Annales CRPE · Mathématiques › 2021
Sujet CRPE 2021 Mathématiques · Groupement 2 : corrigé
Exercice 1 – Aire du rectangle, Pythagore, valeur exacte (13 points)Voir le corrigé ↓
Première partie. Romain et Aya souhaitent étudier quelques caractéristiques d'un terrain de rugby.
Partie A
La zone de jeu est un rectangle d'une longueur de 100 m et d'une largeur de 68 m.
Pour calculer l'aire d'un rectangle, multiplie sa longueur par sa largeur. Tu disposes de ces deux dimensions, exprimées en mètres.
Trace la diagonale du rectangle : elle forme avec la longueur et la largeur un triangle rectangle. Quel théorème permet de calculer la longueur du troisième côté ?
Pour calculer une vitesse moyenne, divise la distance parcourue par le temps mis. Reprends la valeur de la diagonale de la zone de jeu trouvée à la question précédente, en utilisant soit sa valeur exacte, soit son arrondi au mètre.
Pour comparer les vitesses, exprime-les dans la même unité : \(1 \, \text{m/s} = 3\text{,}6 \, \text{km/h}\).
Pense que la distance parcourue et la durée de course sont proportionnelles : tu peux utiliser un tableau de proportionnalité ou calculer la vitesse moyenne sur 100 m.
Partie B
Aya souhaiterait connaître la hauteur des poteaux de but représentés ci-dessous.
Pour ce faire, elle se place en un point T, de telle sorte que l'extrémité S de son ombre [TS] coïncide avec celle de l'ombre [PS] d'un des poteaux. Elle trace le schéma ci-dessous à main levée. Aya, représentée par le segment [AT], mesure 1,74 m ; on a \(\text{AT}=1\text{,}74\) m. Aya est placée à 9,51 m du poteau représenté par le segment [PH] ; on a \(\text{PT}=9\text{,}51\) m. L'ombre d'Aya mesure 2,78 m ; on a \(\text{TS}=2\text{,}78\) m. L'ombre du poteau est représentée par le segment [PS]. On considère que les poteaux et Aya sont orthogonaux au sol.
![Schéma : le poteau [PH] vertical, P au sol à gauche ; T sur le sol entre P et S ; [AT] vertical (Aya) avec A sur la droite (HS) ; S à l'extrémité droite. Les points H, A et S sont alignés.](/crpe-annales/2021-g2/fig/b_thales.png)
Pense à utiliser le théorème de Thalès dans la configuration formée par le poteau, Aya et le sol. Commence par calculer la longueur totale de l’ombre du poteau, de \(P\) à \(S\).
Partie C
Romain veut frapper du pied dans le ballon pour le faire passer au-dessus de la barre transversale et entre les poteaux de but. On suppose que le ballon se déplace dans un plan orthogonal au plan du but.
Au moment du coup de pied, le ballon se trouve au sol, au point O, face aux poteaux à une distance de 40 m de la ligne de but. Romain tape trois coups de pied différents illustrés par les trajectoires de ballon données ci-dessous. La barre transversale est à 3 m du sol.
La barre transversale se trouve à 40 m du point O. Regarde la hauteur de chaque trajectoire pour une distance de 40 m, pas sa hauteur maximale.
Romain se trouve maintenant à une distance de 55 m face au but. Il tente un coup de pied illustré par la trajectoire de ballon donnée ci-dessous.
Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. Romain a-t-il réussi à faire passer le ballon au-dessus de la barre transversale ? Justifier.
Repère sur l’axe horizontal du graphique la distance de \(55\) m, puis lis la hauteur correspondante sur l’axe vertical. Compare-la à la hauteur de la barre transversale.
Repère le point le plus haut de la courbe puis lis sa hauteur sur l’axe vertical.
Repère sur le graphique le point où la courbe retombe au sol, puis compare son abscisse à la distance de la ligne de but.
Pour la suite du problème, on admet que le ballon suit la trajectoire donnée par la courbe représentative de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=-0\text{,}02x^2+1\text{,}22x\) où \(f(x)\) représente la hauteur du ballon en mètre pour une longueur au sol \(x\) en mètre. Romain étudie cette fonction grâce à une feuille de calcul d'un tableur ; voici un extrait du travail obtenu :
Quelle formule a-t-il entrée dans la cellule B2 puis étirée pour compléter ce tableau ?
Pense à exprimer \(f(x)\) dans le tableur en utilisant la cellule qui contient \(x\), sans oublier le signe \(=\) ni les opérateurs \(*\) et \(^\).
