Sujet CRPE 2026 Mathématiques · Groupement 2 : corrigé

A.1

Corrigé

Les carrés IHFE et EFGD ont pour côté \(x\) : \(\text{DG}=x\) et \(\text{ID}=2x\).

ABCD est un rectangle de longueur \(\text{DC}=x+10\) et de largeur \(\text{AD}=4+2x\).

Aire de l'espace de jeux = aire de ABCD − aire du potager :

\[(x+10)(2x+4)-2x^2=2x^2+4x+20x+40-2x^2=24x+40.\]

Pour comprendre en détail

1. Lire la figure

• EI \(=x\) est le côté du carré IHFE ; les deux carrés sont identiques, donc tous leurs côtés valent \(x\).
• Côté gauche : \(\text{AD}=\text{AI}+\text{IE}+\text{ED}=4+x+x=4+2x\).
• Côté bas : \(\text{DC}=\text{DG}+\text{GC}=x+10\).

2. Décomposer l'aire

L'espace de jeux n'est pas un rectangle : il est plus simple de calculer « grand rectangle moins potager ». Le potager est formé de deux carrés d'aire \(x^2\), soit \(2x^2\).

3. Développer avec la double distributivité

\[(x+10)(2x+4)=x\times2x+x\times4+10\times2x+10\times4=2x^2+4x+20x+40=2x^2+24x+40\]

On retire \(2x^2\) : il reste \(24x+40\). Les termes en \(x^2\) se compensent, l'aire est donc une expression du premier degré.

Autre découpage (vérification)

On peut aussi découper l'espace de jeux en un rectangle du haut \((x+10)\times4\) et un rectangle de droite \(10\times2x\) : \(4x+40+20x=24x+40\) ✔

A.2.a

Corrigé

\(24x+40=94\) donc \(24x=54\) et \(x=\dfrac{54}{24}=2\text{,}25\).

\(x=2\text{,}25\) m.

Pour comprendre en détail

Vérification

\(24\times2\text{,}25+40=54+40=94\) ✔. La valeur est positive, ce qui a un sens pour une longueur.

A.2.b

Corrigé

\(\text{DC}=10+2\text{,}25=12\text{,}25\) m et \(\text{AD}=4+2\times2\text{,}25=8\text{,}5\) m.

\(\mathcal{A}_{ABCD}=12\text{,}25\times8\text{,}5=104\text{,}125\) m².

Pour comprendre en détail

Deux façons de faire

• Directement : \(12\text{,}25\times8\text{,}5=104\text{,}125\) m².
• Par addition : aire de l'espace de jeux \(+\) aire du potager \(=94+2\times2\text{,}25^2=94+2\times5\text{,}0625=94+10\text{,}125=104\text{,}125\) m² ✔

Les deux calculs concordent, ce qui valide aussi la réponse à A.2.a.

A.3.a

Corrigé

La longueur \(\ell\) de la règle (en cm) doit diviser à la fois \(185\) et \(444\).

\(185=5\times37\) et \(444=2^2\times3\times37\).

Les diviseurs communs à \(185\) et \(444\) sont \(1\) et \(37\). Comme \(\ell>10\), la règle mesure \(37\) cm.

Pour comprendre en détail

Pourquoi un diviseur commun ?

Les fraisiers sont aux quatre coins et régulièrement espacés de \(\ell\) cm sur un maillage carré. Sur le côté [LM], il faut un nombre entier d'intervalles : \(185\) doit être un multiple de \(\ell\). De même sur [LP] : \(444\) doit être un multiple de \(\ell\). Et c'est le même \(\ell\) dans les deux directions (maillage carré).

Étapes de la décomposition

\(444=2\times222=2\times2\times111=2\times2\times3\times37\) (\(111\) est divisible par \(3\) car \(1+1+1=3\)).

Seul le facteur \(37\) est commun : \(\text{PGCD}(185\,;444)=37\), et les diviseurs communs sont les diviseurs du PGCD.

