Automatismes : s'entraîner

On écrit la fraction sous forme décimale : $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$. Les deux nombres ont la même valeur, donc $\mathbf{\dfrac{3}{5} = 0{,}6}$.

Par différence : $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$. Comme $a < b$, $b - a > 0$, et $b + a > 0$ car $a$ et $b$ sont positifs. Le produit est positif, donc $b^2 - a^2 > 0$ et $\mathbf{a^2 < b^2}$ (le carré conserve l'ordre des nombres positifs).

On se ramène au signe d'une différence : $x^2 > x \iff x^2 - x > 0 \iff x(x - 1) > 0$. Un produit est strictement positif quand ses deux facteurs ont le même signe : pour $x > 1$, les deux facteurs sont positifs ; pour $x < 0$, ils sont tous les deux négatifs. Pour $0 \leqslant x \leqslant 1$, le produit est négatif ou nul. Donc $\mathbf{x < 0 \text{ ou } x > 1}$.

Les quatre fractions ont le même numérateur $1$. Plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites, donc plus la fraction est petite. Comme $5 > 4 > 3 > 2$ : $$\mathbf{\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2}}$$

On calcule chaque résultat : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}$ ; $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$ ; $1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}$. Seul $\dfrac{4}{3}$ dépasse $1$. Le plus grand résultat est $\mathbf{1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}}$.

Les deux fractions ont le même dénominateur $x - 2$ : on soustrait les numérateurs, entre parenthèses. $$A = \dfrac{(x + 3) - (x + 1)}{x - 2}$$ $$A = \dfrac{x + 3 - x - 1}{x - 2} = \mathbf{\dfrac{2}{x - 2}}$$

$2^4$ est le produit de $4$ facteurs égaux à $2$ : $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 4 \times 4 = \mathbf{16}$.

Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants : $(x^2)^3 = x^{2 \times 3} = \mathbf{x^6}$. En effet, $(x^2)^3 = x^2 \times x^2 \times x^2$.

Numérateur : $(a^3 b^{-2})^2 = a^{3 \times 2} b^{-2 \times 2} = a^6 b^{-4}$. Puis on soustrait les exposants : $\dfrac{a^6 b^{-4}}{a^{-1} b^3} = a^{6 - (-1)} b^{-4 - 3} = \mathbf{a^7 b^{-7}}$, soit $\dfrac{a^7}{b^7}$.

On simplifie par $5$ : $\dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$. Puis $\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100}$, donc $\dfrac{5}{20} = \mathbf{25\,\%}$.

$16{,}67\,\% = 0{,}1667$. Or $1 \div 6 = 0{,}1666\ldots$, donc $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$. La fraction cherchée est $\mathbf{\dfrac{1}{6}}$.

Augmenter de $4\,\%$ revient à multiplier par $1{,}04$. Sur deux ans : $1{,}04 \times 1{,}04 = 1{,}04^2 = 1{,}0816$. Taux global : $1{,}0816 - 1 = 0{,}0816 = \mathbf{8{,}16\,\%}$ (et non $8\,\%$).

On arrondit chaque nombre à une valeur simple : $2\,040 \approx 2\,000$ et $19 \approx 20$. Donc $\dfrac{2\,040}{19} \approx \dfrac{2\,000}{20} = \mathbf{100}$.

$10^5 + 10^2 = 100\,000 + 100 = 100\,100$. Le terme $100$ est négligeable devant $100\,000$ : l'ordre de grandeur est $\mathbf{10^5}$.

$2{,}5 \times 4\,200 \approx 2{,}5 \times 4\,000 = 10\,000$. Le volume total est de l'ordre de $\mathbf{10^4}$ m³.

$250$ g $= 0{,}25$ kg. Comme $4 \times 0{,}25 = 1$, on a $10 \times 0{,}25 = 2{,}5$. Il faut donc $\mathbf{10}$ disques.

On convertit la distance en mètres : $144$ km $= 144\,000$ m. Durée : $\dfrac{144\,000}{20} = 7\,200$ s. Comme $1$ h $= 3\,600$ s, le trajet dure $\mathbf{2}$ h.

