2023Bac spé maths · Polynésie · Jour 1

Partie A

La situation peut se traduire par l'arbre pondéré suivant :

1. On calcule : \(p(J \cap T) = p(J) \times p_J(T) = 0{,}21 \times 0{,}32 = 0{,}0672\).

2. On a de même \(p\left(\overline{J} \cap T \right) = p\left(\overline{J}\right) \times p_{\overline{J}}(T) = 0{,}79 \times 0{,}20 = 0{,}158\).

   D'après la loi des probabilités totales :

   \(p(T) = p(J \cap T) + p\left(\overline{J} \cap T \right) = 0{,}0672 + 0{,}158 = 0{,}2252\).

3. Il faut trouver la probabilité conditionnelle :

   \(p_T(J) = \dfrac{p(T \cap J)}{p(T)} = \dfrac{p(J \cap T)}{p(T)} = \dfrac{0{,}0672}{00{,}2252} \approx 0{,}298\), soit 0,30 au centième près.

   Attention, piège :

   Ne confondez pas la probabilité de l'intersection \(P(J \cap T)\) et la probabilité conditionnelle \(P_T(J)\). Ici, on sait que la personne utilise son vélo dans ses déplacements professionnels : on restreint l'univers à \(T\), donc on divise \(P(J \cap T)\) par \(P(T)\).

Partie B

1. On suppose que la population de la ville est assez importante pour que la sélection de 120 personnes puisse être assimilé à un tirage avec remise de 120 personnes chacune d'elles ayant une probabilité d'avoir moins de 35 ans de 0,30.

   La loi de probabilité de \(X\) suit donc une loi binomiale \(\mathcal{B}(120~;~0{,}30)\).

2. La calculatrice donne \(p(X \geqslant 50) = 1 - p(X \leqslant 49) \approx 0{,}0044\).

1. 1. L'équation paramétrique de \(d_2\) montre qu'elle contient le point de coordonnées \((-3~;~0~;~5)\) et de vecteur directeur dont les composantes sont les coefficients de \(k\) donc \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\).

   2. Les vecteurs directeurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont manifestement pas colinéaires, donc les droites \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas parallèles.

   3. Une représentation paramétrique de la droite \(d_1\) est \(\left\{\begin{array}{l c l} x&=2 + t\\ y&=&3 - t\\ z&=&t \end{array}\right. \quad , t \in \mathbb{R}\).

      S'il existe un point commun aux deux droites, il doit donc exister des réels \(k\) et \(t\) tels que :

      \(\left\{\begin{array}{l c l c l} x &=& 2 + t&=&2k - 3\\ y&=&3 - t&=&k\\ z&=&t&=&5 \end{array}\right.\)

      La dernière équation donne \(t = 5\), puis la deuxième \(k = 3 - 5 = - 2\) et en remplaçant dans la première \(2 + 5 = - 4 - 3\) : cette égalité est fausse, donc \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas sécantes.

   4. Les droites n'étant ni sécantes ni parallèles elles ne sont pas coplanaires.

2. 1. On a \(\overrightarrow{w}\ \cdot \overrightarrow{u} = - 1 - 2 + 3 = 0\) ;

      de même \(\overrightarrow{w}\ \cdot \overrightarrow{v} = - 2 + 2 + 0 = 0\), donc le vecteur \(\overrightarrow{w}\) est orthogonal aux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).

   2. Un point commun au plan \(P\) et à la droite \(d_2\) a ses coordonnées qui vérifient le système :

      \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2k - 3\\ y &=&k\\ z &=&5\\ 5x + 4y - z - 22 &=& 0 \end{array}\right. \quad , t \in \mathbb{R}\), d'où en remplaçant \(x,\:y,\:z\) dans la dernière équation :

      \(5(2k - 3) + 4(k) - 5 - 22 = 0\iff 10k - 15 + 4k - 27 = 0\iff 14k = 42 \iff 7k = 21 \iff k = 3\).

      Le point commun au plan \(P\) et à la droite \(d_2\) a pour coordonnées (6 - 3 ; 3 ; 5) soit M(3 ; 3 ; 5).

3. 1. \(\Delta\) et \(d_1\) ont leurs vecteurs directeurs \(\overrightarrow{w}\) et \(\overrightarrow{u}\) orthogonaux donc ces droites sont orthogonales.

