Sujet CRPE 2022 Mathématiques · Groupement 3 : corrigé

1

Corrigé

Le rayon du disque de base est la moitié du diamètre : \(r = \dfrac{8}{2} = 4\) cm.

L’aire de la base est \(\pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi\ \text{cm}^2\).

Le volume du cylindre est donc : \(16\pi \times 6 = 96\pi\ \text{cm}^3\).

La bonne réponse est la réponse B.

Pour comprendre en détail

Autre vérification rapide : \(4^2 \times 6 = 16 \times 6 = 96\), donc le coefficient de \(\pi\) est bien \(96\).

2

Corrigé

Le 1^er juin, 3 personnes apprennent la rumeur : \(3 = 3^1\).

Le 2 juin, chacune de ces 3 personnes prévient 3 nouvelles personnes, donc \(3 \times 3 = 3^2\) personnes apprennent la rumeur.

Le nombre de nouvelles personnes informées est donc multiplié par 3 chaque jour : le \(n\)-ième jour, \(3^n\) personnes apprennent la rumeur.

Du 1^er au 10 juin, il s’écoule 10 jours, donc le 10 juin, le nombre de personnes qui apprennent la rumeur est :

\[3^{10} = 59\text{ }049\]

La bonne réponse est la réponse C.

Pour comprendre en détail

Une autre méthode consiste à multiplier de proche en proche jour par jour, ce qui permet de vérifier la cohérence du résultat.

3

Corrigé

Une hausse de 10 % revient à multiplier le prix par \(1+\dfrac{10}{100}=1\text{,}10\).

Une baisse de 10 % revient à multiplier le prix par \(1-\dfrac{10}{100}=0\text{,}90\).

Le coefficient multiplicateur global est donc :

\(1\text{,}10 \times 0\text{,}90 = 0\text{,}99 = 1 - 0\text{,}01\).

Cela correspond à une baisse de 1 %.

La bonne réponse est la A.

Pour comprendre en détail

Autre méthode : partir d'un prix de 100 €. Après la hausse, il vaut 110 € ; après la baisse de 10 %, il baisse de \(11\) € et vaut \(99\) €, soit une baisse globale de 1 %.

4

Corrigé

\(\dfrac{4}{25}=\dfrac{4 \times 4}{25 \times 4}=\dfrac{16}{100}=0\text{,}16\).
\(0\text{,}16\) admet une écriture décimale finie, c’est donc un nombre décimal.
De plus, \(0 \lt 0\text{,}16 \lt 1\), donc ce n’est pas un entier.
La bonne réponse est la C.

Pour comprendre en détail

Une autre méthode consiste à poser la division décimale de 4 par 25 pour constater que l’écriture s’arrête.

5

Corrigé

Le quart de \(\dfrac{4}{12}\) se calcule ainsi :

\(\dfrac{1}{4} \times \dfrac{4}{12} = \dfrac{4}{48}\).

En simplifiant par 4, \(\dfrac{4}{48} = \dfrac{1}{12}\). Cette valeur correspond à la réponse D.

Pour comprendre en détail

Prendre une fraction d’une quantité ou d’une autre fraction se traduit toujours par une multiplication : ici, multiplier par \(\frac{1}{4}\) équivaut à diviser par 4.

6

Corrigé

En factorisant par le facteur commun \(5\) :

\(\dfrac{2}{3}\times 5+5\times\dfrac{1}{3}=5\times\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\right)=5\times 1=5\).

La réponse exacte est la A.

Pour comprendre en détail

Autre méthode possible : effectuer d’abord les multiplications, puis additionner les fractions de même dénominateur.

7

Corrigé

Le triangle ABC est rectangle en B, donc [AC] est l’hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore :

\(BC^2 = AC^2 - AB^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36\), donc \(BC = \sqrt{36} = 6\) cm.

L’aire d’un triangle rectangle est le demi-produit des deux côtés de l’angle droit :

\(\mathcal{A} = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = 24\) cm².

La bonne réponse est donc A : 24 cm².

Pour comprendre en détail

On peut aussi remarquer que les longueurs 6, 8, 10 correspondent à un triangle rectangle multiple du triplet 3, 4, 5, ce qui permet de retrouver rapidement BC = 6 cm.

