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Sujet CRPE 2021 Mathématiques · Groupement 4 : corrigé
Exercice 1 – Aires, fonction, expression algébrique (13 points)Voir le corrigé ↓
Première partie. Dans ce problème, les figures qui sont dessinées ne sont pas représentées en vraie grandeur.
Partie A
On souhaite partager un carré ABCD de 10 cm de côté en trois parties comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
![Carré ABCD (A en haut à gauche, B en haut à droite, C en bas à droite, D en bas à gauche). Le point L est sur le côté [BC], le point M sur le côté [CD], avec DM = BL = x. Le quadrilatère AMCL est grisé ; les triangles ADM et ABL sont blancs.](/crpe-annales/2021-g4/fig/a_carre.png)
L est un point du segment [BC] et M est le point du segment [CD] tel que \(\text{DM}=\text{BL}\). On note \(x\) la longueur, en centimètre, du segment [BL].
Que représente \(x\) dans la figure ? Quelles sont les deux positions extrêmes possibles du point L sur le segment [BC] ?
Pense à utiliser l'aire du carré et à soustraire les aires des triangles blancs. Identifie les bases et hauteurs de ces triangles rectangles.
Calcule l’aire du carré ABCD puis retire l’aire des deux triangles blancs. Pour un triangle rectangle, l’aire est la moitié du produit des deux côtés de l’angle droit.
Pour déterminer l’aire de la partie grisée, pense à l’aire totale du carré et soustrais l’aire des deux triangles blancs ; exprime l’aire de chacun de ces triangles en fonction de \(x\).
Pour que les trois parties aient la même aire, l’aire d’un triangle blanc doit être égale à l’aire du quadrilatère grisé. Écris ces deux aires en fonction de \(x\), puis résous l’égalité.
Partie B
Dans cette partie, le triangle hachuré a été supprimé pour obtenir trois triangles ADM, AML et ALB.
![Le même carré ABCD avec les points L sur [BC] et M sur [CD] (DM = BL = x) ; le triangle MCL, dans l'angle C, est hachuré ; les trois triangles ADM, AML et ALB sont blancs ou grisés.](/crpe-annales/2021-g4/fig/b_carre.png)
Lorsque \(x=2\), détermine les longueurs \(MC\) et \(CL\). Puisque le triangle \(MCL\) est rectangle en \(C\), utilise la formule de l’aire d’un triangle rectangle.
Le triangle hachuré MCL est rectangle en C ; exprime les longueurs MC et CL en fonction de \(x\) à partir des côtés du carré.
Considère le quadrilatère AMCL comme composé du triangle grisé AML et du triangle hachuré MCL. Tu connais déjà l’aire de AMCL et celle de MCL.
On a représenté dans le repère ci-dessous les fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) définies pour \(x\) entre 0 et 10 par : \(f(x)=5x\), \(g(x)=100-10x\), \(h(x)=50-\dfrac{x^2}{2}\). On obtient les courbes \(\mathcal C_1\), \(\mathcal C_2\) et \(\mathcal C_3\).
Chacune des fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) permet de déterminer, en fonction de \(x\), l'aire d'un des polygones ADM, AMCL et AML de la figure précédente. Associer à chaque fonction le polygone dont elle permet de déterminer l'aire. Justifier.
Commence par écrire l’aire de chacun des polygones ADM, AMCL et AML en fonction de \(x\), en t’aidant des questions précédentes. Compare ensuite ces expressions avec \(f(x)\), \(g(x)\) et \(h(x)\).
Pour identifier une courbe, observe sa nature : une droite correspond à une fonction affine, une courbe non rectiligne à la fonction du second degré. Utilise ensuite les valeurs prises en \(0\) et le sens de variation pour trancher entre les droites.
Repère la courbe associée à l'aire du triangle AML puis lis l'ordonnée du point de cette courbe d'abscisse 3.
Pour l'aire du quadrilatère AMCL, utilise l'association vue en B.2.a et B.2.b. Cherche le point de la courbe de cette fonction dont l'ordonnée vaut 25 puis lis son abscisse.
Compare d’abord les aires des triangles ABL et ADM ; constate qu’elles sont égales pour tout \(x\). Cherche ensuite sur le graphique le point où cette aire commune est égale à celle du triangle AML.
Partie C
On veut maintenant partager un carré de 10 cm de côté en deux parties. L'une d'entre elles est un disque intérieur ayant pour centre celui du carré et pour rayon \(r\). La seconde partie est l'extérieur du disque, grisée sur la figure ci-dessous.
Le rayon maximal correspond à la distance entre le centre du carré et un côté. Comment calculer cette distance ? Et le rayon minimal, peut-il être nul ?
Calculez l’aire du carré puis le quart de cette aire. Écrivez ensuite que l’aire du disque, \(\pi r^2\), est égale à ce quart et résolvez l’équation pour obtenir \(r\).
Pour déterminer l'aire du disque dans le carré en fonction de son rayon, on réalise avec un tableur la feuille de calcul suivante :
Quelle formule permettant de calculer l'aire du disque doit être écrite dans la cellule B2 pour être ensuite copiée par glissement vers le bas ? Note : on pourra utiliser la fonction PI() du tableur qui renvoie une valeur approchée du nombre π.
