En bref. Au CRPE, une réponse sans justification ne rapporte aucun point. Pour chaque affirmation : on lit les petits mots (« toujours », « il existe »), on teste au brouillon avec des nombres simples, puis on rédige. Si l'affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit. Si elle est vraie, des exemples ne suffisent pas : il faut une preuve, souvent avec une lettre.
1La règle et la méthode en trois étapes
Le vrai-faux tombe presque chaque année au CRPE. La consigne est toujours la même : « Indiquer si l'affirmation est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse sans justification ne sera pas prise en compte. »
| Si l'affirmation est… | … on justifie avec |
|---|---|
| Fausse | Un seul contre-exemple, avec son calcul |
| Vraie | Une preuve valable pour tous les cas |
Pour chaque affirmation, on suit les trois mêmes étapes :
- Je lis l'affirmation et je repère les petits mots : « toujours », « il existe », « exactement ».
- Je teste au brouillon avec quelques nombres simples, pour me faire une idée.
- Je rédige : le contre-exemple ou la preuve, puis une phrase de conclusion.
Les deux sections suivantes appliquent ces trois étapes, sur une affirmation fausse puis sur une affirmation vraie.
2Une affirmation fausse : le contre-exemple
L'affirmation. « Le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre. »
1. Je lis. « Toujours » : il suffit d'un seul nombre qui ne marche pas pour que l'affirmation soit fausse.
2. Je teste. $3^2 = 9$, plus grand que $3$ : ça marche. $10^2 = 100$ : ça marche aussi. J'essaie un nombre plus petit que $1$ : $0{,}5^2 = 0{,}25$, et $0{,}25$ est plus petit que $0{,}5$. J'ai trouvé un contre-exemple.
3. Je rédige
Pour le nombre $0{,}5$ : $0{,}5^2 = 0{,}25$.
Or $0{,}25 < 0{,}5$.
Le carré de $0{,}5$ est plus petit que $0{,}5$.
L'affirmation est fausse.
Le réflexe. Pour trouver vite un contre-exemple, on teste les nombres « à part » : $0$, $1$, un nombre négatif, un décimal entre $0$ et $1$.
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3Une affirmation vraie : la preuve avec une lettre
L'affirmation. « La somme de trois entiers qui se suivent est toujours un multiple de $3$. »
1. Je lis. « Toujours » : si elle est vraie, il faudra le prouver pour tous les entiers, pas seulement pour quelques-uns.
2. Je teste. $4 + 5 + 6 = 15 = 3 \times 5$. $10 + 11 + 12 = 33 = 3 \times 11$. Ça marche à chaque fois : l'affirmation semble vraie. Mais deux exemples ne prouvent rien, il pourrait exister un cas qui ne marche pas.
Comment prouver ? On remplace le premier entier par une lettre, $n$. Les deux suivants sont alors $n + 1$ et $n + 2$.
3. Je rédige
Trois entiers qui se suivent s'écrivent $n$, $n + 1$ et $n + 2$, avec $n$ entier.
Leur somme : $n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3$.
Or $3n + 3 = 3 \times (n + 1)$, et $n + 1$ est un entier.
La somme est donc un multiple de $3$ : l'affirmation est vraie.
Le réflexe. Les exemples du brouillon peuvent figurer sur la copie pour illustrer, jamais comme preuve.
4Les petits mots qui changent la réponse
À l'étape 1, ce sont eux qui disent ce qu'il faut montrer.
| Dans l'affirmation | Ce qu'il faut montrer |
|---|---|
| « toujours », « tout nombre », « nécessairement » | Fausse : un contre-exemple. Vraie : une preuve générale. |
| « il existe », « on peut trouver » | Vraie : un seul exemple suffit. |
| « exactement deux », « un seul » | Trouver tous les cas, puis les compter. |
Exemple. « Il existe un nombre égal à son carré. »
$1^2 = 1$.
L'affirmation est vraie : ici, un exemple suffit.
Cas pratique : un exercice du CRPE corrigé
Au CRPE bac+3 2026 (groupement 1), un vrai-faux de quatre affirmations. On en reprend trois : une se règle en listant tous les cas, une avec un contre-exemple, une avec une preuve.
