Annales CRPE · Mathématiques › 2026 · L3
Sujet CRPE 2026 Mathématiques · Groupement 3 : corrigé
Exercice 1 – Nombres décimaux, quadrilatères, probabilités (2 points)Voir le corrigé ↓
Partie 1 – Vrai ou faux
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Partie 2 – QCM
Cette seconde partie de l'exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions de réponse est exacte. Indiquer sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| \(50\) s | \(5\text{ }000\) s | \(500\) s | \(0\text{,}002\) s |
=7*A1-3*A2*A2 ».
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| \(-171\) | \(8\) | \(16\) | \(40\) |
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| \(12\) cm | \(18\) cm | \(8\) cm | environ \(13\text{,}9\) cm |
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| La médiane de cette série est \(13\) | L'étendue de cette série est \(99\) | La moyenne de cette série est \(63\) | La médiane de cette série est \(63\) |
Voir le corrigé de l'exercice 1
1.a
Corrigé
Contre-exemple : \(400\) est un nombre décimal et \(400\div10=40\), qui est un entier.
L'affirmation 1 est fausse.
Pour comprendre en détail
Un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'une affirmation générale est fausse.
1.b
Corrigé
\(\dfrac{99\text{ }999}{100\text{ }000}=0\text{,}99999\) et, par exemple, \(0\text{,}999995\) est un nombre décimal tel que \(0\text{,}99999<0\text{,}999995<1\).
L'affirmation 2 est fausse.
Pour comprendre en détail
Méthode systématique : la moyenne \(\dfrac{0\text{,}99999+1}{2}=0\text{,}999995\) est décimale et comprise entre les deux.
1.c
Corrigé
Contre-exemple : traçons deux segments [AC] et [BD] de \(4\) cm, perpendiculaires, se coupant au point de [AC] situé à \(1\) cm de A et au milieu de [BD]. Le quadrilatère ABCD a des diagonales perpendiculaires et de même longueur, mais ce n'est pas un parallélogramme (ses diagonales ne se coupent pas en leur milieu), donc pas un carré.
L'affirmation 3 est fausse.
Pour comprendre en détail
Il manque ici la première condition. Le contre-exemple ressemble à un « cerf-volant » dissymétrique.
1.d
Corrigé
Il y a \(6\times6=36\) issues équiprobables. Les produits égaux à \(12\) : \((2\,;6)\), \((6\,;2)\), \((3\,;4)\), \((4\,;3)\), soit \(4\) issues.
\(P=\dfrac4{36}=\dfrac19\). L'affirmation 4 est vraie.
Pour comprendre en détail
Un tableau à double entrée des produits permet de ne rien oublier. \((1\,;12)\) est impossible (pas de face \(12\)).
2.a
Corrigé
\(t=\dfrac dv=\dfrac{1\text{,}5\times10^8}{3\times10^5}=0\text{,}5\times10^3=500\) s. Réponse C.
Pour comprendre en détail
Soit environ \(8\) min \(20\) s : on voit le Soleil tel qu'il était un peu plus de \(8\) minutes auparavant.
2.b
Corrigé
En B3 : =7*B1-3*B2*B2, soit \(7\times4-3\times(-2)\times(-2)=28-12=16\). Réponse C.
Pour comprendre en détail
Vérification sur A3 : \(7\times5-3\times3\times3=35-27=8\) ✔ (valeur affichée).
2.c
Corrigé
D'après le théorème de Pythagore : \(\text{AB}^2=\text{AC}^2-\text{BC}^2=169-25=144\), donc \(\text{AB}=12\) cm. Réponse A.
Pour comprendre en détail
Contrôle rapide : un côté de l'angle droit est forcément plus court que l'hypoténuse (\(13\) cm), ce qui élimine \(18\) et \(13\text{,}9\). \(8=13-5\) est un piège (on ne soustrait pas les longueurs).
2.d
Corrigé
Série rangée : \(13\) ; \(51\) ; \(57\) ; \(63\) ; \(70\) ; \(81\) ; \(99\). Sept valeurs : la médiane est la \(4^\text{e}\), soit \(63\). Réponse D.
Pour comprendre en détail
Pourquoi les autres sont fausses
- A : \(13\) est la valeur au milieu de la liste non rangée, pas la médiane.
- B : étendue \(=99-13=86\).
- C : moyenne \(=\dfrac{434}{7}=62\).
📘 Revoir la méthode : fiches Nombres et arithmétique · Probabilités dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 2 – Proportionnalité, fractions, pourcentages (2,5 points)Voir le corrigé ↓
Après avoir vérifié l'absence d'intolérances et d'allergies chez l'ensemble des élèves de l'école, un enseignant propose, dans le cadre d'une séance de mathématiques, de faire des crêpes. Voici les ingrédients de la recette des crêpes pour quatre personnes proposée par l'enseignant :
- \(250\) g de farine
- \(2\) œufs
- \(60\) cl de lait
- \(25\) g de beurre fondu
- \(1\) cuillère à soupe de sucre
- Mon chiffre des centièmes est égal à mon nombre de centaines ;
- Mon produit par \(10\) a pour chiffre des unités \(4\) et pour chiffre des dizaines \(7\) ;
- Mon quotient par \(10\) a pour chiffre des millièmes \(2\) et pour chiffre des unités \(3\).