Dans la cellule F2, la valeur de \(x\) est donnée par la cellule F1, c’est-à-dire \(25\). Remplace \(x\) par \(25\) dans l’expression de \(f(x)\).
Repère dans le tableau la colonne correspondant à la distance entre Romain et le but au moment du coup de pied, puis compare la valeur de \(f(x)\) affichée à la hauteur de la barre transversale (3 m).
Pour trouver à quelle distance le ballon retombe, cherche la valeur de \(x\) pour laquelle sa hauteur \(f(x)\) est nulle, puis compare cette distance à celle de la ligne de but.
Voir le corrigé de l'exercice 1
A.1
Corrigé
L'aire d'un rectangle est donnée par la formule : \(A = L \times \ell\), où \(L\) est la longueur et \(\ell\) la largeur.
Ici, \(L = 100\ \text{m}\) et \(\ell = 68\ \text{m}\).
Donc \(A = 100 \times 68 = 6\text{ }800\).
L'aire de la zone de jeu est donc \(6\text{ }800\ \text{m}^2\).
Pour comprendre en détail
A.2
Corrigé
La diagonale du rectangle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 100 m et 68 m. D'après le théorème de Pythagore : \(d^2 = 100^2 + 68^2 = 10\text{ }000 + 4\text{ }624 = 14\text{ }624\).
Donc \(d = \sqrt{14\text{ }624} = 4\sqrt{914}\) m (car \(14\text{ }624 = 16 \times 914\)).
À la calculatrice, \(\sqrt{14\text{ }624} \approx 120\text{,}93\), donc la diagonale mesure environ 121 m.
Pour comprendre en détail
Pour simplifier la racine carrée, on cherche un facteur carré parfait dans le nombre sous le radical (ici \(16\)). L'approximation au mètre près s'obtient en arrondissant la valeur approchée à l'unité.
A.3
Corrigé
La distance parcourue est la diagonale de la zone de jeu, soit environ \(121\) m.
\(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{121}{18} \approx 6\text{,}722\ldots\)
L’arrondi au centième est donc \(v \approx 6\text{,}72\) m/s.
Pour comprendre en détail
La distance utilisée est la diagonale de la question A.2. Sa valeur exacte est \(\sqrt{14624}\approx 120\text{,}93\) m, mais l’énoncé demande de vérifier qu’elle mesure environ \(121\) m ; utiliser cette valeur arrondie au mètre est donc accepté et donne le même arrondi au centième pour la vitesse (\(120\text{,}93/18 \approx 6\text{,}7183\)).
A.4
Corrigé
On convertit la vitesse trouvée à la question A.3 en \(\text{km/h}\) :
\[6\text{,}72 \times 3\text{,}6 = 24\text{,}192\]soit environ \(24\text{,}2 \, \text{km/h}\).
Comme \(24\text{,}2 \lt 30\), Aya ne court pas à une vitesse moyenne supérieure à \(30 \, \text{km/h}\).
Pour comprendre en détail
La conversion \( \times 3\text{,}6\) vient de \(1 \, \text{m/s} = 3\text{,}6 \, \text{km/h}\), car \(1 \, \text{h} = 3\text{ }600 \, \text{s}\) et \(1 \, \text{km} = 1\text{ }000 \, \text{m}\).
Autre vérification possible : \(30 \, \text{km/h} = 30 \div 3\text{,}6 \approx 8\text{,}33 \, \text{m/s}\), ce qui reste supérieur à \(6\text{,}72 \, \text{m/s}\).
A.5
Corrigé
La distance parcourue et le temps de course sont proportionnels. Pour parcourir 100 m, Elaine Thompson met \(10\text{,}93\) s, donc pour parcourir \(121\) m, elle mettrait :
\(121 \times \dfrac{10\text{,}93}{100} = 13\text{,}2253\) s.
En arrondissant au dixième, elle aurait mis environ \(13\text{,}2\) s pour parcourir la diagonale.
Pour comprendre en détail
La valeur \(121\) m utilisée est la valeur approchée de la diagonale obtenue à la question A.2 ; le résultat est donc lui aussi une valeur approchée.
On peut aussi vérifier en calculant la vitesse moyenne \(v = \dfrac{100}{10\text{,}93}\) puis \(t = \dfrac{121}{v}\), ce qui redonne le même calcul.
B
Corrigé
Les points \(S\), \(T\), \(P\) sont alignés sur le sol et les points \(S\), \(A\), \(H\) sont alignés sur la droite \((SH)\). Les droites \((PH)\) et \((TA)\) sont toutes deux perpendiculaires au sol, donc elles sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès dans le triangle \(SPH\), avec \(A \in [SH]\) et \(T \in [SP]\) :
\(\dfrac{AT}{HP} = \dfrac{TS}{PS}\).
