En bref. Un programme de calcul revient presque chaque année au CRPE, souvent avec Scratch ou un tableur. Les questions suivent toujours le même ordre : appliquer le programme à un nombre (on écrit chaque étape), l'écrire avec $x$ (attention aux parenthèses), prouver une conjecture (développer, réduire, comparer) et trouver le nombre de départ qui donne un résultat (une équation, parfois produit nul).
1Appliquer le programme à un nombre
Sur toute cette page, on suit le même programme, question après question, dans l'ordre où un sujet du CRPE les pose :
Choisir un nombreLe multiplier par 4Ajouter 6Diviser par 2Soustraire le nombre de départLa question. « Montrer que si l'on choisit $5$, on obtient $8$. » ou « Quel résultat obtient-on avec $-2$ ? »
La méthode. On écrit une ligne par étape, avec le résultat de chaque étape. Le jury doit pouvoir suivre le calcul, même si la calculatrice le fait d'un coup.
Réponse rédigée avec $5$
$5 \times 4 = 20$
$20 + 6 = 26$
$26 \div 2 = 13$
$13 - 5 = 8$
Le résultat est $\boldsymbol{8}$.
Réponse rédigée avec $-2$
$-2 \times 4 = -8$
$-8 + 6 = -2$
$-2 \div 2 = -1$
$-1 - (-2) = -1 + 2 = 1$
Le résultat est $\boldsymbol{1}$.
Avec un nombre négatif ou une fraction au départ, on garde les parenthèses et les valeurs exactes : c'est là que les sujets placent leurs pièges.
2Écrire le résultat en fonction de x
La question. « On appelle $x$ le nombre de départ. Exprimer le résultat en fonction de $x$. »
La méthode. On refait exactement les mêmes étapes qu'avec $5$, mais avec la lettre $x$ :
| Étape du programme | Avec $5$ | Avec $x$ |
|---|---|---|
| Choisir un nombre | $5$ | $x$ |
| Le multiplier par 4 | $20$ | $4x$ |
| Ajouter 6 | $26$ | $4x + 6$ |
| Diviser par 2 | $13$ | $2x + 3$ |
| Soustraire le nombre de départ | $8$ | $\boldsymbol{x + 3}$ |
Deux calculs demandent de l'attention :
- diviser par $2$, c'est diviser chaque terme par $2$ : $4x \div 2 = 2x$ et $6 \div 2 = 3$, donc $(4x + 6) \div 2 = 2x + 3$ ;
- soustraire le nombre de départ, c'est enlever $x$ : $2x - x = x$, donc $2x + 3 - x = x + 3$.
Réponse rédigée
$x \times 4 = 4x$
$4x + 6$
$(4x + 6) \div 2 = 2x + 3$
$2x + 3 - x = x + 3$
Le résultat est $\boldsymbol{x + 3}$.
Le réflexe. On vérifie avec un nombre déjà testé : pour $x = 5$, $x + 3 = 8$, c'est bien le résultat de la question précédente.
▶ Vidéo · Expression littérale : calculer avec x
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3Prouver une conjecture
La question. « Que remarque-t-on ? Prouver cette conjecture. »
La méthode. On regarde les résultats déjà obtenus : $5$ donne $8$ et $-2$ donne $1$. Dans les deux cas, le résultat est le nombre de départ plus 3. C'est une conjecture : deux exemples ne prouvent pas que cela marche pour tous les nombres (voir justifier un vrai-faux). La preuve, c'est le calcul avec $x$.
Réponse rédigée
On remarque que le résultat est égal au nombre de départ augmenté de $3$.
Preuve : pour un nombre de départ $x$ quelconque, le programme donne $x + 3$ (question précédente).
Le résultat est donc toujours le nombre de départ augmenté de $3$.
4Trouver le nombre de départ
La question. « Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $10$ ? »
La méthode. On écrit une équation avec l'expression en $x$, on la résout, on vérifie avec le programme, puis on répond par une phrase.
Réponse rédigée
On cherche $x$ tel que $x + 3 = 10$, donc $x = 10 - 3 = 7$.
Vérification : $7 \times 4 = 28$ ; $28 + 6 = 34$ ; $34 \div 2 = 17$ ; $17 - 7 = 10$.
Il faut choisir $\boldsymbol{7}$.
Et si l'expression contient un x² ?
