Annales CRPE · Mathématiques › 2024
Sujet CRPE 2024 Mathématiques · Groupement 1 : corrigé
Exercice 1 – Périmètre, volume, cylindreVoir le corrigé ↓
Un enseignant d'une classe de CM1 dans la commune de Rennes fait construire aux élèves un pluviomètre pour relever les quantités de précipitations pendant les dix mois de l'année scolaire. Les élèves doivent amener une bouteille d'eau en plastique pour cette réalisation.
Partie A
Pour réaliser son pluviomètre, Jules, un élève de la classe, coupe la bouteille comme l'indique la figure ci-contre. Il construit ensuite un axe gradué en partant du fond du pluviomètre avec des graduations d'unité \(1\) cm.
Dans les questions 1 et 2, on assimile le pluviomètre de Jules à un cylindre de diamètre \(8\text{,}4\) cm et de hauteur \(15\) cm.
On rappelle que le volume d'un cylindre d'aire de base \(B\) et de hauteur \(h\) est égal à \(Bh\).
Inès a oublié sa bouteille. Jules lui propose de lui donner la partie haute de sa bouteille, en plaçant le bouchon en bas pour former son pluviomètre.
Les trois courbes ci-dessous représentent le volume d'eau recueilli en cm\(^3\) en fonction de la hauteur d'eau mesurée en cm. Identifier la courbe qui correspond au pluviomètre de Jules et celle qui correspond au pluviomètre d'Inès. Aucune justification n'est attendue.
Partie B
L'ensemble de la classe utilise un pluviomètre similaire à celui élaboré par Jules. En fin d'année scolaire, les élèves font le bilan des relevés effectués chaque mois. Dans le cadre d'un projet visant à comparer les différents climats en France, la même expérience est menée dans une école de la commune de Lyon.
| Document 1 : relevés mensuels de précipitations dans le pluviomètre de Jules durant l'année scolaire 2022/2023 à Rennes | Document 2 : bilan des relevés mensuels de précipitations dans un pluviomètre de l'école lyonnaise pour les dix mois de l'année scolaire 2022/2023 | ||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Résultats mensuels de septembre 2022 à juin 2023 : Moyenne : \(70\text{,}6\) mm Médiane : \(58\) mm Hauteur minimale : \(18\) mm Hauteur maximale : \(179\) mm Les valeurs relevées sont toutes différentes. |
Voir le corrigé de l'exercice 1
A.1
Corrigé
Le tour du pluviomètre est le périmètre du cercle de diamètre \(8\text{,}4\) cm :
\(P=\pi\times8\text{,}4\approx26\text{,}389\) cm.
Valeur approchée par excès au millimètre : \(26\text{,}4\) cm.
Pour comprendre en détail
A.2
Corrigé
\(V=\pi\times4\text{,}2^2\times15=264\text{,}6\,\pi\) cm\(^3\) (valeur exacte).
\(1\) L \(=1\text{ }000\) cm\(^3\) donc \(V=0\text{,}2646\,\pi\) L \(\approx0\text{,}831\) L, soit environ \(0\text{,}83\) L au centilitre.
Pour comprendre en détail
Un centilitre est \(0\text{,}01\) L : on garde deux décimales en litres. Contrôle d'ordre de grandeur : \(55\) cm\(^2\) de base \(\times15\) cm \(\approx830\) cm\(^3\).
A.3
Corrigé
Jules : courbe n°3 (cylindre : volume proportionnel à la hauteur, courbe droite passant par l'origine).
Inès : courbe n°1 (la section est étroite au bouchon puis s'élargit : le volume croît d'abord lentement puis de plus en plus vite).
Pour comprendre en détail
Pour Jules, \(V=B\times h\) avec \(B\approx55\text{,}4\) cm\(^2\) constant : droite de pente \(55\text{,}4\), qui atteint environ \(830\) cm\(^3\) à \(15\) cm (cohérent avec la courbe 3 et avec la question A.2).
La pente de la courbe représente l'aire de la section à la hauteur considérée : une section qui grandit donne une courbe de plus en plus pentue.
B.1
Corrigé
Rennes : \(\dfrac{65+103+24+122+53+44+19+27+57+134}{10}=\dfrac{648}{10}=64\text{,}8\) mm.
Lyon : \(70\text{,}6\) mm (donnée du document 2).
