2023Bac spé maths · Amérique du Nord · Jour 2

Partie A

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(f'\) sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée \(f'\).

1. Le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est donné par le signe de la dérivée \(f'\).

   •  Sur \(]-\infty~;~0{,}4[\), \(f'>0\) donc \(f\) est strictement croissante.

   •  Sur \(]0{,}4~;~2{,}6[\), \(f'<0\) donc \(f\) est strictement décroissante.

   •  Sur \(]2{,}6~;~+\infty[\), \(f'>0\) donc \(f\) est strictement croissante.

2. La fonction \(f\) est convexe sur les intervalles sur lesquels la dérivée \(f'\) est croissante, soit sur \(]-\infty~;~-1[\) et sur \(]2~;~+\infty[\).

   Attention, piège :

   Ne pas confondre le signe de \(f'\) (qui donne les variations de \(f\)) avec la croissance de \(f'\) (qui donne la convexité de \(f\)). Pour répondre, on observe si la courbe de \(f'\) monte ou descend, et non si elle est au-dessus ou en dessous de l’axe des abscisses.

Partie B

On admet que la fonction \(f\) de la partie \(\mathbf{A}\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\left(x^{2}- 5 x + 6\right) \mathrm{e}^{x}\).

On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère.

1. 1. On détermine la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

      \(\left . \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\to +\infty} \left (x^2-5x+6\right ) = \displaystyle\lim_{x\to +\infty} x^2 = +\infty\\ \displaystyle\lim_{x\to +\infty} \mathrm{e}^{x} = +\infty \end{array} \right \} \implies \displaystyle\lim_{x\to +\infty} \left (x^2-5x+6\right )\mathrm{e}^{x} = +\infty\)

      donc \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty\)

   2. On détermine la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).

      Pour \(x\neq 0\), \(f(x)=x^2\left (1-\dfrac{5}{x} +\dfrac{6}{x^2}\right )\mathrm{e}^{x} = x^2\mathrm{e}^{x}\left (1-\dfrac{5}{x} +\dfrac{6}{x^2}\right )\)

      \(\left . \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\to -\infty} x^2 \mathrm{e}^{x} = 0\\ \displaystyle\lim_{x\to -\infty} \left (1-\dfrac{5}{x} +\dfrac{6}{x^2}\right )=1 \end{array} \right \} \implies \displaystyle\lim_{x\to -\infty} x^2\mathrm{e}^{x}\left (1-\dfrac{5}{x} +\dfrac{6}{x^2}\right ) = 0\)

      donc \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=0\)

2. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et:

   \(f'(x)=\left (2x-5\right )\mathrm{e}^{x} + \left (x^2-5x+6\right )\times \mathrm{e}^{x} = \left ( 2x-5+x^2-5x+6\right )\mathrm{e}^{x} = \left (x^2-3x+1\right )\mathrm{e}^{x}\)

3. Pour déterminer le sens de variation de la fonction \(f\), on étudie le signe de \(f'(x)\).

   Pour tout \(x\), \(\mathrm{e}^{x}>0\) donc \(f'(x)\) est du signe de \(x^2-3x+1\).

   \(\Delta=(-3)^2-4\times 1 \times 1 = 5>0\); \(x'=\dfrac{-(-3)-\sqrt{5}}{2\times 1} = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\) et \(x''=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\)

   

4. La tangente \((\mathcal{T})\) à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse 0 a pour équation réduite:
   \(y=f'(0)\left (x-0\right ) + f(0)\).

   •  \(f(x)=\left (x^2-5x+6\right )\mathrm{e}^{x}\) donc \(f(0)=6\mathrm{e}^{0}=6\)

   •  \(f'(x)=\left (x^2-3x+1\right )\mathrm{e}^{x}\) donc \(f'(0)=1\mathrm{e}^{0}=1\)

   \(\mathcal{T}\) a pour équation réduite \(y=1\left (x-0\right )+6\) soit \(y=x+6\).

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(f''\) la fonction dérivée seconde de la fonction \(f\). On admet que, pour tout réel \(x\), on a \(f''(x) = (x + 1)(x - 2) \mathrm{e}^{x}\).

1. 1. Pour étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\), on étudie le signe de \(f''(x)\).

      

   2. Sur \([-1~;~2]\), la fonction \(f\) est concave donc la courbe \(\mathcal{C}\) est en dessous de ses tangentes, et en particulier en dessous de la tangente \(\mathcal{T}\) car \(0\in [-1~;~2]\).

      Donc, pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \([-1~;~2]\), on a \(f(x) \leqslant x + 6\).

On étudie un groupe de 3000 sportifs qui pratiquent soit l'athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte 1700 membres et le club B en compte 1300.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites \(\left(a_{n}\right)\) et \(\left(b_{n}\right)\), où \(n\) désigne le rang de l'année à partir de 2023. L'année 2023 correspond au rang 0. On a alors \(a_{0}= 1700\) et \(b_{0} = 1300\).