Or \(PS = PT + TS = 9\text{,}51 + 2\text{,}78 = 12\text{,}29\) m.
Donc \(HP = \dfrac{AT \times PS}{TS} = \dfrac{1\text{,}74 \times 12\text{,}29}{2\text{,}78} \approx 7\text{,}69\) m.
Arrondie au dixième de mètre, la hauteur du poteau est \(HP \approx 7\text{,}7\) m.
Pour comprendre en détail
Cette configuration d’ombres est classique : les rayons du soleil étant parallèles, les triangles formés par chaque objet vertical et son ombre sont semblables. On peut aussi raisonner par homothétie de centre \(S\) qui transforme \(A\) en \(H\) et \(T\) en \(P\), avec un rapport d’agrandissement \(\frac{PS}{TS}\).
Le résultat \(7\text{,}7\) m est cohérent avec la hauteur réelle d’un poteau de but de rugby.
C.1
Corrigé
La barre transversale est située à 40 m du point O et à 3 m de hauteur. Le ballon passe au-dessus de la barre uniquement si sa hauteur à 40 m est supérieure à 3 m.
Sur le graphique, pour une distance de 40 m :
- la trajectoire A a une hauteur d’environ 2 m, donc \(2 \lt 3\) ;
- la trajectoire B retombe au sol, sa hauteur est 0 m ;
- la trajectoire C a une hauteur d’environ 8 m, donc supérieure à 3 m.
Seul le coup de pied C permet au ballon de passer au-dessus de la barre transversale.
Pour comprendre en détail
La trajectoire B atteint le sol exactement à 40 m : le ballon est donc au sol au niveau de la ligne de but, ce qui ne permet pas de franchir la barre située à 3 m de hauteur.
C.2.a
Corrigé
D’après le graphique, pour une distance de \(55\) m, le ballon se trouve à une hauteur d’environ \(6\) m.
La barre transversale est à \(3\) m du sol. Or \(6 > 3\), donc le ballon passe au-dessus de la barre transversale : Romain réussit son coup de pied.
Pour comprendre en détail
On peut aussi vérifier que le ballon n’est pas encore retombé : le graphique indique qu’il touche le sol vers \(61\) m, donc à \(55\) m il est encore en l’air.
C.2.b
Corrigé
Le point le plus haut de la trajectoire a pour ordonnée environ \(18\text{,}5\). Il est atteint pour une distance d’environ \(30\) m.
La hauteur maximale atteinte par le ballon est donc d’environ \(18\text{,}5\) m.
Pour comprendre en détail
C.2.c
Corrigé
Le ballon retombe lorsque sa hauteur est nulle. Par lecture graphique, la courbe coupe l’axe des abscisses pour une distance d’environ \(61\) m.
La ligne de but est située à \(55\) m du point de frappe, donc le ballon retombe à \(61-55 = 6\) m derrière la ligne de but.
Pour comprendre en détail
La lecture graphique fournit une valeur approchée : selon la précision de lecture, on peut trouver une valeur proche de \(61\) m. L’essentiel est de bien soustraire \(55\) m pour obtenir la distance derrière la ligne.
C.3.a
Corrigé
En B2, on saisit la formule =-0,02*B1^2+1,22*B1. En l'étirant vers la droite, la référence B1 devient C1, D1, etc. Vérification pour B1 = 1 : \(-0\text{,}02 \times 1^2 + 1\text{,}22 \times 1 = 1\text{,}2\), ce qui correspond bien à la valeur affichée en B2.Pour comprendre en détail
C.3.b
Corrigé
Pour la cellule F2, on a \(x = 25\). On calcule :
\(f(25) = -0\text{,}02 \times 25^2 + 1\text{,}22 \times 25 = -0\text{,}02 \times 625 + 30\text{,}5 = -12\text{,}5 + 30\text{,}5 = 18\).
Donc F2 devrait afficher \(18\).
Pour comprendre en détail
C.3.c
Corrigé
Romain se trouve à \(55\) m du but, donc la barre transversale se situe à \(x = 55\) m, ce qui correspond à la colonne J du tableur.
Pour \(x = 55\), on a \(f(55) = -0\text{,}02 \times 55^2 + 1\text{,}22 \times 55 = 6\text{,}6\) m, valeur affichée en J2.
Comme \(6\text{,}6 > 3\), le ballon est à une hauteur supérieure à celle de la barre transversale au niveau de la ligne de but. C’est donc la cellule J2 qui permet de confirmer que le ballon est passé au-dessus de la barre.
