Sujet CRPE 2024 Mathématiques · Groupement 2 : corrigé

A.1.a

Corrigé

CE2 : \(72=14\times5+2\), donc \(5\) élèves de CE2 par équipe.

CM1 : \(108=14\times7+10\), donc \(7\) élèves de CM1 par équipe.

Chaque équipe comprend \(5\) élèves de CE2 et \(7\) élèves de CM1.

Pour comprendre en détail

On cherche le plus grand entier \(q\) tel que \(14q\leqslant72\) (puis \(\leqslant108\)) : c'est le quotient de la division euclidienne (\(72\div14=5\text{,}14\ldots\) et \(108\div14=7\text{,}71\ldots\)). On ne peut pas arrondir à \(6\) ou \(8\) : il manquerait des élèves.

A.1.b

Corrigé

CE2 : \(72-14\times5=2\) élèves ; CM1 : \(108-14\times7=10\) élèves.

Au total \(12\) élèves ne participent pas.

A.2.a

Corrigé

\(\dfrac{72}{8}=9\) convient pour les CE2, mais \(\dfrac{108}{8}=13\text{,}5\) n'est pas un entier : on ne peut pas répartir les \(108\) élèves de CM1 en \(8\) équipes identiques.

Le directeur ne peut pas constituer \(8\) équipes.

Pour comprendre en détail

On peut le voir autrement : \(8\) divise \(72\) mais ne divise pas \(108\) (\(108=8\times13+4\)), donc \(8\) n'est pas un diviseur commun.

A.2.b

Corrigé

\(72=2\times36=2\times2\times18=2^3\times3^2\).

\(108=2\times54=2\times2\times27=2^2\times3^3\).

Pour comprendre en détail

Vérification : \(2^3\times3^2=8\times9=72\) ✔ et \(2^2\times3^3=4\times27=108\) ✔.

A.2.c

Corrigé

Facteurs communs : \(2^2\) et \(3^2\). Le PGCD est \(2^2\times3^2=36\).

Les diviseurs communs sont les diviseurs de \(36\) : \(1\ ;2\ ;3\ ;4\ ;6\ ;9\ ;12\ ;18\ ;36\).

Pour comprendre en détail

On vérifie qu'il y en a \((2+1)\times(2+1)=9\) : exposants possibles \(0,1,2\) pour \(2\) et pour \(3\).

A.2.d

Corrigé

Le nombre maximal d'équipes est le PGCD : \(36\) équipes.

Composition : \(\dfrac{72}{36}=2\) élèves de CE2 et \(\dfrac{108}{36}=3\) élèves de CM1 par équipe.

Pour comprendre en détail

Vérification : \(36\times(2+3)=180\) élèves, soit \(72+108\) ✔.

B.1

Corrigé

École Irène Joliot-Curie : \(22+19=41\) élèves dont \(22\) en CE2.

\(\dfrac{22}{41}\approx0\text{,}537\), soit environ \(54\,\%\).

Pour comprendre en détail

B.2

Corrigé

Total des CM1 : \(24+19+34+31=108\). Moyenne : \(\dfrac{108}{4}=27\) élèves par école.

B.3

Corrigé

\(P=\dfrac{108}{72+108}=\dfrac{108}{180}=\dfrac35\).

Pour comprendre en détail

\(\dfrac{108}{180}=\dfrac{3\times36}{5\times36}=\dfrac35=0\text{,}6\) : on simplifie par le PGCD \(36\) des deux nombres.

B.4

Corrigé

\(P=\dfrac{20}{72}=\dfrac{5}{18}\).

Pour comprendre en détail

A.1

Corrigé

À l'échelle \(1\) cm pour \(5\) m : \(\text{PA}=\dfrac{28}{5}=5\text{,}6\) cm ; \(\text{AR}=\dfrac{10}{5}=2\) cm donc \(\text{PR}=7\text{,}6\) cm ; \(\text{PS}=\dfrac{35}{5}=7\) cm.

Construction :

1. tracer le segment [PR] de \(7\text{,}6\) cm et placer A à \(5\text{,}6\) cm de P ;
2. tracer la perpendiculaire à (PR) en A ;
3. tracer l'arc de cercle de centre P et de rayon \(7\) cm : il coupe cette perpendiculaire en S (avec \(\text{AS}=4\text{,}2\) cm, voir question 2) ;
4. tracer la perpendiculaire à (PR) en R et la droite (PS) : elles se coupent en C.