1.a

Corrigé

Durée totale de Célia :

\(33 \text{ min } 12 \text{ s} + 32 \text{ min } 4 \text{ s} + 40 \text{ min } 25 \text{ s} + 27 \text{ min } 11 \text{ s} + 30 \text{ min} + 26 \text{ min } 38 \text{ s} + 29 \text{ min } 1 \text{ s} = 217 \text{ min } 91 \text{ s} = 218 \text{ min } 31 \text{ s} = 13\text{ }111 \text{ s}\).

Moyenne de Célia : \(\dfrac{13\text{ }111}{7} = 1\text{ }873 \text{ s} = 31 \text{ min } 13 \text{ s}\).

La durée moyenne de course de Célia est donc égale à celle de sa sœur, soit \(31 \text{ min } 13 \text{ s}\).

Pour comprendre en détail

Pour comparer deux moyennes, on les exprime dans la même unité. Convertir toutes les durées en secondes avant d’additionner permet d’éviter les erreurs de retenue entre minutes et secondes lors de la division.

Une autre méthode consiste à additionner séparément les minutes et les secondes, à convertir les secondes excédentaires en minutes, puis à diviser le total par 7.

1.b

Corrigé

On range les durées de Célia dans l’ordre croissant : 26 min 38 s ; 27 min 11 s ; 29 min 1 s ; 30 min ; 32 min 4 s ; 33 min 12 s ; 40 min 25 s. L’effectif total est 7 ; la médiane est donc la 4e valeur, soit 30 min. La sœur a une médiane de 30 min. Ainsi, les deux médianes sont égales (30 min chacune).

Pour comprendre en détail

1.c

Corrigé

Célia a couru le parcours en 26 min 38 s le samedi et en 27 min 11 s le jeudi : elle a donc bien effectué le parcours en moins de 28 min.

Pour sa sœur, notons \(m\) son temps minimum et \(M\) son temps maximum. L’étendue est de 3 min, donc \(M = m + 3\).

Supposons que sa sœur ait couru en moins de 28 min. On aurait alors \(m \lt 28\) min, donc \(M = m + 3 \lt 31\) min. Tous ses temps seraient donc strictement inférieurs à 31 min, et sa moyenne serait strictement inférieure à 31 min.

Or sa moyenne est de 31 min 13 s, ce qui est supérieur à 31 min. C’est contradictoire.

Sa sœur n’a donc pas pu courir en moins de 28 min. L’affirmation de Célia est vraie.

Pour comprendre en détail

La médiane de la sœur (30 min) ne suffit pas à elle seule pour conclure : elle indique seulement que la 4^e valeur est 30 min, mais les trois plus petites durées pourraient être inférieures à 28 min. C’est le lien entre l’étendue et la moyenne qui permet de trancher.

1.d

Corrigé

La régularité se mesure avec un indicateur de dispersion : ici, l’étendue.

Pour Célia, la durée maximale est \(40\ \text{min}\ 25\ \text{s}\) et la durée minimale est \(26\ \text{min}\ 38\ \text{s}\).

Étendue de Célia :
\(40\ \text{min}\ 25\ \text{s} - 26\ \text{min}\ 38\ \text{s} = 13\ \text{min}\ 47\ \text{s}\).

Étendue de la sœur : \(3\ \text{min}\).

Comme \(3\ \text{min} \lt 13\ \text{min}\ 47\ \text{s}\), les temps de la sœur sont beaucoup plus regroupés : elle est donc plus régulière que Célia.

Pour comprendre en détail

Ici, en plus, les deux sœurs ont la même moyenne (\(31\ \text{min}\ 13\ \text{s}\)), donc la moyenne ne permettait pas de départager leur régularité : seule l’étendue le permet.

2.a

Corrigé

L’échelle \(\dfrac{1}{20\text{ }000}\) signifie que \(1\) cm sur le plan représente \(20\text{ }000\) cm dans la réalité, soit \(200\) m.

On convertit la longueur réelle du diamètre : \(2\text{ }300\) m \(= 230\text{ }000\) cm.

