Sujet CRPE 2025 Mathématiques · Session supplémentaire Versailles · Créteil : corrigé

A.1

Corrigé

ABC est rectangle en B, donc d'après le théorème de Pythagore :

\(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2=140^2+105^2=19\text{ }600+11\text{ }025=30\text{ }625\).

\(\text{AC}=\sqrt{30\text{ }625}=\) \(175\) m.

Pour comprendre en détail

Les nombres \(140=35\times4\), \(105=35\times3\), \(175=35\times5\) : on reconnaît le triplet \((3\,;4\,;5)\) multiplié par \(35\).

A.2

Corrigé

E est sur (AB), D sur (BC), et (DE) \(\parallel\) (AC). D'après le théorème de Thalès dans le triangle ABC :

\(\dfrac{\text{BE}}{\text{BA}}=\dfrac{\text{BD}}{\text{BC}}\), soit \(\dfrac{\text{BE}}{140}=\dfrac{75}{105}\).

\(\text{BE}=\dfrac{140\times75}{105}=\) \(100\) m.

Pour comprendre en détail

Simplification utile : \(\dfrac{75}{105}=\dfrac57\), donc \(\text{BE}=140\times\dfrac57=20\times5=100\).

A.3.a

Corrigé

\(\mathcal{A}_{\text{ABC}}=\dfrac{\text{AB}\times\text{BC}}{2}=\dfrac{140\times105}{2}=7\text{ }350\) m\(^2\).

A.3.b

Corrigé

Le triangle EBD est rectangle en B : \(\mathcal{A}_{\text{EBD}}=\dfrac{100\times75}{2}=3\text{ }750\) m\(^2\).

\(\mathcal{A}_{\text{AEDC}}=7\text{ }350-3\text{ }750=3\text{ }600\) m\(^2\).

Pour comprendre en détail

Autre contrôle : les triangles EBD et ABC sont semblables, de rapport \(\dfrac57\), donc \(\mathcal{A}_{\text{EBD}}=\left(\dfrac57\right)^2\times7\text{ }350=\dfrac{25}{49}\times7\text{ }350=3\text{ }750\) ✔.

A.3.c

Corrigé

\(\text{DC}=\text{BC}-\text{BD}=105-75=30\) m, donc le demi-disque a pour rayon \(15\) m.

Aire du demi-disque : \(\dfrac{\pi\times15^2}{2}=112\text{,}5\,\pi\) m\(^2\).

Aire de la zone : \(3\text{ }600+112\text{,}5\,\pi\) m\(^2\) (valeur exacte) \(\approx3\text{ }953\text{,}4\), soit environ \(3\text{ }953\) m\(^2\).

Pour comprendre en détail

B.1

Corrigé

Équipe \(1\) : \(11\) km en \(60\) min, donc \(1\) km en \(\dfrac{60}{11}\approx5\text{,}45\) min \(\approx5\) min \(27\) s.

Équipe \(2\) : \(6\) min \(10\) s par km, soit \(370\) s par km.

\(5\) min \(27\) s \(<6\) min \(10\) s : l'équipe \(1\) met moins de temps pour chaque kilomètre ; la distance étant la même, c'est elle qui a été la plus rapide.

Pour comprendre en détail

Autre comparaison, en km/h : \(6\) min \(10\) s \(=\dfrac{370}{3\text{ }600}\) h par km, donc la vitesse de l'équipe \(2\) est \(\dfrac{3\text{ }600}{370}\approx9\text{,}7\) km/h, inférieure à \(11\) km/h ✔.

B.2.a

Corrigé

Dans la colonne C, la plus petite valeur est celle de l'équipe \(2\) : \(3\text{,}2\) min. Les autres valeurs connues sont \(5\text{,}2\) et \(4\text{,}5\).

Étendue \(=\) maximum \(-\) minimum \(=2\text{,}9\), donc le maximum vaut \(3\text{,}2+2\text{,}9=6\text{,}1\) min.

Les valeurs \(5\text{,}2\) et \(4\text{,}5\) sont inférieures à \(6\text{,}1\) : c'est donc le temps de l'équipe \(4\), qui vaut \(6\text{,}1\) min.

Pour comprendre en détail

Contrôle : \(F5=4\text{,}5+6\text{,}1+3\text{,}2+6\text{,}5=20\text{,}3\) min, cohérent avec les autres totaux (\(18\text{,}3\) à \(19\text{,}9\)).