      Ces deux droites sont sécantes s'il existent des réels \(t\) et \(r\) tels que

      \(\left\{\begin{array}{l c l c l} x&=&2 + t&=&- r + 3\\ y&=&3 - t&=&2r + 3\\ z&=&t &=&3r + 5 \end{array}\right. \quad , t, r \in \mathbb{R}\).

      La dernière équation \(t = 3r + 5\) donne en remplaçant dans la deuxième :

      \(3 - 3r - 5 = 2r + 3 \iff - 5 = 5r \iff r = - 1\), d'où \(t = 5 - 3 = 2\) et en remplaçant dans la première équation on obtient \(2 + 2 = 1 + 3\), égalité vraie.

      \(\Delta\) et \(d_1\) sont sécantes au point L(4 ; 1 ; 2)

   2. Conclusion : on a trouvé une droite \(\Delta\) perpendiculaire commune aux deux droites \(d_1\) et \(d_2\).

1. Affirmation : La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \text{e}^x - x\) est convexe.

   \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme somme de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\).

   On a \(f'(x) = \text{e}^x - 1\), puis \(f''(x) = \text{e}^x\).

   On sait que \(\text{e}^x > 0\) quel que soit \(x\), donc \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). l'affirmation est vraie.

2. Affirmation :L'équation \(\left(2\text{e}^x - 6\right)\left(\text{e}^x + 2\right) = 0\) admet \(\ln (3)\) comme unique solution dans \(\mathbb{R}\).

   Cette équation se traduit par :

   \[\left\{\begin{array}{l c l} 2\text{e}^x - 6&=&0\quad \text{ou}\\ \text{e}^x + 2&=&0 \end{array}\right.\]

   \(\bullet~~\) On sait (voir ci-dessus) que \(\text{e}^x > 0 \Rightarrow \text{e}^x + 2 > 2 > 0\). Donc la deuxième équation n'a pas de solution.

   \(\bullet~~\)\(2\text{e}^x - 6=0 \iff 2\text{e}^x =6 \iff \text{e}^x = 3 \iff x = \ln 3\), par croissance de la fonction logarithme népérien : c'est la seule solution donc l'affirmation est vraie.

3. Affirmation :

   \[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^x - x} = 0.\]

   On a \(\dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^x - x} = \dfrac{\text{e}^{2x}\left(1 - \text{e}^{-2x} \right)}{\text{e}^{x}\left(1 - x\text{e}^{-x} \right)} = \text{e}^{x}\dfrac{\left(1 - \text{e}^{-2x} \right)}{\left(1 - x\text{e}^{-x} \right)}\).

   \(\bullet~~\)Au numérateur on sait que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-2x} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 - \text{e}^{-2x} = 1\) ;

   \(\bullet~~\)Au dénominateur \(x\text{e}^{-x} = \dfrac{x}{\text{e}^x}\) et l'on sait que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x}{\text{e}^x} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 - x\text{e}^{-x} = 1\).

   Le quotient a pour limite 1 et comme \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x} = + \infty\), on a finalement \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^x - x} = +\infty\) : l'affirmation est fausse.

   À retenir :

   Croissances comparées à connaître : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty\), donc en passant à l’inverse, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x}=0\), ce qui donne ici \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\text{e}^{-x}=0\).

4. La fonction \(F\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sur cet intervalle :

   \(F'(x) = 2\text{e}^{3x} + 3(2x + 1)\text{e}^{3x} = \text{e}^{3x}(2 + 6x + 3) = (6x + 5)\text{e}^{3x} = f(x)\).

   D'autre part \(F(0) = 1\text{e}^{0} + 4 = 1 + 4 = 5\)

   \(F\) est donc la primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui prend la valeur 5 quand \(x = 0\), l'affirmation est vraie.

5. L'execution donne \(\dfrac{1 + 9 + \ldots + 5}{10} = \dfrac{50}{10} = 5\).

   L'affirmation est fausse.