Autre méthode : algorithme d'Euclide

\(444=2\times185+74\) ; \(185=2\times74+37\) ; \(74=2\times37+0\). Le dernier reste non nul est \(37\).

A.3.b

Corrigé

\(185=5\times37\) : \(5\) intervalles sur la largeur, donc \(6\) fraisiers par rangée.

\(444=12\times37\) : \(12\) intervalles sur la longueur, donc \(13\) rangées.

\(6\times13=78\). Les élèves pourront planter 78 fraisiers.

Pour comprendre en détail

Le piège des intervalles

Sur un segment, quand on place des plants aux deux extrémités et à intervalles réguliers, il y a un plant de plus que d'intervalles (comme les piquets d'une clôture).

• Largeur LM : \(185\div37=5\) intervalles → \(5+1=6\) fraisiers.
• Longueur LP : \(444\div37=12\) intervalles → \(12+1=13\) fraisiers.

Comptage du maillage

Les fraisiers sont aux nœuds d'un quadrillage de \(6\) colonnes et \(13\) lignes : \(6\times13=78\) fraisiers.

B.1.a

Corrigé

Augmenter de \(2\,\%\) revient à multiplier par \(1\text{,}02\) ; augmenter de \(3\,\%\), par \(1\text{,}03\).

Coefficient global : \(1\text{,}02\times1\text{,}03=1\text{,}0506=1+\dfrac{5\text{,}06}{100}\).

L'augmentation globale est de \(5\text{,}06\,\%\).

Pour comprendre en détail

Pourquoi pas \(5\,\%\) ?

La seconde hausse de \(3\,\%\) s'applique au prix déjà augmenté, pas au prix initial. Avec un prix de \(100\) € : après \(+2\,\%\) on a \(102\) € ; \(3\,\%\) de \(102\) font \(3\text{,}06\) € ; on arrive à \(105\text{,}06\) €, soit \(+5\text{,}06\,\%\).

B.1.b

Corrigé

\(1\text{,}20\times1\text{,}0506=1\text{,}26072\approx1\text{,}26\).

Le plant coûte environ \(1\text{,}26\) € après les deux augmentations.

Pour comprendre en détail

Vérification étape par étape

\(1\text{,}20\times1\text{,}02=1\text{,}224\) € puis \(1\text{,}224\times1\text{,}03=1\text{,}26072\) €.

Arrondi au centime : on regarde le chiffre des millièmes (\(0\)), on garde \(1\text{,}26\) €.

B.2.a

Corrigé

Fraises consommables : \(1-\dfrac19=\dfrac89\) de la récolte.

Confiture : \(\dfrac14\times\dfrac89=\dfrac{8}{36}=\dfrac29\).

\(\dfrac29\) de la récolte sert à la confiture.

Pour comprendre en détail

Illustration avec une récolte de \(36\) kg

\(\dfrac19\) de \(36\) kg \(=4\) kg perdus ; il reste \(32\) kg ; un quart de \(32\) kg \(=8\) kg de confiture ; et \(\dfrac{8}{36}=\dfrac29\) ✔

Simplification

\(\dfrac{8}{36}=\dfrac{4\times2}{4\times9}=\dfrac29\), et \(\dfrac29\) est irréductible car \(2\) et \(9\) n'ont pas de diviseur commun autre que \(1\).

B.2.b

Corrigé

Soit \(m\) la masse de la récolte (en kg) : \(\dfrac29\,m=3\) donc \(m=3\times\dfrac92=13\text{,}5\).

La récolte initiale est de \(13\text{,}5\) kg.

Pour comprendre en détail

Méthode « retour à l'unité » (accessible aux élèves)

\(\dfrac29\) de la récolte \(=3\) kg, donc \(\dfrac19\) de la récolte \(=1\text{,}5\) kg, et la récolte entière \(=9\times1\text{,}5=13\text{,}5\) kg.

