Sujet CRPE 2026 Mathématiques · Groupement 3 : corrigé

1

Corrigé

On cherche les pays pour lesquels \(\text{Or}>\dfrac{\text{Total}}{2}\), c'est-à-dire \(2\times\text{Or}>\text{Total}\).

En dehors de la France (\(4\) sur \(7\)), seuls la Hongrie (\(2\) sur \(3\)) et la Suède (\(2\) sur \(2\)) conviennent.

Pour comprendre en détail

Méthode : un test simple

« L'or représente strictement plus de la moitié du total » \(\Longleftrightarrow\) \(2\times\text{Or}>\text{Total}\). On évite ainsi tout calcul de fraction.

Les autres pays ont encore moins d'or relativement à leur total (États-Unis \(8\) sur \(28\), Canada \(3\) sur \(8\)…).

2

Corrigé

En G2 : =C2/F2 (cellules au format pourcentage)
ou =C2/F2*100 (cellules au format nombre).

Pour comprendre en détail

Méthode

Sur la ligne 2, l'or est en C2 et le total en F2. La proportion d'or est \(\dfrac{\text{C2}}{\text{F2}}\). Recopiée vers le bas, la formule devient =C3/F3, …, =C20/F20 : les références relatives s'adaptent.

• Si G est au format pourcentage, =C2/F2 affiche \(28\text{,}6\,\%\) pour les États-Unis (\(8\div28\approx0\text{,}286\)).
• Au format nombre, il faut multiplier par \(100\) : =C2/F2*100 affiche \(28\text{,}57\ldots\)

3

Corrigé

\(\dfrac{28}{105}\approx0\text{,}2667\), soit environ \(26\text{,}7\,\%\).

Pour comprendre en détail

Calcul

\(\dfrac{28}{105}=\dfrac{4}{15}=0\text{,}2666\ldots\) Pour un pourcentage : \(0\text{,}2666\ldots\times100=26\text{,}66\ldots\), arrondi au dixième : \(26\text{,}7\,\%\).

Ordre de grandeur : plus d'une médaille sur quatre, un peu plus de \(25\,\%\) : c'est cohérent.

4

Corrigé

L'Australie compte \(18\) médailles, dont \(8\) en argent. En associant un médaillé à chaque médaille, la probabilité cherchée est :

\[P=\frac{8}{18}=\frac49.\]

Pour comprendre en détail

Bien choisir l'univers

Le journaliste choisit parmi les médaillés australiens uniquement : l'univers compte \(18\) issues équiprobables (pas \(105\)).

Issues favorables : les \(8\) médailles d'argent australiennes. \(P=\dfrac{8}{18}=\dfrac{2\times4}{2\times9}=\dfrac49\).

5

Corrigé

Les Américains ont \(8\) médailles d'or sur \(35\).

\(\dfrac{8}{35}\approx0\text{,}229<0\text{,}25=\dfrac14\). Autrement dit, \(4\times8=32<35\).

Le journaliste a tort : c'est moins d'un quart.

Pour comprendre en détail

Trois façons de comparer

• Décimaux : \(\dfrac{8}{35}\approx0\text{,}229\) et \(\dfrac14=0\text{,}25\).
• Produits en croix : \(\dfrac{8}{35}<\dfrac14\Longleftrightarrow 8\times4<35\times1\Longleftrightarrow 32<35\) ✔
• Quart de 35 : \(35\div4=8\text{,}75\) ; il faudrait au moins \(9\) médailles d'or pour dépasser le quart.

A.1

Corrigé

Le plus grand côté est [RC] (\(25\) km).

\(\text{RC}^2=25^2=625\) et \(\text{CG}^2+\text{GR}^2=15^2+20^2=225+400=625\).

\(\text{RC}^2=\text{CG}^2+\text{GR}^2\) donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RGC est rectangle en G.

