Sujet CRPE 2023 Mathématiques · Groupement 1 : corrigé

1

Corrigé

Dans le triangle CFE, le plus grand côté est [CE] : \(\text{CE}^2=6\text{,}8^2=46\text{,}24\).

\(\text{CF}^2+\text{FE}^2=6^2+3\text{,}2^2=36+10\text{,}24=46\text{,}24\).

\(\text{CE}^2=\text{CF}^2+\text{FE}^2\) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CFE est rectangle en F : l'angle \(\widehat{\text{CFE}}\) est droit.

Pour comprendre en détail

On calcule séparément les deux membres de l'égalité, puis on les compare : on n'écrit pas « \(\text{CE}^2=\text{CF}^2+\text{FE}^2\) » avant de l'avoir vérifié. Les longueurs \((6\,;3\text{,}2\,;6\text{,}8)\) sont proportionnelles à \((15\,;8\,;17)\), triplet pythagoricien.

2

Corrigé

Le triangle BCD est rectangle en B : \(\text{CD}^2=\text{BC}^2+\text{BD}^2\), donc \(\text{BD}^2=8\text{,}5^2-7\text{,}5^2=72\text{,}25-56\text{,}25=16\) et \(\text{BD}=4\) km.

Longueur du parcours : \(\text{BC}+\text{CE}+\text{EF}+\text{FC}+\text{CD}+\text{DB}=7\text{,}5+6\text{,}8+3\text{,}2+6+8\text{,}5+4=36\) km.

Pour comprendre en détail

Le parcours BCEFCDB passe par les segments [BC], [CE], [EF], [FC], [CD] et [DB]. Aucun n'est répété : on les additionne tous une fois.

3

Corrigé

\(t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{36}{14}\approx2\text{,}571\) h.

\(0\text{,}571\) h \(\approx0\text{,}571\times60\approx34\text{,}3\) min : \(t\approx2\) h \(34\) min.

\(2\) h \(34\) min \(<2\) h \(45\) min : oui, la classe fera le parcours en moins de \(2\) h \(45\) min.

Pour comprendre en détail

Autre comparaison sans conversion : \(2\) h \(45\) min \(=2\text{,}75\) h, et \(\dfrac{36}{14}\approx2\text{,}57<2\text{,}75\) ✔. À \(14\) km/h pendant \(2\text{,}75\) h, on parcourt \(38\text{,}5\) km, plus que les \(36\) km du parcours.

1.a

Corrigé

Part de A et B : \(\dfrac14+\dfrac13=\dfrac{3+4}{12}=\dfrac7{12}\). Il reste \(1-\dfrac7{12}=\dfrac5{12}\) de la somme.

C et D se la partagent à parts égales : \(c=\dfrac12\times\dfrac5{12}=\dfrac5{24}\) de la somme totale.

Pour comprendre en détail

Vérification : \(\dfrac14+\dfrac13+\dfrac5{24}+\dfrac5{24}=\dfrac{6+8+5+5}{24}=1\) ✔.

1.b

Corrigé

\(c=d=55\) €, soit \(\dfrac5{24}\) de la somme totale \(S\) : \(S=55\times\dfrac{24}5=264\) €.

\(a=\dfrac14\times264=66\) € ; \(b=\dfrac13\times264=88\) € ; \(c=55\) €.

Pour comprendre en détail

Vérification : \(66+88+55+55=264\) ✔.

2

Corrigé

\(g+h=\dfrac s3\) et \(g=h\) : \(g=h=\dfrac s6\).

\(e+f=s-\dfrac s3=\dfrac{2s}3\) avec \(e=3f\) : \(4f=\dfrac{2s}3\), donc \(f=\dfrac s6\) et \(e=3f=\dfrac s2\).

Parts : \(e=\dfrac s2\), \(f=\dfrac s6\), \(g=\dfrac s6\), \(h=\dfrac s6\).

Pour comprendre en détail

Vérification : \(\dfrac s2+\dfrac s6+\dfrac s6+\dfrac s6=\dfrac{3s+s+s+s}{6}=s\) ✔. F, G et H reçoivent la même part, E en reçoit trois fois plus.

