Annales CRPE · Mathématiques › 2021
Sujet CRPE 2021 Mathématiques · Groupement 3 : corrigé
Exercice 1 – Proportion, pourcentages, moyenne (13 points)Voir le corrigé ↓
Première partie. Suite à des problèmes récurrents d'alimentation en eau pour un des hameaux de sa commune, le maire projette de faire construire un château d'eau.
Partie A : choix du château d'eau
Afin de faire un choix esthétique parmi trois modèles proposés, le maire décide de consulter ses concitoyens. Chaque foyer peut voter une fois, tous les foyers ont voté. Voici les résultats de la consultation :
| Types de château d'eau | Modèle A | Modèle B | Modèle C |
|---|---|---|---|
| Nombre de foyers | 12 | 60 | 18 |
Calculer la proportion, en pourcentage, de voix recueillies parmi les foyers de ce hameau pour chacun des trois modèles proposés. Les pourcentages seront arrondis à l'unité de pourcentage.
Pour chaque modèle, rapporte le nombre de foyers ayant voté pour ce modèle au nombre total de foyers, puis convertis cette fraction en pourcentage.
Comment calcule-t-on une moyenne à partir d'une somme totale et d'un effectif ? Pense à utiliser le nombre total de foyers de la question A.1.
Commence par retrouver le nombre de foyers du hameau (déjà utilisé dans la question A.1), puis ajoute les 17 nouveaux logements. Utilise ensuite la consommation moyenne par foyer calculée en A.2.a.
Pour passer d’une consommation annuelle à une consommation sur 5 jours, suppose que la consommation est identique chaque jour et utilise la proportionnalité avec une année de 365 jours.
Commencez par déterminer le rayon du réservoir à partir de son diamètre, puis appliquez la formule du volume d’une boule.
Compare le volume du réservoir obtenu à la question A.3.b avec la consommation d’eau nécessaire pour 5 jours trouvée à la question A.3.a.
Calcule d’abord le volume correspondant aux trois quarts du réservoir, puis utilise la relation \(t = \dfrac{V}{Q}\) où \(V\) est le volume à remplir et \(Q\) le débit.
Pense à convertir la partie décimale des heures en minutes et secondes.
Partie B : nuisances et impact paysager
Pense à convertir les distances réelles dans la même unité que sur le plan, puis divise-les grâce à l’échelle. Ensuite, construis le triangle avec un côté et des arcs de cercle au compas.
Tout point situé sur la médiatrice d’un segment est à égale distance des extrémités de ce segment. Cherche donc à tracer deux médiatrices du triangle formé par les trois habitations.
Mesure sur ta figure les segments reliant le point \(C\) à chacun des points représentant les habitations. Convertis ensuite ces longueurs en distance réelle grâce à l’échelle.
Afin de masquer la vue du château d'eau, un des habitants décide de planter une haie. Afin de choisir l'essence d'arbres à planter, il souhaite connaître la hauteur que devront atteindre ces arbres pour masquer la vue du château d'eau depuis sa terrasse. La figure ci-après, qui n'est pas à l'échelle, représente la situation. Cet habitant est au point G sur sa terrasse, le château d'eau est implanté au point K et on a noté H le point où il souhaite planter une haie pour masquer le château d'eau. On connaît les dimensions suivantes : \(\text{KG}=510\) m, \(\text{GI}=1\text{,}80\) m et \(\text{HG}=20\) m. La hauteur KB est de 45 mètres. Le point I correspond à l'œil de l'homme et le point J correspond à la hauteur que doivent atteindre les arbres pour masquer la vue du château d'eau. Les points M et N sont situés à 1,80 m du sol. On a ainsi \(\text{MI}=\text{KG}=510\) m et \(\text{NI}=\text{HG}=20\) m.
Calculer la hauteur minimale HJ des arbres pour que cet habitant ne voie plus le château d'eau lorsqu'il se tient debout sur sa terrasse. On arrondira le résultat au centimètre.
Pense à utiliser le théorème de Thalès dans le triangle formé par l'œil, le sommet du château et le point \(M\). Attention : la hauteur à comparer n'est pas 45 m, car l'œil est à \(1\text{,}80\) m du sol ; il faudra ensuite ajouter cette hauteur.
Partie C : entretien du château d'eau
Commencez par convertir le volume du réservoir en litres, puis utilisez la proportion donnée en mg/L. Pensez ensuite à convertir les milligrammes en grammes.
Pour \(x\) interventions, calculez d’abord le coût de toutes les interventions, puis ajoutez le forfait annuel.
Pour Calmwater, le forfait annuel de déplacement est de 500 € et chaque intervention est facturée 450 €. Traduis ce total pour \(x\) interventions.
Pour représenter chaque fonction affine, il suffit de placer deux points de sa droite ; utilise l’axe des abscisses pour le nombre d’interventions \(x\) et l’axe des ordonnées pour le montant en euros, en respectant les échelles données.
Sur le graphique, repère le point d’intersection des deux droites : son abscisse correspond au nombre d’interventions cherché. Pour vérifier, traduis la situation par une égalité entre les deux montants.
Au point d'intersection trouvé à la question C.2.d, les deux tarifs sont égaux. Pour un nombre supérieur d'interventions, observe quelle droite est en dessous de l'autre, sachant que son coefficient directeur est plus faible.