Sur le plan, le segment \([AB]\) mesure :

\[230\text{ }000 \div 20\text{ }000 = 11\text{,}5 \text{ cm}.\]

Le parcours est un demi-cercle de diamètre \([AB]\) ; son rayon sur le plan est donc :

\[11\text{,}5 \div 2 = 5\text{,}75 \text{ cm}.\]

On trace un segment \([AB]\) de \(11\text{,}5\) cm, puis, à l’aide du compas pointé au milieu de \([AB]\) avec un écartement de \(5\text{,}75\) cm, on trace le demi-cercle de diamètre \([AB]\) au-dessus du segment.

Pour comprendre en détail

On peut vérifier la cohérence en multipliant la longueur tracée par 20 000 et en convertissant en mètres : on doit retrouver \(2\text{ }300\) m.

2.b

Corrigé

Le demi-cercle a pour rayon \(r = \dfrac{2\text{ }300}{2} = 1\text{ }150\) m.

La longueur d’un demi-cercle est la moitié de la circonférence d’un cercle de rayon \(r\), soit \( \dfrac{1}{2} \times 2\pi r = \pi r = 1\text{ }150\pi\) m.

Le parcours comprend aussi le diamètre \([AB]\), de longueur \(2\text{ }300\) m.

La distance totale est donc :
\(1\text{ }150\pi + 2\text{ }300 \approx 3\text{ }612\text{,}83 + 2\text{ }300 = 5\text{ }912\text{,}83\) m,
soit environ \(5\text{ }913\) m arrondi à l’unité.

Pour comprendre en détail

L’arrondi à l’unité de \(5\text{ }912\text{,}83\) m est \(5\text{ }913\) m car le chiffre des dixièmes est 8.

2.c

Corrigé

On convertit d'abord la durée en heures :
\(33\ \text{min}\ 36\ \text{s} = 33\ \text{min} + \dfrac{36}{60}\ \text{min} = 33\text{,}6\ \text{min} = \dfrac{33\text{,}6}{60}\ \text{h} = 0\text{,}56\ \text{h}\).

La distance du parcours est \(5\text{,}913\ \text{km}\) (question 2.b).

La vitesse moyenne est donc :
\(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{5\text{,}913}{0\text{,}56} \approx 10\text{,}559\) km/h.

Arrondie au dixième, la vitesse moyenne de Célia est \(10\text{,}6\ \text{km/h}\).

Pour comprendre en détail

La vitesse moyenne se calcule en divisant la distance parcourue par la durée du parcours. Pour obtenir une vitesse en km/h, il faut exprimer la distance en kilomètres et la durée en heures.

Une autre méthode consiste à convertir la distance en mètres et la durée en secondes pour calculer une vitesse en m/s, puis à multiplier par \(3\text{,}6\) pour l'obtenir en km/h.

2.d

Corrigé

En partant de A dans le sens des aiguilles d'une montre, on parcourt d'abord le demi-cercle de A vers B, puis le diamètre [BA].

Le parcours à l'échelle \(\dfrac{1}{20\text{ }000}\) a une longueur totale \(P = 5\text{,}75\pi + 11\text{,}5 \approx 18\text{,}06 + 11\text{,}5 = 29\text{,}56\) cm.

Le quart du parcours mesure \(29\text{,}56 \div 4 \approx 7\text{,}39\) cm, la moitié mesure \(29\text{,}56 \div 2 \approx 14\text{,}78\) cm et les trois quarts mesurent \(29\text{,}56 \times \dfrac{3}{4} \approx 22\text{,}17\) cm.

Le demi-cercle mesure environ \(18\text{,}06\) cm, donc L et M sont sur l'arc de cercle.

Pour placer L, on utilise la longueur d'arc \(l = R \theta\) avec \(R = 5\text{,}75\) cm :
\(\theta_L = \dfrac{7\text{,}39}{5\text{,}75} \approx 1\text{,}285\;\text{rad}\), soit environ \(1\text{,}285 \times \dfrac{180}{\pi} \approx 73\text{,}6^\circ\), donc \(\widehat{AOL} \approx 74^\circ\). On trace la demi-droite issue du centre O faisant un angle d'environ \(74^\circ\) avec [OA) vers le haut, et L est son intersection avec le demi-cercle.