Pour comprendre en détail

Les dimensions de la cour réelle sont retrouvées en multipliant par \(500\) (\(1\) cm sur le plan \(=500\) cm réels \(=5\) m) : \(7\text{,}6\) cm \(\to38\) m.

A.2

Corrigé

PAS est rectangle en A, donc \(\text{PS}^2=\text{PA}^2+\text{AS}^2\), soit \(35^2=28^2+\text{AS}^2\).

\(\text{AS}^2=1\text{ }225-784=441\) et \(\text{AS}=\sqrt{441}=21\) m.

Pour comprendre en détail

On reconnaît le triplet \((3\,;4\,;5)\) multiplié par \(7\) : \(21,28,35\).

A.3

Corrigé

(AS) \(\perp\) (PR) et (RC) \(\perp\) (PR), donc (AS) \(\parallel\) (RC). Les points P, A, R et P, S, C sont alignés : d'après le théorème de Thalès,

\(\dfrac{\text{PA}}{\text{PR}}=\dfrac{\text{AS}}{\text{RC}}\), soit \(\dfrac{28}{38}=\dfrac{21}{\text{RC}}\) avec \(\text{PR}=28+10=38\) m.

\(\text{RC}=\dfrac{21\times38}{28}=28\text{,}5\) m.

Pour comprendre en détail

A.4

Corrigé

RASC est un trapèze rectangle de bases \(\text{AS}=21\) m et \(\text{RC}=28\text{,}5\) m, de hauteur \(\text{AR}=10\) m :

\(\mathcal{A}=\dfrac{(21+28\text{,}5)\times10}{2}=247\text{,}5\) m\(^2\).

Pour comprendre en détail

Autre calcul : \(\mathcal{A}_{\text{PRC}}-\mathcal{A}_{\text{PAS}}=\dfrac{38\times28\text{,}5}{2}-\dfrac{28\times21}{2}=541\text{,}5-294=247\text{,}5\) ✔.

B.1

Corrigé

Surface à recouvrir avec deux couches : \(2\times247\text{,}5=495\) m\(^2\).

\(\dfrac{495}{56}\approx8\text{,}84\) : il faut \(9\) pots.

Pour comprendre en détail

B.2.a

Corrigé

\(f(n)=215\text{,}75\,n\).

Pour comprendre en détail

Fonction linéaire (pas de frais fixes).

B.2.b

Corrigé

\(g(n)=138\text{,}5\,n+600\).

Pour comprendre en détail

Fonction affine : \(138\text{,}5\) est le coefficient directeur (prix d'un pot), \(600\) l'ordonnée à l'origine (frais de pose).

B.3.a

Corrigé

\(C_1\) (qui passe par l'origine) représente \(f\) (fournisseur A) ; \(C_2\) (qui part de \(600\)) représente \(g\) (fournisseur B).

Les deux droites se coupent un peu avant \(8\) pots, vers \(1\text{ }700\) €. Pour \(n=9\) pots, la droite \(C_2\) est en dessous de \(C_1\) : le fournisseur B est le moins cher, pour un coût d'environ \(1\text{ }850\) €.

Pour comprendre en détail

Calcul de contrôle : \(f(9)=215\text{,}75\times9=1\text{ }941\text{,}75\) € et \(g(9)=1\text{ }846\text{,}50\) €. Les droites se coupent pour \(215\text{,}75\,n=138\text{,}5\,n+600\), soit \(n=\dfrac{600}{77\text{,}25}\approx7\text{,}77\) : B est moins cher dès \(8\) pots.

B.3.b

Corrigé

\(g(9)=138\text{,}5\times9+600=1\text{ }246\text{,}5+600=\) \(1\text{ }846\text{,}50\) €.

C.1

Corrigé

En C2 : =104,65*A2+995,75

Pour comprendre en détail

Contrôle : pour \(1\) pot, \(104\text{,}65+995\text{,}75=1\text{ }100\text{,}4\) ✔ (valeur du tableau).

C.2

Corrigé

Pour \(11\) pots : B \(=2\text{ }123\text{,}5\) et C \(=2\text{ }146\text{,}9\) : B est encore moins cher.