Identifie le coût fixe éventuel et le coût par intervention pour Bellacqua, puis exprime le montant total en fonction du nombre \(x\) d’interventions.
Pense à la nature de la fonction \(B\) : si elle est linéaire, que vaut \(B(0)\) ? Choisis ensuite une valeur de \(x\) pour calculer l’ordonnée d’un second point, puis utilise l’échelle du repère.
Pour que Bellacqua soit plus intéressante, sa droite doit être située en dessous des deux autres pour le même nombre d’interventions. Repérez d’abord les points d’intersection de sa droite avec celles de Qualiteau et Calmwater.
Voir le corrigé de l'exercice 1
A.1
Corrigé
Le nombre total de foyers ayant voté est \(12 + 60 + 18 = 90\).
- Modèle A : \(\dfrac{12}{90} \times 100 \approx 13\text{,}3\), soit environ 13 %.
- Modèle B : \(\dfrac{60}{90} \times 100 \approx 66\text{,}7\), soit environ 67 %.
- Modèle C : \(\dfrac{18}{90} \times 100 = 20\), soit 20 %.
Les proportions de voix sont donc : modèle A 13 %, modèle B 67 % et modèle C 20 %.
Pour comprendre en détail
A.2.a
Corrigé
D'après la question A.1, le nombre total de foyers est \(12+60+18 = 90\).
La consommation moyenne annuelle par foyer est le quotient de la consommation totale par le nombre total de foyers :
\(\dfrac{10\text{ }500}{90} = 116\text{,}666\ldots \approx 116\text{,}67\).
La consommation moyenne annuelle d'eau par foyer est d'environ \(116\text{,}67\ \mathrm{m}^3\).
Pour comprendre en détail
Cette question s'appuie sur la question A.1 : le nombre total de foyers est \(12+60+18=90\).
La valeur exacte \(\dfrac{10\text{ }500}{90} = \dfrac{350}{3}\) a une écriture décimale illimitée, donc l'énoncé demande une valeur approchée. Pour arrondir \(116\text{,}666\ldots\) au centième, on regarde le chiffre des millièmes (6) et on arrondit au centième supérieur, d'où \(116\text{,}67\).
Une vérification rapide : \(116\text{,}67 \times 90 = 10\text{ }500\text{,}3\), cohérent avec l'arrondi demandé.
A.2.b
Corrigé
Le hameau compte \(12+60+18=90\) foyers. D'après la question A.2.a, la consommation moyenne annuelle par foyer est d'environ \(116\text{,}67\ \text{m}^3\).
Pour les 17 nouveaux logements, la consommation estimée est : \(17 \times 116\text{,}67 = 1\text{ }983\text{,}39\ \text{m}^3\).
La consommation annuelle totale estimée est donc : \(10\text{ }500 + 1\text{ }983\text{,}39 = 12\text{ }483\text{,}39\ \text{m}^3\), soit, arrondie à l'unité, \(12\text{ }483\ \text{m}^3\).
La consommation annuelle estimée du hameau intégrant les nouveaux logements est d'environ \(12\text{ }483\ \text{m}^3\).
Pour comprendre en détail
A.3.a
Corrigé
D’après la question précédente, la consommation annuelle estimée du hameau intégrant les nouveaux logements est \(12\text{ }483\text{,}4\ \text{m}^3\).
En supposant une consommation quotidienne constante sur l’année de 365 jours, la consommation moyenne sur 5 jours est :
\[
12\text{ }483\text{,}4 \times \dfrac{5}{365} \approx 171\text{,}0
\]
La consommation moyenne en 5 jours est donc d’environ \(171\ \text{m}^3\).
Pour comprendre en détail
On peut aussi raisonner en calculant d’abord la consommation d’un jour puis en multipliant par 5.
A.3.b
Corrigé
Le diamètre de la sphère est \(7\ \text{m}\), donc le rayon est \(r=\dfrac{7}{2}=3\text{,}5\ \text{m}\).
Le volume du réservoir est donné par :
\(V=\dfrac{4}{3}\times \pi \times r^3=\dfrac{4}{3}\times \pi \times 3\text{,}5^3\).
Or \(3\text{,}5^3=42\text{,}875\), donc :
\(V=\dfrac{4}{3}\times \pi \times 42\text{,}875 \approx 179\text{,}59\ \text{m}^3\).
Arrondi au mètre cube, le volume du réservoir est de \(180\ \text{m}^3\).
Pour comprendre en détail
On utilise ici la formule du volume d’une boule, pas celle de l’aire d’une sphère. Pour arrondir à l’unité, on regarde la première décimale : \(179\text{,}59\) est plus proche de \(180\) que de \(179\).
A.3.c
Corrigé
La consommation moyenne en 5 jours est \(171\ \text{m}^3\) (question A.3.a).
Le volume du réservoir sphérique est \(180\ \text{m}^3\) (question A.3.b).
Comparons ces deux volumes : \(180 > 171\).
Le réservoir peut donc contenir davantage que la consommation moyenne de 5 jours : oui, ce réservoir répond aux souhaits du maire.
Pour comprendre en détail
La condition posée par le maire était « au minimum », donc un volume supérieur ou égal convenait ; ici il est strictement supérieur.