Pour comprendre en détail

Pourquoi partir du plus grand côté ? Si le triangle est rectangle, son hypoténuse est son plus grand côté : c'est donc elle qu'on isole dans l'égalité, et le sommet de l'angle droit est le sommet opposé (ici G).

On reconnaît le triplet \((3\,;4\,;5)\) multiplié par \(5\) : \((15\,;20\,;25)\).

A.2

Corrigé

Parcours : \(\text{GC}+\text{CB}_1+\text{B}_1\text{B}_2+\text{B}_2\text{C}+\text{CR}+\text{RG}\). Il manque \(\text{CB}_1\) et \(\text{CB}_2\).

Les droites \((\text{B}_1\text{B}_2)\) et \((\text{GR})\) sont toutes deux perpendiculaires à la droite \((\text{GB}_1)\) (angle droit en \(\text{B}_1\) par hypothèse, en G d'après A.1) : elles sont donc parallèles.

Les points G, C, \(\text{B}_1\) et R, C, \(\text{B}_2\) sont alignés et \((\text{B}_1\text{B}_2)\parallel(\text{GR})\). D'après le théorème de Thalès :

\[\frac{\text{CB}_1}{\text{CG}}=\frac{\text{CB}_2}{\text{CR}}=\frac{\text{B}_1\text{B}_2}{\text{GR}}\quad\text{soit}\quad\frac{\text{CB}_1}{15}=\frac{\text{CB}_2}{25}=\frac{12}{20}.\]

\(\text{CB}_1=\dfrac{12\times15}{20}=9\) km et \(\text{CB}_2=\dfrac{12\times25}{20}=15\) km.

Longueur : \(15+9+12+15+25+20=96\) km.

Pour comprendre en détail

1. Le parallélisme, étape indispensable

Ici la droite commune est \((\text{GB}_1)\), qui porte G, C et \(\text{B}_1\). Sans ce parallélisme justifié, on ne peut pas appliquer le théorème de Thalès.

2. Configuration « papillon »

Le point C est entre G et \(\text{B}_1\), et entre R et \(\text{B}_2\) : les triangles \(\text{CGR}\) et \(\text{CB}_1\text{B}_2\) sont « tête-bêche ». Le théorème de Thalès s'applique de la même façon. Le coefficient de réduction vaut \(\dfrac{12}{20}=0\text{,}6\) : \(\text{CB}_1=0\text{,}6\times15=9\) et \(\text{CB}_2=0\text{,}6\times25=15\).

3. Vérification

Le triangle \(\text{CB}_1\text{B}_2\) est rectangle en \(\text{B}_1\) : \(9^2+12^2=81+144=225=15^2\) ✔

A.3

Corrigé

\(20\) km \(=2\text{ }000\text{ }000\) cm.

Sur le plan : \(\dfrac{2\text{ }000\text{ }000}{150\text{ }000}\approx13\text{,}33\) cm, soit environ \(13\text{,}3\) cm au millimètre près.

Pour comprendre en détail

Autre raisonnement

\(1\) cm \(\leftrightarrow1\text{,}5\) km, donc \(20\) km \(\leftrightarrow\dfrac{20}{1\text{,}5}\approx13\text{,}33\) cm.

Arrondi au mm = au dixième de cm : \(13\text{,}3\) cm.

B.1

Corrigé

Durée : de \(8\) h \(30\) à \(14\) h \(54\), il s'écoule \(6\) h \(24\) min \(=6+\dfrac{24}{60}=6\text{,}4\) h.

\(v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{96}{6\text{,}4}=15\) km/h.

Le bateau A a navigué à \(15\) km/h de moyenne.

Pour comprendre en détail

B.2

Corrigé

Les trois bateaux parcourent la même distance (\(96\) km) : il suffit de comparer leurs vitesses moyennes.

Bateau B : \(3\text{,}9\) m/s \(=3\text{,}9\times3\text{,}6\) km/h \(=14\text{,}04\) km/h.

