En bref. Le PGCD de deux nombres est leur plus grand diviseur commun. Au CRPE, trois méthodes : lister les diviseurs (petits nombres), décomposer en facteurs premiers et garder les facteurs communs avec leur plus petit exposant (la méthode la plus demandée), ou appliquer l'algorithme d'Euclide (grands nombres). On le reconnaît dans les problèmes de partage en parts identiques, les plus grandes possible, sans reste.
1Méthode 1 : lister les diviseurs
Pour de petits nombres, on écrit tous les diviseurs de chacun (par paires), puis on prend le plus grand qui apparaît dans les deux listes.
Exemple. Diviseurs de $12$ : $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Diviseurs de $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$. Diviseurs communs : $1, 2, 3, 6$. Donc $\text{PGCD}(12\,;18) = 6$.
Bonus utile au concours : les diviseurs communs de deux nombres sont exactement les diviseurs de leur PGCD. Ici, les diviseurs de $6$.
2Méthode 2 : la décomposition en facteurs premiers
On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers, puis on garde les facteurs communs, chacun avec son plus petit exposant. C'est la méthode que les sujets demandent le plus souvent, parfois en deux questions : « décomposer… », puis « en déduire… ».
Exemple. $24 = 2^3 \times 3$ et $40 = 2^3 \times 5$. Seul le facteur $2$ est commun, avec l'exposant $3$ : $\text{PGCD}(24\,;40) = 2^3 = 8$.
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3Méthode 3 : l'algorithme d'Euclide
Pour de grands nombres, on enchaîne les divisions euclidiennes : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et ainsi de suite. Le PGCD est le dernier reste non nul.
Exemple. $\text{PGCD}(252\,;198)$ :
$252 = 198 \times 1 + 54$
$198 = 54 \times 3 + 36$
$54 = 36 \times 1 + 18$
$36 = 18 \times 2 + 0$
Le dernier reste non nul est $18$ : $\text{PGCD}(252\,;198) = 18$.
La touche de division euclidienne de la calculatrice donne quotient et reste en une fois (voir quelle calculatrice pour le CRPE). Mais on écrit chaque ligne sur la copie : c'est elle qui prouve le résultat.
Quelle méthode choisir ?
| Situation | Méthode |
|---|---|
| Nombres inférieurs à 50 | Lister les diviseurs |
| L'énoncé demande de décomposer | Facteurs premiers (obligatoire) |
| Grands nombres, facteurs premiers peu évidents | Euclide |
4Reconnaître et rédiger un problème de PGCD
Au CRPE, le PGCD arrive presque toujours dans un problème de partage. Les indices : « identiques », « le plus grand nombre de… », « la plus grande longueur possible », « sans reste », « utiliser tous les… ». Si l'on cherche au contraire quand deux phénomènes réguliers se rejoignent, c'est un PPCM.
Exemple tiré du sujet 2024 (groupement 2). 72 élèves de CE2 et 108 de CM1 forment des équipes identiques, tous les élèves participant. Nombre maximal d'équipes ?
Rédaction attendue. Le nombre d'équipes doit diviser à la fois $72$ et $108$. Le plus grand possible est donc $\text{PGCD}(72\,;108)$.
$72 = 2^3 \times 3^2$ et $108 = 2^2 \times 3^3$, donc $\text{PGCD}(72\,;108) = 2^2 \times 3^2 = 36$.
$72 \div 36 = 2$ et $108 \div 36 = 3$ : 36 équipes de 2 élèves de CE2 et 3 élèves de CM1.
Les trois temps de la rédaction : pourquoi c'est un PGCD, le calcul, puis la réponse au problème (on ne s'arrête pas au nombre $36$, on donne la composition des équipes).
Cas pratique : un exercice du CRPE corrigé
Au CRPE 2026 (groupement 2), le PGCD arrive au milieu d'un problème de potager, sans que le mot soit écrit dans l'énoncé.
Énoncé · CRPE 2026 M2 · Groupement 2 · Exercice 1 (extrait)
Des élèves de CE2 plantent des fraisiers dans un rectangle LMNP. Les fraisiers sont d'abord plantés aux quatre sommets L, M, N et P, puis suivant un maillage carré. On donne LM = 185 cm et LP = 444 cm.
L'enseignant veut construire une règle en bois, d'une longueur entière de centimètres et supérieure à 10 cm, qui servira de gabarit entre deux plants.
a. Montrer que la longueur de cette règle doit être de 37 cm afin de respecter une distance égale entre chaque fraisier.
b. En déduire le nombre de fraisiers que les élèves pourront planter.
Corrigé détaillé
a. Le maillage est carré et commence aux sommets : la longueur de la règle doit diviser à la fois $185$ et $444$. C'est un diviseur commun.
$185 = 5 \times 37$ et $444 = 2^2 \times 3 \times 37$.
Le seul facteur commun est $37$ : les diviseurs communs de $185$ et $444$ sont $1$ et $37$, et $\text{PGCD}(185\,;444) = 37$. La règle mesure plus de 10 cm, donc elle mesure 37 cm.
b. $185 \div 37 = 5$ : 5 intervalles sur la largeur, donc 6 fraisiers.
$444 \div 37 = 12$ : 12 intervalles sur la longueur, donc 13 fraisiers.
$6 \times 13 = 78$ : les élèves pourront planter 78 fraisiers.
Le piège : 5 intervalles, ce sont 6 fraisiers (on compte aussi celui du bout). Répondre $5 \times 12 = 60$ fait perdre la question.
Testez-vous
Quel est le PGCD de 20 et 30 ?
$20 = 2^2 \times 5$ et $30 = 2 \times 3 \times 5$ : facteurs communs $2 \times 5 = 10$. 60 est leur PPCM.
Quel est le PGCD de 14 et 15 ?
$14 = 2 \times 7$ et $15 = 3 \times 5$ n'ont aucun facteur commun : le PGCD vaut 1 (on dit qu'ils sont premiers entre eux).
Les erreurs classiques au concours
- Garder le plus grand exposant : c'est la règle du PPCM, pas du PGCD.
- Avec Euclide, donner le dernier reste (0) au lieu du dernier reste non nul.
- Confondre PGCD et PPCM dans un problème : partager en parts égales → PGCD ; trouver quand deux cycles coïncident → PPCM.
- S'arrêter au PGCD sans répondre à la question posée (nombre de parts, composition de chaque part).
- Décomposer avec des facteurs non premiers : $72 = 8 \times 9$ n'est pas une décomposition en facteurs premiers.
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Pour aller plus loin
Questions fréquentes
Quelle méthode choisir pour calculer un PGCD au CRPE ?
Si l'énoncé demande une décomposition, utilisez les facteurs premiers. Pour de petits nombres, listez les diviseurs. Pour de grands nombres, l'algorithme d'Euclide est le plus rapide : le PGCD est le dernier reste non nul.
Le PGCD est-il encore au programme du CRPE 2027 ?
Le nouveau programme du cycle 4 ne parle plus des nombres premiers ni du PGCD, mais le programme de 2020, toujours en vigueur en 4e et en 3e à la rentrée 2026, les contient : mieux vaut les réviser.
Comment rédiger un problème de PGCD au CRPE ?
Expliquez d'abord pourquoi le nombre cherché est un diviseur commun aux deux quantités, puis calculez le PGCD (décomposition ou Euclide), et terminez par une phrase qui répond au problème : nombre de parts et contenu de chaque part.