A.4
Corrigé
Le volume à remplir est : \(V = \dfrac{3}{4} \times 180 = 135\ \text{m}^3\).
Le débit est \(Q = 40\ \text{m}^3/\text{h}\), donc le temps nécessaire est :
\(t = \dfrac{V}{Q} = \dfrac{135}{40} = 3\text{,}375\ \text{h}\).
On convertit la partie décimale : \(0\text{,}375\ \text{h} = 0\text{,}375 \times 60\ \text{min} = 22\text{,}5\ \text{min}\).
Ensuite, \(0\text{,}5\ \text{min} = 30\ \text{s}\), donc \(22\text{,}5\ \text{min} = 22\ \text{min}\ 30\ \text{s}\).
Le temps nécessaire pour remplir le réservoir aux trois quarts est donc 3 h 22 min 30 s.
Pour comprendre en détail
Le débit \(Q\) est le volume versé par unité de temps, donc \(Q = \dfrac{V}{t}\), ce qui donne \(t = \dfrac{V}{Q}\) lorsque le débit est constant.
On peut vérifier le résultat en multipliant le débit par le temps trouvé : on doit retrouver le volume à remplir.
B.1.a
Corrigé
À l’échelle \(\dfrac{1}{10\text{ }000}\), \(1\ \text{cm}\) sur le plan représente \(10\text{ }000\ \text{cm}=100\ \text{m}\).
On convertit donc les distances réelles :
- \(H_1H_2=1\text{ }000\ \text{m} \longrightarrow 10\ \text{cm}\)
- \(H_2H_3=820\ \text{m} \longrightarrow 8\text{,}2\ \text{cm}\)
- \(H_1H_3=730\ \text{m} \longrightarrow 7\text{,}3\ \text{cm}\)
Construction : on trace un segment \([H_1H_2]\) de \(10\ \text{cm}\). Puis on trace un arc de cercle de centre \(H_1\) de rayon \(7\text{,}3\ \text{cm}\) et un arc de cercle de centre \(H_2\) de rayon \(8\text{,}2\ \text{cm}\). Le point \(H_3\) est à l’intersection de ces deux arcs. On obtient ainsi le triangle \(H_1H_2H_3\) représentant les trois habitations à l’échelle demandée.
Pour comprendre en détail
L’échelle \(\dfrac{1}{10\text{ }000}\) signifie que les longueurs sur le plan sont 10 000 fois plus petites que dans la réalité. Comme \(1\ \text{m}=100\ \text{cm}\), une distance réelle de 100 m correspond à 1 cm sur le plan ; il est donc commode de diviser les distances réelles en mètres par 100 pour obtenir les longueurs en cm sur le dessin.
La construction au compas est possible car l’inégalité triangulaire est vérifiée : \(7\text{,}3+8\text{,}2\gt 10\). Le point \(H_3\) peut être placé d’un côté ou de l’autre du segment \([H_1H_2]\) ; l’énoncé ne précisant pas de position, ce choix est libre.
B.1.b
Corrigé
Le point équidistant des trois sommets du triangle \(H_1H_2H_3\) est le centre de son cercle circonscrit, c’est-à-dire l’intersection des médiatrices de ses côtés.
Construction :
- Tracer la médiatrice du segment \([H_1H_2]\) : tracer deux arcs de cercle de même rayon, l’un centré en \(H_1\), l’autre en \(H_2\), de part et d’autre du segment ; relier leurs intersections.
- Tracer de même la médiatrice du segment \([H_2H_3]\) (ou \([H_1H_3]\)).
- Les deux médiatrices se coupent en un point que l’on note \(C\).
Justification : la médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants de ses extrémités. Comme \(C\) est sur la médiatrice de \([H_1H_2]\), on a \(CH_1 = CH_2\). Comme \(C\) est sur la médiatrice de \([H_2H_3]\), on a \(CH_2 = CH_3\). Donc \(CH_1 = CH_2 = CH_3\), donc \(C\) est bien équidistant des trois habitations.
Pour comprendre en détail
Pour vérifier, on peut tracer le cercle de centre \(C\) passant par \(H_1\) : il doit également passer par \(H_2\) et \(H_3\).
B.1.c
Corrigé
Sur la figure, on mesure \(CH_1' = CH_2' = CH_3' \approx 5\text{,}1\ \text{cm}\) (on peut lire \(5\text{,}08\ \text{cm}\)).
L’échelle \(1/10\text{ }000\) signifie que \(1\ \text{cm}\) sur le plan représente \(10\text{ }000\ \text{cm}\) dans la réalité, soit \(100\ \text{m}\).
La distance réelle cherchée est donc :
\(5\text{,}08 \times 100 = 508\ \text{m}\), soit environ \(510\ \text{m}\).
Le château d’eau est donc situé à environ \(510\ \text{m}\) de chacune des trois habitations.
Pour comprendre en détail
La valeur \(5\text{,}08\ \text{cm}\) dépend de la précision du tracé ; toute mesure proche de \(5\text{,}1\ \text{cm}\) est acceptable, d’où un arrondi à \(510\ \text{m}\). Le point \(C\) étant le centre du cercle circonscrit au triangle formé par les trois habitations, les trois distances sont égales : c’est ce que vérifie la mesure graphique.