Pour comprendre en détail
Il faut bien identifier la distance au moment du coup de pied pour choisir la bonne colonne : la barre transversale est à la position \(x\) égale à cette distance.
C.4
Corrigé
Le ballon est au sol lorsque \(f(x)=0\), donc on résout :
\[ -0\text{,}02x^2+1\text{,}22x=0 \]
On factorise par \(x\) :
\[ x(-0\text{,}02x+1\text{,}22)=0 \]
C'est une équation produit nul, donc :
\[ x=0 \quad \text{ou} \quad -0\text{,}02x+1\text{,}22=0 \]
On résout la seconde équation :
\[ -0\text{,}02x+1\text{,}22=0 \Longleftrightarrow 0\text{,}02x=1\text{,}22 \Longleftrightarrow x=\dfrac{1\text{,}22}{0\text{,}02}=61 \]
La solution \(x=0\) correspond au point de départ du ballon. Le ballon retombe donc à \(61\) m du point O.
Or la ligne de but est à \(55\) m du point O, donc le ballon retombe à :
\[ 61-55=6 \]
soit \(6\) m derrière la ligne de but.
Pour comprendre en détail
On peut vérifier que l'image de la racine non nulle trouvée est bien \(0\), et remarquer que cette distance est supérieure à \(55\) m, donc le point de chute est bien derrière la ligne de but.
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Exercice 2 – Pavé droit, pyramide tronquée, volumeVoir le corrigé ↓
Deuxième partie (quatre exercices indépendants). La figure ci-dessous représente une vue en perspective d'un silo de stockage. Le silo est composé de deux parties : la partie supérieure est un parallélépipède rectangle de volume \(V_1\), de longueur \(L=1\text{,}8\) m et de largeur \(\ell=1\text{,}5\) m ; la partie inférieure est une pyramide tronquée d'une hauteur de 1,2 m et de volume \(V_2=2\ \text{m}^3\).
Le volume total du silo est la somme du volume du pavé droit \(V_1\) et du volume de la pyramide tronquée \(V_2\). Commence par calculer \(V_1\), puis utilise la formule du volume d’un pavé droit.
Pour trouver la hauteur totale, ajoute la hauteur du parallélépipède rectangle (calculée à la question précédente) à la hauteur de la pyramide tronquée donnée dans l’énoncé.
Le cylindre doit avoir le même volume \(12\text{,}26\ \text{m}^3\) et la même hauteur totale que le silo, soit \(5\ \text{m}\). Écris la formule \(V=\pi r^2 h\), remplace \(V\) et \(h\), puis isole \(r^2\) avant de penser à doubler le rayon pour obtenir le diamètre.
Voir le corrigé de l'exercice 2
1
Corrigé
\(V_1 = V_T - V_2 = 12\text{,}26 - 2 = 10\text{,}26\) m³.
Le volume d’un parallélépipède rectangle est \(V_1 = L \times \ell \times h\).
Donc \(h = \dfrac{V_1}{L \times \ell} = \dfrac{10\text{,}26}{1\text{,}8 \times 1\text{,}5} = \dfrac{10\text{,}26}{2\text{,}7} = 3\text{,}8\).
La hauteur du parallélépipède rectangle est \(3\text{,}8\) m.
Pour comprendre en détail
La hauteur de 1,2 m de la partie inférieure n’est pas utile pour cette question.
2
Corrigé
La hauteur du parallélépipède rectangle a été trouvée à la question précédente : \(h = 3\text{,}8\) m.
La partie inférieure est une pyramide tronquée de hauteur \(1\text{,}2\) m.
La hauteur totale \(H\) du silo est donc :
\[
H = 3\text{,}8 + 1\text{,}2 = 5
\]
La hauteur totale du silo est de \(5\) m.
Pour comprendre en détail
3
Corrigé
D'après les questions précédentes, la hauteur totale du silo est \(h=5\ \text{m}\) et son volume total est \(V_T=12\text{,}26\ \text{m}^3\).
Pour un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\), on a \(V = \pi r^2 h\), donc :
\(\pi r^2 \times 5 = 12\text{,}26\)
\(r^2 = \dfrac{12\text{,}26}{5\pi} \approx 0\text{,}7805\)
\(r \approx \sqrt{0\text{,}7805} \approx 0\text{,}8835\ \text{m}\)
Le diamètre est le double du rayon : \(d = 2r \approx 2 \times 0\text{,}8835 \approx 1\text{,}767\ \text{m}\).
Arrondi au dixième de mètre, le diamètre du silo cylindrique serait \(1\text{,}8\ \text{m}\).