Soit \(\left(u_n\right)\) la suite définie par \(u_0 = - 1\) et, pour tout entier naturel \(n\) :

1. 1. Démonstration par récurrence :

      Initialisation : On a bien \(u_0 = 2 \times 0{,}9^0 - 3 = 2 - 3 = - 1\) : la relation est vraie au rang \(0\) ;

      Hérédité : On suppose que pour \(n \in \mathbb{N}\),   \(u_n = 2 \times 0{,}9^n - 3\).

      Alors par définition de la suite \(u_{n+1} = 0{,}9u_n - 0{,}3\) ou \(u_{n+1} = 0{,}9\left(2 \times 0{,}9^n - 3\right) - 0{,}3 = 2 \times 0{,}9^{n+1} - 2{,}7 - 0{,}3 = 2 \times 0{,}9^{n+1} - 3\).

      La relation est vraie au rang \(n + 1\).

      Conclusion : la relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie \(n \in \mathbb{N}\) elle l'est aussi au rang \(n + 1\).

      D'après le principe de récurrence :

      \[u_n = 2 \times 0{,}9^n - 3, \: n \in \mathbb{N}.\]

   2. On sait que \(0 < 0{,}9 < 1\) implique que \(0 < 0{,}9^n \leqslant 1\) puis en multipliant par \(2 > 0\),

      \(0 < 2 \times 0{,}9^n \leqslant 2\) et enfin en ajoutant à chaque membre le nombre \(- 3\) :

      \(- 3 < 0{,}9^n - 3 \leqslant - 1\), soit \(- 3 < u_n \leqslant - 1\).

   3. Quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(u_n+1 - u_n = 0{,}9u_n - 0{,}3 - u_n = - 0{,}1u_n - 0{,}3\).

      Or l'encadrement trouvé précédemment \(- 3 < u_n < - 1\) donne par produit par \(- 0{,}1\),

      \(0{,}1 < - 0{,}1u_n < 0{,}3\) et en retranchant \(0{,}3, \: -0{,}2 - 0{,}1u_n - 0{,}3 < 0\).

      Conclusion : quel que soit le naturel \(n\),   \(u_{n+1} - u_n < 0\) : la suite \(\left(u_n\right)\) est donc décroissante.

   4. La suite \(\left(u_n\right)\) décroissante et minorée par \(-3\) converge vers une limite \(\ell\), avec \(\ell\geqslant - 3\).

      D'autre part de l'égalité \(u_n = 2 \times 0{,}9^n - 3\), sachant que \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0{,}9^n = 0\), on déduit que

      \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = -3\). La suite \(\left(u_n\right)\) converge vers \(- 3\).

      Attention, piège :

      Le théorème de convergence monotone donne l’existence de la limite, mais pas sa valeur. On ne peut donc pas conclure directement que \(\ell=-3\) simplement parce que la suite est décroissante et minorée par \(-3\) ; c’est l’expression \(u_n = 2 \times 0{,}9^n - 3\) qui permet de calculer \(\ell\).

2. On se propose d'étudier la fonction \(g\) définie sur \(]-3~;~-1]\) par :

   \[g(x) = \ln (0{,}5 x + 1{,}5) - x.\]

   1. Justifications:

      \(\bullet~~\) \(- 3 < x \leqslant - 1 \Rightarrow - 1{,}5 < 0{,}5x \leqslant - 0{,}5 \Rightarrow 0 < 0{,}5x + 1{,}5 \leqslant 1\). Donc la fonction est définie sur \(]- 3~;~- 1]\)

      \(\bullet~~\) La fonction \(g\) est dérivable sur \(]- 3~;~- 1]\) et sur cet intervalle :

      \(g'(x) = \dfrac{0,5}{0,5x + 1{,}5} - 1 = \dfrac{0,5 - 0{,}5x - 1{,}5}{0,5x + 1{,}5} = \dfrac{-0{,}5x - 1}{0,5x + 1{,}5}\).

      On a vu ci-dessus que \(0{,}5x + 1{,}5 > 0\), le signe de \(g'(x)\) est donc celui de \(-0{,}5x - 1\) :

      • \(g'(x) = 0 \iff -0{,}5x - 1 = 0 \iff - 1 = 0{,}5x \iff - 2 = x\) ;

      • \(g'(x) > 0 \iff -0{,}5x - 1 > 0 \iff - 1 > 0{,}5x \iff - 2 > x\) ;

      • \(g'(x) < 0 \iff -0{,}5x - 1 < 0 \iff - 1 <0{,}5x \iff - 2 < x\) ;

      Conclusion : la fonction est croissante sur \(]-3~;~-2]\) et décroissante sur \([- 2~;~-1]\).