B.2
Corrigé
Les points \(I, J, B\) sont alignés, les points \(I, N, M\) sont alignés et les droites \((JN)\) et \((BM)\) sont verticales, donc parallèles.
D'après le théorème de Thalès dans le triangle \(IBM\) :
\[
\dfrac{JN}{BM}=\dfrac{IN}{IM}
\]
Or :
\[
BM = KB - KM = 45 - 1\text{,}80 = 43\text{,}2\ \text{m},
\]
\[
IN = HG = 20\ \text{m},\quad IM = KG = 510\ \text{m}.
\]
Donc :
\[
JN = \dfrac{43\text{,}2 \times 20}{510} \approx 1\text{,}694\ \text{m}.
\]
La hauteur de la haie est :
\[
HJ = HN + NJ = 1\text{,}80 + 1\text{,}694 \approx 3\text{,}494\ \text{m}.
\]
La hauteur minimale des arbres est donc d'environ \(3\text{,}49\ \text{m}\), soit \(349\ \text{cm}\).
Pour comprendre en détail
Le corrigé officiel comporte une coquille : il écrit parfois « 3,49 cm » ; il faut lire \(3\text{,}49\ \text{m}\), résultat arrondi au centimètre.
C.1
Corrigé
Le volume du réservoir est \(180\ \text{m}^3\). Or \(1\ \text{m}^3 = 1\text{ }000\ \text{L}\), donc \(180\ \text{m}^3 = 180\text{ }000\ \text{L}\).
La quantité de chlore nécessaire est : \(180\text{ }000 \times 0\text{,}1 = 18\text{ }000\ \text{mg}\).
Comme \(1\ \text{g} = 1\text{ }000\ \text{mg}\), on a \(18\text{ }000\ \text{mg} = 18\ \text{g}\).
Il faut donc prévoir au minimum \(18\ \text{g}\) de chlore.
Pour comprendre en détail
Il s’agit d’une situation de proportionnalité : la masse de chlore est proportionnelle au volume d’eau. Le point de vigilance est la double conversion d’unités : convertir le volume en litres avant d’utiliser la donnée en mg/L, puis convertir la masse obtenue en grammes.
Autre méthode : convertir directement la concentration \(0\text{,}1\ \text{mg/L}\) en \(0\text{,}1\ \text{g/m}^3\), puis multiplier par le volume en m³.
C.2.a
Corrigé
Le forfait annuel est de \(700\) €. Chaque intervention coûte \(350\) €, donc \(x\) interventions coûtent \(350x\) €.
Le montant annuel à payer est donc : \(Q(x)=350x+700\).
Pour comprendre en détail
\(Q(x)\) est une fonction affine de la forme \(Q(x)=ax+b\), où \(b=700\) est le coût fixe et \(a=350\) le coût variable par intervention.
On peut vérifier avec \(x=0\) : sans intervention, on paie bien \(700\) € ; avec \(x=1\), on paie \(350 \times 1 + 700 = 1050\) €.
C.2.b
Corrigé
Le montant annuel à payer à la société Calmwater est composé d’un forfait de 500 € et de \(x\) interventions facturées 450 € chacune. On a donc \(C(x)=450 \times x + 500\), soit \(C(x)=450x+500\).
Pour comprendre en détail
On retrouve une expression affine \(C(x)=ax+b\), où \(b\) est le forfait fixe et \(a\) le tarif par intervention.
C.2.c
Corrigé
Les fonctions \(Q(x)=350x+700\) et \(C(x)=450x+500\) sont affines, donc leurs représentations graphiques sont des droites.
Pour \(Q\) : \(Q(0)=350 \times 0+700=700\) ; \(Q(5)=350 \times 5+700=2\text{ }450\). Les points \((0\,;700)\) et \((5\,;2\text{ }450)\) appartiennent à la droite de \(Q\).
Pour \(C\) : \(C(0)=450 \times 0+500=500\) ; \(C(5)=450 \times 5+500=2\text{ }750\). Les points \((0\,;500)\) et \((5\,;2\text{ }750)\) appartiennent à la droite de \(C\).
Sur le repère, en abscisse 2 cm représentent 1 intervention (donc \(x=5\) est à 10 cm de l’origine) ; en ordonnée 1 cm représente 200 € : \(700\) € correspond à \(3\text{,}5\) cm, \(2\text{ }450\) € à \(12\text{,}25\) cm, \(500\) € à \(2\text{,}5\) cm et \(2\text{ }750\) € à \(13\text{,}75\) cm. On place ces quatre points, on trace la droite passant par les deux points de \(Q\), puis celle passant par les deux points de \(C\).
Pour comprendre en détail
Les points choisis à \(x=0\) et \(x=5\) permettent de limiter les calculs et d’obtenir des points faciles à placer. On peut vérifier que les deux droites se coupent pour \(x=2\), ce qui correspond à l’égalité des coûts \(350x+700=450x+500\), mais ce n’était pas demandé.
C.2.d
Corrigé
Graphiquement, les droites se coupent au point d’abscisse \(2\) (ordonnée \(1\text{ }400\) €).
Vérification :
\(C(x)=Q(x)\) équivaut à \(450x+500=350x+700\), soit \(100x=200\), donc \(x=2\).