\(70\text{,}6>64\text{,}8\) : c'est à Lyon que les précipitations mensuelles moyennes ont été les plus fortes.
B.2
Corrigé
Rennes : \(134-19=115\) mm. Lyon : \(179-18=161\) mm.
L'étendue est plus grande à Lyon (\(161>115\)) : les précipitations y varient davantage d'un mois à l'autre.
Pour comprendre en détail
L'étendue ne dépend que des deux valeurs extrêmes : elle mesure la dispersion, pas le niveau moyen.
B.3
Corrigé
La médiane de Lyon est \(58\) mm : au moins la moitié des mois, c'est-à-dire \(5\) mois, ont eu des précipitations supérieures ou égales à \(58\) mm.
Cela ne dit rien pour la valeur \(70\text{,}6\) mm (la moyenne), qui est supérieure à la médiane : certains de ces \(5\) mois peuvent être entre \(58\) et \(70\text{,}6\) mm. L'affirmation n'est donc pas justifiée : elle est fausse en général.
Pour comprendre en détail
Une série compatible avec le document 2 qui contredit l'affirmation
\(18\ ;\ 20\ ;\ 30\ ;\ 40\ ;\ 55\ ;\ 61\ ;\ 100\ ;\ 101\ ;\ 102\ ;\ 179\) : les \(10\) valeurs sont différentes, le minimum est \(18\), le maximum \(179\), la médiane \(\dfrac{55+61}{2}=58\), la moyenne \(\dfrac{706}{10}=70\text{,}6\). Pourtant seuls \(4\) mois dépassent \(70\text{,}6\) mm.
📘 Revoir la méthode : fiches Statistiques · Aires et volumes dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 2 – Rationnels, décimaux, quotientVoir le corrigé ↓
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse sans justification ne sera pas prise en considération lors de la correction.
Dans le repère ci-contre, la droite \((d)\) est la représentation graphique d'une fonction affine \(f\). La droite \((d)\) passe par les points de coordonnées \((1\,;0\text{,}5)\) et \((0\,;2)\).
Affirmation 4 : pour tout nombre réel \(x\), \(f(x)=2x-1\text{,}5\).
La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur. On a tracé deux cercles de centre A : le cercle \((C_1)\) de rayon \(7\text{,}8\) cm et le cercle \((C_2)\) de rayon \(2\text{,}4\) cm. Le segment [DE] mesure \(2\text{,}9\) cm. A, D et B sont alignés. A, E et C sont alignés.
![Deux cercles de même centre A. Sur le petit cercle (C2) : les points D et E ; sur le grand cercle (C1) : les points B et C. A, D, B sont alignés et A, E, C sont alignés. Les segments [BC] et [DE] sont tracés.](/crpe-annales/2024-g1/fig/ex2_cercles.png)
Affirmation 5 : la longueur BC arrondie au millimètre est égale à \(9\text{,}4\) cm.
Voir le corrigé de l'exercice 2
1
Corrigé
\(0\text{,}28=\dfrac{28}{100}=\dfrac{7}{25}\) : quotient de deux entiers, donc rationnel.
L'affirmation est vraie.
Pour comprendre en détail
Tout nombre décimal est rationnel : c'est une fraction de dénominateur \(10\), \(100\), \(1\text{ }000\)…
2
Corrigé
Contre-exemple : \(a=1\) et \(b=0\text{,}5\). \(\dfrac ab=\dfrac1{0\text{,}5}=2>1=a\).
L'affirmation est fausse.
Pour comprendre en détail
\(\dfrac ab
3
Corrigé
Soient \(a=2k+1\) et \(b=2k'+1\) deux entiers impairs (\(k\), \(k'\) entiers naturels).
\(ab=(2k+1)(2k'+1)=4kk'+2k+2k'+1=2\,(2kk'+k+k')+1\).
\(2kk'+k+k'\) est un entier : \(ab\) est de la forme \(2K+1\), donc impair. L'affirmation est vraie.
Pour comprendre en détail
Tester quelques exemples (\(3\times5=15\), \(7\times9=63\)) ne prouve rien ; la lettre \(k\) permet de traiter tous les entiers impairs d'un coup.
4
Corrigé
\(f\) est affine : \(f(x)=ax+b\). La droite passe par \((0\,;2)\), donc \(f(0)=b=2\).