Rappelle-toi la formule qui donne l’aire d’un disque à partir de son rayon. Dans le tableur, une formule commence par = et utilise la référence de la cellule contenant le rayon.
Le disque et la surface grisée doivent avoir la même aire ; commence par calculer l’aire totale du carré pour en déduire l’aire de chacune des deux parties. Repère ensuite dans la colonne des aires deux valeurs successives qui encadrent cette aire.
Si le disque et la surface grisée ont la même aire, chacun représente la moitié de l’aire du carré. Écris l’aire du disque en fonction de \(r_0\), puis traduis cette égalité.
Traduis la condition par une équation en utilisant l’aire du disque \(\pi r_1^2\) et l’aire de la surface grisée \(100-\pi r_1^2\), puis isole \(r_1^2\).
Voir le corrigé de l'exercice 1
A.1
Corrigé
On a \(x = BL\). Le point L appartient au segment [BC], qui mesure 10 cm. Lorsque L est en B, \(BL = 0\) ; lorsque L est en C, \(BL = 10\). Pour toute autre position de L sur [BC], la distance \(BL\) est comprise entre 0 et 10. Donc \(0 \le x \le 10\).
Pour comprendre en détail
La condition \(DM = x\) avec M sur [DC], qui mesure aussi 10 cm, confirme que \(x\) ne peut pas dépasser 10.
A.2
Corrigé
Le carré ABCD a pour côté 10 cm, donc :
\(Aire(ABCD) = 10 \times 10 = 100\) cm².
Pour \(x=2\), on a \(DM = BL = 2\) cm.
Le triangle ADM est rectangle en D, donc :
\(Aire(ADM) = \dfrac{1}{2} \times AD \times DM = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 2 = 10\) cm².
Le triangle ABL est rectangle en B, donc :
\(Aire(ABL) = \dfrac{1}{2} \times AB \times BL = \dfrac{1}{2} \times 10 \times 2 = 10\) cm².
L'aire du quadrilatère grisé AMCL est l'aire du carré diminuée des aires des deux triangles blancs :
\(Aire(AMCL) = 100 - 10 - 10 = 80\) cm².
Donc pour \(x=2\), l'aire du quadrilatère grisé AMCL est bien égale à \(80\) cm².
Pour comprendre en détail
La méthode de soustraction est ici plus simple qu'un découpage direct du quadrilatère AMCL, dont l'aire n'est pas immédiate à calculer.
On peut vérifier la cohérence : pour \(x=2\), les triangles blancs représentent \(20\) cm², donc le grisé \(80\) cm², ce qui est plausible.
A.3
Corrigé
L’aire du carré ABCD est \(10 \times 10 = 100\ \text{cm}^2\).
Les triangles ADM et ABL sont rectangles ; leur aire est \(\dfrac{1}{2} \times 10 \times x\).
Pour \(x=\dfrac35\), chaque triangle a pour aire \(\dfrac{1}{2} \times 10 \times \dfrac35 = 3\ \text{cm}^2\).
L’aire du quadrilatère AMCL est donc : \(100 - 3 - 3 = 94\ \text{cm}^2\).
L’aire du quadrilatère grisé AMCL est \(94\ \text{cm}^2\).
Pour comprendre en détail
La méthode par complément est adaptée car le quadrilatère AMCL n’a pas de formule d’aire simple. On peut aussi établir que l’aire du quadrilatère vaut \(100 - 10x\) ; pour \(x=\dfrac35\), cela redonne bien le résultat. L’erreur classique est d’oublier de diviser par 2 l’aire des triangles ou d’utiliser l’hypoténuse comme hauteur.
A.4
Corrigé
Le carré ABCD a pour côté 10 cm, donc son aire est \(10 \times 10 = 100\) cm².
Le triangle ADM est rectangle en D : ses côtés perpendiculaires sont AD = 10 cm et DM = \(x\) cm. Son aire est donc \(\dfrac{10 \times x}{2}=5x\) cm².
De même, le triangle ABL est rectangle en B : ses côtés perpendiculaires sont AB = 10 cm et BL = \(x\) cm. Son aire est donc \(\dfrac{10 \times x}{2}=5x\) cm².
Le quadrilatère grisé AMCL occupe le carré privé de ces deux triangles, donc son aire est : \(100 - 5x - 5x = 100 - 10x\).
Ainsi, l’aire du quadrilatère grisé AMCL est bien \(100-10x\) cm².
Pour comprendre en détail
On utilise ici l’aire par complément : l’aire de la partie grisée est plus simple à obtenir comme différence entre l’aire totale et les aires des deux triangles blancs plutôt qu’en découpant le quadrilatère AMCL.
On peut vérifier la cohérence avec la question A.2 : la valeur particulière \(x=2\) doit redonner l’aire calculée précédemment.