B.2.b

Corrigé

\(\dfrac{4\text{,}1+5\text{,}5+4\text{,}9+4\text{,}5}{4}=\dfrac{19}{4}=4\text{,}75\) min.

\(0\text{,}75\) min \(=0\text{,}75\times60=45\) s. Le temps moyen est de \(4\) min \(45\) s.

B.2.c

Corrigé

En B6 : =MOYENNE(B2:B5)

Pour comprendre en détail

Recopiée vers la droite, elle devient =MOYENNE(C2:C5), etc.

C.1

Corrigé

\(V=\dfrac13\times\pi\times10^2\times15=500\,\pi\) cm\(^3\).

C.2

Corrigé

\(k=\dfrac{\text{SA}}{\text{SO}}=\dfrac{3}{15}=\dfrac15=0\text{,}2\).

Pour comprendre en détail

Le coefficient est inférieur à \(1\) : c'est bien une réduction. Les rayons sont aussi multipliés par \(k\) : le rayon du petit cône vaut \(0\text{,}2\times10=2\) cm.

C.3

Corrigé

\(V_{\text{SA}}=k^3\times V=\left(\dfrac15\right)^3\times500\pi=\dfrac{500\pi}{125}=4\pi\) cm\(^3\).

Pour comprendre en détail

Vérification directe : rayon \(2\) cm et hauteur \(3\) cm, \(V=\dfrac13\times\pi\times2^2\times3=4\pi\) ✔.

C.4

Corrigé

\(V_{\text{balise}}=500\pi-4\pi=496\,\pi\) cm\(^3\) (valeur exacte) \(\approx1\text{ }558\text{,}2\), soit environ \(1\text{ }558\) cm\(^3\).

Pour comprendre en détail

La balise occupe \(\dfrac{496}{500}=99\text{,}2\,\%\) du grand cône : le petit cône retiré est négligeable en volume (\(0\text{,}8\,\%\)).

1.a

Corrigé

Effectif des benjamins : \(1+5+1+1+1+2+1+1=13\) (impair) : la médiane est la \(7^{\text{e}}\) valeur.

Effectifs cumulés : \(1900\to1\), \(2100\to6\), \(2300\to7\). La \(7^{\text{e}}\) valeur est \(2\text{ }300\) m.

Médiane \(=2\text{ }300\) m : la moitié au moins des benjamins ont parcouru \(2\text{ }300\) m ou moins, et la moitié au moins ont parcouru \(2\text{ }300\) m ou plus.

Pour comprendre en détail

1.b

Corrigé

Total des distances des benjamins : \(1\text{ }900+5\times2\text{ }100+2\text{ }300+2\text{ }500+2\text{ }700+2\times2\text{ }900+3\text{ }100+3\text{ }200=32\text{ }000\) m.

Total des benjamines : \(2\times2\text{ }100+3\times2\text{ }300+2\times2\text{ }500+3\times2\text{ }700+2\times2\text{ }900+2\times3\text{ }100=36\text{ }200\) m.

Effectif total : \(13+14=27\). Moyenne : \(\dfrac{32\text{ }000+36\text{ }200}{27}=\dfrac{68\text{ }200}{27}\approx2\text{ }525\text{,}9\) m, soit environ \(2\text{ }526\) m.

Pour comprendre en détail

1.c

Corrigé

Garçons « bon » ou « très bon » (plus de \(2\text{ }400\) m) : \(2\text{ }500\) (\(1\)), \(2\text{ }700\) (\(1\)), \(2\text{ }900\) (\(2\)), \(3\text{ }100\) (\(1\)), \(3\text{ }200\) (\(1\)) : \(6\) garçons.

Filles « bon » ou « très bon » (plus de \(2\text{ }200\) m) : \(2\text{ }300\) (\(3\)), \(2\text{ }500\) (\(2\)), \(2\text{ }700\) (\(3\)), \(2\text{ }900\) (\(2\)), \(3\text{ }100\) (\(2\)) : \(12\) filles.

Proportion : \(\dfrac{6+12}{27}=\dfrac{18}{27}=\dfrac23\approx66\text{,}7\,\%\), soit environ \(67\,\%\).

