Sujet CRPE 2024 Mathématiques · Groupement 3 : corrigé

A.1.a

Corrigé

\(3\times2\times1=6\) résultats possibles, équiprobables : \(345\), \(354\), \(435\), \(453\), \(534\), \(543\).

Pour comprendre en détail

Un arbre à trois niveaux donne les mêmes six chemins. Sans remise, les tirages successifs ne sont pas indépendants : à chaque niveau, il reste une carte de moins.

A.1.b

Corrigé

Les nombres pairs sont ceux qui se terminent par \(4\) : \(354\) et \(534\).

\(P=\dfrac26=\dfrac13\).

A.1.c

Corrigé

Les multiples de \(5\) sont ceux qui se terminent par \(5\) : \(345\) et \(435\).

\(P(\text{multiple de }5)=\dfrac26=\dfrac13\), donc \(P(\text{pas multiple de }5)=1-\dfrac13=\dfrac23\) (soit \(\dfrac46\)).

A.1.d

Corrigé

Les trois chiffres sont toujours \(3\), \(4\) et \(5\) : la somme des chiffres vaut \(3+4+5=12\), multiple de \(3\), pour chacun des six nombres.

Tous les nombres sont divisibles par \(3\) : \(P=1\) (événement certain).

Pour comprendre en détail

Une probabilité égale à \(1\) correspond à un événement certain, et \(0\) à un événement impossible.

A.2.a

Corrigé

Les \(9\) issues équiprobables sont \(33,34,35,43,44,45,53,54,55\).

Les nombres à deux chiffres identiques : \(33\), \(44\), \(55\) : \(P=\dfrac39=\dfrac13\).

Pour comprendre en détail

A.2.b

Corrigé

Somme des chiffres multiple de \(9\) : \(4+5=9\). Les multiples de \(9\) sont \(45\) et \(54\).

\(P=\dfrac29\).

A.2.c

Corrigé

Les nombres \(\leqslant40\) sont ceux dont le chiffre des dizaines est \(3\) : \(33\), \(34\), \(35\).

\(P=\dfrac39=\dfrac13\).

Pour comprendre en détail

Le nombre \(40\) n'est pas dans la liste des issues (il faudrait une carte \(0\)). Les nombres \(43\), \(44\), \(45\), \(53\), \(54\), \(55\) sont tous strictement supérieurs à \(40\).

B.1

Corrigé

\(P(J)=\dfrac12\times P(R)=\dfrac12\times\dfrac14=\dfrac18\).

B.2

Corrigé

\(P(B)=1-P(R)-P(J)=1-\dfrac14-\dfrac18=\dfrac{8-2-1}{8}=\dfrac58\).

B.3

Corrigé

\(7\) boules jaunes représentent \(\dfrac18\) du sac : le total est \(7\times8=56\) boules.

Rouges : \(\dfrac14\times56=14\). Bleues : \(\dfrac58\times56=35\).

Le sac contient \(35\) boules bleues, \(14\) rouges et \(7\) jaunes.

Pour comprendre en détail

Vérification : \(35+14+7=56\) ✔ et il y a bien deux fois moins de jaunes (\(7\)) que de rouges (\(14\)).

1

Corrigé

Contre-exemple : \(\dfrac13=0\text{,}333\ldots\) est une fraction qui n'est pas un nombre décimal (son écriture décimale est infinie).

L'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

Une fraction irréductible \(\dfrac ab\) est décimale si et seulement si les seuls facteurs premiers de \(b\) sont \(2\) et \(5\) : \(\dfrac14=0\text{,}25\) est décimale, \(\dfrac13\) ne l'est pas.

2

Corrigé

Un entier relatif \(n\) s'écrit \(\dfrac{n\times10^k}{10^k}\), ou simplement \(n=n\text{,}0\) : c'est un nombre décimal.

L'affirmation est vraie.

Pour comprendre en détail

Hiérarchie : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).

3

Corrigé

Soit \(n=2k+1\) un entier impair. \(n^2=4k^2+4k+1=2\,(2k^2+2k)+1\).

\(2k^2+2k\) est un entier : \(n^2\) est de la forme \(2K+1\), donc impair. L'affirmation est vraie.

Pour comprendre en détail

Raisonnement équivalent : produit de deux impairs (\(n\times n\)) est impair, car « impair \(\times\) impair » reste impair.

4

Corrigé

Contre-exemple : \(3\times0\text{,}1=0\text{,}3\), qui est inférieur à \(3\).

L'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

Autre contre-exemple : \(-2\times3=-6\lt -2\). L'affirmation ne serait vraie que pour des nombres supérieurs ou égaux à \(1\).

5

Corrigé

Hausse de \(15\,\%\) : coefficient \(1\text{,}15\) ; baisse de \(15\,\%\) : coefficient \(0\text{,}85\).

\(1\text{,}15\times0\text{,}85=0\text{,}9775\lt 1\) : le prix final est \(97\text{,}75\,\%\) du prix initial. L'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

Exemple chiffré : \(100\) € \(\to115\) € \(\to97\text{,}75\) €. La baisse de \(15\,\%\) s'applique à un prix plus élevé (\(115\) €) que la hausse (\(100\) €), donc elle retire plus de \(15\) €.

1

Corrigé

Le bloc trace \(4\) fois un segment de longueur « longueur », en tournant à chaque fois de \(90^\circ\) : on obtient un carré de côté « longueur ».

2

Corrigé

Premier passage : \(\text{longueur}=50\) pas \(=10\) mm \(=1\) cm : carré de \(1\) cm de côté. Le lutin, stylo relevé, avance de \(50+200=250\) pas \(=50\) mm \(=5\) cm.