Pour 2 interventions annuelles, les deux sociétés facturent le même montant, à savoir \(1\text{ }400\) €.
Pour comprendre en détail
Le point d’intersection de deux droites représentant des fonctions affines correspond à la valeur de \(x\) pour laquelle les deux fonctions prennent la même valeur. Ici, l’abscisse est un nombre d’interventions et l’ordonnée un montant en euros.
Le calcul exact permet de confirmer la lecture graphique et de lever toute ambiguïté.
C.2.e
Corrigé
Le point d'intersection des deux droites a pour abscisse 2. Pour \(x > 2\), la droite représentant \(Q(x)=350x+700\) est en dessous de celle représentant \(C(x)=450x+500\), car sa pente \(350\) est inférieure à la pente \(450\). On a donc \(Q(x) < C(x)\). Par conséquent, pour un nombre d'interventions supérieur à 2, la société Qualiteau est la plus avantageuse.Pour comprendre en détail
Une vérification rapide pour \(x=3\) interventions : \(Q(3)=1750\) € et \(C(3)=1850\) €, donc Qualiteau est bien moins chère.
C.3.a
Corrigé
La société Bellacqua ne facture aucun déplacement, donc il n’y a pas de coût fixe.
Chaque intervention coûte \(550\) €.
Pour \(x\) interventions, le montant annuel est :
\(B(x)=550 \times x\)
soit \(B(x)=550x\).
Ainsi, le montant annuel à payer à la société Bellacqua est \(B(x)=550x\).
Pour comprendre en détail
La fonction \(B\) est une fonction linéaire de coefficient \(550\) ; sa représentation graphique passe par l’origine, contrairement aux fonctions \(Q\) et \(C\) qui comportent un coût fixe.
C.3.b
Corrigé
\(B(x)=550x\) est une fonction linéaire ; sa représentation graphique est une droite passant par l’origine.
On place donc le point \((0\,; 0)\).
On choisit par exemple \(x=5\) interventions :
\(B(5)=550 \times 5 = 2\text{ }750\) €.
Avec l’échelle : 5 interventions correspondent à 10 cm en abscisse, et \(2\text{ }750\) € correspondent à \(13\text{,}75\) cm en ordonnée (car 1 cm représente 200 €).
On place le point \((5\,; 2\text{ }750)\) puis on trace la droite reliant ce point à l’origine.
Pour comprendre en détail
Le point \((5\,; 2\text{ }750)\) est souvent plus pratique que \((1\,; 550)\) car les distances à reporter sur le graphique sont plus grandes, donc plus précises : son abscisse vaut 10 cm et son ordonnée \(13\text{,}75\) cm.
C.3.c
Corrigé
Sur le graphique, la droite représentant \(B(x)=550x\) coupe celle de \(Q(x)=350x+700\) au point d’abscisse \(x=3\text{,}5\), puis celle de \(C(x)=450x+500\) au point d’abscisse \(x=5\).
Bellacqua est plus intéressante lorsque sa droite est en dessous des deux autres, c’est-à-dire lorsque son tarif est inférieur à celui de Qualiteau et à celui de Calmwater.
- Avec Qualiteau : \(550x \lt 350x+700\), donc \(200x \lt 700\), soit \(x \lt 3\text{,}5\).
- Avec Calmwater : \(550x \lt 450x+500\), donc \(100x \lt 500\), soit \(x \lt 5\).
Il faut donc avoir à la fois \(x \lt 3\text{,}5\) et \(x \lt 5\), c’est-à-dire \(x \lt 3\text{,}5\). Le nombre d’interventions étant un nombre entier, la commune peut prévoir au maximum 3 interventions par an pour que Bellacqua soit la plus intéressante.
Pour comprendre en détail
Comparer deux tarifs revient à comparer les ordonnées des droites pour une même abscisse \(x\). La droite \(B\) a une pente de 550, plus forte que celles de \(Q\) (350) et \(C\) (450) : elle démarre plus bas mais rattrape ensuite les autres. La contrainte la plus sévère est donc l’intersection avec la droite \(Q\), qui impose \(x \lt 3\text{,}5\).
On peut vérifier en calculant les tarifs pour \(x=3\) et \(x=4\) : pour 3 interventions, \(B(3)=1\text{ }650\) €, \(Q(3)=1\text{ }750\) € et \(C(3)=1\text{ }850\) € ; pour 4 interventions, \(B(4)=2\text{ }200\) € alors que \(Q(4)=2\text{ }100\) €, donc Bellacqua n’est plus la moins chère.
📘 Revoir la méthode : fiches Pourcentages et proportionnalité · Calcul littéral et équations dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 2 – Programme de calcul, calcul littéral, identités remarquablesVoir le corrigé ↓
Deuxième partie (trois exercices indépendants). Voici un programme de calcul : choisir un nombre entier positif ; calculer le carré \(C_1\) du nombre entier qui le suit ; calculer le carré \(C_2\) du nombre entier qui le précède ; calculer la différence \(C_1-C_2\).
Suis le programme étape par étape : identifie le nombre entier qui suit 5, puis celui qui le précède, et calcule leurs carrés avant de faire la différence.
Le nombre entier qui suit \(x\) est \(x+1\) et celui qui le précède est \(x-1\). Écris la différence de leurs carrés puis simplifie-la à l’aide d’une identité remarquable ou d’un développement.