Avec \(2x-1\text{,}5\), on aurait \(f(0)=-1\text{,}5\neq2\) : l'affirmation est fausse.
Pour comprendre en détail
Autres raisons : la droite est décroissante, son coefficient directeur est négatif alors que celui de \(2x-1\text{,}5\) est \(+2\). Le vrai coefficient est \(a=\dfrac{0\text{,}5-2}{1-0}=-1\text{,}5\), d'où \(f(x)=-1\text{,}5x+2\).
5
Corrigé
\(\text{AB}=\text{AC}=7\text{,}8\) cm (rayon de \((C_1)\)) et \(\text{AD}=\text{AE}=2\text{,}4\) cm (rayon de \((C_2)\)).
D est sur [AB] et E sur [AC], avec \(\dfrac{\text{AD}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AE}}{\text{AC}}=\dfrac{2\text{,}4}{7\text{,}8}\) : d'après la réciproque du théorème de Thalès, (DE) \(\parallel\) (BC), et le triangle ABC est un agrandissement de ADE de coefficient \(k=\dfrac{7\text{,}8}{2\text{,}4}=3\text{,}25\).
\(\text{BC}=k\times\text{DE}=3\text{,}25\times2\text{,}9=9\text{,}425\), soit \(9\text{,}4\) cm au millimètre. L'affirmation est vraie.
Pour comprendre en détail
Le coefficient \(\dfrac{13}{4}=3\text{,}25\) est le rapport des rayons : les deux triangles sont isocèles de même angle au sommet A, donc semblables.
📘 Revoir la méthode : fiches Calcul littéral et équations · Nombres et arithmétique dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 3 – Agrandissement, patron, cubeVoir le corrigé ↓
Pour consolider l'addition de deux nombres entiers en début de cycle 2, un enseignant propose à des élèves d'une classe de CP d'utiliser des dés.
Partie A
Les dés utilisés par les élèves sont assimilés à des cubes de côté \(19\) mm dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\). Ils sont conçus de telle sorte que la somme des nombres indiqués sur deux faces opposées est égale à \(7\).
Partie B
Le jeu consiste à lancer deux dés et à additionner les nombres obtenus sur les faces supérieures. On considère que ces deux dés sont équilibrés.
Partie C
Plus tard dans l'année, l'enseignant utilise une variante du jeu pour faire calculer des différences. Le jeu consiste désormais à lancer deux dés et à déterminer l'écart entre les deux nombres obtenus sur les faces supérieures, c'est-à-dire la différence entre le plus grand et le plus petit de ces deux nombres.
Voir le corrigé de l'exercice 3
A
Corrigé
Le côté du dé est \(19\) mm : dans l'agrandissement de coefficient \(2\), chaque face est un carré de côté \(2\times19=38\) mm.
On dessine un patron de cube (six carrés de \(38\) mm, par exemple en croix) et on numérote les faces de façon que les faces opposées totalisent \(7\) : \(1\) et \(6\), \(2\) et \(5\), \(3\) et \(4\).
Pour comprendre en détail
Dans une bande de quatre carrés, deux carrés séparés par un seul carré sont opposés : ici \(1\) et \(6\), \(2\) et \(5\). Les carrés au-dessus et au-dessous de la bande sont opposés entre eux : \(3\) et \(4\). D'autres patrons et d'autres numérotations sont possibles tant que les paires \(\{1,6\}\), \(\{2,5\}\), \(\{3,4\}\) sont opposées.
B.1
Corrigé
Les résultats possibles sont les entiers de \(2\) (\(1+1\)) à \(12\) (\(6+6\)) : \(2\ ;3\ ;4\ ;5\ ;6\ ;7\ ;8\ ;9\ ;10\ ;11\ ;12\).
Pour comprendre en détail
Tableau à double entrée (sommes)
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Les \(36\) cases sont équiprobables ; le tableau sert aux questions suivantes.
B.2
Corrigé
La somme \(4\) s'obtient avec \((1\,;3)\), \((2\,;2)\), \((3\,;1)\) : \(3\) issues sur \(36\).
\(P=\dfrac3{36}=\dfrac1{12}\).
Pour comprendre en détail
B.3.a
Corrigé
La somme \(7\) apparaît \(6\) fois (la plus longue diagonale), plus que toute autre : c'est la somme la plus probable.