C'est le cas du sujet corrigé plus bas : on ne sait pas résoudre directement. On utilise la forme factorisée, souvent donnée par l'énoncé, pour se ramener à une équation produit nul.
Une équation produit nul a souvent deux solutions : on les donne toutes les deux, y compris la négative.
Cas pratique : un exercice du CRPE corrigé
Au CRPE 2024 (groupement 2), un programme de calcul classique, du nombre de départ jusqu'à l'équation produit nul.
Énoncé · CRPE 2024 M2 · Groupement 2 · Exercice 3 (extrait)
Voici un programme de calcul :Choisir un nombre de départPrendre le carré du nombre de départAjouter le triple du nombre de départSoustraire 4 au résultat
1. Montrer que le résultat du programme de calcul est $36$ lorsque le nombre de départ choisi est $5$.
2. Quel résultat obtient-on avec ce programme de calcul en choisissant $\dfrac{5}{3}$ pour nombre de départ ?
4. a. On appelle $x$ le nombre de départ. Exprimer en fonction de $x$ le résultat final.
b. Vérifier que ce résultat peut aussi s'écrire sous la forme $(x - 1)(x + 4)$.
c. Écrire et résoudre l'équation qui permet de trouver le(s) nombre(s) à choisir au départ pour obtenir zéro comme résultat.
Corrigé détaillé
1. Carré de $5$ : $25$. Ajouter le triple de $5$ : $25 + 15 = 40$. Soustraire $4$ : $40 - 4 = 36$.
2. Carré : $\left(\dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{25}{9}$. Triple : $3 \times \dfrac{5}{3} = 5$. Somme : $\dfrac{25}{9} + \dfrac{45}{9} = \dfrac{70}{9}$. Soustraction : $\dfrac{70}{9} - \dfrac{36}{9} = \dfrac{34}{9}$.
Le résultat est $\dfrac{34}{9}$.
4. a. Carré : $x^2$ ; ajout du triple : $x^2 + 3x$ ; soustraction de $4$ : $x^2 + 3x - 4$.
b. $(x - 1)(x + 4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4$.
c. On résout $x^2 + 3x - 4 = 0$, c'est-à-dire $(x - 1)(x + 4) = 0$.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x - 1 = 0$ ou $x + 4 = 0$.
$x = 1$ ou $x = -4$ : il faut choisir $1$ ou $-4$ au départ.
Le piège : ne garder que $x = 1$. Vérification pour $-4$ : $16 - 12 - 4 = 0$. La question 3 du sujet (compléter un script Scratch) n'est pas reproduite ici.
Testez-vous
Programme Choisir un nombreAjouter 3Multiplier par 2Avec $x$ au départ, on obtient :
On ajoute d'abord $3$, puis on multiplie le tout par $2$ : $2(x + 3)$, soit $2x + 6$.
Un programme donne $x^2 - 9$. Quels nombres de départ donnent $0$ ?
$3^2 - 9 = 0$ et $(-3)^2 - 9 = 0$ : il y a deux solutions.
Les erreurs classiques au concours
- Oublier les parenthèses : « ajouter 3 puis multiplier par 2 » donne $2(x + 3)$, pas $2x + 3$.
- Écrire $-2^2$ au lieu de $(-2)^2$ quand on part d'un nombre négatif.
- « Prouver » une conjecture avec quelques exemples au lieu du calcul avec $x$.
- Mal développer un carré : $(x + 1)^2$ n'est pas $x^2 + 1$.
- Ne donner qu'une solution d'une équation produit nul, et oublier la phrase de réponse.
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Pour aller plus loin
Questions fréquentes
Comment écrire un programme de calcul avec x ?
Remplacez le nombre de départ par x et suivez les étapes dans l'ordre, en mettant entre parenthèses ce qui est multiplié ou divisé en bloc. Réduisez ensuite l'expression et vérifiez-la avec un nombre déjà testé.
Comment prouver qu'un programme de calcul donne toujours le même résultat ?
Écrivez le programme avec x, développez et réduisez l'expression. Si x disparaît, le résultat est le même pour tout nombre de départ. Des exemples ne suffisent pas à le prouver.
Comment trouver le nombre de départ d'un programme de calcul ?
Écrivez l'équation « expression = résultat voulu » et résolvez-la. Avec un x², factorisez pour obtenir une équation produit nul, qui peut avoir deux solutions. Vérifiez puis répondez par une phrase.