Le résultat du programme pour un nombre de départ \(x\) est \(4x\). Pour savoir si 842 peut être obtenu, résous l'équation \(4x=842\) et vérifie que la solution est bien un nombre entier positif.
Tu sais depuis la question 2 que le résultat du programme est \(4x\). Pour obtenir \(2^{98}\), résous l’équation \(4x=2^{98}\) en écrivant \(4\) sous la forme d’une puissance de 2.
Parmi les trois captures d'écran issues du logiciel SCRATCH, donner, sans justifier, le(s) script(s) qui correspond(ent) au programme de calcul proposé.
Observe l’ordre dans lequel chaque script calcule la différence : le programme demande \(C_1-C_2\), avec \(C_1\) carré du nombre qui suit et \(C_2\) carré du nombre qui précède.
Voir le corrigé de l'exercice 2
1
Corrigé
Le nombre entier qui suit 5 est 6, donc \(C_1 = 6^2 = 36\).
Le nombre entier qui précède 5 est 4, donc \(C_2 = 4^2 = 16\).
La différence vaut \(C_1 - C_2 = 36 - 16 = 20\).
En prenant 5 comme nombre de départ, on obtient bien 20.
Pour comprendre en détail
Une erreur fréquente est de soustraire les carrés dans le mauvais ordre ou de calculer le carré de la différence ; ici, il faut d’abord calculer chaque carré puis soustraire.
2
Corrigé
Soit \(x\) le nombre de départ. Le nombre entier qui suit \(x\) est \(x+1\), celui qui le précède est \(x-1\). Le résultat obtenu est donc :
\((x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2+2x+1) - (x^2-2x+1) = x^2+2x+1-x^2+2x-1 = 4x\).
Le résultat obtenu est donc bien égal à \(4x\).
Pour comprendre en détail
La méthode par développement est naturelle. La méthode par différence de deux carrés est plus rapide : en posant \(a=x+1\) et \(b=x-1\), on a \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)=2 \times 2x=4x\).
Le résultat est vrai pour tout nombre \(x\), pas seulement pour un entier positif. La question 1 permet de le vérifier avec \(x=5\) : \(4 \times 5=20\).
3
Corrigé
D'après la question 2, le résultat obtenu pour un nombre de départ \(x\) est \(4x\).
Pour obtenir 842, il faudrait donc que \(4x=842\), soit \(x=\dfrac{842}{4}=210\text{,}5\).
Or le nombre de départ doit être un nombre entier positif ; \(210\text{,}5\) n'est pas un entier. De plus, \(842=4\times 210+2\), donc 842 n'est pas un multiple de 4.
Conclusion : il n'est pas possible d'obtenir 842.
Pour comprendre en détail
La question précédente montre que tout résultat est de la forme \(4x\) : c'est donc toujours un multiple de 4. Vérifier qu'un nombre est atteignable revient à vérifier qu'il est un multiple de 4 et que le quotient est un entier positif.
4
Corrigé
D’après la question 2, pour un nombre de départ \(x\), le programme donne \(4x\).
On veut donc \(4x = 2^{98}\).
Or \(4 = 2^2\), donc \(2^2 \times x = 2^{98}\).
D’où \(x = \dfrac{2^{98}}{2^2} = 2^{98-2} = 2^{96}\).
\(2^{96}\) est bien un nombre entier positif.
Le nombre de départ cherché est donc \(2^{96}\).
Pour comprendre en détail
La question s’appuie sur le résultat général établi à la question 2 : le programme renvoie toujours \(4x\). Chercher \(x\) tel que le résultat soit \(2^{98}\) revient donc à résoudre une équation simple, en utilisant les règles de calcul sur les puissances.
Pour vérifier, on peut remplacer \(x\) par \(2^{96}\) : \(4 \times 2^{96} = 2^2 \times 2^{96} = 2^{98}\), donc \(2^{96}\) convient bien.
5
Corrigé
Les scripts qui correspondent au programme de calcul sont les scripts 1 et 3.
Pour comprendre en détail
Le script 1 place directement la différence \( (x+1)^2 - (x-1)^2\) dans la variable \(a\). Le script 3 construit d’abord les deux carrés puis affiche leur différence \(a-b\), ce qui correspond bien au programme.
📘 Revoir la méthode : fiches Calcul littéral et équations · Nombres et arithmétique dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 3 – Pourcentages, tableau d'effectifs, probabilitésVoir le corrigé ↓
On considère une classe composée de 30 élèves. Certains sont enfants uniques, c'est-à-dire n'ayant ni frère ni sœur, d'autres ne le sont pas. Dans cette classe, 40 % des élèves sont des garçons ; un tiers des garçons sont des enfants uniques ; 25 % des enfants uniques sont des garçons.
Pour trouver le nombre de garçons, il suffit de calculer 40 % de l’effectif total de la classe. Pense à écrire ce pourcentage sous forme de fraction ou de nombre décimal.
Pour répondre, il faut d'abord connaître le nombre total de garçons (question 1.a). Pense ensuite à la fraction des garçons qui sont enfants uniques, puis déduis-en le nombre de garçons qui ne le sont pas.