Deuxième passage : \(\text{longueur}=100\) pas \(=20\) mm \(=2\) cm : carré de \(2\) cm de côté, tracé à \(5\) cm du point de départ du premier.

La distance entre les deux carrés est donc \(5-1=4\) cm.

Pour comprendre en détail

Le lutin est orienté à \(90\) (vers la droite) au début de chaque passage, grâce au bloc « s'orienter à \(90\) » dans la boucle. Après un carré, il est revenu à son point de départ avec son orientation initiale. Il avance donc en ligne droite vers la droite et les deux carrés sont posés sur la même ligne de base.

3.a

Corrigé

Il faut modifier deux nombres dans le bloc : répéter \(3\) fois (au lieu de \(4\)) et tourner de \(120\) degrés (au lieu de \(90\)).

Pour comprendre en détail

L'angle de rotation est l'angle extérieur : \(180-60=120\), et \(3\times120=360\) (tour complet).

3.b

Corrigé

Le second triangle a des côtés \(2\) fois plus longs : c'est un agrandissement de rapport \(2\). Son aire est multipliée par \(2^2=4\).

Le rapport entre les aires (grand sur petit) est \(4\).

Pour comprendre en détail

Les aires sont multipliées par \(k^2\) pour un agrandissement de rapport \(k\). Vérification : \(\dfrac{\sqrt3}{4}\times(2c)^2=4\times\dfrac{\sqrt3}{4}c^2\).

1

Corrigé

Programme A : \((-3)^2=9\), puis \(9-4\times(-3)=9+12=21\).

Programme B : \(-3-9=-12\) et \(-3+3=0\), puis \(-12\times0=0\).

Résultats : \(21\) avec A, \(0\) avec B.

Pour comprendre en détail

2

Corrigé

Le programme B donne \((x-9)(x+3)=x^2+3x-9x-27=x^2-6x-27\).

Pour comprendre en détail

Contrôle avec \(x=-3\) : \(9+18-27=0\) ✔ (même résultat que la question 1).

3

Corrigé

Programme A : \(x^2-4x\). On résout \(x^2-6x-27=x^2-4x\).

Les termes en \(x^2\) s'annulent : \(-6x-27=-4x\), donc \(-27=2x\) et \(x=-13\text{,}5\).

Le seul nombre initial qui convient est \(-13\text{,}5\).

Pour comprendre en détail

Vérification : A : \((-13\text{,}5)^2-4\times(-13\text{,}5)=182\text{,}25+54=236\text{,}25\) ; B : \((-22\text{,}5)\times(-10\text{,}5)=236\text{,}25\) ✔.

1

Corrigé

\(V_{\text{cône}}=\dfrac13\times\pi\times3^2\times4=12\,\pi\) cm\(^3\).

2

Corrigé

\(V_{\text{cylindre}}=\pi\times3^2\times8=72\,\pi\) cm\(^3\).

3

Corrigé

[SO'] est la hauteur du cône : (SO') est perpendiculaire au plan de la base, donc le triangle SO'A est rectangle en O'.

D'après le théorème de Pythagore : \(\text{SA}^2=\text{SO'}^2+\text{O'A}^2=4^2+3^2=25\), donc \(\text{SA}=5\) cm.

Pour comprendre en détail

On reconnaît le triplet pythagoricien \((3\,;4\,;5)\).

4

Corrigé

Volume d'un saupoudreur : \(12\pi+72\pi=84\pi\approx263\text{,}9\) cm\(^3\).

Pour \(24\) saupoudreurs : \(24\times84\pi=2\text{ }016\,\pi\approx6\text{ }333\text{,}5\) cm\(^3\), soit \(6\text{,}33\) L (\(1\) L \(=1\text{ }000\) cm\(^3\)).

Pour remplir tous les saupoudreurs, il faut au moins \(6\text{,}33\) L : on prévoit \(7\) L de stevia (arrondi au litre supérieur).

Pour comprendre en détail

5.a

Corrigé

Quand le patron est refermé, l'arc d'extrémités A et A' vient se superposer au cercle de base du cône, de rayon \(3\) cm.

Sa longueur est donc égale au périmètre de ce cercle : \(2\pi\times3=6\pi\) cm (\(\approx18\text{,}85\) cm).

5.b

Corrigé

\(\alpha=\dfrac{360\times6\pi}{10\pi}=\dfrac{360\times6}{10}=216^\circ\).

Pour comprendre en détail

Les \(\pi\) se simplifient : \(\dfrac{\alpha}{360}=\dfrac{6}{10}=0\text{,}6\). Le secteur représente \(60\,\%\) du disque de rayon \(5\) cm, car le cercle de base (rayon \(3\)) est \(\dfrac35\) du cercle de rayon \(5\). En général, \(\alpha=360\times\dfrac{r}{\text{génératrice}}\).

6

Corrigé

Le saupoudreur est un cylindre (sans couvercle : le cône le ferme) surmonté d'un cône. Dimensions réelles, puis à l'échelle \(\dfrac12\) :

Le rectangle se colle au disque du fond (sur son bord) ; l'arc de \(3\pi\) cm du secteur se superpose au bord supérieur du rectangle.

Pour comprendre en détail

À l'échelle \(\dfrac12\), les angles ne changent pas (\(216^\circ\)) ; seules les longueurs sont divisées par \(2\). La longueur de l'arc du secteur (\(\dfrac12\times6\pi=3\pi\)) est bien égale à la longueur du rectangle.