1.a

Corrigé

Le point de départ est \((-75\,;50)\).

1.b

Corrigé

La boucle s'exécute \(5\) fois et appelle le bloc « Triangle » à chaque tour : \(5\) triangles.

1.c

Corrigé

Le bloc répète \(3\) fois « avancer de côté, tourner de \(120^\circ\) » : trois côtés égaux et des angles de \(60^\circ\) (angle extérieur de \(120^\circ\)) : ce sont des triangles équilatéraux.

Pour comprendre en détail

Le lutin tourne de l'angle extérieur (\(120^\circ\)), et l'angle intérieur d'un triangle équilatéral vaut \(180-120=60^\circ\). Contrôle : \(3\times120=360\), tour complet.

1.d

Corrigé

Le premier triangle a pour côté \(100\) ; ensuite « ajouter \(-20\) à côté » donne \(80\) : le deuxième triangle a pour côté \(80\) pas.

Pour comprendre en détail

Les cinq triangles ont pour côtés \(100,80,60,40,20\) pas.

2

Corrigé

À l'échelle \(1\) cm pour \(20\) pas, les côtés valent \(5\), \(4\), \(3\), \(2\) et \(1\) cm.

Le lutin trace un triangle équilatéral de \(5\) cm au-dessus de sa ligne de départ (rotations à gauche), puis avance de \(5\) cm le long de la base (stylo toujours baissé), puis trace un triangle de \(4\) cm, etc.

On obtient cinq triangles équilatéraux de côtés \(5,4,3,2,1\) cm, côte à côte sur une même base horizontale de \(5+4+3+2+1=15\) cm.

Pour comprendre en détail

Un triangle équilatéral de côté \(c\) a pour hauteur \(\dfrac{\sqrt3}{2}c\) : \(\approx4\text{,}3\) cm pour \(c=5\) cm.

3

Corrigé

Il faut répéter \(6\) fois (au lieu de \(3\)) et tourner de \(60^\circ\) (au lieu de \(120^\circ\)), puisque \(\dfrac{360}{6}=60\).

Pour comprendre en détail

Pour un triangle : \(\dfrac{360}3=120\) ; pour un hexagone : \(\dfrac{360}6=60\) ; pour un carré : \(\dfrac{360}4=90\).

A.1

Corrigé

\(\text{CE}=6\text{,}5+2+4=12\text{,}5\) m.

Aire du rectangle : \(\text{CE}\times\text{CA}=100\), donc \(\text{CA}=\dfrac{100}{12\text{,}5}=8\) m.

Pour comprendre en détail

Vérification : \(12\text{,}5\times8=100\) ✔.

A.2

Corrigé

À l'échelle \(1:80\), \(1\) cm représente \(0\text{,}8\) m. Longueurs sur le plan :

On trace le rectangle de \(15\text{,}625\) cm (soit \(15\text{,}6\) cm au tracé) sur \(10\) cm, on place D et F sur [CE], on trace [AD] et [BF], et le demi-cercle de diamètre [DF] (rayon \(1\text{,}25\) cm) à l'intérieur du terrain.

Pour comprendre en détail

\(\dfrac{12\text{,}5}{0\text{,}8}=15\text{,}625\) cm, arrondi à \(15\text{,}6\) cm pour le tracé.

A.3.a

Corrigé

ACD est rectangle en C : \(\text{AD}^2=\text{CA}^2+\text{CD}^2=8^2+6\text{,}5^2=64+42\text{,}25=106\text{,}25\).

\(\text{AD}=\sqrt{106\text{,}25}\) m.

A.3.b

Corrigé

Périmètre de la zone 1 : \(\text{CA}+\text{CD}+\text{AD}=8+6\text{,}5+\sqrt{106\text{,}25}\approx14\text{,}5+10\text{,}31=24\text{,}81\) m.

Le directeur doit acheter environ \(25\) m de bordure.