Pour comprendre en détail
Conserver la valeur exacte de \(r^2\) et n'arrondir qu'à la fin évite les erreurs d'arrondi intermédiaires. Une vérification rapide : le diamètre obtenu étant \(1\text{,}767\ \text{m}\), il s'arrondit bien à \(1\text{,}8\ \text{m}\) au dixième car le chiffre des centièmes est 6.
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Exercice 3 – Statistiques, diagramme en barres, pourcentagesVoir le corrigé ↓
La cheffe d'une entreprise a commandé à son gestionnaire une étude sur les salaires de ses employés pour l'année 2020. L'entreprise est installée sur deux sites : le site de Toulouse où travaillent 19 employés ; le site de Montauban où travaillent 12 employés.
La répartition des salaires nets des employés du site de Toulouse est représentée par le diagramme en barres ci-dessous, les salaires étant rangés dans l'ordre croissant. Une tasse de café est renversée sur le document réalisé par le gestionnaire et une tache vient masquer certaines informations concernant le site de Toulouse. Informations sur les salaires à Montauban en 2020 : salaire moyen : 1 520 € ; 12 employés ; salaire maximum : 2 300 € ; salaire minimum : 1 410 €.
Repère sur le diagramme les barres correspondant à des salaires supérieurs à 2 000 € en tenant compte du fait que les salaires sont rangés dans l’ordre croissant, puis additionne leurs effectifs.
L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Le salaire minimum de Toulouse est visible sur le diagramme.
La dernière barre correspond au salaire maximal trouvé à la question 2.a. Pose \(x\) le salaire de l’avant-dernière barre, qui concerne 3 personnes, et écris la moyenne pondérée des 19 salaires de Toulouse.
Pour déterminer la médiane, calcule le rang de la valeur centrale à partir de l’effectif total, puis lis les effectifs cumulés du diagramme en partant des salaires les plus bas.
Pour obtenir le salaire moyen de l’ensemble, il faut pondérer le salaire moyen de chaque site par son effectif, puis diviser par l’effectif total.
Pour augmenter une valeur de 10 %, on la multiplie par \(1\text{,}10\).
Pour une augmentation uniforme de \(t\,\%\), tous les salaires — et donc aussi le salaire moyen — sont multipliés par le coefficient \(1+\dfrac{t}{100}\). Cherche ce coefficient pour passer de \(1\text{ }520\) € à \(1\text{ }935\) €.
Voir le corrigé de l'exercice 3
1
Corrigé
Les salaires supérieurs à 2 000 € correspondent aux trois dernières barres du diagramme : la barre de 2 100 € (4 employés), l’avant-dernière barre masquée (3 employés) et la dernière barre masquée (1 employé), car ces deux barres masquées sont situées après 2 100 € dans l’ordre croissant.
Ainsi : \(4+3+1=8\) employés gagnent plus de 2 000 € sur 19 employés au total.
\(\dfrac{8}{19}\approx 0\text{,}421\), soit environ \(42\text{,}1\ \%\).
Or \(42\text{,}1\ \% > 40\ \%\) : l’affirmation de la cheffe d’entreprise est donc vraie.
Pour comprendre en détail
2.a
Corrigé
L'étendue est égale à la différence entre le salaire maximum et le salaire minimum :
\(1\text{ }890 = \text{salaire maximum} - 1\text{ }410\)
d'où \(\text{salaire maximum} = 1\text{ }890 + 1\text{ }410 = 3\text{ }300\).
Le plus haut salaire de Toulouse est donc de 3 300 €.
Pour comprendre en détail
La donnée « salaire moyen de \(1\text{ }935\) € » n'est pas utile pour cette question. Vérification : \(3\text{ }300 - 1\text{ }410 = 1\text{ }890\), ce qui correspond bien à l'étendue indiquée. Le corrigé officiel mentionne une fois « \(3\text{ }000\) € » par erreur, mais la valeur correcte est bien \(3\text{ }300\) €.
2.b
Corrigé
D’après la question 2.a, le plus haut salaire de Toulouse est \(3\text{ }300\) € ; la dernière barre représente donc 1 salarié à \(3\text{ }300\) €.
