Sujet CRPE 2025 Mathématiques · Groupement 1 : corrigé

1

Corrigé

La somme vaut \(3\) seulement si les trois jetons donnent \(1\).

Les lancers sont indépendants et \(P(1)=\dfrac12\) pour chaque jeton :

\(P=\dfrac12\times\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac18=0\text{,}125\).

Pour comprendre en détail

Avec l'arbre ou l'univers

L'univers contient \(2\times2\times2=8\) issues équiprobables \((0;0;0)\), \((0;0;1)\), …, \((1;1;1)\) ; une seule donne la somme \(3\) : \(\dfrac18\). Sur l'arbre pondéré, un seul chemin mène à \((1;1;1)\), et on multiplie les probabilités le long du chemin.

2

Corrigé

Chaque jeton donne \(0\) ou \(1\). Avec trois jetons et seulement deux résultats possibles, deux jetons au moins donnent forcément le même résultat.

Jeanne a raison.

Pour comprendre en détail

Deux façons de le prouver

• Liste des issues : \((0;0;0)\), \((0;0;1)\), \((0;1;0)\), \((0;1;1)\), \((1;0;0)\), \((1;0;1)\), \((1;1;0)\), \((1;1;1)\) : chacune contient au moins deux fois le même chiffre.
• Événement contraire : « les trois résultats sont deux à deux différents » est impossible avec seulement deux valeurs, donc sa probabilité est \(0\) et celle de l'événement de Jeanne est \(1-0=1\).

3

Corrigé

Trois faces identiques : \((0;0;0)\) ou \((1;1;1)\), deux issues exclusives.

\(P=\dfrac18+\dfrac18=\dfrac28=\dfrac14\neq\dfrac12\).

Olivier a tort : il y a une chance sur quatre.

Pour comprendre en détail

Autre raisonnement : le premier jeton donne un résultat quelconque ; il faut ensuite que le deuxième ET le troisième lui soient identiques, avec la probabilité \(\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14\).

A.1

Corrigé

\(V=30\times15\times3=1\text{ }350\) m\(^3\).

A.2

Corrigé

Augmenter de \(25\,\%\) revient à multiplier par \(1+\dfrac{25}{100}=1\text{,}25\).

\(1\text{ }350\times1\text{,}25=1\text{ }687\text{,}5\) m\(^3\) de terre à évacuer.

Pour comprendre en détail

Vérification : \(25\,\%\) de \(1\text{ }350\) vaut \(\dfrac{1\text{ }350}{4}=337\text{,}5\), et \(1\text{ }350+337\text{,}5=1\text{ }687\text{,}5\) ✔.

A.3

Corrigé

\(\dfrac{1\text{ }687\text{,}5}{30}=56\text{,}25\).

Avec \(56\) bennes, il reste de la terre : il faut \(57\) bennes.

Pour comprendre en détail

B.1

Corrigé

\(\dfrac{564\text{ }000-562\text{ }100}{562\text{ }100}=\dfrac{1\text{ }900}{562\text{ }100}\approx0\text{,}00338\).

Le volume d'eau a augmenté d'environ \(0\text{,}34\,\%\).

Pour comprendre en détail

Pour passer d'un taux décimal à un pourcentage, on multiplie par \(100\) : \(0\text{,}003380\ldots\times100=0\text{,}3380\ldots\,\%\), arrondi au centième : \(0\text{,}34\,\%\). L'ordre de grandeur est cohérent : une variation de \(1\text{ }900\) L sur plus de \(500\text{ }000\) L est très faible.

B.2

Corrigé

\(1\) m\(^3=1\text{ }000\) L, donc \(564\text{ }000\) L \(=564\) m\(^3\).

\(564=25\times12\text{,}5\times h\) donc \(h=\dfrac{564}{312\text{,}5}=1\text{,}8048\) m.

La hauteur d'eau est d'environ \(1\text{,}80\) m.

Pour comprendre en détail

Un arrondi « au cm » signifie au centième de mètre : \(1\text{,}8048\) m devient \(1\text{,}80\) m.

Vérification : \(25\times12\text{,}5\times1\text{,}80=562\text{,}5\) m\(^3\), proche de \(564\) m\(^3\) ✔.

C.1

Corrigé

Distance : \(16\times25=400\) m en \(10\) min, donc \(v=\dfrac{400}{10}=40\) m/min.

En une heure (\(60\) min) : \(40\times60=2\text{ }400\) m \(=2\text{,}4\) km.

La vitesse moyenne est de \(40\) m/min, soit \(2\text{,}4\) km/h.

Pour comprendre en détail

C.2

Corrigé

\(10\) min \(=600\) s, donc \(d=0\text{,}6\times600=360\) m.