Vérification

\(\dfrac19\times13\text{,}5=1\text{,}5\) kg perdus ; restent \(12\) kg ; un quart de \(12\) kg \(=3\) kg ✔

C.1

Corrigé

Les points S, C, O d'une part et S, A, B d'autre part sont alignés, et (AC) \(\parallel\) (OB). D'après le théorème de Thalès :

\[\frac{\text{SC}}{\text{SO}}=\frac{\text{SA}}{\text{SB}}=\frac{\text{CA}}{\text{OB}}\]

Avec \(\text{OB}=84\div2=42\) cm et en posant \(\text{SC}=y\) : \(\dfrac{y}{y+22}=\dfrac{18\text{,}9}{42}=0\text{,}45\).

\(y=0\text{,}45\,(y+22)\Leftrightarrow 0\text{,}55\,y=9\text{,}9\Leftrightarrow y=18\).

Donc \(\text{OS}=\text{SC}+\text{CO}=18+22=40\) cm.

Pour comprendre en détail

1. Repérer la configuration

Les deux droites sécantes en S sont (SO) (l'axe du cône) et (SB) (une génératrice). Les droites (CA) et (OB) sont parallèles : c'est une configuration de Thalès « emboîtée », le petit triangle SCA étant une réduction du grand triangle SOB.

2. Données utiles

• Le diamètre vaut \(84\) cm, donc le rayon \(\text{OB}=42\) cm.
• On ne connaît ni SC ni SO, seulement leur différence \(\text{OC}=22\) cm : on pose une inconnue.

3. Résolution

\[\begin{aligned}\frac{y}{y+22}=\frac{18\text{,}9}{42}\;&\Longleftrightarrow\;42y=18\text{,}9\,(y+22)\\&\Longleftrightarrow\;42y-18\text{,}9y=415\text{,}8\\&\Longleftrightarrow\;23\text{,}1\,y=415\text{,}8\\&\Longleftrightarrow\;y=18\end{aligned}\]

Méthode plus rapide (coefficient de réduction)

Coefficient de réduction : \(k=\text{CA}\div\text{OB}=18\text{,}9\div42=0\text{,}45\).

Donc \(\text{SC}=0\text{,}45\,\text{SO}\) et \(\text{OC}=\text{SO}-\text{SC}=0\text{,}55\,\text{SO}=22\), d'où \(\text{SO}=22\div0\text{,}55=40\) cm.

C.2

Corrigé

\[V_{\text{grand}}=\frac{\pi\times\text{OB}^2\times\text{OS}}{3}=\frac{\pi\times42^2\times40}{3}=\frac{\pi\times1\text{ }764\times40}{3}=23\text{ }520\,\pi\ \text{cm}^3.\]

Pour comprendre en détail

Méthode

• Aire de la base : \(\pi\times42^2=1\text{ }764\,\pi\) cm².
• Hauteur : \(\text{OS}=40\) cm (perpendiculaire à la base, car (OB) \(\perp\) (OS)).
• \(V=\dfrac{1\text{ }764\,\pi\times40}{3}=588\,\pi\times40=23\text{ }520\,\pi\) cm³.

Valeur approchée (pour se faire une idée) : \(23\text{ }520\,\pi\approx73\text{ }890\) cm³, soit environ \(74\) L.

C.3

Corrigé

Petit cône : \(V_{\text{petit}}=\dfrac{\pi\times18\text{,}9^2\times18}{3}=2\text{ }143\text{,}26\,\pi\) cm³.

\(V_{\text{bassine}}=23\text{ }520\,\pi-2\text{ }143\text{,}26\,\pi=21\text{ }376\text{,}74\,\pi\approx67\text{ }157\) cm³.

Comme \(1\) L \(=1\) dm³ \(=1\text{ }000\) cm³ : \(V_{\text{bassine}}\approx67\text{,}16\) L.

Pour comprendre en détail

1. Le petit cône

Rayon \(\text{CA}=18\text{,}9\) cm, hauteur \(\text{SC}=18\) cm (trouvée en C.1) : \(V_{\text{petit}}=\dfrac{\pi\times357\text{,}21\times18}{3}=357\text{,}21\times6\,\pi=2\text{ }143\text{,}26\,\pi\) cm³.