Pour M, on procède de même :
\(\theta_M = \dfrac{14\text{,}78}{5\text{,}75} \approx 2\text{,}57\;\text{rad}\), soit environ \(2\text{,}57 \times \dfrac{180}{\pi} \approx 147^\circ\) (le double de 74° arrondi donnerait 148° : l'écart vient des arrondis). Donc \(\widehat{AOM} \approx 147^\circ\) ; M est l'intersection de la demi-droite correspondante avec le demi-cercle.

Pour N, la distance \(22\text{,}17\) cm dépasse la longueur du demi-cercle de \(22\text{,}17 - 18\text{,}06 \approx 4\text{,}11\) cm : on continue donc sur le diamètre [BA] à partir de B. N est sur [BA] à environ \(4\text{,}1\) cm de B, c'est-à-dire à \(11\text{,}5 - 4\text{,}1 = 7\text{,}4\) cm de A.

Pour comprendre en détail

Comme le quart et la moitié du parcours sont inférieurs à la longueur du demi-cercle, L et M se trouvent sur l'arc ; les trois quarts dépassent cette longueur, donc N se trouve sur le diamètre. C'est cohérent avec le sens de parcours choisi.

A.1

Corrigé

Dans le triangle ABC, le plus grand côté est \([BC]\).

D’une part : \(AC^2 + AB^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).

D’autre part : \(BC^2 = 26^2 = 676\).

On a donc \(BC^2 = AC^2 + AB^2\).

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

Pour comprendre en détail

On peut aussi remarquer que les longueurs \(10\), \(24\) et \(26\) forment un multiple de \(2\) du triplet pythagoricien \(5 ; 12 ; 13\), ce qui confirme que le triangle est rectangle.

A.2.a

Corrigé

ADEF est un rectangle, donc (DE) est parallèle à (AF). Comme F appartient à [AC], on a (AF) = (AC), donc (DE) \parallel (AC).

Dans le triangle BAC, avec D sur [BA] et E sur [BC], le théorème de Thalès donne :

\(\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{DE}{AC}\).

Or BD = BA − AD = \(24 - 4\text{,}8 = 19\text{,}2\) m.

Ainsi, \(\dfrac{19\text{,}2}{24} = \dfrac{DE}{10}\), d’où \(DE = \dfrac{10 \times 19\text{,}2}{24} = 8\).

La longueur DE est donc égale à \(8\) m.

Pour comprendre en détail

La condition essentielle pour utiliser le théorème de Thalès est le parallélisme de (DE) et (AC), fourni ici par la nature rectangulaire de ADEF.

On peut vérifier la cohérence du résultat : \(DE = 8\) m est bien inférieur à \(AC = 10\) m, ce qui est attendu puisque \(D\) est situé au-delà du milieu de \([AB]\) en direction de \(B\).

A.2.b

Corrigé

ADEF est un rectangle, donc son aire est :

\[\mathcal{A}_{ADEF} = AD \times DE.\]

Or \(AD = 4\text{,}8\) m et \(DE = 8\) m, donc :

\[\mathcal{A}_{ADEF} = 4\text{,}8 \times 8 = 38\text{,}4.\]

L’aire du rectangle ADEF est donc \(38\text{,}4\) m².

Pour comprendre en détail

A.3.a

Corrigé

ADEF étant un rectangle, les droites (DE) et (AC) sont parallèles.

Dans le triangle ABC, D ∈ [AB], E ∈ [BC] et (DE) // (AC). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{DE}{AC}\).

Or \(BA=24\) m, \(BD=BA-AD=24-x\) et \(AC=10\) m, donc :

\(\dfrac{DE}{10}=\dfrac{24-x}{24}\).

D’où \(DE=10\times\dfrac{24-x}{24}=10-\dfrac{10}{24}x=10-\dfrac{5}{12}x\).

Ainsi, pour \(AD=x\), on a bien \(DE=10-\dfrac{5}{12}x\).

Pour comprendre en détail

On peut aussi remarquer que cette relation est cohérente avec la question A.2.a : si \(x=4\text{,}8\) m, on retrouve \(DE=8\) m.