B.3.b
Corrigé
\(P(7)=\dfrac6{36}=\dfrac16\).
Pour comprendre en détail
Ses « voisines » \(6\) et \(8\) apparaissent \(5\) fois chacune : les probabilités décroissent de part et d'autre de \(7\).
C
Corrigé
Événement : « l'écart est égal à \(0\) », c'est-à-dire « les deux dés donnent le même nombre ». Il y a \(6\) issues favorables \((1;1),\dots,(6;6)\) sur \(36\) : \(P=\dfrac6{36}=\dfrac16\).
Autre exemple : « l'écart est égal à \(3\) » : \((1;4),(4;1),(2;5),(5;2),(3;6),(6;3)\) : \(6\) issues sur \(36\), \(P=\dfrac16\).
Pour comprendre en détail
Répartition de tous les écarts
| Écart | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Issues sur 36 | 6 | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 |
Total \(6+10+8+6+4+2=36\) ✔. Seuls les écarts \(0\) et \(3\) ont la probabilité \(\dfrac16\).
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Exercice 4 – Vitesse, conversion, pourcentagesVoir le corrigé ↓
Une enseignante entraîne les élèves de sa classe de CM1 à la course longue sur une piste d'une longueur totale de \(200\) m ayant la forme ci-dessus.
Partie A
Afin d'aider les élèves dans le relevé de leur performance, l'enseignante dispose huit plots équidistants tout au long de la piste. Les élèves forment des binômes et se répartissent les rôles : l'un d'entre eux court, l'autre l'observe et note la distance parcourue puis ils inversent leurs rôles. L'enseignante demande aux élèves de courir pendant \(5\) minutes et de compléter la fiche suivante. La distance retenue est la distance entre le point de départ et le dernier plot franchi. Voici les résultats d'un binôme :
| Prénom | Nombre de tours complets parcourus | Nombre de plots franchis dans le tour incomplet | Distance parcourue (en m) |
|---|---|---|---|
| Lola | 4 | 1 | 825 |
| Joris | 3 | 4 | 700 |
Partie B
L'enseignante utilise un tableur pour calculer la distance parcourue et la vitesse moyenne de chaque élève de la classe.
L'enseignante rassemble les résultats des distances parcourues par les élèves dans le tableau ci-dessous.
| Distance parcourue (m) | 550 | 575 | 625 | 650 | 675 | 700 | 750 | 775 | 825 | 850 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 1 | 4 | 2 | 3 | 6 | 1 | 3 | 2 | 1 |
Déterminer la distance moyenne parcourue par les élèves de cette classe.
Partie C
La piste est représentée par le trait continu sur le schéma ci-contre. Elle a été obtenue à partir d'un rectangle et de deux demi-cercles dont les diamètres sont égaux à la largeur du rectangle. Le format du rectangle, c'est-à-dire le quotient \(\dfrac{\text{longueur du rectangle}}{\text{largeur du rectangle}}\), est égal à \(\dfrac53\).
Voir le corrigé de l'exercice 4
A.1.a
Corrigé
Huit plots équidistants sur une piste de \(200\) m : \(\dfrac{200}{8}=25\) m entre deux plots consécutifs.
Lola a fait \(4\) tours complets et franchi \(1\) plot : \(4\times200+1\times25=825\) m.
A.1.b
Corrigé
\(v=\dfrac{825}{5}=165\) m/min.
A.2
Corrigé
Joris : \(700\) m \(=0\text{,}7\) km en \(5\) min \(=\dfrac1{12}\) h.
\(v=\dfrac{0\text{,}7}{\frac1{12}}=0\text{,}7\times12=8\text{,}4\) km/h.
Pour comprendre en détail
Autre méthode : \(\dfrac{700}{5}=140\) m/min, puis \(140\times60=8\text{ }400\) m/h \(=8\text{,}4\) km/h (\(1\) m/min \(=0\text{,}06\) km/h).
A.3
Corrigé
\(\dfrac{825-700}{700}=\dfrac{125}{700}=\dfrac5{28}\approx0\text{,}179\), soit environ \(18\,\%\).