Notons \(x\) le salaire correspondant à l’avant-dernière barre, qui concerne 3 salariés. La moyenne pondérée d’une série est le quotient de la somme des produits « valeur \(\times\) effectif » par l’effectif total. On a donc :
\[ \dfrac{2\times 1\text{ }410 + 4\times 1\text{ }590 + 3\times 1\text{ }760 + 2\times 1\text{ }920 + 4\times 2\text{ }100 + 3x + 1\times 3\text{ }300}{19} = 1\text{ }935 \]
Calcul de la somme des termes connus :
\[ 2\text{ }820 + 6\text{ }360 + 5\text{ }280 + 3\text{ }840 + 8\text{ }400 + 3\text{ }300 = 30\text{ }000 \]
On obtient donc :
\[ 3x + 30\text{ }000 = 1\text{ }935 \times 19 = 36\text{ }765 \]
\[ 3x = 36\text{ }765 - 30\text{ }000 = 6\text{ }765 \]
\[ x = \dfrac{6\text{ }765}{3} = 2\text{ }255 \]
L’avant-dernière barre correspond à un salaire de 2 255 €.
Pour comprendre en détail
La clé est de traduire la moyenne par une égalité : chaque barre apporte salaire \(\times\) effectif, car la moyenne n’est pas la moyenne des salaires affichés mais la moyenne pondérée par le nombre d’employés.
Une vérification rapide consiste à s’assurer que le total des salaires obtenu avec la valeur trouvée redonne bien \(1\text{ }935 \times 19\).
3
Corrigé
L’effectif total est de \(19\) salariés. La médiane est la 10e valeur car \(19\) est impair et \(\dfrac{19+1}{2}=10\).
En cumulant les effectifs des barres dans l’ordre croissant des salaires : \(2\), puis \(6\), puis \(9\), puis \(11\). La 10e valeur (ainsi que la 11e) se trouve donc dans la barre correspondant à \(1\text{ }920\) €.
Le salaire médian des employés de Toulouse est donc \(1\text{ }920\) €.
Pour comprendre en détail
La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Pour un effectif impair, elle correspond à une valeur observée, de rang \(\dfrac{N+1}{2}\).
Ici, les barres masquées ne gênent pas le calcul : la 10e valeur est atteinte avant les barres inconnues, dès que l’effectif cumulé dépasse 10.
4
Corrigé
Le salaire moyen de l’ensemble du personnel est une moyenne pondérée par les effectifs des deux sites.
\[ \dfrac{19 \times 1\text{ }935 + 12 \times 1\text{ }520}{19 + 12} = \dfrac{36\text{ }765 + 18\text{ }240}{31} = \dfrac{55\text{ }005}{31} \approx 1\text{ }774\text{,}35 \]
Arrondi à l’unité, le salaire moyen en 2020 de l’ensemble du personnel est de \(1\text{ }774\) €.
Pour comprendre en détail
Une autre façon de voir est de reconstituer la masse salariale totale de chaque site en multipliant son salaire moyen par son effectif, puis de diviser la somme par l’effectif total.
5.a
Corrigé
Le salaire minimum à Montauban en 2020 est \(1\text{ }410\) €. Une augmentation de 10 % revient à multiplier par \(1+\dfrac{10}{100}=1\text{,}10\).
Le nouveau salaire minimum est donc \(1\text{ }410 \times 1\text{,}10 = 1\text{ }551\) €.
En 2021, le salaire minimum à Montauban sera de \(1\text{ }551\) €.
Pour comprendre en détail
On peut aussi calculer le montant de l’augmentation puis l’ajouter au salaire initial. Une erreur fréquente est d’ajouter 10 € au lieu de 10 % du salaire.
5.b
Corrigé
Une augmentation uniforme de \(t\,\%\) revient à multiplier tous les salaires par \(1+\dfrac{t}{100}\) ; le salaire moyen est donc aussi multiplié par ce coefficient.
On doit avoir : \(1\text{ }520 \times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)=1\text{ }935\).
D'où \(1+\dfrac{t}{100}=\dfrac{1\text{ }935}{1\text{ }520}\approx 1\text{,}2730\).
Donc \(\dfrac{t}{100}\approx 0\text{,}2730\), soit \(t\approx 27\text{,}30\).
Il aurait fallu augmenter les salaires de Montauban d’environ 27,3 % (arrondi au dixième).
Pour comprendre en détail
On peut aussi calculer le taux directement par \(\dfrac{1\text{ }935-1\text{ }520}{1\text{ }520}\times 100\), puisque seul le salaire moyen de Montauban doit évoluer pour atteindre celui de Toulouse.
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Exercice 4 – Scratch, polygone régulier, anglesVoir le corrigé ↓
On veut réaliser des dessins constitués de la répétition de motifs décrits dans les blocs de programme suivants.
Ces blocs ont permis de construire les trois figures ci-dessous.
Pour chacun des blocs A, B et C, donner le numéro de la figure correspondant.