Reproduire, sur la copie, le tableau des effectifs de la classe ci-dessous puis le compléter.
| Fille | Garçon | Total | |
|---|---|---|---|
| Enfant unique | |||
| Enfant non unique | |||
| Total | 30 |
Commencez par reporter dans le tableau les effectifs de garçons déjà connus. Traduisez ensuite « 25 % des enfants uniques sont des garçons » par une équation où l’inconnue est le nombre total d’enfants uniques.
Pense à utiliser le tableau complété à la question précédente : combien y a-t-il d’enfants uniques dans la classe ? Rappelle-toi qu’en situation d’équiprobabilité, une probabilité se calcule comme « nombre de cas favorables / nombre de cas possibles ».
Pour calculer cette probabilité, identifiez d’abord combien d’élèves sont à la fois des garçons et des enfants uniques, puis rapportez ce nombre à l’effectif total de la classe.
Sachant que l’élève choisie est une fille, l’ensemble des issues possibles se réduit aux filles de la classe. Repérez dans le tableau le nombre de filles enfants uniques et le nombre total de filles.
Voir le corrigé de l'exercice 3
1.a
Corrigé
\(40\% = \dfrac{40}{100} = 0\text{,}40\).
Le nombre de garçons est donc \(0\text{,}40 \times 30 = 12\).
Il y a 12 garçons dans cette classe.
Pour comprendre en détail
On peut aussi remarquer que \(40\% = \dfrac{2}{5}\) et donc prendre deux cinquièmes de l’effectif total.
On peut vérifier que le nombre trouvé, divisé par 30, redonne bien \(0\text{,}40\).
1.b
Corrigé
La classe compte 30 élèves. \(40\,\%\) des élèves sont des garçons, donc le nombre de garçons est \(30 \times \dfrac{40}{100}=12\).
Un tiers des garçons sont des enfants uniques, soit \(12 \times \dfrac{1}{3}=4\) garçons enfants uniques.
Les garçons qui ne sont pas des enfants uniques sont donc \(12-4=8\).
Il y a 8 garçons qui ne sont pas des enfants uniques.
Pour comprendre en détail
Autre méthode : comme un tiers des garçons sont enfants uniques, les deux tiers restants ne le sont pas, donc on peut calculer directement \(12 \times \dfrac{2}{3}=8\).
1.c
Corrigé
Les questions 1.a et 1.b donnent : 12 garçons au total, dont 8 sont non uniques, donc \(12-8=4\) garçons sont enfants uniques.
Soit \(x\) le nombre total d’enfants uniques. Comme les garçons uniques représentent 25 % des enfants uniques, on a : \(0\text{,}25 \times x = 4\), donc \(x = 4 \div 0\text{,}25 = 16\). Il y a donc \(16-4=12\) filles uniques.
Nombre total de filles : \(30-12=18\). Filles non uniques : \(18-12=6\).
Nombre total d’enfants non uniques : \(30-16=14\) (soit \(6+8=14\)).
| Fille | Garçon | Total | |
|---|---|---|---|
| Enfant unique | 12 | 4 | 16 |
| Enfant non unique | 6 | 8 | 14 |
| Total | 18 | 12 | 30 |
Le tableau complété est celui présenté ci-dessus.
Pour comprendre en détail
Vérification utile : la somme des effectifs des deux lignes et la somme des filles et des garçons doivent toutes deux redonner 30.
2.a
Corrigé
Le choix se fait au hasard parmi les 30 élèves de la classe, donc on est en situation d’équiprobabilité sur les 30 élèves.
D’après le tableau complété, le nombre d’élèves enfants uniques est 16.
Ainsi : \[ P(\text{enfant unique}) = \dfrac{\text{nombre d’enfants uniques}}{\text{nombre total d’élèves}} = \dfrac{16}{30} = \dfrac{8}{15} \approx 0\text{,}53. \]
La probabilité qu’un élève choisi au hasard soit un enfant unique est donc environ \(0\text{,}53\), soit 53 %.
Pour comprendre en détail
Le nombre 16 utilisé ici provient du tableau complété : \(8\) filles uniques + \(8\) garçons uniques.
Pour l’arrondi au centième, on lit la troisième décimale : si elle est strictement inférieure à 5, on conserve la deuxième décimale (ici, c’est le cas).
2.b
Corrigé
Le nombre total de garçons est \( \frac{40}{100} \times 30 = 12 \).
Un tiers des garçons sont des enfants uniques, donc le nombre de garçons enfants uniques est \( \frac{1}{3} \times 12 = 4 \).
La probabilité de choisir un garçon enfant unique est donc :
\( P = \dfrac{4}{30} = \dfrac{2}{15} \approx 0\text{,}13 \).
La probabilité demandée est \( \dfrac{2}{15} \), soit environ \(0\text{,}13\).
Pour comprendre en détail
On peut aussi lire directement dans le tableau complété : l’effectif de la case « Garçon » et « Enfant unique » est \(4\), sur un total de \(30\).
2.c
Corrigé
D’après le tableau, la classe compte 18 filles et, parmi elles, 12 sont enfants uniques.
Les 18 filles étant équiprobables, la probabilité demandée est :
\( \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3} \approx 0\text{,}67 \)
La probabilité qu’une fille choisie soit enfant unique est donc environ \(0\text{,}67\).
