En bref. On regarde la figure et ce qu'on cherche. Un triangle rectangle dont on connaît deux côtés : Pythagore donne le troisième. Deux droites parallèles qui coupent deux droites sécantes (triangles emboîtés ou « papillon ») : Thalès donne une longueur. Pour prouver un angle droit, on utilise la réciproque de Pythagore ; pour prouver que deux droites sont parallèles, la réciproque de Thalès.
1Le tableau de décision
| Ce que l'on a, ce que l'on cherche | Théorème |
|---|---|
| Un triangle rectangle, deux longueurs connues, on cherche la troisième | Pythagore |
| Les trois longueurs d'un triangle, on se demande s'il est rectangle | Réciproque de Pythagore (ou sa contraposée s'il ne l'est pas) |
| Deux droites parallèles et deux sécantes, on cherche une longueur | Thalès |
| Des longueurs proportionnelles, on se demande si deux droites sont parallèles | Réciproque de Thalès |
Le mot-clé est souvent dans la question : « montrer que le triangle est rectangle » appelle la réciproque de Pythagore, « calculer DE » avec des parallèles appelle Thalès.
2Pythagore et sa réciproque
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, le plus long) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Exemple. Un triangle a pour côtés $6$, $8$ et $10$ cm. Le plus grand côté mesure $10$ : $10^2 = 100$ et $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. L'égalité est vérifiée : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
Autre exemple. Côtés $5$, $6$ et $8$ cm : $8^2 = 64$ mais $5^2 + 6^2 = 61$. Les deux résultats sont différents : le triangle n'est pas rectangle.
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3Thalès et sa réciproque
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, avec M sur (AB) et N sur (AC), alors les longueurs des deux triangles AMN et ABC sont proportionnelles : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$.
Exemple. M est sur [AB], N sur [AC] et (MN) est parallèle à (BC). AM = $3$ cm, AB = $5$ cm et BC = $10$ cm. D'après le théorème de Thalès, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$, donc $\dfrac{3}{5} = \dfrac{MN}{10}$ et MN = $\dfrac{3 \times 10}{5} = 6$ cm.
La réciproque marche dans l'autre sens : si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ et que les points sont dans le même ordre, alors (MN) et (BC) sont parallèles.
4Quand l'exercice utilise les deux
Au CRPE, les deux théorèmes s'enchaînent souvent : on prouve d'abord un angle droit (réciproque de Pythagore), qui sert ensuite à prouver un parallélisme, qui permet enfin d'appliquer Thalès.
Le lien entre les deux : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Un rectangle posé dans un triangle rectangle donne ainsi des parallèles « cachées ».
La rédaction attendue, dans les deux cas : les données (« dans le triangle ABC, rectangle en A… »), le théorème cité par son nom, puis la conclusion.
Cas pratique : un exercice du CRPE corrigé
Au CRPE 2022 (groupement 3), un problème de potager enchaîne la réciproque de Pythagore puis Thalès, dans les deux premières questions.
Énoncé · CRPE 2022 M2 · Groupement 3 · Exercice 3 (extrait)
Une enseignante veut installer un potager rectangulaire ADEF sur une parcelle triangulaire ABC (figure non représentée à l'échelle). On a AB = $24$ m, AC = $10$ m et BC = $26$ m ; D est sur [AB], E sur [BC] et F sur [AC].
1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
2. On considère que AD = $4{,}8$ m. Montrer que la longueur DE est égale à $8$ m.
Corrigé détaillé
1. Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC].
D'une part, $BC^2 = 26^2 = 676$. D'autre part, $AB^2 + AC^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676$.
Donc $BC^2 = AB^2 + AC^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
2. ADEF est un rectangle, donc (DE) est perpendiculaire à (AB). Le triangle ABC est rectangle en A, donc (AC) est perpendiculaire à (AB). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (DE) et (AC) sont parallèles.
D est sur [AB] et E sur [BC] : d'après le théorème de Thalès, $\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{DE}{AC}$.
BD = $24 - 4{,}8 = 19{,}2$ m, donc $\dfrac{19{,}2}{24} = \dfrac{DE}{10}$ et DE = $\dfrac{19{,}2 \times 10}{24} = 8$ m.
Le piège : écrire $\dfrac{AD}{AB}$ dans le rapport. Les rapports partent du sommet commun des deux triangles, ici B : il faut d'abord calculer BD.
Testez-vous
Un triangle a pour côtés 3, 4 et 5 cm. Pour prouver qu'il est rectangle, on utilise…
On veut prouver l'angle droit : c'est la réciproque. $5^2 = 25$ et $3^2 + 4^2 = 25$.
Dans deux triangles emboîtés avec deux côtés parallèles, pour calculer une longueur, on utilise…
Des parallèles et deux sécantes issues d'un même sommet : c'est la configuration de Thalès.
Les erreurs classiques au concours
- Appliquer Pythagore dans un triangle dont on n'a pas prouvé qu'il est rectangle.
- Pour la réciproque, ne pas repérer le plus grand côté avant de comparer les carrés.
- Écrire « d'après le théorème de Pythagore » pour prouver un angle droit : c'est la réciproque.
- Utiliser Thalès sans avoir justifié le parallélisme des deux droites.
- Construire des rapports qui ne partent pas du sommet commun des deux triangles.
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Pour aller plus loin
Questions fréquentes
Comment savoir s'il faut utiliser Pythagore ou Thalès ?
Pythagore s'utilise dans un triangle rectangle, pour calculer un côté à partir des deux autres. Thalès s'utilise quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, pour calculer une longueur à partir de rapports égaux.
Quand utilise-t-on la réciproque de Pythagore ?
Quand on connaît les trois longueurs d'un triangle et qu'on veut prouver qu'il est rectangle. On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres : s'ils sont égaux, le triangle est rectangle.
Comment prouver que deux droites sont parallèles au CRPE ?
Avec la réciproque du théorème de Thalès (rapports de longueurs égaux, points dans le même ordre), ou en montrant que les deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite.