Sujet CRPE 2026 Mathématiques · Groupement 1 : corrigé

A.1

Corrigé

En D2 : =B2*C2

Pour comprendre en détail

Méthode

Sur la ligne 2, le nombre d'adultes est en B2 et leur prix unitaire en C2. Le montant est donc le produit =B2*C2. Toute formule commence par le signe =.

Quand on étire la formule vers le bas, le tableur adapte les références ligne par ligne (références relatives) : en D3 on obtient =B3*C3, …, en D7 =B7*C7. Il n'y a donc pas besoin du signe $.

Valeurs obtenues

A.2

Corrigé

En D8 : =SOMME(D2:D7) ou =D2+D3+D4+D5+D6+D7

Pour comprendre en détail

Méthode

La plage D2:D7 désigne toutes les cellules de D2 à D7. La fonction SOMME les additionne.

Attention : la plage s'arrête en D7. Écrire =SOMME(D2:D8) dans D8 créerait une référence circulaire (la cellule dépendrait d'elle-même).

Résultat

\(112+119+127\text{,}5+102+110\text{,}5+153 = 724\) € avant réduction.

Effectif total : \(7+14+15+12+13+18=79\) personnes, ce qui est bien supérieur à \(50\) : la réduction s'applique (cf. question suivante).

A.3

Corrigé

En D9 : =D8*0,85 ou =D8-D8*0,15

Pour comprendre en détail

Méthode

Montant après réduction : \(\text{D8}\times 0\text{,}85\). La formule équivalente =D8-D8*0,15 calcule le montant de la réduction (\(15\,\%\) de D8) puis le soustrait.

Résultat

\(724\times0\text{,}85=615\text{,}4\) €. (La réduction vaut \(724\times0\text{,}15=108\text{,}6\) € et \(724-108\text{,}6=615\text{,}4\).)

B.1

Corrigé

\(P(n)=4\times16+n\times8\text{,}50=64+8\text{,}5\,n\) (en euros).

Pour comprendre en détail

Méthode

• 4 adultes à \(16\) € : \(4\times16=64\) € (coût fixe).
• \(n\) élèves à \(8\text{,}50\) € : \(8\text{,}5\,n\) € (coût variable).

Coût total : \(P(n)=64+8\text{,}5\,n\).

Pourquoi sans réduction ?

Le groupe compte \(n+4\) personnes avec \(n\le41\), donc au plus \(45\) personnes : c'est moins de \(50\), la réduction de \(15\,\%\) ne s'applique pas. Ce point est à signaler dans une copie.

Vérification

Pour \(n=41\) : \(P(41)=64+8\text{,}5\times41=64+348\text{,}5=412\text{,}5\) €.

B.2

Corrigé

On résout \(64+8\text{,}5\,n=378\text{,}5\) :

\(8\text{,}5\,n=378\text{,}5-64=314\text{,}5\), donc \(n=\dfrac{314\text{,}5}{8\text{,}5}=37\).

37 élèves ont participé à la sortie.

Pour comprendre en détail

Méthode : résoudre une équation du premier degré

On cherche \(n\) tel que \(P(n)=378\text{,}5\) :

\[64+8\text{,}5\,n=378\text{,}5 \;\Longleftrightarrow\; 8\text{,}5\,n=378\text{,}5-64 \;\Longleftrightarrow\; 8\text{,}5\,n=314\text{,}5 \;\Longleftrightarrow\; n=\frac{314\text{,}5}{8\text{,}5}=37\]

Vérification et cohérence

• \(64+8\text{,}5\times37=64+314\text{,}5=378\text{,}5\) ✔
• \(n=37\) est bien un entier et vérifie \(n\le41\) : la solution a un sens dans le contexte.

C.1

Corrigé

\(t=1\text{ h }10\text{ min}=1+\dfrac{10}{60}\text{ h}=\dfrac{7}{6}\text{ h}\)

\(v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{85}{\frac{7}{6}}=85\times\dfrac{6}{7}\approx73\) km/h.

La vitesse moyenne est d'environ 73 km/h.

Pour comprendre en détail

Conversion de la durée

\(10\) min \(=\dfrac{10}{60}\) h \(=\dfrac16\) h, donc \(1\) h \(10\) min \(=\dfrac76\) h \(\approx1\text{,}1667\) h.

Calcul

\(v=85\div\dfrac76=85\times\dfrac67=\dfrac{510}{7}\approx72\text{,}86\), soit \(73\) km/h à l'unité.

Autre méthode (proportionnalité)

En \(70\) min, l'autocar parcourt \(85\) km ; en \(60\) min : \(\dfrac{85\times60}{70}\approx72\text{,}86\) km.

C.2

Corrigé

Aller-retour : \(2\times85=170\) km.

Consommation : \(x=\dfrac{170\times30}{100}=51\) L de gazole.

Coût total : \(150+51\times1\text{,}60+2\times13\text{,}90=259\text{,}40\) €.

Le transport coûte 259,40 €.

Pour comprendre en détail

1. Trier les informations

Utiles : consommation, prix du gazole, péage par trajet, forfait journalier, distance. Inutiles ici : nombre de places, longueur, masse, émission de CO₂. Le réservoir de \(500\) L est largement suffisant pour \(51\) L (on peut le vérifier).

2. Carburant

\(x=\dfrac{30\times170}{100}=51\) L. Coût : \(51\times1\text{,}60=81\text{,}60\) €.

3. Péage

Il est facturé par trajet : un à l'aller, un au retour, soit \(2\times13\text{,}90=27\text{,}80\) €.

4. Forfait

Le forfait est journalier : \(150\) € une seule fois (la sortie a lieu en une journée).

Total

\(150+81\text{,}60+27\text{,}80=259\text{,}40\) €.

A.1

Corrigé

\(p_1=\dfrac{2}{500}=\dfrac{1}{250}\)

Pour comprendre en détail

Il y a \(500\) tickets possibles, dont \(2\) tickets gagnent un lot de \(50\) €. On simplifie par \(2\) : \(\dfrac{2}{500}=\dfrac{1}{250}\), fraction irréductible comme demandé.

A.2

Corrigé

La mise est de \(2\) €. Les lots strictement supérieurs à \(2\) € sont ceux de \(100\), \(50\), \(10\) et \(5\) €.

\(p_2=\dfrac{1+2+5+20}{500}=\dfrac{28}{500}=\dfrac{7}{125}\)

Pour comprendre en détail

Méthode

La mise est \(2\) € (prix du ticket). Un lot « strictement supérieur » exclut le lot de \(2\) € : celui-ci ne fait que rembourser la mise.

Cas favorables : \(1+2+5+20=28\) tickets. Donc \(\dfrac{28}{500}\), puis on simplifie par \(4\) : \(\dfrac{7}{125}\) (irréductible car \(7\) et \(125=5^3\) n'ont aucun diviseur commun).

A.3

Corrigé

Tickets gagnants : \(50+20+5+2+1=78\). Tickets perdants : \(500-78=422\).

\(p_3=\dfrac{422}{500}=\dfrac{211}{250}\)

Pour comprendre en détail

Méthode

Les événements « Gagné » et « Perdu » sont contraires : \(P(\text{Perdu})=1-P(\text{Gagné})=1-\dfrac{78}{500}\).

Le nombre de tickets gagnants est \(78\) : cette fois, les lots de \(2\) € comptent car la mention « Gagné » s'affiche.

\(\dfrac{422}{500}=\dfrac{211}{250}\) (\(211\) est un nombre premier, la fraction est irréductible).

Vérification

\(P(\text{Gagné})=\dfrac{78}{500}=\dfrac{39}{250}\) et \(\dfrac{39}{250}+\dfrac{211}{250}=1\) ✔

B.1

Corrigé

\(\text{moyenne}=\dfrac{10\times4+4\times6+8\times7+14\times10+12\times15+3\times20}{10+4+8+14+12+3}=\dfrac{500}{51}\approx10\)

En moyenne, un élève a vendu environ 10 tickets.

Pour comprendre en détail

Calcul

• Nombre total de tickets vendus : \(40+24+56+140+180+60=500\) (on retrouve d'ailleurs les \(500\) tickets de la tombola !).
• Effectif total : \(10+4+8+14+12+3=51\) élèves.

\(\bar{x}=\dfrac{500}{51}\approx9\text{,}8\), soit \(10\) à l'unité.