Pour comprendre en détail
L’information « l’élève choisi est une fille » restreint l’univers aux filles : il s’agit d’une probabilité conditionnelle.
Pour l’arrondi, \( \dfrac{2}{3}=0\text{,}666\ldots \) s’arrondit en \(0\text{,}67\) au centième.
📘 Revoir la méthode : fiches Pourcentages et proportionnalité · Probabilités dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 4 – Vrai/faux, nombres parfaits, diviseursVoir le corrigé ↓
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse.
Pour vérifier l’affirmation, dresse la liste complète des diviseurs de 28, additionne-les, puis compare cette somme au double de 28.
Peut-on trouver un nombre plus petit que \(54\) qui soit à la fois divisible par \(6\) et par \(9\) ? Cherche le plus petit multiple commun de \(6\) et \(9\).
Pour comparer l’aire avant et après les modifications, exprime la nouvelle longueur et la nouvelle largeur à l’aide des coefficients multiplicateurs associés à une hausse de 10 % et à une baisse de 10 %.
Pense à appliquer les coefficients multiplicateurs \(1\text{,}1\) pour l'augmentation de 10 % et \(0\text{,}9\) pour la diminution de 10 % aux dimensions, puis calcule le nouveau périmètre.
Voir le corrigé de l'exercice 4
1
Corrigé
Décomposons 28 : \(28=2^2\times7\). Ses diviseurs sont donc \(1\), \(2\), \(4\), \(7\), \(14\) et \(28\).
La somme des diviseurs est : \(1+2+4+7+14+28=56\).
Or \(2\times28=56\), donc 28 est bien égal à la moitié de la somme de ses diviseurs.
L’affirmation « 28 est un nombre parfait » est vraie.
Pour comprendre en détail
Pour lister sans en oublier, on peut chercher les paires de diviseurs dont le produit vaut 28 : \(1\times28\), \(2\times14\), \(4\times7\).
La définition équivaut à : la somme de tous les diviseurs est égale au double du nombre.
2
Corrigé
L’affirmation est fausse.
Contre-exemple : \(18\) est divisible par \(6\) car \(18 = 6 \times 3\) et par \(9\) car \(18 = 9 \times 2\). Or \(18 \lt 54\), donc \(18\) n’est pas divisible par \(54\).
Remarque : \(54 = 6 \times 9\), mais \(6\) et \(9\) ne sont pas premiers entre eux ; le plus petit multiple commun de \(6\) et \(9\) est \(18\), pas \(54\).
Donc l’affirmation « Si un nombre est divisible par 6 et par 9 alors il est divisible par 54 » est fausse.
Pour comprendre en détail
L’erreur fréquente est de multiplier les deux diviseurs : \(54 = 6 \times 9\). Cette règle ne vaut que si les deux nombres sont premiers entre eux, or \(6\) et \(9\) ont \(3\) comme diviseur commun. Leur plus petit multiple commun est donc strictement inférieur à \(54\).
3
Corrigé
L’affirmation est fausse.
Notons \(L\) la longueur et \(l\) la largeur du rectangle. L’aire initiale est \(L \times l\).
Augmenter la longueur de 10 % revient à la multiplier par \(1\text{,}1\).
Diminuer la largeur de 10 % revient à la multiplier par \(0\text{,}9\).
La nouvelle aire est donc :
\[
1\text{,}1L \times 0\text{,}9l = 0\text{,}99 \times L \times l
\]
L’aire a été multipliée par \(0\text{,}99\), ce qui correspond à une baisse de 1 % car \(1-0\text{,}99=0\text{,}01=1\%\).
Par exemple, un rectangle de \(30~\text{cm}\) par \(20~\text{cm}\) a une aire de \(600~\text{cm}^2\) ; après les variations, il mesure \(33~\text{cm}\) par \(18~\text{cm}\), soit \(594~\text{cm}^2\).
Donc l’aire du rectangle n’est pas inchangée.
Pour comprendre en détail
4
Corrigé
Augmenter de 10 % revient à multiplier par \(1\text{,}1\), diminuer de 10 % revient à multiplier par \(0\text{,}9\).
Périmètre initial : \(2 \times (5 + 4) = 2 \times 9 = 18\) cm.
Nouvelle longueur : \(5 \times 1\text{,}1 = 5\text{,}5\) cm.
Nouvelle largeur : \(4 \times 0\text{,}9 = 3\text{,}6\) cm.
Nouveau périmètre : \(2 \times (5\text{,}5 + 3\text{,}6) = 2 \times 9\text{,}1 = 18\text{,}2\) cm.
Comme \(18\text{,}2 > 18\), le périmètre a augmenté.
L’affirmation 4 est fausse : le périmètre ne diminue pas, il augmente de \(0\text{,}2\) cm.
Pour comprendre en détail
Autre méthode : calculer directement les variations absolues. La longueur augmente de \(5 \times 0\text{,}10 = 0\text{,}5\) cm, la largeur diminue de \(4 \times 0\text{,}10 = 0\text{,}4\) cm. Le demi-périmètre varie donc de \(+0\text{,}5 - 0\text{,}4 = +0\text{,}1\) cm, soit \(+0\text{,}2\) cm pour le périmètre complet.
📘 Revoir la méthode : fiches Pourcentages et proportionnalité · Nombres et arithmétique dans Les fiches magiques CRPE →