      \(\bullet~~\) On a \(\displaystyle\lim_{x \to - 3} \ln (0{,}5 x + 1{,}5) = - \infty\), d'où \(\displaystyle\lim_{x \to - 3}g(x) = - \infty\)

      \(\bullet~~\)\(g(- 1) = \ln (-0{,}5 + 1{,}5) - (- 1) = 0 + 1 = 1\) ;

      \(\bullet~~\)\(g(-2) = \ln (- 1+ 1{,}5) - (- 2) = 2 + \ln 0{,}5 = 2 + \ln \dfrac12 = 2 - \ln 2 \approx 1{,}31\).

   2. D'après le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle \(]- 3~;~- 2]\), la fonction \(g\) est strictement croissante de moins l'infini à \(g(-2) > 0\) et est continue sur cet intervalle : il existe donc un réel unique

      \(\alpha \in ]- 3~;~-2]\) tel que \(f(\alpha) = 0\).

      La calculatrice donne :

      \(g(-2{,}9) \approx -0{,}957\) et \(g(-2{,}8) \approx 0{,}4974\), d'où \(-2{,}9 < \alpha < -2{,}8\) ;

      \(g(-2{,}89) \approx -0{,}01\) et \(g(-2{,}88) \approx 0{,}067\), d'où \(-2{,}89 < \alpha < -2{,}88\) ;

      \(g(-2{,}889) \approx -0{,}002\) et \(g(-2{,}888) \approx 0{,}006\), d'où \(-2{,}889 < \alpha < -2{,}888\).

3. 1. Que que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(v_n = \ln \left(0{,}5 u_n + 1{,}5\right)\) et en utilisant la formule du 1. a., \(v_n = \ln \left(0{,}5 \left(2 \times 0{,}9^n - 3\right) + 1{,}5\right) = \ln \left(0{,}9^n - 1{,}5 + 1{,}5\right) = \ln 0{,}9^n = n \ln 0{,}9\).

      L'égalité \(v_n = n \ln 0{,}9\), montre que la suite \(\left(v_n\right)\) est une suite arithmétique de raison \(\ln 0{,}9\).

   2. On a \(u_n = v_n \iff u_n = \ln \left(0{,}5 u_n + 1{,}5\right) \iff \ln \left(0{,}5 u_n + 1{,}5\right) - u_n = 0 \iff g\left(u_n\right) = 0\).

   3. On a donc \(g\left(u_n\right) = 0 \iff u_n = \alpha\), soit \(2 \times 0{,}9^n - 3 = \alpha\).

      Or on a vu que \(-2{,}889 < \alpha < -2{,}888\) : on en déduit que \(-2{,}889 < 2 \times 0{,}9^n - 3 < -2{,}888\), soit en ajoutant 3 :

      \(0{,}111 < 2 \times 0{,}9^n < 0{,}112 \iff 0{,}0555 < 0{,}9^n < 0{,}0556\) soit par croissance du logarithme népérien \(\ln 0{,}0555 < n \ln 0{,}9 < \ln 0{,}0556\) et enfin \(\dfrac{\ln 0{,}0556}{\ln 0{,}9}< n < \dfrac{\ln 0{,}0555}{\ln 0{,}9}\) (car \(\ln 0{,}9 < 0\)).

      Or \(\dfrac{\ln 0{,}0556}{\ln 0{,}9} \approx 27{,}4\) et \(\dfrac{\ln 0{,}0555}{\ln 0{,}9} \approx 27{,}5\).

      On aurait donc un entier \(n\) tel que \(27{,}4 < n < 27{,}5\). Donc \(n\) ne peut être un naturel.

      Conclusion : il n'existe pas \(k\) tel que \(u_k = \alpha\).

   4. On a vu que \(u_n = \alpha \iff g\left(u_n\right) = 0 \iff u_n = v_n\). On vient de voir que ceci n'est pas possible : il n'existe pas \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(v_k = u_k\).