Voir le corrigé de l'exercice 2
1
Corrigé
Les quantités sont proportionnelles au nombre de personnes. On passe de \(4\) à \(6\) personnes en multipliant par \(\dfrac64=1\text{,}5\) :
| Ingrédient | 4 personnes | 6 personnes |
|---|---|---|
| Farine | \(250\) g | \(375\) g |
| Œufs | \(2\) | \(3\) |
| Lait | \(60\) cl | \(90\) cl |
| Beurre | \(25\) g | \(37\text{,}5\) g |
| Sucre | \(1\) c. à s. | \(1\text{,}5\) c. à s. |
Pour comprendre en détail
Autres méthodes (à expliciter, comme demandé)
- Addition : \(6\) personnes \(=4+2\) personnes, et pour \(2\) personnes il faut la moitié de la recette. Farine : \(250+125=375\) g.
- Retour à l'unité : pour \(1\) personne, \(250\div4=62\text{,}5\) g de farine ; pour \(6\) : \(62\text{,}5\times6=375\) g.
2
Corrigé
\(\dfrac{25}{250}=\dfrac1{10}\). On utilise \(\dfrac1{10}\) de la plaquette.
3
Corrigé
Pour \(70\) personnes, on multiplie la recette par \(\dfrac{70}{4}=17\text{,}5\) :
- farine : \(250\times17\text{,}5=4\text{ }375\) g \(\le5\text{ }000\) g ;
- œufs : \(2\times17\text{,}5=35\le3\times12=36\).
Oui, il a assez de farine et d'œufs pour les \(70\) élèves.
Pour comprendre en détail
Méthode inverse : combien de personnes avec le stock ?
- Farine : \(5\text{ }000\div250=20\) recettes, soit \(80\) personnes.
- Œufs : \(36\div2=18\) recettes, soit \(72\) personnes.
Le facteur limitant est l'œuf : \(72\) personnes au plus, ce qui suffit pour \(70\) élèves (de justesse).
4
Corrigé
Diminution : \(60-50=10\) cl. \(\dfrac{10}{60}=\dfrac16\approx0\text{,}167\).
La quantité de lait a diminué d'environ \(17\,\%\) (\(16\text{,}7\,\%\)).
Pour comprendre en détail
Vérification : \(60\times(1-0\text{,}1667)\approx50\) ✔.
5
Corrigé
\(237\text{,}42\)
Pour comprendre en détail
Traduction des indices
- Produit par \(10\) : unités \(4\) et dizaines \(7\) → le nombre a pour dixièmes \(4\) et pour unités \(7\).
- Quotient par \(10\) : millièmes \(2\) et unités \(3\) → le nombre a pour centièmes \(2\) et pour dizaines \(3\).
- Chiffre des centièmes (\(2\)) \(=\) nombre de centaines → le nombre a \(2\) centaines (et pas de milliers).
D'où \(237\text{,}42\). Vérification : \(2\text{ }374\text{,}2\) (unités \(4\), dizaines \(7\)) ✔ ; \(23\text{,}742\) (millièmes \(2\), unités \(3\)) ✔.
D'autres décimales peuvent être ajoutées au-delà des centièmes (par exemple \(237\text{,}421\)) : l'énigme demande « une » réponse gagnante.
📘 Revoir la méthode : fiches Pourcentages et proportionnalité · Nombres et arithmétique dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 3 – Aires, disque, arrondis (2 points)Voir le corrigé ↓
Dans le cadre d'un projet « Éducation au Développement Durable », l'équipe pédagogique d'une école conçoit le plan d'un parterre rectangulaire de \(8\) m de long sur \(6\) m de large. Au centre de ce parterre est envisagé la réalisation d'un bassin circulaire de \(3\) m de diamètre. Le reste de la surface du parterre rectangulaire sera ensemencé de fleurs.
Voir le corrigé de l'exercice 3
1
Corrigé
\(8\times6=48\). L'aire du parterre est \(48\) m².
Pour comprendre en détail
Les deux dimensions sont en mètres : l'aire est en m².
2
Corrigé
Rayon du bassin : \(3\div2=1\text{,}5\) m. Aire du bassin : \(\pi\times1\text{,}5^2=2\text{,}25\,\pi\approx7\text{,}07\) m².
Surface à ensemencer : \(48-2\text{,}25\,\pi\approx40\text{,}93\). Environ \(40\text{,}9\) m².
Pour comprendre en détail
3
Corrigé
\(40\text{,}9\div15\approx2\text{,}73\). Deux sacs ne couvrent que \(30\) m² : il faut au minimum \(3\) sacs.
Pour comprendre en détail
4
Corrigé
\(8\) m \(=800\) cm et \(800\div50=16\) cm ; \(6\) m \(=600\) cm et \(600\div50=12\) cm.