Pour chaque bloc, repère le nombre de répétitions de la séquence « avancer puis tourner » et compare-le au nombre de côtés du polygone dessiné.
Pour tracer un polygone régulier avec ces blocs, le lutin doit tourner d’un angle égal à \( \dfrac{360}{\text{nombre de côtés}} \) degrés. Combien de côtés possède un hexagone régulier ?
Pour réaliser une figure plus complexe, on utilise le programme ci-dessous où le « Bloc A » représente un motif.
Quelle transformation géométrique permet de passer d'un motif au suivant ? Préciser les éléments caractéristiques.
Observe ce que fait le lutin après avoir tracé un motif avec le Bloc A : où se trouve-t-il et que change l’instruction « tourner ↺ de 60 degrés » avant le motif suivant ?
Dans le programme principal, repère la boucle qui contient le « Bloc A » : combien de fois cette boucle se répète-t-elle ?
On entre le script donné ci-dessous.
Dessiner la figure obtenue en choisissant comme échelle 1 cm pour 20 pixels.
Observe ce que trace le Bloc C seul, puis ce que fait le lutin juste après : revient-il à son point de départ et dans quelle direction ? L’instruction « avancer de 50 » entre deux motifs a-t-elle un effet visible ?
Voir le corrigé de l'exercice 4
1
Corrigé
Le nombre de répétitions correspond au nombre de côtés du polygone régulier. L’angle de rotation est l’angle extérieur, égal à \( \dfrac{360^\circ}{n} \) où \( n \) est le nombre de côtés.
| Bloc | Répétitions | Angle de rotation | Figure correspondante |
|---|---|---|---|
| Bloc A | 5 | \(72^\circ\) | Pentagone régulier : dessin n°2 |
| Bloc B | 3 | \(120^\circ\) | Triangle équilatéral : dessin n°1 |
| Bloc C | 4 | \(90^\circ\) | Carré : dessin n°3 |
Conclusion : Bloc A → dessin n°2 ; Bloc B → dessin n°1 ; Bloc C → dessin n°3.
Pour comprendre en détail
Vérification : le nombre de côtés de chaque figure (3, 5, 4) apparaît directement dans le nombre de répétitions des blocs, ce qui permet de lever toute ambiguïté.
2
Corrigé
Un hexagone régulier possède 6 côtés. L’angle de rotation après chaque côté est donc \( \dfrac{360}{6} = 60^\circ \).
Le bloc A modifié est : répéter 6 fois { avancer de 50 ; tourner ↺ de 60 degrés }.
Pour comprendre en détail
Dans ces programmes, l’angle indiqué est l’angle extérieur du polygone, c’est-à-dire l’angle dont le lutin doit tourner à chaque sommet. La somme des angles extérieurs d’un polygone régulier vaut toujours \( 360^\circ \), donc l’angle de rotation est \( \dfrac{360}{n} \) où \( n \) est le nombre de côtés.
On conserve « avancer de 50 » car les côtés doivent mesurer 50 pixels.
3.a
Corrigé
Le Bloc A trace un motif, puis le lutin revient à son point de départ, le point de coordonnées \((0\,;0)\), avec la même orientation. L’instruction « tourner ↺ de 60 degrés » fait pivoter le lutin de \(60^\circ\) autour de ce point avant de tracer le motif suivant. On passe donc d’un motif au suivant par la rotation de centre le point \((0\,;0)\), d’angle \(60^\circ\), dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.Pour comprendre en détail
Le Bloc A trace un pentagone régulier : il avance de 50 puis tourne de \(72^\circ\) cinq fois, soit un total de \(5 \times 72^\circ = 360^\circ\). Le lutin revient donc exactement à son point de départ avec son orientation initiale.
Comme le programme principal place le lutin en \((0\,;0)\) avant d’écrire, c’est ce point qui est le centre de la rotation.
Le sens « ↺ » correspond au sens inverse des aiguilles d’une montre, c’est-à-dire le sens trigonométrique.
Une erreur fréquente est d’oublier de préciser le sens de la rotation ou de confondre cette transformation avec une symétrie axiale.
Enfin, comme \(6 \times 60^\circ = 360^\circ\), les six motifs se répartissent régulièrement autour du point \((0\,;0)\).
3.b
Corrigé
Le programme principal est : « répéter 6 fois : Bloc A, tourner ↺ de 60 degrés ». À chaque passage dans cette boucle, un motif « Bloc A » est tracé. La boucle se répétant 6 fois, la figure est composée de 6 motifs. On peut vérifier que \(6 \times 60^\circ = 360^\circ\) : la figure se referme sur elle-même.