A.5
Corrigé
Les triangles ADM et ABL sont rectangles et ont pour côtés de l’angle droit \(10\) cm et \(x\) cm, donc :
\[
\mathcal{A}_{ADM} = \mathcal{A}_{ABL} = \dfrac{10 \times x}{2} = 5x.
\]
D’après la question A.4, l’aire du quadrilatère AMCL est \(100 - 10x\).
Pour que les trois parties aient la même aire, il faut qu’un triangle blanc et le quadrilatère aient la même aire :
\[
5x = 100 - 10x
\]
\[
15x = 100
\]
\[
x = \dfrac{100}{15} = \dfrac{20}{3} \approx 6\text{,}67.
\]
Cette valeur est bien comprise entre \(0\) et \(10\).
L’aire de chaque partie est alors :
\[
5 \times \dfrac{20}{3} = \dfrac{100}{3} \approx 33\text{,}3 \text{ cm}^2.
\]
Pour \(x = \dfrac{20}{3}\) cm, les trois parties ont la même aire, égale à \(\dfrac{100}{3}\) cm².
Pour comprendre en détail
Le carré a une aire de \(100\ \text{cm}^2\). Si les trois parties sont égales, chacune doit donc avoir une aire de \(\dfrac{100}{3}\ \text{cm}^2\). On pouvait résoudre directement \(5x = \dfrac{100}{3}\) ou \(100 - 10x = \dfrac{100}{3}\), ce qui conduit au même résultat.
B.1.a
Corrigé
Pour \(x=2\), on a \(DM=BL=2\) cm. Comme \(CD=10\) cm, \(MC=CD-DM=10-2=8\) cm.
Par symétrie par rapport à la diagonale \(AC\), le point \(M\) est le symétrique du point \(L\), donc \(MC=CL\). Ainsi, \(CL=8\) cm.
Le triangle \(MCL\) est rectangle en \(C\), car ses côtés \([MC]\) et \([CL]\) sont portés par les côtés perpendiculaires du carré. Son aire est donc :
\(\mathcal{A}_{\mathrm{MCL}}=\dfrac{MC\times CL}{2}=\dfrac{8\times 8}{2}=32\) cm\(^2\).
L’aire du triangle hachuré \(MCL\) est donc bien égale à \(32\) cm\(^2\).
Pour comprendre en détail
La symétrie par rapport à la diagonale \(AC\) permet de justifier rapidement \(MC=CL\), mais on peut aussi calculer directement \(CL=CB-BL=10-2=8\) cm.
Pour un \(x\) quelconque, on a \(MC=CL=10-x\) ; l’aire du triangle \(MCL\) vaut donc \(\dfrac{(10-x)^2}{2}\). Cette formule permet de vérifier le résultat pour n’importe quelle valeur de \(x\).
B.1.b
Corrigé
Le point M appartient à [CD] et DM = \(x\), donc MC = DC − DM = \(10-x\).
Le point L appartient à [BC] et BL = \(x\), donc CL = BC − BL = \(10-x\).
Le triangle MCL est rectangle en C, donc son aire est :
\(\mathcal{A}_{\text{MCL}} = \dfrac{\text{MC} \times \text{CL}}{2} = \dfrac{(10-x)(10-x)}{2} = \dfrac{1}{2}(10-x)^2\).
L’aire de la partie hachurée MCL est donc \(\dfrac{1}{2}(10-x)^2\ \text{cm}^2\).
Pour comprendre en détail
Le triangle MCL est rectangle en C car [MC] et [CL] sont portés par les côtés [CD] et [BC] du carré, perpendiculaires entre eux.
Pour vérifier, en remplaçant \(x\) par 2, on trouve \(\dfrac12 \times 8 \times 8 = 32\ \text{cm}^2\), ce qui est cohérent avec la question B.1.a.
B.1.c
Corrigé
Le triangle grisé AML est la partie du quadrilatère AMCL qui reste lorsqu’on enlève le triangle hachuré MCL, donc :
\(\mathcal{A}_{AML}=\mathcal{A}_{AMCL}-\mathcal{A}_{MCL}\).
D’après la question A.4, \(\mathcal{A}_{AMCL}=100-10x\).
D’après la question B.1.b, \(CL=CM=10-x\), donc \(\mathcal{A}_{MCL}=\dfrac{(10-x)^2}{2}\).
On en déduit :
\(\mathcal{A}_{AML}=100-10x-\dfrac{(10-x)^2}{2}=100-10x-\dfrac{100-20x+x^2}{2}=100-10x-50+10x-\dfrac{x^2}{2}=50-\dfrac{x^2}{2}\).
L’aire du triangle grisé AML est donc \(50-\dfrac{x^2}{2}\ \text{cm}^2\).
Pour comprendre en détail
Le triangle AML n’est pas rectangle, donc il est difficile de calculer directement son aire avec une base et une hauteur. La méthode attendue consiste à le voir comme une différence d’aires en réutilisant les résultats des questions précédentes.
Une autre méthode possible serait de soustraire de l’aire du carré les aires des trois triangles ADM, ABL et MCL. Pour vérifier avec \(x=2\), on obtient \(50-\dfrac{2^2}{2}=48\ \text{cm}^2\), cohérent avec les questions précédentes.
