Dérivées usuelles

On considère, dans ce cours, deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$ et $\lambda \in \mathbb{R} $.

1. Dérivée d’une somme $u+v$

La dérivée d’une somme de fonctions est la somme des dérivées.

$(u +v)’ = u’+ v’ $

Exemple :

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} $ par $f(x) = x^2+x$. On pose :
$u(x) = x^2 $ et $v(x) = x$.

On a donc $ f(x) = u(x) +v(x) $.
Or $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = 1$.
De plus $(u+v)’= u’+v’ $, donc $ f'(x) = u'(x) + v'(x)$.

On en déduit que $f'(x) = 2x+1 $

Point Méthode 🤖

Question flash ⚡

Soit $f$ définie sur $]0 ; +\infty[ $ par $f(x) = x^3 + \sqrt x$. Détermine $f'(x)$.

2. Dérivée d’un produit par un réel $\lambda \times u$

La dérivée d’un produit d’une fonction par un scalaire est le produit par un scalaire de la dérivée.

$(\lambda \times u)’ = \lambda \times u’$

Exemple :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x$.
On pose, pour tout $x \in\mathbb{R} $, $u(x)= x$ et $\lambda =2$.
On a donc $ f(x) = \lambda \times u $.
Or $(\lambda \times u)’= \lambda \times u’ $.
On en déduit que : $f'(x) = 2 \times 1 = 2$.

Question flash ⚡

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 5x^4 -2x^3 +4x $. Détermine $f'(x)$.

3. Dérivée du produit de deux fonctions $u \times v$

⚠️ Attention : la dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées ! Il faut utiliser la formule suivante (admise).

$(uv)’= u’v +uv’$

Exemple :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x+1)(2x^2-3) $.
On pose, pour tout $x \in\mathbb{R} $, $u(x)= x+1$ et $v(x) =2x^2 -3$.
On en déduit que $u'(x) = 1 $ et que $v'(x) = 4x$

Or $ f(x) = u\times v$ d’où $ f’= u’v+ uv’ $.
On en déduit que : $f'(x) = 1\times (2x^2 -3) + (x+1) \times 4x$
Finalement $ f'(x) = 6x^2+4x-3 $

Point Méthode 🤖

4. Dérivée de l’inverse $\frac{1}{v}$

$\left( \dfrac {1}{v} \right)’= -\dfrac {v’}{v^2}$

Exemple :

Soit $f$ la fonction définie sur $ \mathbb{R}-{1}$ par $f(x) =\dfrac {1}{3x-3}$.
On pose, pour tout $x \in\mathbb{R} -{1} $, $v(x)= 3x-3$.

On a donc $ f= \dfrac{1}{v} $.
Or $(\dfrac{1}{v})’= -\dfrac{v’}{v^2}$.
On en déduit que : $f'(x) = – \dfrac{3}{(3x-3)^2} $.

Question flash ⚡

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R} – {-2} $ par $f(x) = \dfrac{1}{2x+4} $. Détermine $f'(x)$.

5. Dérivée d’un quotient $\frac{u}{v}$

⚠️ La dérivée d’un quotient n’est pas égale au quotient des dérivées ! Pour $v \neq 0 $,

$\left( \dfrac {u}{v} \right)’ = \dfrac {u’v -uv’}{v^2} $

Exemple :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$ par $f(x) =\dfrac {2x-1}{x+3} $.
On pose, pour tout $x \in\mathbb{R}\setminus\{-3\} $, $u(x)= 2x-1$ et $v(x) =x+3$.

On en déduit que $u'(x) = 2$ et que $v'(x) = 1$
Or $ f= \dfrac{u}{v}$
D’où $ f’= \dfrac{u’v-uv’}{v^2} $
On en déduit que : $f'(x) = \dfrac {2\times (x+3) – (2x-1) \times 1}{(x+3)^2 }$.

Finalement $f'(x) = \dfrac{4x+7}{(x+3)^2}$.

Point méthode 🤖 vidéo

Question flash ⚡

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R} – {4} $ par $f(x) = \dfrac{3x+7}{x-4} $. Détermine $f'(x)$.

6. Dérivée composée $f(ax+b)$

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ :

$ (f(ax+b) )’= a f'(ax+b)$

Exemple :

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} $ par $ f(x) = (2x+3)^3 $
On sait que $ (f(ax+b) )’= a f'(ax+b)$
Donc ici $ (f(2x+3) )’= 2 f'(2x+3)$
Et $ (x^3)’ = 3x^2 $
On en déduit que $f'(x) = 2\times 3 (2x+3)^2 $

Question flash ⚡

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb {R} $ par $f(x) = (5-3x)^4$. Détermine $f´(x)$.