Pour comprendre en détail
4
Corrigé
Le Bloc C trace un carré de côté 50 pixels, soit \(2\text{,}5\ \text{cm}\) à l’échelle \(1\ \text{cm}\) pour \(20\ \text{pixels}\). Parti du point de coordonnées \((-120~; 0)\) et orienté vers la droite, le lutin trace un carré puis revient à son point de départ avec la même orientation. L’instruction « avancer de 50 » le déplace ensuite de \(2\text{,}5\ \text{cm}\) vers la droite, au point de départ du carré suivant. Cette répétition étant effectuée 6 fois, on obtient 6 carrés de \(2\text{,}5\ \text{cm}\) de côté, alignés et adjacents, situés au-dessus de la droite de départ. Les extrémités de la figure sont \(x=-120\) px (\(-6\ \text{cm}\)) et \(x=180\) px (\(9\ \text{cm}\)). La figure finale est donc un rectangle de \(6 \times 2\text{,}5\ \text{cm} = 15\ \text{cm}\) de long sur \(2\text{,}5\ \text{cm}\) de large, partagé en 6 carrés.
Pour comprendre en détail
Le Bloc C est un motif fermé : les quatre rotations de \(90^\circ\) totalisent \(360^\circ\), donc le lutin retrouve son orientation initiale après chaque carré. L’instruction « avancer de 50 » qui suit trace le côté bas du carré suivant ; ce segment est ensuite retracé par le premier côté du Bloc C suivant. Les carrés sont donc collés, sans espace entre eux.
Pour vérifier, on peut suivre les abscisses des points de départ des carrés : \(-120\), \(-70\), \(-20\), \(30\), \(80\), \(130\) pixels ; le tracé s’arrête à \(x=180\) pixels.
📘 Revoir la méthode : fiches Pourcentages et proportionnalité · Géométrie dans Les fiches magiques CRPE →
Exercice 5 – Vrai/faux, probabilités, indépendanceVoir le corrigé ↓
Pour chacune des affirmations suivantes indiquer, en le justifiant, si elle est vraie ou fausse. Une réponse correcte sans justification ne rapporte aucun point.
Les lancers successifs d’une pièce sont-ils indépendants ? Une pièce non truquée a-t-elle une mémoire des résultats précédents ?
Pour deux événements indépendants, comment calcule-t-on la probabilité qu’ils se réalisent tous les deux ? Représente la situation par un arbre pondéré.
Représente les résultats possibles sous forme de couples \((a\,;b)\) où \(a\) est le résultat du premier dé et \(b\) celui du second. Compte combien de couples donnent une somme de 2 et combien donnent une somme de 3.
Voir le corrigé de l'exercice 5
1
Corrigé
Les lancers successifs d’une pièce non truquée sont indépendants : le résultat du quatrième lancer ne dépend pas des trois premiers résultats.
La pièce étant non truquée, la probabilité d’obtenir face au quatrième lancer est \(P(\text{face}) = \dfrac{1}{2} = 0\text{,}5\).
Donc l’affirmation 1 est vraie.
Pour comprendre en détail
2
Corrigé
Dans chaque urne, la probabilité de tirer une boule verte est \( \dfrac{1}{4} \).
Les deux tirages sont indépendants car ils sont effectués dans deux urnes différentes.
La probabilité d’obtenir deux boules vertes est donc :
\( P(V \text{ et } V) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16} \).
Sur un arbre pondéré, une seule branche correspond à « verte dans la première urne et verte dans la seconde ». L’affirmation qui additionne les probabilités est fausse.
Pour comprendre en détail
On peut aussi raisonner en dénombrant les issues : il y a \(4\) choix possibles dans chaque urne, donc \(4 \times 4 = 16\) issues équiprobables au total ; une seule issue donne deux boules vertes.
3
Corrigé
Il y a \(6 \times 6 = 36\) couples de résultats possibles, tous équiprobables.
- Pour obtenir une somme de 2, une seule issue : \((1\,;1)\), donc \(P(\text{somme }2)=\dfrac{1}{36}\).
- Pour obtenir une somme de 3, deux issues : \((1\,;2)\) et \((2\,;1)\), donc \(P(\text{somme }3)=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}\).
Or \(\dfrac{1}{36} \neq \dfrac{1}{18}\), donc l’affirmation 3 est fausse.
Pour comprendre en détail
Autre méthode : un tableau à double entrée \(6 \times 6\) permet de visualiser les \(36\) cases et de compter directement les cases favorables.
📘 Revoir la méthode : fiches Probabilités dans Les fiches magiques CRPE →