B.2.a
Corrigé
Le triangle ADM est rectangle en D, avec \(AD=10\) cm et \(DM=x\) cm.
Son aire est donc :
\(A_{ADM}=\dfrac{AD \times DM}{2}=\dfrac{10 \times x}{2}=5x\).
Ainsi, \(A_{ADM}=f(x)\), donc \(f\) correspond au triangle ADM.
Le quadrilatère AMCL a pour aire l’aire du carré ABCD diminuée des aires des triangles ADM et ABL.
Les triangles ADM et ABL ont la même aire \(5x\), donc :
\(A_{AMCL}=10^2-2 \times 5x=100-10x\).
Ainsi, \(A_{AMCL}=g(x)\), donc \(g\) correspond au quadrilatère AMCL.
D’après la question B.1.c, l’aire du triangle AML est \(50-\dfrac{x^2}{2}\).
Donc \(A_{AML}=h(x)\), donc \(h\) correspond au triangle AML.
Conclusion : \(f\) est associée au triangle ADM, \(g\) au quadrilatère AMCL et \(h\) au triangle AML.
Pour comprendre en détail
Pour justifier, on s’appuie sur les expressions algébriques des aires et non sur la simple lecture des courbes.
Remarque : dans la réponse attendue, la mention « question A.4 » pour \(f(x)=5x\) est une coquille ; \(5x\) est l’aire de ADM, utilisée dans la question A.4 pour obtenir \(100-10x\).
B.2.b
Corrigé
La fonction \(h\) est définie par \(h(x)=50-\dfrac{x^2}{2}\) : c’est une fonction du second degré, donc sa représentation graphique n’est pas une droite mais un arc de parabole. On associe donc \(h\) à la courbe \(\mathcal C_2\).
Les fonctions \(f\) et \(g\) sont affines, donc leurs courbes sont des droites.
\(f(x)=5x\) a pour coefficient directeur \(5\gt 0\) : elle est croissante et \(f(0)=0\). C’est la courbe \(\mathcal C_3\).
\(g(x)=100-10x\) a pour coefficient directeur \(-10\lt 0\) : elle est décroissante et \(g(0)=100\). C’est la courbe \(\mathcal C_1\).
Ainsi :
\(\mathcal C_1\) représente \(g\) ;
\(\mathcal C_2\) représente \(h\) ;
\(\mathcal C_3\) représente \(f\).
Pour comprendre en détail
La méthode s’appuie sur la nature des fonctions :
- une fonction affine \(x\mapsto ax+b\) a pour courbe une droite ; son coefficient directeur \(a\) donne le sens de variation : croissante si \(a\gt 0\), décroissante si \(a\lt 0\) ;
- une fonction du second degré a pour courbe une parabole, donc une courbe « courbée », jamais une droite.
B.2.c
Corrigé
D'après les questions précédentes, l'aire du triangle AML est représentée par la fonction \(h\), donc par la courbe \(\mathcal C_2\). Sur le graphique, pour \(x=3\), le point de \(\mathcal C_2\) d'abscisse 3 a pour ordonnée environ 45. L'aire du triangle grisé AML pour \(x=3\) est donc environ \(45\ \text{cm}^2\). (Valeur exacte : \(h(3)=50-\dfrac{3^2}{2}=45\text{,}5\ \text{cm}^2\), compatible avec la lecture graphique.)
Pour comprendre en détail
Pour lire graphiquement, on repère l'abscisse \(x=3\), on monte verticalement jusqu'à la courbe \(\mathcal C_2\), puis on lit l'ordonnée sur l'axe vertical. La lecture est approchée ; le calcul de la valeur exacte par la formule de \(h\) est une bonne vérification.
B.2.d
Corrigé
L'aire du quadrilatère AMCL est donnée par la fonction \(g(x)=100-10x\), représentée par la courbe \(\mathcal C_1\).
On cherche \(x\) tel que \(g(x)=25\). Graphiquement, le point de \(\mathcal C_1\) d'ordonnée \(25\) a pour abscisse \(7\text{,}5\).
Par le calcul : \(100-10x=25\), donc \(10x=75\), d'où \(x=7\text{,}5\).
Conclusion : pour \(x=7\text{,}5\) cm, l'aire du quadrilatère grisé AMCL est égale à \(25\ \text{cm}^2\).
Pour comprendre en détail
Il s'agit d'une lecture graphique d'antécédent : on lit l'abscisse du point de la droite d'ordonnée 25. On peut vérifier cette valeur par le calcul car on connaît l'expression de \(g\).
B.2.e
Corrigé
Les triangles ABL et ADM sont rectangles, de base 10 cm et de hauteur \(x\), donc : \(\dfrac{10 \times x}{2}=5x=f(x)\). Ainsi, ABL et ADM ont toujours la même aire.
L’aire du triangle AML est \(h(x)=50-\dfrac{x^2}{2}\). Pour que les trois triangles aient la même aire, il faut \(f(x)=h(x)\).