2. Méthode astucieuse : la réduction

Ici \(k=0\text{,}45\), donc \(V_{\text{petit}}=0\text{,}45^3\times23\text{ }520\,\pi=0\text{,}091125\times23\text{ }520\,\pi=2\text{ }143\text{,}26\,\pi\) ✔

3. Volume et conversion

\(21\text{ }376\text{,}74\,\pi\approx67\text{ }157\text{,}01\) cm³, arrondi au cm³ : \(67\text{ }157\) cm³.

\(1\) L \(=1\) dm³ \(=1\text{ }000\) cm³, donc \(67\text{ }157\) cm³ \(=67\text{,}157\) L \(\approx67\text{,}16\) L (au centilitre, c'est-à-dire au centième de litre).

1

Corrigé

En D3 : =B3*60+C3

Pour comprendre en détail

Méthode

Une minute vaut \(60\) secondes : \(4\) min \(30\) s \(=4\times60+30=270\) s (c'est bien la valeur affichée en D3). Les minutes sont en B3, les secondes en C3, d'où =B3*60+C3.

En étirant, on obtient =B4*60+C4 (\(332\) s), =B5*60+C5 (\(373\) s), =B6*60+C6 (\(480\) s).

2.a

Corrigé

\(v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{600}{270}=\dfrac{20}{9}\approx2\text{,}22\) m/s.

G3 affiche \(2\text{,}22\).

Pour comprendre en détail

\(\dfrac{600}{270}=\dfrac{60}{27}=\dfrac{20}{9}=2\text{,}222\ldots\), arrondi au centième : \(2\text{,}22\) m/s. Dans le tableur, G3 contiendrait =F3/D3.

2.b

Corrigé

\(\dfrac{20}{9}\) m/s \(=\dfrac{20}{9}\times3\text{,}6\) km/h \(=\dfrac{72}{9}=8\) km/h.

H3 affiche \(8\).

Pour comprendre en détail

Pourquoi multiplier par \(3\text{,}6\) ?

\(1\) m/s, c'est \(1\) m en \(1\) s, donc \(3\text{ }600\) m en \(1\) h, soit \(3\text{,}6\) km/h.

Autre méthode : convertir distance et durée

\(d=600\) m \(=0\text{,}6\) km ; \(t=270\) s \(=\dfrac{270}{3\text{ }600}\) h \(=\dfrac{3}{40}\) h. Donc \(v=0\text{,}6\div\dfrac{3}{40}=0\text{,}6\times\dfrac{40}{3}=8\) km/h.

3

Corrigé

D'après le tableau, \(3\) tours font \(600\) m : un tour mesure \(200\) m. \(8\) tours font \(1\text{ }600\) m \(=1\text{,}6\) km.

\(t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{1\text{,}6}{9\text{,}8}\) h \(=\dfrac{8}{49}\) h \(=\dfrac{8}{49}\times3\text{ }600\) s \(\approx588\) s.

\(588=9\times60+48\). La course a duré environ 9 min 48 s.

Pour comprendre en détail

1. Longueur d'un tour

Toutes les lignes du tableau le confirment : \(600\div3=800\div4=1\text{ }000\div5=1\text{ }200\div6=200\) m. C'est une situation de proportionnalité.

2. Durée en heures, puis en secondes

\(t=\dfrac{1\text{,}6}{9\text{,}8}\) h \(\approx0\text{,}16327\) h. En secondes : \(\dfrac{1\text{,}6}{9\text{,}8}\times3\text{ }600\approx587\text{,}76\) s, arrondi à \(588\) s.

3. Conversion en min et s

\(588\div60=9\) reste \(48\) : \(588\) s \(=9\) min \(48\) s.