Pour \(12\) pots : B \(=2\text{ }262\) et C \(=2\text{ }251\text{,}55\) : C est moins cher.

Le fournisseur C semble plus intéressant à partir de \(12\) pots.

Pour comprendre en détail

« Semble » car le tableau s'arrête à \(16\) pots : pour s'assurer que C reste moins cher au-delà, il faut résoudre une inéquation (question suivante).

C.3

Corrigé

On cherche \(n\) tel que le prix C soit inférieur au prix B :

\(104\text{,}65\,n+995\text{,}75\lt 138\text{,}5\,n+600\)

\(995\text{,}75-600\lt 138\text{,}5\,n-104\text{,}65\,n\), soit \(395\text{,}75\lt 33\text{,}85\,n\).

\(n>\dfrac{395\text{,}75}{33\text{,}85}\approx11\text{,}69\). \(n\) est entier : le fournisseur C est plus intéressant dès \(12\) pots.

Pour comprendre en détail

On regroupe les termes en \(n\) d'un côté, les constantes de l'autre ; on divise par \(33\text{,}85>0\), donc l'inégalité garde son sens. Le résultat \(11\text{,}69\) n'est pas entier : le seuil est l'entier suivant, \(12\).

1

Corrigé

Carré de \(5\) : \(25\). Ajouter le triple de \(5\) : \(25+15=40\). Soustraire \(4\) : \(40-4=36\).

2

Corrigé

Carré : \(\left(\dfrac53\right)^2=\dfrac{25}{9}\). Triple : \(3\times\dfrac53=5\). Somme : \(\dfrac{25}{9}+5=\dfrac{70}{9}\). Soustraction : \(\dfrac{70}{9}-4=\dfrac{34}{9}\).

Le résultat est \(\dfrac{34}{9}\).

Pour comprendre en détail

Pour additionner, on met au même dénominateur : \(5=\dfrac{45}{9}\) donc \(\dfrac{25}{9}+\dfrac{45}{9}=\dfrac{70}{9}\), puis \(4=\dfrac{36}{9}\).

3

Corrigé

Ligne 4 : mettre résultat à résultat + 3 * réponse

Ligne 5 : mettre résultat à résultat − 4

Pour comprendre en détail

Sur la ligne 4, le bloc « ( ) + ( ) * ( ) » se lit « premier \(+\) (deuxième \(\times\) troisième) » grâce à la priorité de la multiplication : résultat + (3 * réponse).

4.a

Corrigé

Carré : \(x^2\) ; ajout du triple : \(x^2+3x\) ; soustraction de \(4\) : \(x^2+3x-4\).

Le résultat final est \(x^2+3x-4\).

4.b

Corrigé

\((x-1)(x+4)=x^2+4x-x-4=x^2+3x-4\) ✔.

Pour comprendre en détail

On pouvait aussi factoriser : on cherche deux nombres de produit \(-4\) et de somme \(3\) : \(4\) et \(-1\).

4.c

Corrigé

On résout \(x^2+3x-4=0\), c'est-à-dire \((x-1)(x+4)=0\).

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : \(x-1=0\) ou \(x+4=0\).

\(x=1\) ou \(x=-4\) : il faut choisir \(1\) ou \(-4\) au départ.

Pour comprendre en détail

Vérification : pour \(1\), \(1+3-4=0\) ✔ ; pour \(-4\), \(16-12-4=0\) ✔.

1.a

Corrigé

Rayon : \(R=21\) cm.

\(V=\dfrac12\times\dfrac43\pi\times21^3=\dfrac23\pi\times9\text{ }261=6\text{ }174\,\pi\approx19\text{ }396\text{,}19\) cm\(^3\), soit \(19\text{ }396\) cm\(^3\) à l'unité près.

Pour comprendre en détail

\(21^3=21\times21\times21=9\text{ }261\) et \(\dfrac23\times9\text{ }261=6\text{ }174\).

1.b

Corrigé

\(19\text{ }396\) cm\(^3=19\text{,}396\) dm\(^3=19\text{,}396\) L, soit environ \(19\text{,}4\) L.

2

Corrigé

Hauteur de pâte : \(\dfrac34\times5=3\text{,}75\) cm. Volume par moule : \(\pi\times3^2\times3\text{,}75=33\text{,}75\,\pi\approx106\text{,}03\) cm\(^3\).