$50 \times 25 \times 2 = 2\,500$ : les longueurs étant en mètres, le volume est de $2\,500$ m³, et non $2\,500$ L (une dizaine de baignoires seulement). Comme $1$ m³ $= 1\,000$ L, le volume est de $\mathbf{2\,500\,000}$ L.

$1$ dm³ $= 1$ L, donc $2{,}5$ dm³ $= \mathbf{2{,}5}$ L.

$1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000\,000$ mm³, donc $1$ mm³ $= 10^{-6}$ L. Ainsi $40$ mm³ $= 40 \times 10^{-6}$ L $= 4 \times 10^{-5}$ L. Comme $1$ L $= 10$ dL, $40$ mm³ $= \mathbf{4 \times 10^{-4}}$ dL.

$1$ m $= 100$ cm, donc $1$ m³ $= 100^3 = 10^6$ cm³, et $1$ cm³ $= 10^{-6}$ m³. Ainsi $2$ cm³ $= \mathbf{2 \times 10^{-6}}$ m³.

Un signe $-$ devant une parenthèse change le signe de chaque terme : $A = -2 - (-3x + 1) = -2 + 3x - 1 = \mathbf{3x - 3}$.

On multiplie : $-\dfrac{1}{x^2} \times \dfrac{3x}{2} = -\dfrac{3x}{2x^2} = -\dfrac{3}{2x}$. Puis, au dénominateur commun $2x$ : $D = -\dfrac{3}{2x} + \dfrac{6}{2x} = \mathbf{\dfrac{3}{2x}}$.

Identité $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = x$ et $b = 4$ : $(x + 4)^2 = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2 = \mathbf{x^2 + 8x + 16}$.

$(5x - 2)$ est un facteur commun : $x(5x - 2) + 3(5x - 2) = \mathbf{(x + 3)(5x - 2)}$.

$(2x + 1)(2x - 1) = 4x^2 - 1$ et $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$. L'expression vaut donc $4x^2 - 1 - 4x^2 + 4x - 1 = \mathbf{4x - 2}$.

On isole $x^2$ : $x^2 = \dfrac{12}{3} = 4$. Un carré vaut $4$ pour $x = 2$ ou $x = -2$ : $\mathbf{S = \{-2\,;\,2\}}$.

On développe : $-3x + 6 = 6 + x$. On regroupe : $-3x - x = 6 - 6$, soit $-4x = 0$, donc $x = 0$. $\mathbf{S = \{0\}}$.

On divise les deux membres par $I \neq 0$ : $\mathbf{R = \dfrac{U}{I}}$.

On multiplie par $V_i$ : $TV_i = V_f - V_i$. On ajoute $V_i$ : $V_f = TV_i + V_i$, soit $\mathbf{V_f = V_i(1 + T)}$.

On multiplie par $r^2$ : $gr^2 = GM$. On divise par $g$ : $r^2 = \dfrac{GM}{g}$. Comme $r > 0$, on prend la racine carrée : $\mathbf{r = \sqrt{\dfrac{GM}{g}}}$.

On calcule d'abord le produit : $R \times I = 4 \times 5 = 20$. Puis $U = 50 - 20 = \mathbf{30}$.

$R^2 = 1^2 = 1$, donc $F = \dfrac{1 \times 5 \times 2}{1} = \mathbf{10}$.

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x - 4 = 0$ ou $x + 1 = 0$, soit $x = 4$ ou $x = -1$. $\mathbf{S = \{-1\,;\,4\}}$.

$5x = 0$ ou $2x - 1 = 0$, soit $x = 0$ ou $x = \dfrac{1}{2}$. $\mathbf{S = \left\{0\,;\,\dfrac{1}{2}\right\}}$.

$4x - 8 = 4(x - 2)$. On passe tout à gauche : $(x - 2)^2 - 4(x - 2) = 0$, soit $(x - 2)(x - 6) = 0$. $\mathbf{S = \{2\,;\,6\}}$.

On multiplie chaque terme par $-3$ : $-3 \times 2x = -6x$ et $-3 \times (-5) = 15$. Donc $-3(2x - 5) = \mathbf{-6x + 15}$.

$(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$ et $4x(5x - 1) = 20x^2 - 4x$. Attention au signe $-$ devant le produit : $9x^2 - 12x + 4 - 20x^2 + 4x = \mathbf{-11x^2 - 8x + 4}$.