Autre méthode (en m/s)

\(9\text{,}8\) km/h \(=\dfrac{9\text{,}8}{3\text{,}6}\approx2\text{,}722\) m/s ; \(t=\dfrac{1\text{ }600}{9\text{,}8/3\text{,}6}=\dfrac{1\text{ }600\times3\text{,}6}{9\text{,}8}\approx587\text{,}76\) s.

4.a

Corrigé

\[\bar v=\frac{2\times2\text{,}35+5\times2\text{,}4+8\times2\text{,}43+12\times2\text{,}5+13\times2\text{,}54+10\times2\text{,}67+7\times2\text{,}78+3\times2\text{,}9}{2+5+8+12+13+10+7+3}=\frac{154\text{,}02}{60}=2\text{,}567\]

La vitesse moyenne est de \(2\text{,}567\) m/s (environ \(2\text{,}57\) m/s).

Pour comprendre en détail

Détail des produits

\(\bar v=\dfrac{154\text{,}02}{60}=2\text{,}567\) m/s.

4.b

Corrigé

Effectif total : \(60\). La médiane est la moyenne des \(30^\text{e}\) et \(31^\text{e}\) valeurs.

Les \(30^\text{e}\) et \(31^\text{e}\) valeurs valent \(2\text{,}54\) : la médiane est \(2\text{,}54\) m/s.

Interprétation : au moins la moitié des élèves a couru à une vitesse moyenne inférieure ou égale à \(2\text{,}54\) m/s, et au moins la moitié à une vitesse supérieure ou égale à \(2\text{,}54\) m/s.

Pour comprendre en détail

Lecture des effectifs cumulés

Jusqu'à \(2\text{,}5\) m/s, on a \(27\) élèves ; jusqu'à \(2\text{,}54\) m/s, on atteint \(40\) élèves. Les rangs \(28\) à \(40\) correspondent donc à \(2\text{,}54\) m/s, en particulier les rangs \(30\) et \(31\).

Comparaison moyenne / médiane

Moyenne \(\approx2\text{,}57\) m/s, médiane \(2\text{,}54\) m/s : les deux indicateurs sont proches, la série est assez équilibrée.

A.1

Corrigé

On modélise par un tableau à double entrée :

\(6\times4=24\) : il y a \(24\) issues, toutes équiprobables (dés équilibrés).

Pour comprendre en détail

Principe multiplicatif

Le dé cubique a \(6\) résultats possibles ; pour chacun, le dé tétraédrique en a \(4\). D'où \(6\times4=24\) issues.

Les \(24\) nombres obtenus sont tous différents (de \(11\) à \(64\)), et chacun a la même probabilité \(\dfrac1{24}\) car les dés sont équilibrés et indépendants.

A.2.a

Corrigé

Les issues favorables sont les nombres dont le chiffre des dizaines est \(3\), \(4\), \(5\) ou \(6\) : \(4\times4=16\) issues.

\(P(A)=\dfrac{16}{24}=\dfrac23\).

Pour comprendre en détail

Raisonnement plus direct

Seul le dé cubique compte : A est réalisé quand il donne \(3\), \(4\), \(5\) ou \(6\), soit \(4\) faces sur \(6\) : \(P(A)=\dfrac46=\dfrac23\) ✔

Simplification : \(\dfrac{16}{24}=\dfrac{8\times2}{8\times3}=\dfrac23\).

A.2.b

Corrigé

Multiples de \(3\) dans le tableau : \(12\), \(21\), \(24\), \(33\), \(42\), \(51\), \(54\), \(63\), soit \(8\) issues.

\(P(B)=\dfrac{8}{24}=\dfrac13\).

Pour comprendre en détail

Recherche systématique

Pour chaque dizaine \(d\), on cherche les unités \(u\in\{1,2,3,4\}\) telles que \(d+u\) soit multiple de \(3\) :

• \(d=1\) : \(u=2\) → \(12\)
• \(d=2\) : \(u=1\) ou \(4\) → \(21\), \(24\)
• \(d=3\) : \(u=3\) → \(33\)
• \(d=4\) : \(u=2\) → \(42\)
• \(d=5\) : \(u=1\) ou \(4\) → \(51\), \(54\)
• \(d=6\) : \(u=3\) → \(63\)

Total : \(8\) issues favorables, \(P(B)=\dfrac{8}{24}=\dfrac13\).