\(15>14\text{,}5>14\text{,}04\) : 1^er A, 2^e C, 3^e B.

Pour comprendre en détail

Vérification par les durées

B.3

Corrigé

\(t=\dfrac{96}{14\text{,}04}\approx6\text{,}8376\) h.

\(0\text{,}8376\times60\approx50\) min, donc \(t\approx6\) h \(50\) min.

\(8\) h \(30\) + \(6\) h \(50\) min = \(15\) h \(20\) environ.

Pour comprendre en détail

Méthode en secondes (sans conversion en km/h)

\(t=\dfrac{96\text{ }000\text{ m}}{3\text{,}9\text{ m/s}}\approx24\text{ }615\) s. \(24\text{ }615\div3\text{ }600\approx6\text{,}84\) h ; \(24\text{ }615-6\times3\text{ }600=3\text{ }015\) s \(\approx50\text{,}25\) min.

Durée : \(6\) h \(50\) min. Arrivée : \(8\) h \(30\) min \(+\,6\) h \(50\) min \(=14\) h \(80\) min \(=15\) h \(20\) min.

C

Corrigé

\(12=2^2\times3\) et \(18=2\times3^2\). Le plus petit multiple commun est \(2^2\times3^2=36\).

Les deux signaux seront de nouveau simultanés au bout de \(36\) secondes (à \(8\) h \(30\) min \(36\) s).

Pour comprendre en détail

Méthode « listes de multiples » (accessible aux élèves)

• Granville : \(12\), \(24\), \(36\), \(48\), …
• Chausey : \(18\), \(36\), \(54\), …

Le premier instant commun est \(36\) s.

Méthode par les facteurs premiers

Le PPCM prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant : \(2^2\) (de \(12\)) et \(3^2\) (de \(18\)), d'où \(36\).

1

Corrigé

Contre-exemple : soit AMB un triangle isocèle en M (non aplati), par exemple \(\text{AM}=\text{MB}=5\) cm et \(\text{AB}=6\) cm. On a bien \(\text{AM}=\text{MB}\), mais M n'est pas sur [AB], donc M n'est pas le milieu de [AB].

L'affirmation 1 est fausse.

Pour comprendre en détail

Pour que M soit le milieu, il faut deux conditions : \(\text{AM}=\text{MB}\) et \(\text{M}\in[\text{AB}]\).

Logique

Pour montrer qu'une implication est fausse, un seul contre-exemple suffit. Il faut le décrire précisément (ou le dessiner avec ses mesures).

2

Corrigé

Cartes favorables : les \(8\) Cœurs, plus les \(3\) Valets qui ne sont pas des Cœurs (Trèfle, Pique, Carreau), soit \(11\) cartes.

\(P=\dfrac{11}{32}\ne\dfrac38=\dfrac{12}{32}\). L'affirmation 2 est fausse.

Pour comprendre en détail

Le piège du double comptage

\(4\) Valets \(+\,8\) Cœurs \(=12\) : c'est ce calcul qui donne \(\dfrac{12}{32}=\dfrac38\). Mais le Valet de Cœur est compté deux fois. Il y a en réalité \(4+8-1=11\) cartes.

Au CRPE, un simple dénombrement soigneux suffit.

3

Corrigé

L'abscisse de A vérifie \(f(x)=g(x)\) : \(-2x+3=7x\Leftrightarrow3=9x\Leftrightarrow x=\dfrac13\).

Ordonnée : \(g\left(\dfrac13\right)=7\times\dfrac13=\dfrac73\) (et \(f\left(\dfrac13\right)=-\dfrac23+3=\dfrac73\) ✔).

L'affirmation 3 est vraie.

Pour comprendre en détail

Méthode

Un point est sur les deux droites si ses coordonnées vérifient \(y=f(x)\) et \(y=g(x)\) : on résout donc \(f(x)=g(x)\).

Pourquoi « valeur exacte » ?