Graphiquement, cela correspond à l’abscisse du point d’intersection des courbes \(\mathcal C_3\) (représentant \(f\)) et \(\mathcal C_2\) (représentant \(h\)). On lit \(x \approx 6\text{,}2\).
Vérification par le calcul : \(5x=50-\dfrac{x^2}{2}\) donne \(x^2+10x-100=0\), soit \(x=-5+\sqrt{125}\approx 6\text{,}18\).
Conclusion : pour \(x \approx 6\text{,}2\ \text{cm}\), les trois triangles ABL, ADM et AML ont la même aire.
Pour comprendre en détail
La courbe \(\mathcal C_3\) représente l’aire commune des triangles ABL et ADM, et \(\mathcal C_2\) celle du triangle AML ; leur intersection donne donc la valeur cherchée.
La lecture graphique fournit une valeur approchée, ce qui est attendu dans cette question.
C.1
Corrigé
Le disque doit rester à l’intérieur du carré, donc son diamètre ne peut pas dépasser le côté du carré, soit \(10\ \text{cm}\). On a ainsi \(2r \le 10\), d’où \(r \le 5\). Comme un rayon est une longueur positive ou nulle, \(r \ge 0\). Par conséquent, le rayon \(r\) peut varier entre 0 cm et 5 cm : \(0 \le r \le 5\).
Pour comprendre en détail
La plus grande distance entre le centre du carré et un côté est la moitié du côté : c’est le rayon maximal du disque inscrit. À l’inverse, un rayon peut être choisi aussi petit que l’on veut, jusqu’à 0.
Le cas \(r=0\) correspond à un disque réduit à un point, ce qui reste acceptable dans ce partage.
C.2
Corrigé
L’aire du carré est \(10^2 = 100\ \text{cm}^2\). Le quart de cette aire vaut \(100 \div 4 = 25\ \text{cm}^2\).
L’aire du disque est \(\pi r^2\). On doit donc avoir :
\(\pi r^2 = 25\)
\(r^2 = \dfrac{25}{\pi}\)
Comme \(r\) est une longueur, \(r \ge 0\), donc \(r = \sqrt{\dfrac{25}{\pi}} = \dfrac{5}{\sqrt{\pi}}\).
La valeur exacte du rayon est \(\dfrac{5}{\sqrt{\pi}}\ \text{cm}\), soit environ \(2\text{,}82\ \text{cm}\) au centième.
Pour comprendre en détail
Pour vérifier la cohérence, on peut remarquer que la valeur trouvée est inférieure à 5 cm, demi-côté du carré, donc le disque reste bien à l’intérieur du carré.
C.3.a
Corrigé
En B2, on saisit la formule =PI()*A2^2.
Cette formule calcule l’aire du disque \(\pi \times \text{rayon}^2\) en utilisant la valeur du rayon inscrite en A2. Lorsqu’on la copie par glissement vers le bas, la référence relative A2 devient A3, A4, … et la formule s’adapte à chaque ligne.
Pour comprendre en détail
On pourrait aussi écrire =PI()*A2*A2 ou =PI()*PUISSANCE(A2;2) : le résultat est identique. La recopie vers le bas fonctionne car A2 est une référence relative.
C.3.b
Corrigé
Aire du carré : \(10^2=100\ \text{cm}^2\).
L’aire du disque est égale à l’aire de la surface grisée, donc chacune vaut la moitié du carré : \(100 \div 2 = 50\ \text{cm}^2\).
Dans le tableau, pour \(r=3\text{,}5\), l’aire du disque vaut environ \(38\text{,}48\ \text{cm}^2\) ; pour \(r=4\), elle vaut environ \(50\text{,}27\ \text{cm}^2\).
On a \(38\text{,}48 \lt 50 \lt 50\text{,}27\), donc \(3\text{,}5 \leqslant r_0 \leqslant 4\).
L’encadrement d’amplitude minimale fourni par le tableau est \(3\text{,}5 \leqslant r_0 \leqslant 4\), soit une amplitude de \(0\text{,}5\) cm.
Pour comprendre en détail
La fonction aire \(r \mapsto \pi r^2\) est croissante sur \([0\,;5]\), donc encadrer l’aire par les valeurs du tableau permet d’encadrer \(r_0\).
Le tableau donne les rayons de \(0\text{,}5\) en \(0\text{,}5\) ; on ne peut donc pas obtenir un encadrement plus fin avec ces seules données. La valeur exacte \(r_0 = \sqrt{\dfrac{50}{\pi}}\) vaut environ \(3\text{,}99\), ce qui est cohérent avec l’encadrement obtenu.
C.3.c
Corrigé
L’aire du disque est \(\pi r_0^2\) et l’aire de la surface grisée est \(100-\pi r_0^2\).
On veut qu’elles soient égales, donc :
\[
\pi r_0^2 = 100-\pi r_0^2
\]
\[
2\pi r_0^2 = 100
\]
\[
\pi r_0^2 = 50
\]
\[
r_0^2 = \dfrac{50}{\pi}
\]
Le rayon étant positif :
\[
r_0 = \sqrt{\dfrac{50}{\pi}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}
\]
La valeur arrondie au centième est :
\[
r_0 \approx 3\text{,}99\ \text{cm}
\]
Pour comprendre en détail
La surface grisée est le complément du disque dans le carré : son aire est \(100 - \pi r^2\). L’égalité des deux aires conduit donc à \(\pi r_0^2 = 50\), car le disque occupe alors la moitié du carré.