B.1

Corrigé

Table des produits :

Par exemple, « obtenir \(7\) » est un évènement impossible (de même que « obtenir \(0\) », « obtenir un nombre supérieur à \(24\) » ou « obtenir \(11\) »).

Pour comprendre en détail

Produits possibles

Les valeurs atteintes sont : \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24\). Tout autre nombre fournit un évènement impossible : \(7\), \(11\), \(13\), \(14\), \(17\)…

Justification pour \(7\) : \(7\) est premier, il ne peut s'écrire que \(1\times7\) ou \(7\times1\), et aucun dé ne porte le \(7\).

B.2

Corrigé

Les produits pairs et multiples de \(3\) sont les multiples de \(6\) : \(2\times3\), \(3\times2\), \(3\times4\), \(4\times3\), \(6\times1\), \(6\times2\), \(6\times3\), \(6\times4\), soit \(8\) issues.

\(P(C)=\dfrac{8}{24}=\dfrac13\).

Pour comprendre en détail

Pourquoi « pair et multiple de 3 » = « multiple de 6 » ?

\(2\) et \(3\) sont premiers entre eux : un nombre divisible par \(2\) et par \(3\) est divisible par \(2\times3=6\).

Comptage ligne par ligne (dé cubique)

• \(1\) : produits \(1,2,3,4\) → aucun
• \(2\) : \(2,4,6,8\) → \(6\)
• \(3\) : \(3,6,9,12\) → \(6\), \(12\)
• \(4\) : \(4,8,12,16\) → \(12\)
• \(5\) : \(5,10,15,20\) → aucun
• \(6\) : \(6,12,18,24\) → les quatre

\(0+1+2+1+0+4=8\) issues favorables sur \(24\) : \(P(C)=\dfrac13\).

1

Corrigé

Le bloc Motif trace un triangle équilatéral de côté \(30\) pas (3 côtés, angle extérieur \(120°\)) et ramène le lutin à son point et à son orientation de départ.

Ensuite le lutin avance de \(30\) pas, stylo baissé : il arrive exactement à l'autre extrémité de la base du triangle qu'il vient de tracer.

Les \(6\) triangles sont donc accolés : c'est la figure 2.

Pour comprendre en détail

Simulation pas à pas

1. Le lutin part de \((0\,;0)\), orienté vers la droite, stylo baissé.
2. Motif : il avance de \(30\), tourne de \(120°\) à gauche, trois fois. Il trace un triangle équilatéral « au-dessus » de sa direction et revient en \((0\,;0)\) orienté vers la droite (\(3\times120°=360°\)).
3. « avancer de 30 pas » : il repasse sur la base et arrive en \((30\,;0)\).
4. Le triangle suivant part donc de \((30\,;0)\) : il est collé au premier. Etc. six fois.

Pourquoi pas les autres ?

• Figure 1 : il faudrait avancer de plus de \(30\) pas (espace entre les triangles), stylo baissé.
• Figure 3 : triangles espacés sans trait entre eux, il faudrait relever le stylo pour avancer.

2

Corrigé

Les \(6\) triangles ont tous un sommet au centre de l'hexagone : le lutin doit rester au point de départ et seulement changer d'orientation entre deux motifs.

Six rotations identiques doivent faire un tour complet : \(360°\div6=60°\).

On remplace « avancer de 30 pas » par « tourner ↺ de 60 degrés » (« tourner ↻ de 60 degrés » convient aussi).

Pour comprendre en détail

Interprétation géométrique

On passe d'un triangle au suivant par une rotation de centre le point de départ (le centre de l'hexagone) et d'angle \(60°\). Chaque triangle équilatéral a un angle de \(60°\) au centre, et \(6\times60°=360°\) : les triangles remplissent exactement le tour.