$3x + 9 \geqslant 0$ équivaut à $3x \geqslant -9$, soit $x \geqslant -3$ (division par $3 > 0$). $\mathbf{S = [-3\,;\,+\infty[}$.

On regroupe les $x$ à gauche : $-4x + 2x \geqslant 6 - 2$, soit $-2x \geqslant 4$. On divise par $-2 < 0$, ce qui change le sens : $x \leqslant -2$. $\mathbf{S = \,]-\infty\,;\,-2]}$.

Les facteurs s'annulent en $-3$ et en $1$. $2x + 6$ est positif pour $x > -3$, et $1 - x$ est positif pour $x < 1$. Les deux facteurs ont le même signe entre $-3$ et $1$. $\mathbf{S = \,]-3\,;\,1[}$.

$0{,}35 = \dfrac{35}{100}$. On simplifie par $5$ : $\mathbf{\dfrac{7}{20}}$.

$1{,}25 = \dfrac{125}{100}$. On simplifie par $25$ : $\mathbf{\dfrac{5}{4}}$. Une proportion supérieure à $1$ signifie que la partie dépasse la référence.

Partie $=$ proportion $\times$ total $= 0{,}25 \times 600 = \mathbf{150}$ places, c'est le quart de $600$.

$0{,}30 \times N = 18$, donc $N = \dfrac{18}{0{,}3} = \mathbf{60}$ élèves. Vérification : $30\,\%$ de $60$ vaut bien $18$.

$0{,}40 \times N = 96$, donc $N = \dfrac{96}{0{,}4} = \mathbf{240}$ employés.

Une hausse de $t\,\%$ correspond au coefficient $1 + \dfrac{t}{100}$. Ici : $1 + 0{,}12 = \mathbf{1{,}12}$.

Non. $0{,}6 = 1 - 0{,}4$ : multiplier par $0{,}6$, c'est garder $60\,\%$ de la valeur, donc une **baisse de $40\,\%$**.

Hausse de $12{,}5\,\%$ : coefficient $1{,}125$. Nouveau prix : $40 \times 1{,}125 = 40 + 40 \times 0{,}125 = 40 + 5 = \mathbf{45}$ €.

Baisse de $20\,\%$ : coefficient $0{,}8$. Donc $0{,}8 \times P = 96$, et $P = \dfrac{96}{0{,}8} = \mathbf{120}$ €.

Augmenter de $25\,\%$ revient à multiplier par $1{,}25$ : $v_2 = 1{,}25\,v_1$. On divise par $1{,}25$ : $\mathbf{v_1 = \dfrac{v_2}{1{,}25}}$, soit $v_1 = 0{,}8\,v_2$.

$t = \dfrac{\text{arrivée} - \text{départ}}{\text{départ}} = \dfrac{96 - 80}{80} = \dfrac{16}{80} = 0{,}2$, soit $\mathbf{+20\,\%}$.

$t = \dfrac{500 - 400}{400} = \dfrac{100}{400} = 0{,}25 = 25\,\%$. Donc $\mathbf{x = 25}$.

Coefficients : $1{,}5$ puis $0{,}5$. Coefficient global : $1{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75$. Taux global : $0{,}75 - 1 = -0{,}25$, soit $\mathbf{-25\,\%}$, et non $0\,\%$.

Coefficients : $1{,}5$ puis $0{,}8$. Coefficient global : $1{,}5 \times 0{,}8 = 1{,}2$. Taux global : $\mathbf{+20\,\%}$.

Trois hausses : $1{,}1^3 = 1{,}331$. Avec la baisse : $1{,}331 \times 0{,}7 = 0{,}9317$. Taux global : $0{,}9317 - 1 = -0{,}0683$, soit $\mathbf{-6{,}83\,\%}$.

Hausse de $20\,\%$ : coefficient $1{,}2$. Coefficient réciproque : $\dfrac{1}{1{,}2} = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}833$. Taux réciproque : $0{,}833 - 1$, soit environ $\mathbf{-16{,}7\,\%}$.

Coefficient : $0{,}25$. Coefficient réciproque : $\dfrac{1}{0{,}25} = 4$. Taux : $4 - 1 = 3$, soit $\mathbf{+300\,\%}$.