A.3.b

Corrigé

Le rectangle ADEF a pour dimensions \(AD = x\) et \(DE = 10 - \dfrac{5}{12}x\).

Son aire est donc :

\[A(x) = AD \times DE = x \times \left(10 - \dfrac{5}{12}x\right).\]

En développant :

\[A(x) = 10x - \dfrac{5}{12}x^2.\]

L’aire du rectangle ADEF en fonction de \(x\) est \(A(x) = 10x - \dfrac{5}{12}x^2\), exprimée en m².

Pour comprendre en détail

On utilise directement le résultat de la question A.3.a : \(DE = 10 - \dfrac{5}{12}x\). On peut vérifier la cohérence avec les questions précédentes : pour \(x = 4\text{,}8\), on retrouve \(DE = 10 - \dfrac{5}{12} \times 4\text{,}8 = 10 - 2 = 8\) m, ce qui redonne bien l’aire \(4\text{,}8 \times 8 = 38\text{,}4\) m².

A.4.a

Corrigé

Sur le graphique, le point de la courbe d’abscisse \(5\) a pour ordonnée environ \(40\). L’aire du potager est donc d’environ \(40\) m².

Vérification par le calcul : \(A(5)=5 \times \left(10-\dfrac{25}{12}\right) \approx 39\text{,}6\) m², ce qui est cohérent avec la lecture graphique.

Pour comprendre en détail

La lecture graphique donne une valeur approchée ; le calcul exact est légèrement inférieur à \(40\) m².

A.4.b

Corrigé

D'après le graphique, la droite horizontale d'ordonnée \(45\) coupe la courbe en deux points dont les abscisses sont \(6\) et \(18\).

L'aire du potager est donc égale à \(45\ \text{m}^2\) pour \(\text{AD}=6\ \text{m}\) ou \(\text{AD}=18\ \text{m}\).

Pour comprendre en détail

Une lecture graphique donne des valeurs approchées selon la précision du tracé ; ici, la résolution algébrique de \(x(10-\frac5{12}x)=45\) confirmerait les deux abscisses trouvées.

A.4.c

Corrigé

Sur le graphique, la droite horizontale d’ordonnée \(50\ \text{m}^2\) coupe la courbe en deux points dont les abscisses valent environ \(7\ \text{m}\) et \(17\ \text{m}\).

La courbe est située au-dessus de cette droite pour les valeurs de \(x\) comprises entre ces deux abscisses.

L’aire du potager est donc supérieure ou égale à \(50\ \text{m}^2\) lorsque \(7\ \text{m} \le \text{AD} \le 17\ \text{m}\) (valeurs approchées par lecture graphique).

Pour comprendre en détail

La question est une lecture graphique : on cherche l’intervalle des abscisses pour lesquelles la courbe a une ordonnée supérieure ou égale à \(50\). Les valeurs lues sont approchées, leur précision dépendant du quadrillage.

Vérification possible par le calcul : en utilisant l’expression de l’aire \(x\left(10-\dfrac5{12}x\right)\), l’inéquation \(x\left(10-\dfrac5{12}x\right) \ge 50\) conduit à \(x^2-24x+120 \le 0\), soit \(x \in [12-2\sqrt{6}\, ; 12+2\sqrt{6}] \approx [7\text{,}1\ \text{m} ; 16\text{,}9\ \text{m}]\), ce qui est cohérent avec la lecture graphique.

A.4.d

Corrigé

Par lecture graphique, la courbe atteint son maximum au point de coordonnées \((12\ ; 60)\).

L’aire maximale du potager est donc \(60\ \text{m}^2\), obtenue pour \(\text{AD}=12\ \text{m}\).

Pour \(\text{AD}=12\ \text{m}\), d’après la question A.3.a :
\(\text{DE}=10-\dfrac{5}{12}\times 12 = 10-5 = 5\ \text{m}\).

Le rectangle ADEF a donc pour longueur \(12\ \text{m}\) et pour largeur \(5\ \text{m}\).

Pour comprendre en détail

La courbe représentant l’aire en fonction de \(x\) est une arche de parabole : son sommet correspond bien à l’aire maximale. On pouvait aussi vérifier ce résultat par le calcul avec l’expression de l’aire \(A(x)=10x-\dfrac{5}{12}x^2\).