Pour comprendre en détail

Les \(9\) enfants restants (\(7\) garçons et \(2\) filles) sont « insuffisant » ou « suffisant » (garçons à \(1\text{ }900\), \(2\text{ }100\) ou \(2\text{ }300\) m ; filles à \(2\text{ }100\) m). Vérification : \(18+9=27\) ✔.

2.a

Corrigé

Effectif du diagramme : \(2+1+4+3+4+6+5+2=27\), égal à l'effectif du club (\(27\)). Oui, tous les enfants ont fait ce second test.

2.b

Corrigé

Étendue \(=3\text{ }200-1\text{ }900=1\text{ }300\) m.

2.c

Corrigé

\(\dfrac{2\text{ }693-2\text{ }526}{2\text{ }526}=\dfrac{167}{2\text{ }526}\approx0\text{,}0661\).

La distance moyenne a augmenté d'environ \(6\text{,}6\,\%\).

Pour comprendre en détail

On obtient le même résultat avec la valeur exacte de la première moyenne (\(2\text{ }525\text{,}9\ldots\)) : \(6\text{,}6\,\%\). Le calcul « à rebours » confirme la cohérence des données : les distances du diagramme donnent bien \(\dfrac{72\text{ }700}{27}\approx2\text{ }692\text{,}6\), arrondi à \(2\text{ }693\).

3.a

Corrigé

\(2\text{ }800\) m \(=2\text{,}8\) km.

\(\text{VO}_2\text{ max}=22\text{,}351\times2\text{,}8-11\text{,}288=62\text{,}5828-11\text{,}288\approx51\text{,}29\) mL/min/kg.

Pour comprendre en détail

3.b

Corrigé

\(22\text{,}351\,D-11\text{,}288=47\) donc \(22\text{,}351\,D=58\text{,}288\) et \(D=\dfrac{58\text{,}288}{22\text{,}351}\approx2\text{,}6078\) km.

Il faut parcourir environ \(2\text{ }608\) m.

Pour comprendre en détail

Vérification : \(22\text{,}351\times2\text{,}608-11\text{,}288\approx46\text{,}99\approx47\) ✔.

1

Corrigé

Départ en O, cap vers la droite (\(1\) cm \(=10\) pas). Étape par étape :

• avancer de \(1\) cm : le lutin est en \((1\,;0)\) ; tourner à gauche : il monte ;
• avancer de \(3\) cm : \((1\,;3)\) ; tourner à gauche : il va vers la gauche ;
• avancer de \(2\) cm : \((-1\,;3)\) ; répéter \(2\) fois « tourner à gauche, avancer de \(1\) cm » : il descend en \((-1\,;2)\), puis va vers la droite en \((0\,;2)\) ;
• tourner à droite (il descend) et avancer de \(2\) cm : retour en \((0\,;0)\).

Pour comprendre en détail

Le motif d'Apolline a bien \(4\) carreaux, comme le motif souhaité, mais pas la même forme : c'est une barre verticale de \(3\) cm avec un carreau ajouté en haut à gauche, alors que le motif souhaité a son carreau accolé au milieu de la barre.

2

Corrigé

Le motif souhaité est le contour \((0\,;0)\to(1\,;0)\to(1\,;3)\to(0\,;3)\to(0\,;2)\to(-1\,;2)\to(-1\,;1)\to(0\,;1)\to(0\,;0)\) (en cm).

Apolline : passe par \((-1\,;3)\) : motif différent (question 1).

Kylian : après \((1\,;3)\), la première répétition mène à \((0\,;3)\), \((0\,;2)\), \((1\,;2)\) ; la figure empiète à droite de la barre : motif différent.

Sakhina : après \((1\,;3)\), la première répétition mène à \((0\,;3)\), \((0\,;2)\), \((-1\,;2)\) ; la seconde à \((-1\,;1)\), \((0\,;1)\), \((0\,;0)\) : c'est le motif souhaité.

Seule Sakhina a un script correct.

Pour comprendre en détail

La différence entre Kylian et Sakhina est un seul bloc : à la fin de chaque répétition, Kylian tourne à gauche et Sakhina à droite, ce qui change la direction du dessin du carreau suivant. Dans le script de Sakhina, le lutin revient en O avec le cap vers le bas ; le dernier « tourner à gauche de \(90^\circ\) » lui fait retrouver l'orientation de départ (vers la droite).

3

Corrigé

C'est une rotation :

• de centre le point A ;
• d'angle \(90^\circ\) ;
• dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire).

