1Calculer une probabilité
Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles ; un événement est un ensemble d'issues. Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (équiprobabilité), on calcule :
Exemple. Une urne contient 3 boules rouges, 5 bleues et 2 vertes. La probabilité de tirer une boule bleue vaut $\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$.
Si les issues ne sont pas équiprobables (dé truqué, roue aux secteurs inégaux), on ne peut pas compter les cas : il faut connaître la probabilité de chaque issue.
▶ Vidéo · Méthode de calcul d'une probabilitéOn lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ?
Deux issues favorables (3 et 6) sur 6 : $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
Une roue a un secteur rouge et un secteur bleu de tailles différentes. A-t-on une chance sur deux d'obtenir rouge ?
Les deux issues ne sont pas équiprobables : la probabilité dépend de la taille des secteurs.
2Événement contraire et échelle des probabilités
Une probabilité est toujours comprise entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain). La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
Utiliser l'événement contraire
$P(\text{non } A) = 1 - P(A)$. C'est souvent le plus rapide pour un événement du type « au moins un ».
Exemple. On lance deux pièces. La probabilité de n'avoir aucune fois face vaut $\dfrac{1}{4}$, donc celle d'avoir au moins une fois face vaut $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
La probabilité qu'il pleuve demain est 0,3. Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?
$1 - 0{,}3 = 0{,}7$.
Une probabilité peut-elle valoir 1,2 ?
Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
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3Dénombrer avec un tableau à double entrée
Pour une expérience à deux épreuves (deux dés, deux tirages), un tableau à double entrée liste toutes les issues sans en oublier. Avec deux dés à 6 faces, il y a $6 \times 6 = 36$ issues équiprobables.
Exemple. On lance deux dés et on additionne. La somme 7 s'obtient de 6 façons : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1). Sa probabilité vaut $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ : c'est la somme la plus probable.
Le principe multiplicatif
Si une première épreuve a $n$ issues et la seconde $p$ issues, l'expérience en a $n \times p$.
Exemple. Avec 3 entrées et 4 plats, on compose $3 \times 4 = 12$ menus différents.
On lance deux dés à 6 faces. Combien y a-t-il d'issues ?
$6 \times 6 = 36$.
Avec deux dés, la somme 2 et la somme 7 ont-elles la même probabilité ?
La somme 2 ne s'obtient que par (1 ; 1), la somme 7 de 6 façons.
4Deux épreuves : arbre, avec ou sans remise
Un arbre représente les épreuves successives. On multiplie les probabilités le long d'un chemin, puis on additionne les chemins qui réalisent l'événement.
Exemple. Une urne contient 2 boules rouges et 3 bleues. On tire deux boules.
Avec remise : $P(\text{deux rouges}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$.
Sans remise : $P(\text{deux rouges}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{10}$, car il ne reste plus qu'une rouge parmi 4 boules.
Fréquence et probabilité
Quand on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité. Sur peu d'essais, elle peut en être éloignée : 7 piles sur 10 lancers ne prouvent pas que la pièce est truquée.
On lance deux fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois pile ?
$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$.
Dans un tirage sans remise, la probabilité du deuxième tirage dépend-elle du premier ?
Le contenu de l'urne a changé après le premier tirage.
Les erreurs classiques au concours
- Compter les cas favorables alors que les issues ne sont pas équiprobables.
- Oublier des issues : avec deux dés, (2 ; 5) et (5 ; 2) sont deux issues différentes.
- Additionner au lieu de multiplier le long d'une branche de l'arbre.
- Traiter un tirage sans remise comme un tirage avec remise.
- Donner une probabilité supérieure à 1 ou négative sans s'en apercevoir.
- Confondre fréquence observée et probabilité sur un petit nombre d'essais.
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Questions fréquentes
Comment calculer une probabilité au CRPE ?
Si les issues sont équiprobables, on divise le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues. Sinon, on additionne les probabilités des issues qui réalisent l'événement.
Quand utiliser un arbre ou un tableau à double entrée ?
Le tableau convient à deux épreuves, comme deux dés ou deux roues. L'arbre convient aussi aux épreuves successives à probabilités différentes, en particulier les tirages sans remise.
Qu'est-ce que l'événement contraire ?
C'est l'événement qui se réalise quand A ne se réalise pas. Sa probabilité vaut 1 − P(A). Il simplifie les calculs du type « au moins une fois ».
Quelle différence entre fréquence et probabilité ?
La fréquence est observée sur des essais réels, la probabilité est une valeur théorique. Sur un grand nombre d'essais, la fréquence se rapproche de la probabilité.
Les probabilités tombent-elles souvent au CRPE ?
Oui, très souvent avec des dés, des urnes, des jeux ou des tombolas, parfois en lien avec une séance de classe. 25 exercices des annales corrigées sur Campus XYZ portent sur les probabilités.