B.2.a

Corrigé

Effectif total : \(N=51\). \(\dfrac{N}{2}=25\text{,}5\) : la médiane est la \(26^{e}\) valeur de la série rangée dans l'ordre croissant.

La \(26^{e}\) valeur est \(10\). La médiane est égale à 10.

Pour comprendre en détail

Démarche

1. \(N=51\), nombre impair : la médiane est la valeur de rang \(\dfrac{51+1}{2}=26\).
2. On construit la ligne des effectifs cumulés croissants (ECC).
3. Les \(22\) premières valeurs sont \(\le7\) (ECC de 7 : \(22\)), les \(36\) premières sont \(\le10\) (ECC de 10 : \(36\)). Comme \(22<26\le36\), la \(26^{e}\) valeur vaut 10.

B.2.b

Corrigé

Au moins la moitié des élèves (50 %) ont vendu 10 tickets ou plus.

Pour comprendre en détail

Interprétation complète

La médiane vaut \(10\) tickets : au moins la moitié des élèves ont vendu au plus \(10\) tickets, et au moins la moitié en ont vendu au moins \(10\).

Vérification sur les données

• Au plus \(10\) tickets : \(36\) élèves sur \(51\), soit \(\approx71\,\%\) ✔
• Au moins \(10\) tickets : \(51-22=29\) élèves sur \(51\), soit \(\approx57\,\%\) ✔

1

Corrigé

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). D'après le théorème de Pythagore :

\(AC^2=AB^2+BC^2\), soit \(65^2=25^2+BC^2\), donc \(BC^2=65^2-25^2=4225-625=3600\) et \(BC=\sqrt{3600}=60\).

BC mesure bien 60 m.

Pour comprendre en détail

Rédaction attendue

1. Hypothèse : \(ABC\) est rectangle en \(B\), donc son hypoténuse est \([AC]\) (côté opposé à l'angle droit).
2. Théorème : \(AC^2=AB^2+BC^2\).
3. Calcul : \(BC^2=65^2-25^2=4\text{ }225-625=3\text{ }600\). \(BC>0\) donc \(BC=\sqrt{3\text{ }600}=60\).

Remarque : \((25;60;65)=5\times(5;12;13)\) est un multiple d'un triplet pythagoricien classique.

2

Corrigé

Les points \(B, A, E\) sont alignés dans cet ordre et les points \(C, A, D\) sont alignés dans cet ordre.

D'une part \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{15}{25}=\dfrac35\) ; d'autre part \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{39}{65}=\dfrac35\).

Comme \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\), d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((BC)\) et \((DE)\) sont parallèles.

Pour comprendre en détail

Points de vigilance

• La configuration est « en papillon » : \(A\) est entre \(B\) et \(E\), et entre \(C\) et \(D\). À écrire sur la copie.
• Les deux rapports doivent mettre en correspondance les mêmes côtés : \(AE\) avec \(AB\), \(AD\) avec \(AC\).
• Pour simplifier \(\dfrac{39}{65}\), repérer le facteur commun : \(\dfrac{3\times13}{5\times13}\).

3

Corrigé

Les droites \((BC)\) et \((DE)\) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{DE}{BC}\), donc \(\dfrac{DE}{60}=\dfrac35\) et \(DE=\dfrac{3\times60}{5}=36\).

Longueur du parcours : \(15+25+60+65+39+36=240\).

Le parcours mesure 240 m.

Pour comprendre en détail

Décomposer le parcours

\(EBCDE=EB+BC+CD+DE\) avec :

• \(EB=EA+AB=15+25=40\) m (car \(A\in[EB]\)) ;
• \(BC=60\) m (question 1) ;
• \(CD=CA+AD=65+39=104\) m (car \(A\in[CD]\)) ;
• \(DE=36\) m (théorème de Thalès, ci-dessus).

Total : \(40+60+104+36=240\) m.

Vérification

Le triangle \(AED\) devrait être rectangle en \(E\) (puisque \((DE)\parallel(BC)\) et \((BC)\perp(AB)\)). Contrôle : \(AE^2+DE^2=225+1\text{ }296=1\text{ }521=39^2=AD^2\) ✔ — la réciproque de Pythagore le confirme.

4.a

Corrigé

\(245\text{ mm}=2\text{,}45\text{ dm}\) ; \(35\text{ mm}=0\text{,}35\text{ dm}\) ; \(415\text{ mm}=4\text{,}15\text{ dm}\) ; \(20\text{ cm}=2\text{ dm}\) (rayon \(1\) dm).