\(\dfrac{360}{25}=14\text{,}4\) : l'élève a effectué \(14\) longueurs complètes.

Pour comprendre en détail

Variante sans changer l'unité de durée : \(0\text{,}6\) m/s \(=36\) m/min, et \(36\times10=360\) m.

C.3.a

Corrigé

En B3 : =B2*25

Pour comprendre en détail

Recopiée vers la droite, la formule devient =C2*25, puis =D2*25… : la référence à la ligne 2 suit la colonne (référence relative). Le facteur \(25\) est une constante, il ne change pas.

C.3.b

Corrigé

Valeurs supérieures ou égales à \(12\) : \(15\), \(14\), \(12\), \(14\), \(13\), \(16\) : \(6\) élèves sur \(9\).

Proportion : \(\dfrac69=\dfrac23\).

Pour comprendre en détail

C.3.c

Corrigé

Série rangée : \(10\ ;\ 11\ ;\ 11\ ;\ 12\ ;\ 13\ ;\ 14\ ;\ 14\ ;\ 15\ ;\ 16\).

L'effectif est \(9\) (impair) : la médiane est la \(5^{\text{e}}\) valeur, soit \(13\).

Interprétation : au moins la moitié des élèves ont effectué \(13\) longueurs ou moins, et au moins la moitié en ont effectué \(13\) ou plus.

Pour comprendre en détail

C.3.d

Corrigé

Somme : \(10+11+11+12+13+14+14+15+16=116\).

Moyenne : \(\dfrac{116}{9}\approx12\text{,}9\) longueurs par élève.

Pour comprendre en détail

Moyenne \(12\text{,}9\) et médiane \(13\) sont très proches : la série est assez symétrique, sans valeur extrême.

C.3.e

Corrigé

Soit \(x\) le nombre de longueurs de l'élève absent. Avec \(10\) élèves :

\(\dfrac{116+x}{10}=13\) donc \(116+x=130\) et \(x=14\).

Il aurait dû effectuer \(14\) longueurs.

Pour comprendre en détail

Autre raisonnement : pour une moyenne de \(13\) sur \(10\) élèves, il faut un total de \(130\) longueurs ; le groupe de \(9\) en a déjà \(116\), il manque \(130-116=14\).

1

Corrigé

\(a=90\) convient : \(\dfrac{90}{45}=2\).

Tous les multiples de \(45\) conviennent (\(45\), \(90\), \(135\), …).

2

Corrigé

\(\dfrac{45}{b}\) est un entier naturel si et seulement si \(b\) est un diviseur de \(45\).

\(45=3^2\times5\), donc ses diviseurs sont \(3^i\times5^j\) avec \(i\in\{0;1;2\}\) et \(j\in\{0;1\}\) :

\(b\in\{1\ ;\ 3\ ;\ 5\ ;\ 9\ ;\ 15\ ;\ 45\}\).

Pour comprendre en détail

Ce tableau garantit de ne manquer aucun diviseur : il y en a \((2+1)\times(1+1)=6\).

3

Corrigé

\(c=9\) convient : \(\dfrac{9}{45}=\dfrac15=0\text{,}2\), décimal et non entier.

Pour comprendre en détail

Quelle condition sur \(c\) ?

\(45=3^2\times5\) : pour que \(\dfrac{c}{45}\) soit décimal, le facteur \(3^2\) doit disparaître à la simplification, donc \(c\) doit être un multiple de \(9\). Pour qu'il ne soit pas entier, \(c\) ne doit pas être un multiple de \(45\). Convient aussi : \(18\) (\(0\text{,}4\)), \(27\) (\(0\text{,}6\)), \(36\) (\(0\text{,}8\)).

4

Corrigé

\(d=4\) convient : \(\dfrac{45}{4}=11\text{,}25\), décimal et non entier.

Pour comprendre en détail

\(\dfrac{45}{d}\) est décimal dès que \(d\) ne contient, après simplification, que des facteurs \(2\) et \(5\). Autres exemples : \(d=2\) (\(22\text{,}5\)), \(d=8\) (\(5\text{,}625\)), \(d=10\) (\(4\text{,}5\)). Mais \(d=3\) donne \(15\), entier, et \(d=7\) donne \(\dfrac{45}{7}\), non décimal.

5

Corrigé

\(e=50\) convient : \(\dfrac{50}{45}=\dfrac{10}{9}\). Le dénominateur \(9=3^2\) n'est pas de la forme \(2^p\times5^q\) : \(\dfrac{10}{9}=1\text{,}111\ldots\) n'est pas un nombre décimal.