Sur le plan, le rectangle mesure \(16\) cm sur \(12\) cm.
Pour comprendre en détail
Le bassin (\(3\) m \(=300\) cm) aurait un diamètre de \(300\div50=6\) cm sur le plan.
📘 Revoir la méthode : fiches Pourcentages et proportionnalité · Aires et volumes dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 4 – Diagramme circulaire, proportionnalité, probabilités (1 points)Voir le corrigé ↓
Les parents des \(240\) élèves d'une école ont été interrogés sur le principal moyen de transport qu'utilisent leurs enfants pour se rendre à l'école. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :
| Moyen de transport | Voiture | Transports en commun | Vélo | Autre |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | \(120\) | \(72\) | \(36\) | \(12\) |
Voir le corrigé de l'exercice 4
1
Corrigé
\(\dfrac{36}{240}\times360°=54°\). Le secteur « Vélo » mesure \(54°\).
Pour comprendre en détail
\(\dfrac{36}{240}=0\text{,}15\) : les cyclistes représentent \(15\,\%\) des élèves, et \(15\,\%\) de \(360°\) font \(54°\). Contrôle : voiture \(180°\), transports \(108°\), vélo \(54°\), autre \(18°\), total \(360°\) ✔.
2
Corrigé
\(240-72=168\) élèves ne viennent pas en transports en commun.
\(P=\dfrac{168}{240}=\dfrac{7}{10}=0\text{,}7\).
Pour comprendre en détail
Autre écriture : \(1-\dfrac{72}{240}=1-0\text{,}3=0\text{,}7\).
3
Corrigé
\(20\,\%\) de \(240\) \(=48\) élèves. Il y a actuellement \(36\) cyclistes : \(48-36=12\).
Il faudrait \(12\) cyclistes de plus.
Pour comprendre en détail
Les élèves changent de moyen de transport : le total reste \(240\). On peut aussi résoudre \(\dfrac{36+x}{240}=0\text{,}2\), d'où \(x=12\).
📘 Revoir la méthode : fiches Pourcentages et proportionnalité · Probabilités dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 5 – Programmes de calcul, calcul littéral, équation produit (2,5 points)Voir le corrigé ↓
Les deux programmes de calcul suivants sont proposés par une enseignante à ses élèves :
| Programme A | Programme B |
|---|---|
| • Choisir un nombre • Lui soustraire \(2\) • Prendre le carré du résultat obtenu |
• Choisir un nombre • Le multiplier par \(3\) • Soustraire \(4\) • Multiplier le résultat obtenu par le nombre de départ |
Partie 1 – Programme A
Elle demande d'abord aux élèves d'utiliser le programme A.
Partie 2 – Programme B
L'enseignante demande maintenant à ses élèves d'utiliser le programme B. On note \(f(x)\) le résultat de ce programme si l'on choisit comme nombre de départ \(x\).
Voir le corrigé de l'exercice 5
1.a
Corrigé
\(\dfrac13-2=\dfrac13-\dfrac63=-\dfrac53\), puis \(\left(-\dfrac53\right)^2=\dfrac{25}{9}\).
On obtient \(\dfrac{25}{9}\).
Pour comprendre en détail
1.b
Corrigé
Il faut que « nombre \(-2\) » ait pour carré \(9\), c'est-à-dire soit égal à \(3\) ou à \(-3\).
Le nombre de départ peut être \(5\) (ou \(-1\)).
Pour comprendre en détail
Vérification : \((5-2)^2=9\) ✔ et \((-1-2)^2=(-3)^2=9\) ✔. Une seule réponse est demandée, mais signaler les deux est un plus.
2.a
Corrigé
\(x\to3x\to3x-4\to(3x-4)\times x\).
\(f(x)=x(3x-4)=3x^2-4x\).
Pour comprendre en détail
Les deux formes sont correctes. La forme factorisée \(x(3x-4)\) est la plus utile pour la question suivante.
2.b
Corrigé
On résout \(x(3x-4)=0\). Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :
\(x=0\) ou \(3x-4=0\), soit \(x=0\) ou \(x=\dfrac43\).
Les nombres de départ sont \(0\) et \(\dfrac43\).
Pour comprendre en détail
Vérification : \(\dfrac43\times3-4=0\), et \(0\times x=0\) ✔.
2.c
Corrigé
\((x-2)^2=x(3x-4)\Leftrightarrow x^2-4x+4=3x^2-4x\Leftrightarrow4=2x^2\Leftrightarrow x^2=2\).
Les programmes donnent le même résultat pour \(x=\sqrt2\) et pour \(x=-\sqrt2\).
Pour comprendre en détail
Les termes en \(-4x\) s'éliminent : il reste une équation du type \(x^2=2\), qui a deux solutions opposées.
Vérification pour \(x=\sqrt2\) : A donne \((\sqrt2-2)^2=2-4\sqrt2+4=6-4\sqrt2\) ; B donne \(3\times2-4\sqrt2=6-4\sqrt2\) ✔.
📘 Revoir la méthode : fiches Calcul littéral et équations dans Les fiches magiques CRPE →