B.1

Corrigé

Le potager est un pavé droit de dimensions \(12\ \text{m}\), \(5\ \text{m}\) et \(30\ \text{cm} = 0\text{,}30\ \text{m}\).

Volume total du mélange : \(V = 12 \times 5 \times 0\text{,}30 = 18\ \text{m}^3\).

Le terreau représente un tiers du mélange, donc : \(V_{\text{terreau}} = \dfrac{1}{3} \times 18 = 6\ \text{m}^3\).

Le volume de terreau nécessaire est donc bien \(6\ \text{m}^3\).

Pour comprendre en détail

On peut aussi appliquer directement la fraction de terreau au produit \(12 \times 5 \times 0\text{,}30\), mais le passage par le volume total du pavé est plus transparent.

B.2

Corrigé

\(6\text{ m}^3 = 6\text{ }000\text{ dm}^3 = 6\text{ }000\text{ L}\).

• Magasin 1 : \(20 + 6\text{ }000 \times 0\text{,}10 = 620\) €.
• Magasin 2 : \(6\text{ }000 \div 20 = 300\) sacs ; \(300 \times 2\text{,}35 = 705\) € ; après remise de 20 % : \(705 \times 0\text{,}8 = 564\) € ; avec la carte : \(564 + 10 = 574\) €.
• Magasin 3 : \(6\text{ }000 \div 50 = 120\) sacs ; \(120 \times 5\text{,}37 = 644\text{,}40\) € ; livraison offerte car \(644\text{,}40 > 50\).

Le magasin le plus économique est le magasin 2, avec un coût total de 574 €.

Pour comprendre en détail

On compare ici des coûts totaux pour une même quantité de terreau : il faut donc inclure le nombre de sacs (en arrondissant à l’entier supérieur si nécessaire), les frais de livraison et les éventuelles remises ou cartes de fidélité.

C.1

Corrigé

Le taux de germination est de 90 % et un élève reçoit 20 graines.

Le nombre de fleurs qu’un élève peut espérer voir pousser est donc :

\(0\text{,}90 \times 20 = 18\).

Un élève peut espérer voir pousser 18 fleurs.

Pour comprendre en détail

C.2

Corrigé

Le nombre total de graines à prévoir est :

\(26 \times 20 = 520\) graines.

Chaque paquet contient 50 graines :

\(520 \div 50 = 10\text{,}4\).

Il faut donc acheter \(11\) paquets entiers, car 10 paquets ne suffisent pas.

Le coût est :

\(11 \times 4\text{,}53 = 49\text{,}83\) €.

Le budget à prévoir pour l’achat des graines est donc de \(49\text{,}83\) €.

Pour comprendre en détail

On arrondit le nombre de paquets à l’entier supérieur car on ne peut pas acheter une fraction de paquet : 10 paquets fourniraient seulement 500 graines, ce qui est insuffisant pour les 520 graines nécessaires.

C.3.a

Corrigé

La fraction du potager occupée par les bulbes est :

\[ \frac16 + \frac18 = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{7}{24}. \]

Or \(25\,\% = \frac{25}{100} = \frac14 = \frac{6}{24}\).

Comme \( \frac{7}{24} > \frac{6}{24} \), on a \( \frac{7}{24} > 25\,\% \) (environ \(29\text{,}2\,\%\)).

L’élève a raison : les bulbes représentent plus de 25 % du potager.

Pour comprendre en détail

Pour additionner deux fractions, il faut les réduire au même dénominateur ; ici, 24 est un multiple commun de 6 et 8. Une erreur fréquente consiste à comparer séparément chaque fraction à 25 % au lieu d’additionner d’abord les deux parts du potager.

C.3.b

Corrigé

Soit \(N\) le nombre total de bulbes dans le panier.

Les jonquilles représentent \(\dfrac{5}{6}\) du total, donc :

\(\dfrac{5}{6} \times N = 30\)

On en déduit \(N = 30 \times \dfrac{6}{5} = 36\).

Le nombre de bulbes de tulipes est \(36 - 30 = 6\).