On se place en $x = 0$ sur l'axe des abscisses, puis on rejoint la courbe : on lit $-4$ sur l'axe des ordonnées. Donc $f(0) = \mathbf{-4}$.

On trace la droite horizontale d'ordonnée $2$ : elle coupe la courbe en $x = -2$, $x = 0$, $x = 2$ et $x = 4$. Le nombre $2$ a donc $\mathbf{4}$ antécédents.

La droite horizontale d'ordonnée $1$ coupe la courbe aux points d'abscisses $-2$ et $2$. Donc $\mathbf{S = \{-2\,;\,2\}}$.

On calcule l'ordonnée : $f(2) = 4 \times 2 - 1 = 7$. Le point de $C_f$ d'abscisse $2$ est $\mathbf{(2\,;\,7)}$.

$C$ appartient à $C_f$ si et seulement si $y_C = f(2) = 3 \times 2^2 - 2 = 12 - 2 = \mathbf{10}$.

Une fonction affine s'écrit $ax + b$. Seule $\mathbf{h}$ convient : $h(x) = 5x - 2$, avec $a = 5$ et $b = -2$. $f$ contient $x^2$ et $g$ est un quotient par $x$.

$f(0) = b = 4$. Puis $f(1) = a + 4 = 7$, donc $a = 3$. Ainsi $\mathbf{f(x) = 3x + 4}$.

Coefficient directeur : $a = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{1 - 5}{2} = -2$. Puis $f(1) = -2 + b = 5$, donc $b = 7$. Ainsi $\mathbf{f(x) = -2x + 7}$.

On cherche les points de la courbe situés sur l'axe des abscisses : $x = -1$ et $x = 3$. Donc $\mathbf{S = \{-1\,;\,3\}}$.

L'ordonnée $-2$ est le minimum de $r$ : la droite horizontale d'ordonnée $-2$ ne touche la courbe qu'en son point le plus bas, d'abscisse $-2$. Donc $\mathbf{S = \{-2\}}$.

La droite est sur ou au-dessus de l'axe des abscisses depuis l'extrémité $x = -1$ jusqu'au point d'abscisse $3$. $h$ est positive ou nulle sur $\mathbf{[-1\,;\,3]}$.

La courbe coupe l'axe des abscisses en $x = -2$ et $x = 2$. $j$ est **négative** sur $[-3\,;\,-2]$ et sur $[2\,;\,3]$, **positive** sur $[-2\,;\,2]$.

$w$ est croissante sur $[-1\,;\,1]$, et positive sur $[-3\,;\,-2]$ et sur $[0\,;\,1]$. Les deux conditions sont réunies sur $\mathbf{[0\,;\,1]}$.

Pour $x = 0$ : $y = 2 \times 0 + 1 = 1$. Pour $x = 1$ : $y = 2 \times 1 + 1 = 3$. Les points sont $\mathbf{(0\,;\,1)}$ et $\mathbf{(1\,;\,3)}$ : il suffit de les relier.

Tous ses points ont pour ordonnée $2$, quelle que soit l'abscisse. C'est la **droite horizontale passant par le point $(0\,;\,2)$**, de coefficient directeur nul.

L'ordonnée à l'origine est $b = -5$ et le coefficient directeur $a = -3$ : $\mathbf{y = -3x - 5}$.

Ordonnée à l'origine : $b = 2$. Coefficient directeur : $\dfrac{0 - 2}{4 - 0} = -\dfrac{1}{2}$. Donc $\mathbf{y = -\dfrac{1}{2}x + 2}$.

Coefficient directeur : $a = \dfrac{-5 - 5}{2 - (-3)} = \dfrac{-10}{5} = -2$. Avec $(2\,;\,-5)$ : $-5 = -2 \times 2 + b$, donc $b = -1$. Ainsi $\mathbf{y = -2x - 1}$.

$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{6 - 0}{2 - 0} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3}$.

$a = \dfrac{5 - 2}{2 - (-1)} = \dfrac{3}{3} = \mathbf{1}$.

Effectif total $=$ somme des effectifs : $18 + 25 + 12 + 15 = \mathbf{70}$ élèves.

Un quart du disque représente un quart de l'effectif : $\dfrac{1}{4} \times 200 = \mathbf{50}$ élèves.