Le corrigé officiel mentionne par erreur « le quart de l’aire du carré » ; il s’agit bien de la moitié pour cette question C.3.c. La valeur \(3\text{,}99\ \text{cm}\) est cohérente avec l’encadrement \(3\text{,}5 \le r_0 \le 4\) obtenu à la question C.3.b.
C.3.d
Corrigé
L’aire du carré est \(10^2 = 100\ \text{cm}^2\), donc l’aire de la surface grisée est \(100-\pi r_1^2\).
La condition s’écrit :
\(\pi r_1^2 = \dfrac{1}{3}(100-\pi r_1^2)\)
\(\pi r_1^2 + \dfrac{\pi r_1^2}{3} = \dfrac{100}{3}\)
\(\dfrac{4}{3}\pi r_1^2 = \dfrac{100}{3}\)
\(4\pi r_1^2 = 100\)
\(\pi r_1^2 = 25\)
\(r_1^2 = \dfrac{25}{\pi}\)
\(r_1 = \dfrac{5}{\sqrt{\pi}}\) car \(r_1 > 0\).
Valeur exacte : \(r_1 = \dfrac{5}{\sqrt{\pi}}\ \text{cm}\).
Valeur arrondie au dixième de millimètre : \(r_1 \approx 2\text{,}82\ \text{cm} = 28\text{,}2\ \text{mm}\).
Le rayon cherché est \(\dfrac{5}{\sqrt{\pi}}\ \text{cm}\), soit environ \(28\text{,}2\ \text{mm}\).
Pour comprendre en détail
Cette condition équivaut à « l’aire du disque vaut le quart de l’aire du carré » : si l’on note \(d\) l’aire du disque, l’égalité \(d=\dfrac{1}{3}(100-d)\) donne \(4d=100\), donc \(d=25\). C’est la même valeur qu’en C.2.
La valeur exacte \(\dfrac{5}{\sqrt{\pi}}\) peut aussi s’écrire \(\dfrac{5\sqrt{\pi}}{\pi}\). Pour l’arrondi au dixième de millimètre, convertir d’abord en millimètres avant d’arrondir.
📘 Revoir la méthode : fiches Calcul littéral et équations · Aires et volumes dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 2 – Vrai/faux, réciproque de Thalès, triangle rectangleVoir le corrigé ↓
Deuxième partie (trois exercices indépendants). Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n'enlève pas de point.
Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle, D et E sont des points des côtés [AB] et [AC] tels que : \(\text{AD}=9\) cm, \(\text{DB}=6\) cm, \(\text{AC}=10\) cm, \(\text{EC}=4\) cm.
![Triangle ABC : A à gauche, C à droite sur la même horizontale, B au-dessus de C. D est sur [AB], E sur [AC] ; le segment [DE] est vertical et un angle droit est marqué en E (donc (DE) ⊥ (AC)).](/crpe-annales/2021-g4/fig/ex2_triangle.png)
Affirmation 1 : « Le triangle ABC est rectangle en C. »
Pour utiliser la réciproque du théorème de Thalès, commence par calculer les longueurs \(AB\) et \(AE\), puis compare les rapports \(\dfrac{AD}{AB}\) et \(\dfrac{AE}{AC}\).
Écris deux nombres impairs consécutifs sous la forme \(m\) et \(m+2\). Après avoir calculé leur somme, demande-toi si un nombre pair strictement supérieur à 2 peut être premier.
Pense à utiliser le coefficient multiplicateur annuel et à le composer sur 5 ans. Compare ensuite le coefficient global à \(\dfrac{1}{3}\).
Commence par exprimer la fraction de l’équipe qui est majeure, puis détermine la fraction des majeurs qui ont entre 18 et 25 ans.
Voir le corrigé de l'exercice 2
1
Corrigé
On a \(AB = AD + DB = 9 + 6 = 15\) cm et \(AE = AC - EC = 10 - 4 = 6\) cm.
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}\), donc \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\).
Les points \(A\), \(D\), \(B\) d’une part et \(A\), \(E\), \(C\) d’autre part sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((DE)\) et \((BC)\) sont parallèles.
Or \((DE) \perp (AC)\), donc \((BC) \perp (AC)\) : par suite, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\).
Affirmation vraie.
Pour comprendre en détail
On enchaîne ensuite avec la propriété : si deux droites sont parallèles et que l’une est perpendiculaire à une troisième, alors l’autre lui est aussi perpendiculaire.
2
Corrigé
Soit \(m\) un entier impair. Le nombre impair suivant est \(m+2\). Leur somme est \(m+(m+2)=2m+2=2(m+1)\). Cette somme est donc un nombre pair.