Il y a donc 6 bulbes de tulipes dans le panier.

Pour comprendre en détail

On peut aussi raisonner en parts : les jonquilles représentent 5 parts sur 6, donc une part vaut \(30 \div 5\) bulbes ; les tulipes représentent la sixième part restante.

1

Corrigé

Le lutin part de l’origine \( (0\,;0) \), orienté vers la droite (90°).

À chaque répétition, il effectue :

• un tracé de \(10\) pixels, soit \(1\) cm, stylo posé ;
• un déplacement de \(10\) pixels, soit \(1\) cm, stylo levé, donc sans tracé ;
• un quart de tour vers la droite (sens horaire).

Il parcourt ainsi à chaque fois \(20\) pixels (\(2\) cm) le long d’un côté d’un carré, mais seul le premier centimètre est tracé. Comme la boucle est répétée 4 fois, on obtient 4 tirets de \(1\) cm placés au début de chaque côté d’un carré de \(2\) cm de côté, en suivant le sens des aiguilles d’une montre : le premier tiret vers la droite, le deuxième vers le bas, le troisième vers la gauche, le quatrième vers le haut. Le lutin revient au point de départ.

Pour comprendre en détail

La difficulté est de bien prendre en compte que le stylo n’écrit que pendant le premier déplacement de \(10\) pixels : le second déplacement de \(10\) pixels se fait stylo levé et ne laisse donc aucune trace. Beaucoup d’élèves tracent le carré complet de côté \(20\) pixels ou tracent des côtés de \(10\) pixels seulement en croyant que le côté s’arrête là.

On peut vérifier en additionnant les déplacements : \(4 \times (10 + 10) = 80\) pixels au total, soit un retour à l’origine après avoir décrit un carré de périmètre \(80\) pixels. Le sens « tourner ↻ de 90 degrés » indique une rotation horaire, donc les tirets sont orientés vers la droite, le bas, la gauche puis le haut.

2

Corrigé

Pour obtenir huit tirets alignés horizontalement, le lutin doit toujours se déplacer vers la droite, sans changer de direction. Il faut donc supprimer le bloc « tourner de 90 degrés » situé en fin de boucle.

De plus, la figure voulue comporte huit tirets : on remplace « répéter 4 fois » par « répéter 8 fois ».

Avec ces modifications, le programme trace bien huit tirets horizontaux de 10 pixels séparés par des espaces de 10 pixels.

Pour comprendre en détail

Dans le programme initial, le bloc « tourner de 90 degrés » modifie l’orientation du lutin après chaque tiret : celui-ci change donc de direction au lieu de continuer tout droit. En le supprimant, le lutin conserve l’orientation initiale de 90° (vers la droite) tout au long de l’exécution. Une erreur fréquente est de seulement augmenter le nombre de répétitions sans supprimer la rotation ; on obtiendrait alors huit tirets répartis dans plusieurs directions, mais pas une ligne horizontale. Les blocs « avancer de 10 » avec stylo en position d’écriture puis stylo relevé assurent déjà le trait de 10 pixels et l’espace de 10 pixels, ils n’ont pas à être modifiés.

3.a

Corrigé

La figure cible comporte 8 tirets régulièrement répartis autour du centre. Pour un tour complet, la somme des rotations est \(360^\circ\). Chaque tiret est donc séparé du suivant par un angle de \(\dfrac{360}{8} = 45^\circ\).

Il faut modifier le programme de départ en remplaçant « répéter 4 fois » par « répéter 8 fois » et « tourner de 90 degrés » par « tourner de 45 degrés ».

Pour comprendre en détail

3.b

Corrigé

Les huit tirets étant placés régulièrement autour du centre de l’octogone, l’angle au centre entre deux tirets voisins est \( \dfrac{360}{8}=45^\circ \).

Passer d’un tiret au tiret suivant se fait donc par une rotation de centre le centre de l’octogone et d’angle \(45^\circ\) (ou un multiple de \(45^\circ\) pour un tiret non voisin).

Pour comprendre en détail

La figure est invariante par rotations de \(45^\circ\), \(90^\circ\), \(135^\circ\), etc. autour du centre de l’octogone.