Énoncé · CRPE 2026 L3 · Groupement 1 · Exercice 4 (extrait)
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE en justifiant la réponse. Une réponse sans justification ne sera pas prise en compte lors de la correction.
X est un nombre inconnu pouvant s'écrire à l'aide de quatre chiffres tous différents de $0$. On sait de plus que son nombre de dizaines est $12$ et que le chiffre de ses unités est le triple du chiffre de ses dixièmes.
Affirmation 1 : Il y a exactement deux valeurs possibles pour X.
Affirmation 2 : Si un nombre entier est à la fois multiple de $4$ et de $10$, il est nécessairement multiple de $40$.
Affirmation 4 : Le quotient d'un nombre décimal par $4$ est un nombre décimal.
Corrigé détaillé
Affirmation 1 · « exactement deux » : on cherche toutes les valeurs.
Le nombre de dizaines est $12$ : X est entre $120$ et $130$, il s'écrit $12u{,}d$.
Le chiffre des unités $u$ est le triple du chiffre des dixièmes $d$, et aucun chiffre n'est $0$.
$d = 1$ donne $u = 3$ : X $= 123{,}1$.
$d = 2$ donne $u = 6$ : X $= 126{,}2$.
$d = 3$ donne $u = 9$ : X $= 129{,}3$.
$d = 4$ donnerait $u = 12$, qui n'est pas un chiffre.
Il y a trois valeurs possibles : l'affirmation 1 est fausse.
Affirmation 2 · « nécessairement » : on cherche un contre-exemple.
$20 = 4 \times 5$ : $20$ est un multiple de $4$.
$20 = 10 \times 2$ : $20$ est un multiple de $10$.
Mais $20$ n'est pas un multiple de $40$.
L'affirmation 2 est fausse.
Affirmation 4 · elle parle de tous les décimaux : il faut une preuve.
Diviser par $4$, c'est multiplier par $0{,}25$.
Un nombre décimal $x$ s'écrit $\dfrac{a}{10^n}$, avec $a$ entier.
$\dfrac{x}{4} = \dfrac{a}{10^n} \times \dfrac{25}{100} = \dfrac{25a}{10^{n+2}}$, qui est encore un nombre décimal.
L'affirmation 4 est vraie.
Les pièges : oublier le cas $d = 3$ et répondre « vraie » à l'affirmation 1 ; croire qu'un multiple de $4$ et de $10$ est forcément multiple de $4 \times 10$ ; répondre à l'affirmation 4 avec deux exemples, ce qui ne prouve rien.
Testez-vous
Pour montrer qu'une affirmation générale est fausse, un seul contre-exemple suffit-il ?
Oui : un seul cas qui contredit l'affirmation suffit, à condition d'écrire le calcul.
« Le double d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre. » Vrai ou faux ?
Faux : le double de $-3$ est $-6$, et $-6 < -3$. Avec $0$, le double est égal au nombre.
Les erreurs classiques au concours
- Répondre « vrai » ou « faux » sans justification : la réponse ne rapporte aucun point.
- Justifier une affirmation vraie par quelques exemples au lieu d'une preuve générale.
- Donner un contre-exemple sans le calcul qui montre qu'il contredit l'affirmation.
- Oublier un cas dans une recherche exhaustive (« exactement deux », « un seul »).
- Prouver la réciproque de l'affirmation au lieu de l'affirmation elle-même.
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Pour aller plus loin
Questions fréquentes
Un exemple suffit-il pour justifier un vrai-faux au CRPE ?
Un exemple suffit pour montrer qu'une affirmation générale est fausse (c'est un contre-exemple) ou qu'une affirmation « il existe » est vraie. Pour montrer qu'une affirmation générale est vraie, il faut une preuve valable pour tous les cas.
Que vaut une réponse sans justification à un vrai-faux du CRPE ?
Rien : les sujets précisent qu'une réponse sans justification ne sera pas prise en compte lors de la correction.
Comment trouver un contre-exemple rapidement ?
Testez les nombres particuliers : 0, 1, un nombre négatif, un décimal entre 0 et 1, le nombre premier pair 2. Ce sont eux qui mettent le plus souvent en défaut une affirmation trop générale.