\(V_{plot}=V_{socle}+V_{cône}=2\text{,}45\times2\text{,}45\times0\text{,}35+\dfrac13\times\pi\times1^2\times4\text{,}15\approx6\text{,}45\text{ dm}^3\).

Pour comprendre en détail

Valeurs intermédiaires

Socle : \(2\text{,}100\text{ }875\) dm³. Cône : \(\dfrac{\pi\times4\text{,}15}{3}\approx4\text{,}3459\) dm³. Somme : \(6\text{,}4468\) dm³, d'où \(6\text{,}45\) dm³ au centième.

Cohérence : \(35+415=450\) mm, la hauteur totale annoncée ✔.

4.b

Corrigé

\(1\text{ t}=1\text{ }000\text{ kg}\) et \(1\text{ m}^3=1\text{ }000\text{ dm}^3\).

\(x=\dfrac{6\text{,}45\times1\text{ }600}{1\text{ }000}\approx10\text{,}3\)

Il faut environ 10,3 kg de sable par plot.

Pour comprendre en détail

Convertir la densité

\(1\text{,}6\) t/m³ \(=\dfrac{1\text{ }600\text{ kg}}{1\text{ }000\text{ dm}^3}=1\text{,}6\) kg/dm³. (Bon réflexe : t/m³ et kg/dm³ ont la même valeur numérique.)

Calcul

\(m=6\text{,}45\times1\text{,}6=10\text{,}32\) kg \(\approx10\text{,}3\) kg au dixième.

Avec la valeur non arrondie du volume (\(6\text{,}4468\)) : \(6\text{,}4468\times1\text{,}6\approx10\text{,}31\), même résultat arrondi ✔.

1

Corrigé

Contre-exemple : \(8\) est divisible par \(4\) mais pas par \(12\).

L'affirmation 1 est fausse.

Pour comprendre en détail

Méthode : réfuter par un contre-exemple

On cherche un nombre divisible par \(4\) mais pas par \(12\). Le plus petit est \(4\) lui-même (\(4\div12\) n'est pas entier) ; \(8\) convient aussi.

Pour aller plus loin

Comme \(12=3\times4\) avec \(3\) et \(4\) premiers entre eux, un nombre est divisible par \(12\) si et seulement s'il est divisible par \(3\) et par \(4\). La réciproque de l'affirmation est vraie (« divisible par \(12\) ⟹ divisible par \(4\) »), mais pas l'affirmation elle-même.

2

Corrigé

\((3x+1)(8x-5)-(-7x+4)=24x^2-15x+8x-5+7x-4=24x^2-9\).

L'affirmation 2 est vraie.

Pour comprendre en détail

Développement pas à pas

\((3x+1)(8x-5)=24x^2-15x+8x-5=24x^2-7x-5\).

Puis on retranche \((-7x+4)\), ce qui change les signes : \(-(-7x+4)=+7x-4\).

\(24x^2-7x-5+7x-4=24x^2-9\) ✔.

3

Corrigé

\(a\) est un multiple de \(b\) : \(a=k\times b\) avec \(k\) entier. \(b\) est un multiple de \(c\) : \(b=k'\times c\) avec \(k'\) entier. D'où \(\dfrac ac=\dfrac{k\,b}{c}=k\times k'\), entier comme produit de deux entiers.

L'affirmation 3 est vraie.

Pour comprendre en détail

Démonstration

On remplace : \(a=k\times b=k\times(k'\times c)=(k\,k')\times c\).

Donc \(a\) est un multiple de \(c\) et \(\dfrac ac=k\,k'\in\mathbb{Z}\) : un produit d'entiers est un entier.

On a montré que la relation « est un multiple de » est transitive.

4

Corrigé

\(\dfrac{3500}{56\times10^{19}}=\dfrac{5\times7\times10\times10}{7\times8\times10^{19}}=\dfrac{125}{2\times10^{19}}=\dfrac{625}{10\times10^{19}}=\dfrac{625}{10^{20}}\), de la forme \(\dfrac{a}{10^n}\).

L'affirmation 4 est vraie.