La simulation ci-dessus (à droite) confirme le résultat.

1

Corrigé

En cm : \(\text{NE}=204\), \(\text{EF}=96\), \(\text{NF}=180\). Le plus grand côté est [NE], opposé à F.

\(\text{NE}^2=204^2=41\text{ }616\) et \(\text{EF}^2+\text{NF}^2=96^2+180^2=9\text{ }216+32\text{ }400=41\text{ }616\).

\(\text{NE}^2=\text{EF}^2+\text{NF}^2\) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, NEF est rectangle en F. L'affirmation 1 est vraie.

Pour comprendre en détail

1. Conversions

\(2\text{,}04\) m \(=204\) cm ; \(9\text{,}6\) dm \(=96\) cm ; \(180\) cm.

2. Réciproque de Pythagore

Le plus grand côté [NE] est opposé au sommet F : c'est bien en F que serait l'angle droit.

Astuce de calcul

\(96=12\times8\) ; \(180=12\times15\) ; \(204=12\times17\) : on reconnaît le triplet pythagoricien \((8\,;15\,;17)\) car \(64+225=289\).

2

Corrigé

\(6x^2-15x=0\Leftrightarrow3x(2x-5)=0\Leftrightarrow3x=0\) ou \(2x-5=0\Leftrightarrow x=0\) ou \(x=2\text{,}5\).

L'équation a deux solutions, \(0\) et \(2\text{,}5\). L'affirmation 2 est fausse.

Pour comprendre en détail

Contre-exemple suffisant

Il suffit de montrer que \(0\) est aussi solution : \(6\times0^2-15\times0=0\) ✔. Donc \(2\text{,}5\) n'est pas l'unique solution.

(\(2\text{,}5\) est bien solution : \(6\times6\text{,}25-15\times2\text{,}5=37\text{,}5-37\text{,}5=0\).)

3

Corrigé

\(\dfrac{147}{14}=\dfrac{3\times7\times7}{2\times7}=\dfrac{21}{2}=10\text{,}5\).

\(10\text{,}5=\dfrac{105}{10}\) est un nombre décimal. L'affirmation 3 est vraie.

Pour comprendre en détail

Ici \(\dfrac{21}{2}\) est irréductible et son dénominateur est \(2\) : c'est un décimal. On peut aussi écrire \(\dfrac{21}{2}=\dfrac{105}{10}\).

4

Corrigé

\(2n^2+4n-16=2(n^2+2n-8)=2k\) avec \(k=n^2+2n-8\).

Comme \(n\) est un entier relatif, \(k\) est un entier relatif : \(2n^2+4n-16\) est un multiple de \(2\). L'affirmation 4 est vraie.

Pour comprendre en détail

Une preuve, pas des exemples

L'affirmation est « pour tout \(n\) » : tester quelques valeurs (\(n=0\) donne \(-16\), \(n=1\) donne \(-10\), \(n=3\) donne \(14\)) ne suffit pas à la démontrer. Il faut un raisonnement valable pour tous les \(n\) : la factorisation par \(2\).

Le point clé est que \(k=n^2+2n-8\) est un entier (sommes et produits d'entiers).

5

Corrigé

\(f\) est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite.

\(f(2)=-2\times2+3=-1\) : la représentation de \(f\) passe par le point \((2\,;-1)\).

Or la droite \(d\) passe par le point \((2\,;0)\), pas par \((2\,;-1)\). L'affirmation 5 est fausse.

Pour comprendre en détail

Lecture graphique de \(d\)

\(d\) passe par \((0\,;3)\) et \((2\,;0)\). Son ordonnée à l'origine est \(3\) (comme \(f\)), mais son coefficient directeur est \(\dfrac{0-3}{2-0}=-1\text{,}5\), et non \(-2\). La droite \(d\) représente \(x\mapsto-1\text{,}5x+3\).

Autre point de contrôle

\(f(1)=1\) alors que \(d\) passe par \((1\,;1\text{,}5)\).