De plus, la plus petite somme de deux impairs consécutifs est \(1+3=4\), donc cette somme est strictement supérieure à 2. Or, un nombre pair strictement supérieur à 2 possède au moins les diviseurs 1, 2 et lui-même ; il n'est donc pas premier.
L'affirmation est vraie.
Pour comprendre en détail
Pourquoi cette méthode ? Écrire les deux impairs consécutifs \(m\) et \(m+2\) permet de factoriser leur somme par 2 et de faire apparaître la divisibilité par 2. Il faut ensuite vérifier que cette somme est strictement supérieure à 2, car 2 est pair et premier ; cette vérification est essentielle.
Autre méthode possible : poser les deux impairs consécutifs \(2n+1\) et \(2n+3\) ; leur somme est un multiple de 4, ce qui est encore plus fort.
3
Corrigé
Perdre 20 % de sa valeur revient à multiplier chaque année par \(1-\dfrac{20}{100}=0\text{,}8\).
Sur 5 ans, la valeur est donc multipliée par \(0\text{,}8^5=0\text{,}32768\).
Or \(\dfrac{1}{3}\approx 0\text{,}3333\), donc \(0\text{,}32768 \lt \dfrac{1}{3}\).
Après 5 ans, la voiture vaut environ 32,8 % de sa valeur initiale, c'est-à-dire moins d'un tiers. L'affirmation « vaudra encore plus d'un tiers » est donc fausse.
Pour comprendre en détail
Une comparaison fiable avec \(\dfrac{1}{3}\) nécessite de conserver suffisamment de décimales : \(0\text{,}32768\) est très proche de \(0\text{,}3333\), donc un arrondi à \(0\text{,}33\) pourrait laisser croire à tort que la valeur dépasse un tiers.
4
Corrigé
Les mineurs représentent \( \frac{3}{4} \) des joueurs, donc les majeurs représentent \( 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \) des joueurs.
Parmi les majeurs, \( \frac{1}{3} \) a plus de 25 ans, donc \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \) des majeurs a entre 18 et 25 ans.
La fraction de l’équipe ayant entre 18 et 25 ans est donc \( \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).
Un équipier sur six a donc bien entre 18 et 25 ans : l’affirmation est vraie.
Pour comprendre en détail
Autre méthode : avec un effectif total de 12 joueurs, il y a 9 mineurs et 3 majeurs ; 1 majeur a plus de 25 ans, donc 2 majeurs ont entre 18 et 25 ans, soit \( \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).
📘 Revoir la méthode : fiches Pourcentages et proportionnalité · Nombres et arithmétique dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 3 – Statistiques, moyenne, moyenne pondéréeVoir le corrigé ↓
Dans une classe de 28 élèves, on souhaite comparer les tailles des filles et des garçons. Voici les données dont on dispose. Taille des treize filles en centimètre : 149 ; 155 ; 161 ; 142 ; 167 ; 163 ; 157 ; 150 ; 165 ; 152 ; 161 ; 159 ; 160. Taille des garçons : toutes les tailles sont des nombres entiers de centimètres et il n'y a pas deux garçons qui ont la même taille. On connaît également les indicateurs suivants : étendue : 29 cm ; moyenne : 159 cm ; médiane : 161 cm.
Commence par calculer la somme des tailles des filles, puis divise-la par 13 pour obtenir leur moyenne. Tu pourras ensuite la comparer à la moyenne des garçons déjà donnée.
La plus petite des filles mesure \(142\) cm : est-ce compatible avec une taille minimale de \(140\) cm ? Une fois le sexe identifié, utilise l’étendue des garçons pour calculer la plus grande taille.
Pensez à compter séparément les filles et les garçons. Pour les garçons, utilisez la médiane et l’effectif pour en déduire combien de tailles dépassent strictement 161 cm.
Pour trouver la moyenne de toute la classe, pense à combiner la moyenne des filles et celle des garçons en tenant compte de leurs effectifs : il ne s’agit pas de faire la moyenne simple des deux moyennes.
Voir le corrigé de l'exercice 3
1
Corrigé
Somme des tailles des filles :
\(149 + 155 + 161 + 142 + 167 + 163 + 157 + 150 + 165 + 152 + 161 + 159 + 160 = 2\text{ }041\).
Taille moyenne des filles :
\(\dfrac{2\text{ }041}{13} = 157\) cm.
La taille moyenne des garçons est 159 cm.
Écart entre les deux moyennes :
\(159 - 157 = 2\) cm.
L’écart entre la taille moyenne des filles et la taille moyenne des garçons est donc de 2 cm.
Pour comprendre en détail
Pour cette question, seule la moyenne des garçons est utile ; l’étendue et la médiane ne servent pas ici.
2
Corrigé
La plus petite des filles mesure \(142\) cm ; l’élève de \(140\) cm est donc un garçon.
Pour une série statistique, l’étendue est \( \text{valeur max} - \text{valeur min}\), donc \( \text{valeur max} = \text{valeur min} + \text{étendue}\).
Pour les garçons, la plus grande taille est donc \(140 + 29 = 169\) cm.
La plus grande fille mesure \(167\) cm. Comme \(169 > 167\), l’élève le plus grand de la classe mesure \(169\) cm.