\(\dfrac73=2\text{,}333\ldots\) n'a pas d'écriture décimale finie. La lecture graphique (« environ \(2\text{,}3\) ») ne suffit pas : il faut un calcul.

Méthode alternative (vérification à rebours)

On peut aussi chercher l'antécédent de \(\dfrac73\) par \(f\) : \(-2x+3=\dfrac73\Leftrightarrow x=\dfrac13\), puis vérifier que \(g\left(\dfrac13\right)=\dfrac73\). Le point \(\left(\dfrac13\,;\dfrac73\right)\) est sur les deux droites : c'est A.

4

Corrigé

Soit un entier impair \(2n+1\) (\(n\) entier).

\((2n+1)^2=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1=2k+1\) avec \(k=2n^2+2n\) entier.

Le carré est donc impair. L'affirmation 4 est vraie.

Pour comprendre en détail

Une démonstration générale est nécessaire

Les exemples \(3^2=9\), \(5^2=25\), \(7^2=49\) illustrent l'affirmation mais ne la prouvent pas : elle porte sur tous les entiers impairs.

Identité remarquable utilisée

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) avec \(a=2n\), \(b=1\) : \((2n)^2+2\times2n\times1+1^2=4n^2+4n+1\).

5

Corrigé

Soit \(x\) le nombre choisi. Le programme calcule successivement \(8x\), puis \(8x+10\), puis \(\dfrac{8x+10}{2}=4x+5\).

\(4x+5=8\Leftrightarrow4x=3\Leftrightarrow x=\dfrac34=0\text{,}75\).

\(0\text{,}75=\dfrac{75}{100}\) est un nombre décimal. L'affirmation 5 est vraie.

Pour comprendre en détail

Méthode « remonter le programme »

On peut aussi partir de la fin et faire les opérations inverses : \(8\times2=16\) ; \(16-10=6\) ; \(6\div8=0\text{,}75\).

Vérification

\(8\times0\text{,}75=6\) ; \(6+10=16\) ; \(16\div2=8\) ✔

A.1

Corrigé

\(26\times2\text{,}54=66\text{,}04\). Le diamètre mesure \(66\text{,}04\) cm.

Pour comprendre en détail

Calcul mental : \(26\times2\text{,}54=26\times2+26\times0\text{,}54=52+14\text{,}04\).

A.2

Corrigé

Un tour de roue = périmètre de la roue = \(\pi\times66\text{,}04\) cm.

Distance : \(6\text{ }124\times\pi\times66\text{,}04\approx1\text{ }270\text{ }551\) cm.

\(1\) km \(=100\text{ }000\) cm, donc la distance vaut environ \(12\text{,}71\) km, soit \(12\text{,}7\) km arrondi au dixième.

Pour comprendre en détail

Étapes

• Un tour : \(\pi\times66\text{,}04\approx207\text{,}47\) cm, soit environ \(2\text{,}07\) m.
• \(6\text{ }124\) tours : \(6\text{ }124\times207\text{,}47\approx1\text{ }270\text{ }551\) cm.
• Conversion : \(1\text{ }270\text{ }551\) cm \(=12\text{ }705\text{,}51\) m \(=12\text{,}705\text{ }51\) km \(\approx12\text{,}7\) km.

Ordre de grandeur

Environ \(2\) m par tour et environ \(6\text{ }000\) tours : environ \(12\) km. Cohérent.

B.1

Corrigé

Distance totale : \(9\times126+11\times120+12\times140+15\times34=1\text{ }134+1\text{ }320+1\text{ }680+510=4\text{ }644\) km.

Dons : \(4\text{ }644\times1\text{,}25=5\text{ }805\) €. L'école recevra \(5\text{ }805\) €.

Pour comprendre en détail

Calcul mental de \(4\text{ }644\times1\text{,}25\)

\(1\text{,}25=1+\dfrac14\) : \(4\text{ }644+\dfrac{4\text{ }644}{4}=4\text{ }644+1\text{ }161=5\text{ }805\) €.