Pour comprendre en détail

Quatre motifs identiques disposés autour d'un point, chacun obtenu du précédent par le même quart de tour : \(4\times90^\circ=360^\circ\), la figure revient sur elle-même. Pour trouver le sens, on suit un détail du motif (par exemple le carreau accolé, à gauche de la barre dans le motif 1 et au-dessus de la barre dans le motif 2).

1

Corrigé

Non. \(54\,\%\) est une fréquence observée sur une simulation de \(100\) lancers seulement ; elle fluctue d'une simulation à l'autre et n'est qu'une estimation de la probabilité.

La probabilité se détermine par le calcul à partir de la composition des dés (question suivante).

Pour comprendre en détail

La probabilité réelle que A gagne est \(\dfrac49\approx44\,\%\) (question 2) : la simulation donne \(54\,\%\), écart notable mais possible avec seulement \(100\) lancers. La fréquence se rapproche de la probabilité quand le nombre de lancers augmente (loi des grands nombres).

2.a

Corrigé

Le dé A porte \(2\), \(6\), \(7\), chacun sur deux faces ; le dé B porte \(3\), \(4\), \(8\), chacun sur deux faces. Chaque valeur a la probabilité \(\dfrac13\), les \(9\) couples sont équiprobables.

(La lettre indique le dé gagnant.)

Pour comprendre en détail

On peut aussi faire un tableau de \(6\times6=36\) issues (une par face) : le résultat est le même, chaque case du tableau précédent représentant \(4\) issues.

2.b

Corrigé

Dans le tableau, B gagne dans \(3\) cases de la ligne \(2\), \(1\) case de la ligne \(6\) et \(1\) case de la ligne \(7\) : \(5\) cases sur \(9\).

\(P(\text{B gagne})=\dfrac59\).

Pour comprendre en détail

Le dé A gagne donc avec la probabilité \(1-\dfrac59=\dfrac49\) (pas d'égalité possible : A et B n'ont aucune valeur commune). B est favorisé malgré les valeurs plus faibles de ses faces moyennes : c'est un exemple de dés « non transitifs ».

1

Corrigé

\(f(x)=-\dfrac73x+0\) est de la forme \(ax+b\) avec \(a=-\dfrac73\) et \(b=0\) : c'est une fonction affine (linéaire).

L'affirmation est vraie.

Pour comprendre en détail

Toute fonction linéaire \(x\mapsto ax\) est un cas particulier de fonction affine (celui où \(b=0\)).

2

Corrigé

\(\dfrac{56-28}{28}=\dfrac{28}{28}=1=100\,\%\).

Le prix a augmenté de \(100\,\%\) (il a été multiplié par \(2\)) : l'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

3

Corrigé

\(\mathrm{A}=2x^2-10x+3x-15-2x^2=-7x-15\).

\(\mathrm{B}=-3x+15-4x=-7x+15\).

\(\mathrm{A}\neq\mathrm{B}\) : par exemple pour \(x=0\), \(\mathrm{A}=-15\) et \(\mathrm{B}=15\). L'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

Les deux expressions ont le même coefficient de \(x\) mais pas le même terme constant (\(-15\) et \(+15\)) : il suffit d'une valeur de \(x\) qui donne des résultats différents pour réfuter l'égalité.

4

Corrigé

Un carré a ses quatre côtés de même longueur : c'est donc un losange (qui a de plus quatre angles droits).

L'affirmation est vraie.

Pour comprendre en détail

Hiérarchie des quadrilatères : carré \(\subset\) losange et carré \(\subset\) rectangle. L'affirmation réciproque « tout losange est un carré » est fausse.

5

Corrigé

Contre-exemple : \(a=1\) et \(b=3\) sont décimaux non nuls, mais \(\dfrac13=0\text{,}333\ldots\) n'est pas un nombre décimal.

L'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

Un décimal est une fraction de la forme \(\dfrac{n}{10^k}\) ; le quotient de deux décimaux est un rationnel, pas forcément un décimal.

6

Corrigé

Exemple : \(a=1\) et \(b=2\) sont décimaux non nuls et \(\dfrac12=0\text{,}5\) est décimal.

L'affirmation est vraie.

Pour comprendre en détail

Un autre exemple évident : \(a=b\), dont le quotient vaut \(1\).