Le disque entier mesure $360°$ et représente $200$ personnes. Part du vélo : $\dfrac{54}{360} = 0{,}15$. Effectif : $0{,}15 \times 200 = \mathbf{30}$ personnes.

Somme des valeurs : $4 + 6 + 7 + 5 + 9 + 3 + 8 + 6 + 2 + 10 = 60$. Moyenne : $\dfrac{60}{10} = \mathbf{6}$.

Effectif total : $2 + 5 + 7 + 2 = 16$. Médiane : moyenne des $8^{\text{e}}$ et $9^{\text{e}}$ valeurs. Effectifs cumulés : $2$ ; $7$ ; $14$ ; $16$ : les rangs $8$ à $14$ valent $2$. La médiane est $\mathbf{2}$.

Avec des fréquences, la moyenne vaut $\sum f_i x_i$. Produits : $0{,}2 \times 2 = 0{,}4$ ; $0{,}3 \times 5 = 1{,}5$ ; $0{,}25 \times 8 = 2$ ; $0{,}15 \times 12 = 1{,}8$ (le terme $0{,}1 \times 0$ est nul). Moyenne : $0{,}4 + 1{,}5 + 2 + 1{,}8 = \mathbf{5{,}7}$.

$N = \dfrac{\text{somme}}{\text{moyenne}} = \dfrac{44}{5{,}5} = \dfrac{440}{55} = \mathbf{8}$ valeurs.

Un événement certain se réalise à chaque fois : sa probabilité vaut $\mathbf{1}$.

$8$ élèves sur $20$ mesurent $165$ cm : $P = \dfrac{8}{20} = \mathbf{\dfrac{2}{5}}$.

Il faut $0 \leqslant \dfrac{k}{8} \leqslant 1$, soit $0 \leqslant k \leqslant 8$. Les valeurs possibles sont les entiers de $\mathbf{0}$ à $\mathbf{8}$.

$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \dfrac{3}{10} = \mathbf{\dfrac{7}{10}}$.

« Ne pas obtenir trois piles » est le contraire de « obtenir trois piles » : $P = 1 - \dfrac{1}{8} = \mathbf{\dfrac{7}{8}}$.

La somme des probabilités vaut $1$ : $0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}15 + x + 0{,}25 = 1$, soit $0{,}7 + x = 1$, donc $x = \mathbf{0{,}3}$.

Valeurs $2$, $3$ et $4$ : $0{,}15 + 0{,}3 + 0{,}25 = \mathbf{0{,}7}$.

Premier tirage rouge : $\dfrac{3}{4}$. Il reste alors $2$ rouges sur $3$ cartes : $\dfrac{2}{3}$. $P = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$.

$\text{Card}(\Omega) = 8$. Nombres strictement supérieurs à $6$ : $7$ et $8$, soit $2$ issues. $P = \dfrac{2}{8} = \mathbf{\dfrac{1}{4}}$.

$\text{Card}(\Omega) = 6 \times 6 = 36$. Chaque dé a $3$ faces paires : $3 \times 3 = 9$ issues favorables. $P = \dfrac{9}{36} = \mathbf{\dfrac{1}{4}}$.

On se place dans la colonne $\overline{B}$ : $6 + 16 = 22$ individus, dont $16$ dans $\overline{A}$. $P_{\overline{B}}(\overline{A}) = \dfrac{16}{22} = \mathbf{\dfrac{8}{11}}$.

Après le tirage d'un jeton rouge, il reste $4$ jetons, dont $2$ verts : $P = \dfrac{2}{4} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$.

Soit $D$ : « la pièce est défectueuse ». Par machine : $0{,}4 \times 0{,}01 = 0{,}004$ ; $0{,}35 \times 0{,}01 = 0{,}0035$ ; $0{,}25 \times 0{,}02 = 0{,}005$. Donc $P(D) = 0{,}0125$ et $P_D(C) = \dfrac{0{,}005}{0{,}0125} = \mathbf{0{,}4}$.

Sachant que la carte est un carreau ($8$ cartes), un seul roi convient : $P_A(B) = \mathbf{\dfrac{1}{8}}$.

Sachant que le premier dé vaut $2$, la somme vaut $8$ seulement si le second vaut $6$ : $1$ cas sur $6$. $P_B(A) = \mathbf{\dfrac{1}{6}}$.