Pour comprendre en détail

Le plus simple est \(e=1\) : \(\dfrac1{45}=0\text{,}0222\ldots\) Plus généralement, \(\dfrac{e}{45}\) est non décimal dès que \(e\) n'est pas un multiple de \(9\).

1

Corrigé

La figure C : le triangle auquel on ajoute trois « lunules » identiques.

Pour comprendre en détail

Le principe pour toutes les questions

Notons \(T\) l'aire du triangle et \(S\) l'aire d'une lunule (le segment de disque entre un côté et l'arc). Les arcs ont tous la même longueur et le même rayon, donc les lunules ont toutes la même aire \(S\).

Aire d'une pièce \(=T+(\text{nombre de côtés bombés}-\text{nombre de côtés creusés})\times S\). Le périmètre ne dépend lui que du nombre de côtés courbes, bombés ou creusés (un arc, bombé ou creusé, a toujours la même longueur).

2

Corrigé

La figure H : le triangle auquel on retire trois lunules identiques.

3

Corrigé

Les figures C, H, I et J ont chacune trois côtés courbes (donc le même périmètre) et des aires toutes différentes : \(T+3S\), \(T-3S\), \(T-S\) et \(T+S\).

Pour comprendre en détail

Les quatre pièces D, F, G, K ont aussi le même périmètre (deux arcs et un côté droit), mais ne conviennent pas : G et K ont la même aire \(T\).

4

Corrigé

Les paires (E, I), (A, G) et (B, J) :

E et I ont pour aire \(T-S\) (périmètres différents : \(1\) arc et \(3\) arcs) ; A et G ont pour aire \(T\) (\(0\) arc et \(2\) arcs) ; B et J ont pour aire \(T+S\) (\(1\) arc et \(3\) arcs).

Pour comprendre en détail

D'autres paires sont possibles, par exemple (A, K) à la place de (A, G). Le choix (G, K) ne conviendrait pas : G et K ont le même périmètre (deux arcs).

1

Corrigé

Les faces SAB et SBC sont équilatérales de côté \(4\) cm, donc \(\text{SA}=\text{SC}=4\) cm : le triangle ASC est isocèle en S.

ABCD est un carré, donc ABC est rectangle en B et, d'après le théorème de Pythagore :

\(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2=4^2+4^2=32\).

Dans le triangle ASC : \(\text{SA}^2+\text{SC}^2=4^2+4^2=32=\text{AC}^2\).

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ASC est rectangle en S. Il est donc rectangle isocèle en S.

Pour comprendre en détail

On n'a pas besoin de la valeur de AC (\(4\sqrt2\approx5\text{,}66\) cm) : comparer les carrés suffit. Les faces latérales étant équilatérales, tous les côtés valent \(4\) cm, ce qui donne l'égalité \(\text{SA}=\text{SC}\) (et pas seulement \(\text{AB}=\text{BC}\)).

2

Corrigé

Figure 1 : oui. C1 est un carré de \(4\) cm et T1, T2, T3, T4 sont des triangles équilatéraux de \(4\) cm qui se rejoignent autour d'un même sommet ; chacun se replie sur un côté du carré, sans chevauchement.

Figure 2 : non. T3 et T4 sont tous deux repliés sur le même côté du carré (le côté du bas) : ils se superposent, et le côté de droite n'a pas de face.

Figure 3 : non. T1 et T4 n'ont pas trois côtés de \(4\) cm (ce ne sont pas des triangles équilatéraux), ils ne correspondent pas aux faces de la pyramide.

Pour comprendre en détail

Méthode pour tester un patron : imaginer le pliage face par face. Un patron correct contient le carré, quatre triangles équilatéraux de même côté que le carré, chaque triangle étant destiné à un côté différent du carré, et le sommet S réunit les quatre triangles.

3

Corrigé

M = 80 ; N = 90 ; R = 60 ; P = 80 ; T = 4.

Pour comprendre en détail

D'où viennent ces valeurs

• M = 80 et P = 80 : le côté vaut \(4\) cm, soit \(4\times20=80\) pas (comme le dernier « avancer de 80 pas »).
• N = 90 : le carré se trace en tournant de \(90^\circ\) à chaque coin, \(4\) fois.
• R = 60 : le lutin part de A vers la droite, tourne à gauche de \(60^\circ\) (angle d'un triangle équilatéral), avance de \(80\) pas jusqu'au sommet du triangle, tourne à droite de \(120^\circ\) puis avance de \(80\) pas jusqu'au coin suivant du carré.
• T = 4 : un triangle par côté du carré. Entre deux triangles, la rotation de \(30^\circ\) à droite remet le lutin dans la direction du côté suivant du carré (de \(-60^\circ\) à \(-90^\circ\) par rapport à l'horizontale).