dfrac{1\text{,}2}{0\text{,}2}=6\).
Dans un agrandissement de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\) : il faut multiplier l'aire par \(6^2=36\).
Pour comprendre en détail
Vérification par le calcul des aires
Plaque : \(0\text{,}2\times0\text{,}1=0\text{,}02\) m². Ombre : \(1\text{,}2\times0\text{,}6=0\text{,}72\) m² (la largeur est aussi multipliée par \(6\)). \(0\text{,}72\div0\text{,}02=36\) ✔.
📘 Revoir la méthode : fiches Géométrie · Aires et volumes dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 4 – Statistiques, moyenne, médiane (1,75 points)Voir le corrigé ↓
Partie A
Lors des Jeux Olympiques d'été de Paris en \(2024\), \(63\) pays ont reçu au moins une médaille d'or. Leur répartition est donnée dans le tableau ci-dessous.
| Médailles d'or obtenues | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 18 | 20 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de pays | 23 | 12 | 9 | 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 |
Partie B
Les médailles d'or distribuées lors de ces Jeux Olympiques pèsent \(529\) grammes et sont faites en argent recouvert d'une fine pellicule d'or pur. La masse d'or pur représente \(1\text{,}13\,\%\) de la masse totale de la médaille.
Partie C
Les médailles distribuées à Paris contenaient un insert en fer de la Tour Eiffel. Cet insert avait la forme d'un hexagone régulier que l'on souhaite tracer à l'aide du logiciel Scratch en choisissant une longueur de chaque côté de \(50\) pas.
Nina a créé le script ci-contre. Cependant, ce script ne construit pas l'hexagone demandé.
Indiquer la correction à faire dans la boucle. Aucune justification n'est attendue.
On rappelle que l'instruction « s'orienter à 0 » permet d'orienter le stylo vers le haut.
![Script Scratch : quand drapeau cliqué ; stylo en position d'écriture ; s'orienter à 60 ; répéter 6 fois [ avancer de 50 pas ; tourner ↺ de 120 degrés ] ; relever le stylo.](/crpe-annales/2026-l3-g2/fig/ex4_scratch.png)
Voir le corrigé de l'exercice 4
A.1
Corrigé
Total des médailles d'or :
\(1\times23+2\times12+3\times9+4\times4+5+6+8+9+10+12\times2+13+14+15+16+18+20+40\times2=328\).
Moyenne : \(\dfrac{328}{63}\approx5\text{,}2\) médailles d'or par pays.
Pour comprendre en détail
Pour additionner sans erreur, regroupez par paquets : \(23+24+27+16=90\) ; \(5+6+8+9+10=38\) ; \(24\) ; \(13+14+15+16+18+20=96\) ; \(80\).
La moyenne est tirée vers le haut par quelques pays très médaillés (deux pays à \(40\)) : la plupart des pays ont beaucoup moins de \(5\) médailles d'or.
A.2
Corrigé
Effectif \(63\) (impair) : la médiane est la \(\dfrac{63+1}{2}=32^\text{e}\) valeur de la série rangée.
Effectifs cumulés : \(23\) pays ont \(1\) médaille, \(23+12=35\) pays ont au plus \(2\) médailles. La \(32^\text{e}\) valeur est donc \(2\).
Médiane \(=2\) ; oui, \(9>2\) : le Canada a obtenu plus de médailles d'or que la médiane.
Pour comprendre en détail
Médiane et moyenne
Médiane \(2\), moyenne \(\approx5\text{,}2\) : l'écart montre une série très dissymétrique. La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes (les deux pays à \(40\) médailles).
B
Corrigé
\(529\times\dfrac{1\text{,}13}{100}=5\text{,}9777\). Une médaille contient environ \(6\) g d'or pur.
Pour comprendre en détail
Ordre de grandeur : \(1\,\%\) de \(529\) g, c'est environ \(5\text{,}3\) g ; \(1\text{,}13\,\%\) donne un peu plus, soit environ \(6\) g. Cohérent.
C
Corrigé
Il faut remplacer « tourner ↺ de 120 degrés » par « tourner ↺ de 60 degrés ».
Pour comprendre en détail
Pourquoi 60° et pas 120° ?
À chaque sommet, le lutin tourne de l'angle extérieur, c'est-à-dire \(180°-120°=60°\). Sur un tour complet : \(6\times60°=360°\).
Avec \(120°\), le lutin fait un tour complet en \(3\) côtés : il trace un triangle équilatéral, qu'il parcourt deux fois.
📘 Revoir la méthode : fiches Pourcentages et proportionnalité · Statistiques dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 5 – Nombres décimaux, pourcentages, numération (3 points)Voir le corrigé ↓
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
- le chiffre de ses unités est supérieur ou égal à \(4\) ;
- son chiffre des dizaines est supérieur ou égal à \(3\) ;
- le produit de ces deux chiffres est égal au nombre de centaines.
Voir le corrigé de l'exercice 5
1
Corrigé
\(\dfrac{22}{25}=\dfrac{22\times4}{25\times4}=\dfrac{88}{100}=0\text{,}88\). L'affirmation 1 est vraie.
Pour comprendre en détail
2
Corrigé
Coefficient global : \(1\text{,}5\times0\text{,}6=0\text{,}9\). Le prix est multiplié par \(0\text{,}9\) : c'est une baisse de \(10\,\%\).
(Avec \(100\) € : \(150\) € puis \(150\times0\text{,}6=90\) €.) L'affirmation 2 est fausse.
Pour comprendre en détail
3
Corrigé
Nombre de dizaines de \(6\text{ }727\) : \(672\). Nombre de milliers : \(6\).
\(112\times6=672\). L'affirmation 3 est vraie.
Pour comprendre en détail
4
Corrigé
\(13\) dixièmes \(=1\text{,}3\). \(25\text{,}606+1\text{,}3=26\text{,}906\ne25\text{,}736\).
L'affirmation 4 est fausse. (Le résultat proposé correspond à l'ajout de \(13\) centièmes.)
Pour comprendre en détail
5
Corrigé
Exemple : \(1\text{ }234\). Chiffre des unités \(4\ge4\), chiffre des dizaines \(3\ge3\), produit \(3\times4=12\), et le nombre de centaines de \(1\text{ }234\) est bien \(12\).
L'affirmation 5 est vraie.
Pour comprendre en détail
Construction de l'exemple
Avec dizaines \(d\) et unités \(u\), le nombre s'écrit « \((d\times u)\), puis \(d\), puis \(u\) » : par exemple \(d=3\), \(u=5\) donne \(1\text{ }535\) (\(15\) centaines). Il y a donc beaucoup de solutions.
6
Corrigé
Le plus grand côté est [AC]. \(\text{AC}^2=30^2=900\) et \(\text{AB}^2+\text{BC}^2=24^2+18^2=576+324=900\).
\(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
L'affirmation 6 (« n'est pas rectangle ») est donc fausse.
Pour comprendre en détail
Attention à la formulation négative
Le calcul montre que le triangle est rectangle. L'affirmation dit le contraire : elle est fausse. C'est un piège de lecture fréquent : bien relire l'affirmation avant de conclure.
Astuce de calcul
\(18=6\times3\), \(24=6\times4\), \(30=6\times5\) : c'est le triplet \((3\,;4\,;5)\) multiplié par \(6\).
📘 Revoir la méthode : fiches Pourcentages et proportionnalité · Nombres et arithmétique dans Les fiches magiques CRPE →