\(\dfrac{19\text{ }396}{33\text{,}75\,\pi}\approx182\text{,}9\) : le cuisinier peut remplir \(182\) moules.

Pour comprendre en détail

3.a

Corrigé

Volume de pâte par moule : \(4\times6\times h=24h\). Pour \(210\) gâteaux : \(210\times24\,h=19\text{ }396\), soit \(5\text{ }040\,h=19\text{ }396\).

\(h=\dfrac{19\text{ }396}{5\text{ }040}\approx3\text{,}85\) cm, soit environ \(3\text{,}8\) cm (\(38\) mm).

Pour comprendre en détail

\(3\text{,}848\) cm \(=38\text{,}48\) mm, que l'on arrondit au millimètre : \(38\) mm. La hauteur \(3\text{,}8\) cm est inférieure à la hauteur du moule (\(5\) cm) : les moules ne débordent pas.

3.b

Corrigé

\(3\text{,}848\times1\text{,}15\approx4\text{,}43\) cm.

La hauteur après cuisson est d'environ \(4\text{,}4\) cm.

Pour comprendre en détail

Avec la valeur arrondie \(3\text{,}8\) cm : \(3\text{,}8\times1\text{,}15=4\text{,}37\) cm, soit aussi \(4\text{,}4\) cm. Les deux calculs donnent le même arrondi.

\(4\text{,}4\) cm \(<5\) cm : le gâteau ne déborde pas du moule.

A.1

Corrigé

\(1\text{,}63=\dfrac{163}{100}\) : quotient de deux entiers, donc rationnel. Vrai.

A.2

Corrigé

Contre-exemple : \(x=-5\) vérifie \(x\lt -4\), mais \(-5>-6\) : \(-5\notin\,]-\infty\,;-6]\).

L'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

L'ensemble des réels \(x\lt -4\) est l'intervalle \(]-\infty\,;-4[\), qui contient \(]-\infty\,;-6]\) mais est plus grand. Les nombres de \(]-6\,;-4[\) manquent.

A.3

Corrigé

Le codage indique que le quadrilatère a quatre côtés de même longueur : c'est un losange ; et quatre angles droits : c'est un rectangle.

Un quadrilatère qui est à la fois un losange et un rectangle est un carré. L'affirmation est vraie.

Pour comprendre en détail

Un seul de ces codages ne suffit pas : quatre côtés égaux donnent un losange (pas forcément un carré), quatre angles droits donnent un rectangle (pas forcément un carré).

B.1

Corrigé

\(7x-9=0\Leftrightarrow7x=9\Leftrightarrow x=\dfrac97\). Réponse C.

Pour comprendre en détail

\(\dfrac97\approx1\text{,}2857\) : la réponse A (\(1\text{,}29\)) n'est qu'une valeur approchée, pas la solution exacte.

B.2

Corrigé

\(5-4x\geqslant0\Leftrightarrow-4x\geqslant-5\Leftrightarrow x\leqslant\dfrac54=1\text{,}25\) (on divise par \(-4\), le sens s'inverse). Réponse D.

Pour comprendre en détail

Autre méthode : \(5-4x\geqslant0\Leftrightarrow5\geqslant4x\Leftrightarrow\dfrac54\geqslant x\), sans diviser par un négatif.

B.3

Corrigé

Zoé a \(x\) crayons, Léa en a \(7\) de moins : \(x-7\).

Ensemble : \(x+(x-7)=31\), soit \(2x-7=31\). Réponse A.

Pour comprendre en détail

Solution : \(2x=38\), \(x=19\) ; Zoé a \(19\) crayons, Léa \(12\), et \(19+12=31\) ✔.

B.4

Corrigé

On retranche \(5\) : \(x-5\) ; on multiplie par \(2\) : \((x-5)\times2\) ; strictement supérieur au quadruple : \((x-5)\times2>4x\).

En divisant les deux membres par \(2\) : \(x-5>2x\). Réponse C.

Pour comprendre en détail

L'inéquation \(2(x-5)>4x\), c'est-à-dire \(2x-10>4x\), n'est pas proposée telle quelle. Les propositions A et B ne respectent pas la priorité des opérations (le « \(\times2\) » porte sur toute la différence), et D a \(4\) à la place de \(4x\). Seule C est équivalente.