Pour comprendre en détail

Idée

Le facteur \(7\) du dénominateur (\(56=2^3\times7\)) est aussi dans le numérateur (\(3\text{ }500=2^2\times5^3\times7\)) : il se simplifie. Il ne reste au dénominateur que des puissances de \(2\) et de \(5\) (et \(10^{19}=2^{19}\times5^{19}\)), donc le nombre est décimal.

Calcul

\(\dfrac{3500}{56}=62\text{,}5=\dfrac{125}{2}\), d'où \(\dfrac{3500}{56\times10^{19}}=\dfrac{125}{2\times10^{19}}=\dfrac{625}{10^{20}}=6\text{,}25\times10^{-18}\).

5

Corrigé

Augmenter de \(20\,\%\) revient à multiplier par \(1\text{,}20\). Coefficient global : \(1\text{,}20^3=1\text{,}728=1+\dfrac{72\text{,}8}{100}\), soit une augmentation de \(72\text{,}8\,\%\).

L'affirmation 5 est vraie.

Pour comprendre en détail

Calcul

\(1\text{,}2\times1\text{,}2=1\text{,}44\) ; \(1\text{,}44\times1\text{,}2=1\text{,}728\). Le prix est multiplié par \(1\text{,}728\), soit \(+72\text{,}8\,\%\) (\(1\text{,}728-1=0\text{,}728\)).

Contrôle sur un exemple

Prix initial \(100\) € → \(120\) € → \(144\) € → \(172\text{,}80\) € : \(+72\text{,}80\) €, soit \(72\text{,}8\,\%\) ✔.

1

Corrigé

La somme des angles d'un parallélogramme est égale à \(360^\circ\) et les angles opposés ont la même mesure :

\(30\times2+2\times\alpha=360\), donc \(2\alpha=300\) et \(\alpha=150\).

L'angle \(\alpha\) mesure 150°.

Pour comprendre en détail

Deux méthodes

1. Angles consécutifs supplémentaires. Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs (qui partagent un côté) sont supplémentaires : \(\alpha+30^\circ=180^\circ\), donc \(\alpha=150^\circ\).
2. Somme des angles. Les angles opposés sont égaux : le parallélogramme a deux angles de \(30^\circ\) et deux angles de \(\alpha\). La somme vaut \(360^\circ\) : \(2\times30+2\alpha=360\), d'où \(\alpha=150^\circ\).

Les deux méthodes donnent \(\alpha=150^\circ\).

2

Corrigé

L'ordre est : B, D, A, C, et la valeur manquante dans le bloc C est 150°.

Pour comprendre en détail

Raisonnement : suivre le stylo

Le script répète deux fois les quatre blocs. Orientation de départ : vers la droite (\(0^\circ\) en repère mathématique).

Au deuxième passage, le stylo trace le côté supérieur de 50 pas (vers la gauche), tourne de \(30^\circ\) (orientation \(210^\circ\)), trace le dernier côté de 40 pas et revient au point de départ, puis tourne de \(150^\circ\) : il est de nouveau orienté vers la droite. Le motif se termine donc dans l'état initial, ce qui sera utile à la question 3.

3

Corrigé

Programme 1 : figure A. Programme 2 : figure C.

Pour comprendre en détail

Programme 1 → figure A

À chaque tour, le motif est tracé depuis le point de départ \((0\,;0)\), puis le stylo tourne de \(30^\circ\). Comme le motif se termine à son point de départ avec l'orientation initiale (question 2), le même parallélogramme est dessiné \(12\) fois autour d'un même sommet, tourné de \(30^\circ\) à chaque fois (\(12\times30^\circ=360^\circ\)). On obtient une « fleur » à \(12\) pétales dont le centre est le point de départ : figure A.

Programme 2 → figure C

Ici le stylo avance de \(40\) pas avant chaque motif : il se déplace d'un sommet au suivant d'un dodécagone régulier de côté \(40\) (rotation de \(30^\circ=360^\circ\div12\) à chaque étape) et dessine un parallélogramme à chaque sommet, tourné de \(30^\circ\) par rapport au précédent. Le point de départ O est alors un point du polygone, pas le centre de la figure, et les parallélogrammes forment une couronne autour d'un espace vide : figure C.

Vérification par simulation

Le tracé de chacun des deux programmes a été reproduit par un petit programme de simulation, ce qui confirme les deux associations.