Pour comprendre en détail
B.1
Corrigé
En D2 : =B2*200+C2*25
B.2
Corrigé
En E2 : =D2/1000*12 ou =D2*0,012
Pour comprendre en détail
\(D\) mètres en \(5\) min, c'est \(\dfrac D{1\text{ }000}\) km en \(\dfrac1{12}\) h, soit \(\dfrac D{1\text{ }000}\times12=0\text{,}012\,D\) km/h. Pour Lola : \(825\times0\text{,}012=9\text{,}9\) ✔.
B.3
Corrigé
Effectif total : \(2+1+4+2+3+6+1+3+2+1=25\).
Somme : \(2\times550+575+4\times625+2\times650+3\times675+6\times700+750+3\times775+2\times825+850=17\text{ }275\).
Moyenne : \(\dfrac{17\text{ }275}{25}=\) \(691\) m.
Pour comprendre en détail
C.1.a
Corrigé
\(\dfrac{20}{\ell}=\dfrac53\) donc \(\ell=20\times\dfrac35=12\) m.
C.1.b
Corrigé
Longueur de la piste \(=2\times20+\pi\times12=40+12\pi\approx77\text{,}7\) m, soit environ \(78\) m.
Pour comprendre en détail
Deux demi-cercles de diamètre \(12\) m ont ensemble pour longueur la circonférence d'un cercle de diamètre \(12\) m : \(\pi\times12\).
C.2
Corrigé
Soit \(\ell\) la largeur : la longueur est \(\dfrac53\ell\). La piste mesure \(2\times\dfrac53\ell+\pi\ell=\left(\dfrac{10}3+\pi\right)\ell\).
\(\left(\dfrac{10}3+\pi\right)\ell=200\) donc \(\ell=\dfrac{200}{\frac{10}3+\pi}=\dfrac{600}{10+3\pi}\approx30\text{,}89\) m.
Longueur : \(\dfrac53\times30\text{,}8885\approx51\text{,}48\) m.
Le rectangle mesure environ \(51\text{,}48\) m sur \(30\text{,}89\) m.
Pour comprendre en détail
Vérification : \(2\times51\text{,}48+\pi\times30\text{,}89\approx102\text{,}96+97\text{,}04=200\text{,}0\) ✔.
📘 Revoir la méthode : fiches Pourcentages et proportionnalité · Calcul littéral et équations dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 5 – Suites de motifs, expressions littérales, inéquationsVoir le corrigé ↓
Un géoplan est une planche carrée qui comporte des picots espacés régulièrement autour desquels peuvent être accrochés des élastiques de longueurs variées.
Un enseignant propose à des élèves d'une classe de CM d'utiliser un géoplan dans le but de réaliser des figures géométriques.
Partie A
L'enseignant donne la consigne suivante à un groupe d'élèves : « Vous réaliserez le tour du géoplan en formant des carrés les plus petits possibles. Utilisez un élastique différent pour la construction de chaque carré. Ces carrés seront ainsi placés au plus près des bords du géoplan ».
Sur l'image ci-contre, l'élève a commencé en construisant les trois premiers carrés du tour du géoplan.
Partie B
L'enseignant propose ensuite aux élèves de réaliser librement une figure géométrique sur un géoplan de \(25\) picots. Sur le géoplan, deux picots contigus horizontalement ou verticalement sont séparés de \(3\) cm. Un élève a réalisé la figure ci-contre. On négligera l'épaisseur des picots pour répondre aux questions suivantes.
Un programme réalisé sur le logiciel « Scratch » permet de construire la figure ci-dessous :
En prenant \(3\) cm pour \(70\) pas, déterminer les valeurs à attribuer aux lettres A, B et C pour que le script proposé ci-dessous permette de construire cette figure. On prendra une valeur approchée à l'unité pour B. Le point de départ de la figure a pour coordonnées \((-140\,;140)\). On rappelle que « s'orienter à \(90\) » permet de s'orienter vers la droite.
Voir le corrigé de l'exercice 5
A.1
Corrigé
Un géoplan de \(25\) picots a \(5\) lignes de \(5\) picots : sur un côté, on construit \(4\) carrés.
Le tour comprend \(4\) côtés de \(4\) carrés, mais les \(4\) carrés des coins sont comptés deux fois :
\(4\times4-4=12\) carrés.