B.2

Corrigé

Élèves ayant parcouru \(12\) km ou plus : \(140+34=174\). Effectif total : \(126+120+140+34=420\).

\(\dfrac25\) de \(420\) \(=168\) et \(174>168\).

Plus de deux cinquièmes des élèves ont parcouru \(12\) km ou plus : l'affirmation est fausse.

Pour comprendre en détail

Deux façons de comparer

• En effectifs : \(\dfrac25\times420=168\) élèves ; or \(174>168\).
• En proportions : \(\dfrac{174}{420}\approx0\text{,}414\) et \(\dfrac25=0\text{,}4\) ; \(0\text{,}414>0\text{,}4\).

La comparaison en effectifs évite les arrondis : c'est la plus sûre.

B.3

Corrigé

\(\bar d=\dfrac{4\text{ }644}{420}\approx11\text{,}057\). La distance moyenne est d'environ \(11\text{,}06\) km.

Pour comprendre en détail

On réutilise les résultats précédents : la distance totale (\(4\text{ }644\) km) et l'effectif total (\(420\)).

\(4\text{ }644\div420=11\text{,}057\text{ }1\ldots\) ; au centième : \(11\text{,}06\) km (le chiffre des millièmes, \(7\), fait arrondir au-dessus).

B.4

Corrigé

Les \(210^\text{e}\) et \(211^\text{e}\) valeurs sont comprises entre le rang \(127\) et le rang \(246\) : elles valent \(11\).

La distance médiane est \(11\) km.

Pour comprendre en détail

Interprétation

Au moins la moitié des élèves a parcouru \(11\) km ou moins, et au moins la moitié \(11\) km ou plus.

Moyenne (\(\approx11\text{,}06\) km) et médiane (\(11\) km) sont très proches.

C.1

Corrigé

Panneaux latéraux : \(2\times(1\text{,}4\times1\text{,}2)=2\times1\text{,}68=3\text{,}36\) m².

Panneau du fond : \(5\times1\text{,}2=6\) m².

Total : \(3\text{,}36+6=9\text{,}36\) m². Il faut acheter \(9\text{,}36\) m² de bois.

Pour comprendre en détail

Lire la perspective

La partie en bois (grisée) a une hauteur de \(1\text{,}2\) m. Elle est formée :

• des deux côtés (largeur \(1\text{,}4\) m), visibles en vue de côté ;
• du fond (longueur \(5\) m).

L'avant est ouvert (on y range les vélos) : il n'y a pas de quatrième panneau.

C.2

Corrigé

Aire de la vue de côté :

• rectangle du bas : \(1\text{,}4\times1\text{,}2=1\text{,}68\) m² ;
• rectangle du haut : \(0\text{,}8\times0\text{,}6=0\text{,}48\) m² ;
• quart de disque : \(\dfrac14\times\pi\times0\text{,}6^2=0\text{,}09\,\pi\approx0\text{,}283\) m².

Volume : \(V=(1\text{,}68+0\text{,}48+0\text{,}09\,\pi)\times5=10\text{,}8+0\text{,}45\,\pi\approx12\text{,}21\) m³.

Arrondi à l'unité, le volume intérieur est bien de \(12\) m³.

Pour comprendre en détail

Cohérence des dimensions

En haut, \(0\text{,}6+0\text{,}8=1\text{,}4\) m : le rayon du quart de disque plus la longueur du rectangle redonnent bien la largeur de l'abri.

Décomposition en solides (équivalent)

Pavé du bas \(1\text{,}4\times1\text{,}2\times5=8\text{,}4\) m³ ; pavé du haut \(0\text{,}8\times0\text{,}6\times5=2\text{,}4\) m³ ; quart de cylindre \(\dfrac14\times\pi\times0\text{,}6^2\times5\approx1\text{,}414\) m³. Total \(\approx12\text{,}21\) m³.