Pour comprendre en détail

On arrondit à \(25\) m (par excès) : avec \(24\) m, il manquerait presque \(1\) m de bordure.

A.3.c

Corrigé

\(\dfrac{24\text{,}81}{4}\approx6\text{,}2\) : il faut \(7\) rouleaux.

Pour comprendre en détail

Avec \(6\) rouleaux, on aurait \(24\) m, insuffisant pour \(24\text{,}81\) m.

A.4.a

Corrigé

\(\mathcal{A}_1=\dfrac{\text{CD}\times\text{CA}}{2}=\dfrac{6\text{,}5\times8}{2}=26\) m\(^2\).

A.4.b

Corrigé

\(\mathcal{A}_2=\dfrac{\text{FE}\times\text{EB}}{2}=\dfrac{4\times8}{2}=16\) m\(^2\).

A.4.c

Corrigé

Aire de l'entrée : demi-disque de rayon \(1\) m : \(\dfrac{\pi\times1^2}{2}=\dfrac\pi2\) m\(^2\).

\(\mathcal{A}_3=100-26-16-\dfrac\pi2=58-\dfrac\pi2\) m\(^2\) (valeur exacte) \(\approx56\text{,}43\), soit environ \(56\text{,}4\) m\(^2\).

Pour comprendre en détail

Les trois aires \(26+16+(58-\tfrac\pi2)+\tfrac\pi2=100\) retrouvent l'aire du terrain ✔.

A.5

Corrigé

Nombre de pieds : \(6\times56\text{,}43\approx338\) pieds.

Masse de fraises : \(338\times0\text{,}65\approx219\text{,}7\) kg, soit environ \(220\) kg.

Pour comprendre en détail

En gardant les valeurs exactes : \(6\left(58-\dfrac\pi2\right)\times0\text{,}65=(348-3\pi)\times0\text{,}65\approx220\text{,}1\) kg : même arrondi à l'unité.

B.1

Corrigé

Soit \(m_T\) la masse totale avant cuisson (fraises + sucre). Les fraises en représentent \(100-55=45\,\%\) : \(0\text{,}45\,m_T=25\), donc \(m_T=\dfrac{25}{0\text{,}45}\approx55\text{,}56\) kg.

Masse de sucre : \(0\text{,}55\times55\text{,}56\approx30\text{,}56\) kg, soit environ \(31\) kg.

Pour comprendre en détail

Autre calcul : \(m_s=m_T-25\approx30\text{,}56\) kg. Le sucre et les fraises sont dans le rapport \(\dfrac{55}{45}=\dfrac{11}{9}\), donc \(m_s=25\times\dfrac{11}9\approx30\text{,}56\).

B.2

Corrigé

\(\dfrac{4\text{,}8}{3}=1\text{,}6\) L par kilogramme de fraises, donc \(25\times1\text{,}6=40\) L.

On peut réaliser \(40\) L de confiture.

Pour comprendre en détail

Produit en croix : \(\dfrac{25\times4\text{,}8}{3}=\dfrac{120}{3}=40\).

B.3

Corrigé

Capacité d'un pot : \(V=\pi\times4\text{,}2^2\times11=194\text{,}04\,\pi\approx609\text{,}6\) cm\(^3\).

Volume de confiture par pot : \(\dfrac89\times194\text{,}04\,\pi=172\text{,}48\,\pi\approx541\text{,}9\) cm\(^3\approx0\text{,}542\) L.

\(\dfrac{40}{0\text{,}5419}\approx73\text{,}8\) : il faudra \(74\) pots.

Pour comprendre en détail

1

Corrigé

Longueur de la frise : \(8\text{,}8+7+8\text{,}8=24\text{,}6\) m \(=2\text{ }460\) cm.

\(\dfrac{2\text{ }460}{29\text{,}7}\approx82\text{,}8\) : il faut \(83\) feuilles pour couvrir toute la frise (\(82\) feuilles ne suffisent pas).