Pour comprendre en détail
L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \( \text{max} - \text{min} \). Ici, l’énoncé donne l’étendue des tailles des garçons, pas de la classe entière ; c’est pour cela qu’on commence par identifier le sexe de l’élève de \(140\) cm.
Une fois la plus petite taille des garçons connue, la relation \(\text{max} = \text{min} + \text{étendue}\) donne directement leur plus grande taille.
3
Corrigé
Filles mesurant 162 cm ou plus : les tailles 167, 163 et 165 conviennent, donc 3 filles.
Garçons : effectif \(28 - 13 = 15\). La médiane est la 8ᵉ valeur (15 est impair). Cette 8ᵉ taille vaut 161 cm. Comme les tailles des garçons sont toutes différentes et entières, les 7 garçons classés après la 8ᵉ valeur mesurent strictement plus de 161 cm, donc au moins 162 cm.
Total : \(3 + 7 = 10\).
Il y a donc 10 élèves qui mesurent 162 cm ou plus.
Pour comprendre en détail
L’étendue et la moyenne ne sont pas utiles pour cette question.
4
Corrigé
La moyenne des filles est \(157\) cm et celle des garçons est \(159\) cm. Il y a \(13\) filles et \(15\) garçons, donc la moyenne de la classe est :
\[ \dfrac{13 \times 157 + 15 \times 159}{28} = \dfrac{2\text{ }041 + 2\text{ }385}{28} = \dfrac{4\text{ }426}{28} \approx 158\text{,}0714\ldots \]
Arrondie au millimètre, la taille moyenne des élèves de cette classe est donc \(158\text{,}1\) cm.
Pour comprendre en détail
La moyenne des filles utilisée ici a été obtenue en additionnant les treize tailles de l’énoncé puis en divisant par \(13\). L’arrondi au millimètre correspond à un chiffre après la virgule en centimètres.
📘 Revoir la méthode : fiches Statistiques dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 4 – Scratch, algorithmique, boucleVoir le corrigé ↓
Un élève veut obtenir la figure ci-contre à l'aide du logiciel de programmation Scratch. Le plus petit segment mesure 10 pixels et chaque segment mesure 10 pixels de plus que le précédent.
Un élève écrit le programme suivant et obtient la figure ci-dessous.
Que doit-il modifier dans son programme pour obtenir la figure attendue ? Aucune justification n'est attendue.
Pour qu’un polygone se referme, la somme des rotations effectuées sur un tour doit être \(360^\circ\). Vérifie combien de côtés possède la figure souhaitée.
Dans le programme, observe à quel moment la variable « longueur » est augmentée : avant ou après l’instruction « avancer de longueur » ? Cela détermine la longueur réellement utilisée pour le 15ᵉ tracé.
Que doit-on modifier dans le programme précédent pour obtenir la spirale suivante ?
Le plus petit segment mesure 10 pixels et chaque segment mesure 10 pixels de plus que le précédent.
Pour obtenir une spirale carrée, quel doit être l’angle de rotation entre deux segments consécutifs ? Compare aussi le nombre de segments de la figure avec le nombre de répétitions du programme.
Voir le corrigé de l'exercice 4
1
Corrigé
Il faut remplacer l’instruction « tourner ↺ de 60 degrés » par « tourner ↺ de 120 degrés ».
En effet, pour une spirale triangulaire, l’angle de rotation est \(\dfrac{360^\circ}{3}=120^\circ\).
Pour comprendre en détail
Le programme initial avec une rotation de \(60^\circ\) correspond à un polygone à \(6\) côtés (hexagone), d’où la figure obtenue.
2
Corrigé
Le programme trace un segment à chaque répétition, avant d’augmenter la variable longueur.
Le premier segment mesure \(10\) pixels, puis chaque segment suivant mesure \(10\) pixels de plus que le précédent. La longueur du \(n\)-ième segment est donc :
\[10 + 10(n-1) = 10n\]
Avec \(15\) répétitions, il y a \(15\) segments tracés. Le dernier segment tracé est le 15e :
\[10 \times 15 = 150\]
Le dernier segment tracé mesure 150 pixels.
Pour comprendre en détail
3
Corrigé
Il faut remplacer l’angle de rotation \(60^\circ\) par \(90^\circ\), et modifier la boucle en écrivant « répéter 20 fois » au lieu de « répéter 15 fois » (la figure comporte 20 segments, le dernier mesurant 200 pixels).
Pour comprendre en détail
Dans le programme initial, l’instruction « tourner de \(60^\circ\) » correspond à l’angle extérieur d’un hexagone régulier (\(\frac{360}{6}=60^\circ\)). Pour une spirale carrée, chaque segment fait un angle droit avec le précédent, donc l’angle de rotation vaut \(90^\circ\).
Le nombre de répétitions doit correspondre au nombre de segments visibles : les longueurs successives sont \(10, 20, 30, \dots, 200\) pixels, soit 20 segments. Si l’on conservait 15 répétitions, le dernier segment ne mesurerait que 150 pixels et la spirale serait incomplète.
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