Pour comprendre en détail
Autre décompte : le géoplan contient \(4\times4=16\) carrés unité ; ceux du bord sont les \(16\) carrés moins les \(2\times2=4\) carrés du centre : \(16-4=12\) ✔.
A.2
Corrigé
\(81\) picots : \(9\) lignes de \(9\) picots, donc \(8\) carrés par côté.
\(4\times8-4=28\) carrés.
Pour comprendre en détail
Contrôle par l'autre décompte : \(8\times8=64\) carrés unité au total, dont \(6\times6=36\) à l'intérieur : \(64-36=28\) ✔.
A.3
Corrigé
Un géoplan de \(n^2\) picots a \(n\) lignes de \(n\) picots, donc \(n-1\) carrés par côté.
Les \(4\) côtés comptent \(4(n-1)\) carrés, dont les \(4\) carrés des coins comptés deux fois :
\(4(n-1)-4=4n-4-4=4n-8\).
Pour comprendre en détail
Vérifications : \(n=5\) donne \(4\times5-8=12\) ✔ ; \(n=9\) donne \(28\) ✔.
A.4
Corrigé
Il faut \(4n-8\leqslant107\), soit \(4n\leqslant115\) et \(n\leqslant28\text{,}75\).
\(n\) est entier : \(n_{\max}=28\). Le nombre maximal de picots est \(28^2=\) \(784\) (le tour demande alors \(4\times28-8=104\) carrés).
Pour comprendre en détail
B.1
Corrigé
La figure est un trapèze rectangle de sommets (en unités de \(3\) cm, depuis le coin supérieur gauche) : \((0\,;0)\), \((3\,;0)\), \((3\,;1)\), \((0\,;4)\). En cm : côté supérieur \(9\) cm, côté droit \(3\) cm, côté gauche \(12\) cm.
Pour comprendre en détail
Pour la tracer en vraie grandeur : marquer \(\text{A}(0\,;0)\), \(\text{B}\) à \(9\) cm à droite, \(\text{C}\) à \(3\) cm sous B, \(\text{E}\) à \(12\) cm sous A, puis relier A–B–C–D–E–A en ayant placé D en bas du côté gauche. L'oblique joint C et le bas du côté gauche.
B.2.a
Corrigé
Bases : \(3\) cm et \(12\) cm ; hauteur : \(9\) cm.
\(\mathcal{A}=\dfrac{(3+12)\times9}{2}=67\text{,}5\) cm\(^2\).
Pour comprendre en détail
Autre calcul : rectangle \(9\times3=27\) cm\(^2\) + triangle rectangle de côtés \(9\) et \(9\) cm : \(\dfrac{9\times9}{2}=40\text{,}5\) cm\(^2\) ; \(27+40\text{,}5=67\text{,}5\) ✔.
B.2.b
Corrigé
Le côté oblique est l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de côté \(9\) cm : \(\ell^2=9^2+9^2=162\), donc \(\ell=9\sqrt2\) cm.
Périmètre : \(9+3+9\sqrt2+12=\) \(24+9\sqrt2\) cm (\(\approx36\text{,}7\) cm).
Pour comprendre en détail
On garde la valeur exacte \(9\sqrt2\) comme demandé, sans la remplacer par une valeur approchée.
B.3
Corrigé
A = 45 : le lutin, orienté vers le bas, doit pivoter vers le bas à gauche (la diagonale à \(45^\circ\)) : angle extérieur de \(45^\circ\), vers la droite du lutin.
B = 297 : l'oblique mesure \(9\sqrt2\) cm ; \(3\) cm \(\leftrightarrow70\) pas, donc \(\dfrac{9\sqrt2\times70}{3}=210\sqrt2\approx297\) pas.
C = 135 : à l'arrivée en bas, orienté à \(225^\circ\), le lutin doit être orienté vers le haut : rotation de \(135^\circ\) (angle extérieur du trapèze au sommet).
Pour comprendre en détail
Le côté de \(280\) pas final correspond bien au côté gauche de \(12\) cm (\(\dfrac{12}{3}\times70=280\)), et \(210\) pas au côté supérieur de \(9\) cm.
Contrôle des rotations : \(90+A+C+(\text{angle au départ})=360\) pour un polygone parcouru dans un sens : \(90^\circ\) (haut du côté droit) \(+45^\circ+135^\circ+90^\circ\) (retour au point de départ) \(=360\) ✔.
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