Pour comprendre en détail

Contrôle : \(82\times29\text{,}7=2\text{ }435\text{,}4\) cm \(<2\text{ }460\) cm et \(83\times29\text{,}7=2\text{ }465\text{,}1\) cm \(\geqslant2\text{ }460\) cm ✔.

2

Corrigé

Longueur de la frise : \(83\times29\text{,}7=2\text{ }465\text{,}1\) cm. Durée représentée : \(2\text{ }023-476=1\text{ }547\) ans.

\(\dfrac{2\text{ }465\text{,}1}{1\text{ }547}\approx1\text{,}59\) cm par an, soit environ \(1\text{,}6\) cm par année.

Pour comprendre en détail

Avec \(2\text{ }460\) cm (longueur exacte des murs), on trouve \(1\text{,}59\) cm aussi : même arrondi \(1\text{,}6\) cm.

3.a

Corrigé

En C2 : =(B2-476)*1,6

Pour comprendre en détail

Recopiée vers le bas, la formule devient =(B3-476)*1,6, etc. : la référence à la ligne s'adapte, le \(476\) et le \(1\text{,}6\) restent des constantes. Pour la ligne \(2\), on obtient bien \(0\) (cohérent avec l'affichage).

3.b

Corrigé

\(\dfrac{\text{C2}}{29\text{,}7}\) est le nombre de feuilles de \(29\text{,}7\) cm placées avant la date ; sa partie entière est le nombre de feuilles entières déjà complètement passées ; en ajoutant \(1\), on obtient le numéro de la feuille sur laquelle se trouve l'événement.

Les nombres de la colonne D donnent donc le numéro de la feuille de la frise (de \(1\) à \(83\)) sur laquelle figure chaque événement.

Pour comprendre en détail

Exemple de la ligne \(2\) : \(0\) cm \(\to\) ENT\((0)+1=1\) : la date \(476\) est sur la \(1^{\text{re}}\) feuille.

4

Corrigé

Position de \(1\text{ }492\) : \((1\text{ }492-476)\times1\text{,}6=1\text{ }016\times1\text{,}6=1\text{ }625\text{,}6\) cm.

Murs dans l'ordre : nord \(880\) cm ; est \(700\) cm, jusqu'à \(880+700=1\text{ }580\) cm ; sud ensuite.

\(1\text{ }625\text{,}6>1\text{ }580\) : l'événement se situe sur le mur sud, à \(45\text{,}6\) cm après le coin sud-est.

Pour comprendre en détail

Sur la feuille : \(\dfrac{1\text{ }625\text{,}6}{29\text{,}7}\approx54\text{,}7\) donc ENT\(+1=55\) : c'est la \(55^{\text{e}}\) feuille.

1

Corrigé

Garçons : \(150-80=70\). Musiciens : \(0\text{,}24\times150=36\), dont \(16\) garçons donc \(36-16=20\) filles musiciennes.

Pour comprendre en détail

Les cases se remplissent par différences : \(80-20=60\), \(70-16=54\), \(150-36=114\). Contrôle : \(60+54=114\) ✔.

2.a

Corrigé

\(P=\dfrac{70}{150}=\dfrac7{15}\).

2.b

Corrigé

\(P=\dfrac{20}{150}=\dfrac2{15}\).

2.c

Corrigé

\(P=\dfrac{114}{150}=\dfrac{19}{25}\).

Pour comprendre en détail

On vérifie avec l'événement contraire : \(1-\dfrac{36}{150}=1-\dfrac6{25}=\dfrac{19}{25}\) ✔.

3

Corrigé

Parmi les \(70\) garçons, \(16\) sont musiciens : \(P=\dfrac{16}{70}=\dfrac8{35}\).

Pour comprendre en détail

4

Corrigé

\(0\text{,}3\times20=6\) filles jouent d'un instrument à vent.

\(\dfrac6{150}=0\text{,}04=4\,\%\) de l'effectif total.

Pour comprendre en détail

Les deux pourcentages ont des références différentes : \(30\,\%\) des filles musiciennes (\(20\) élèves) et \(4\,\%\) de l'école (\(150\) élèves) désignent les mêmes \(6\) élèves.