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

• durant l'étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;

• chaque année, \(15\,\%\) des sportifs du club A quittent ce club et adhèrent au club B ;

• chaque année, \(10\,\%\) des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club \(A\).

1. • \(a_1 = a_0 - \dfrac{15}{100}a_0 + \dfrac{10}{100}b_0 = 1700 - 255 + 130 = 1575\)

   • \(b_1 = b_0 - \dfrac{10}{100}b_0 + \dfrac{15}{100}a_0 = 1300 - 130 + 255 = 1425\)

2. Comme on suppose que durant l'étude, aucun sportif ne quitte le groupe, on a, pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n}+b_{n}=3000\).

3. D'après le texte, on a: \(a_{n+1} = a_n - \dfrac{15}{100} a_n +\dfrac{10}{100} b_n\).

   Or \(a_n+b_n=3000\) donc \(b_n=3000 - a_n\). On a alors:

   \(a_{n+1} = a_n - \dfrac{15}{100} a_n +\dfrac{10}{100} \left (3000-a_n\right ) = a_n - \dfrac{15}{100} a_n + \dfrac{10}{100}\times 3000 - \dfrac{10}{100}a_n\\ \phantom{a_{n+1}} = a_n - \dfrac{25}{100}a_n + 300 = \dfrac{75}{100}a_n + 300 = 0{,}75 a_n +300\)

4. 1. Soit la propriété: \(1200 \leqslant a_{n+1} \leqslant a_{n} \leqslant 1700\).

      • Initialisation

        \(a_0=1700\) et \(a_1=1575\) donc \(1200 \leqslant a_{1} \leqslant a_{0} \leqslant 1700\)

        Donc la propriété est vraie pour \(n=0\).

      • Hérédité

        On suppose la propriété vraie au rang \(n\), soit \(1200 \leqslant a_{n+1} \leqslant a_{n} \leqslant 1700\); c'est l'hypothèse de récurrence.

        \(1200 \leqslant a_{n+1} \leqslant a_{n} \leqslant 1700\\ \iff 0{,}75\times 1200 \leqslant 0{,}75\times a_{n+1} \leqslant 0{,}75\times a_{n} \leqslant 0{,}75\times 1700\\ \iff 900 \leqslant 0{,}75\times a_{n+1} \leqslant 0{,}75\times a_{n} \leqslant 1275\\ \iff 900 +300 \leqslant 0{,}75\times a_{n+1} +300\leqslant 0{,}75\times a_{n} +300\leqslant 1275 +300\\ \iff 1200 \leqslant a_{n+2} \leqslant a_{n+1}\leqslant 1575\)

        Or \(1575\leqslant 1700\) donc \(1200 \leqslant a_{n+2} \leqslant a_{n+1}\leqslant 1700\).

        La propriété est donc vraie au rang \(n+1\) donc elle est héréditaire.

      • Conclusion

        La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout \(n\geqslant 0\); donc d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout \(n\geqslant 0\).

      On a donc démontré que, pour tout \(n\), \(1200 \leqslant a_{n+1} \leqslant a_{n} \leqslant 1700\).

   2. Étude de la convergence de la suite \(\left(a_{n}\right)\).

      • Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(a_{n+1} \leqslant a_n\) donc la suite \((a_n)\) est décroissante.

      • Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(1200 \leqslant a_n\) donc la suite \((a_n)\) est minorée.

      La suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est décroissante et minorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, elle est convergente.

5. Soit \(\left(v_{n}\right)\) la suite définie pour tout \(n\) par \(v_{n}=a_{n}- 1200\); donc \(a_n=v_n+1200\).

   1. \(v_{n+1} = a_{n+1} -1200 = 0{,}75 a_n +300 -1200 = 0{,}75\left (v_n+1200\right ) -900\\ \phantom{v_{n+1}} = 0{,}75 v_n +900-900 = 0{,}75v_n\)

      \(v_0=a_0-1200=1700 - 1200 = 500\)

      Donc \((v_n)\) est la suite géométrique de premier terme \(v_0=500\) et de raison \(q=0{,}75\).

   2. On en déduit que, pour tout \(n\), on a: \(v_n=v_0\times q^n = 500\times 0{,}75^n\).

   3. On sait que, pour tout \(n\), \(a_n=v_n+1200\), donc \(a_n=500\times 0{,}75^n+1200\).

6. 1. \(-1<0{,}75<1\) donc \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} 0{,}75^n=0\); on en déduit que \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}500\times 0{,}75^n=0\) et donc que \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} a_n=1200\).

   2. On peut donc dire qu'à long terme, le nombre de sportifs dans le club A va tendre vers 1200, et donc que le nombre de sportifs dans le club B va tendre vers \(3000-1200=1800\).

7. 1. On complète le programme Python ci-dessous afin qu'il renvoie la plus petite valeur de \(n\) à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à 1280.

      def	seuil() :
      	n = 0
      	A = 1700
      	while A>=1280 :
      	n=n+1
      	A = 0.75*A + 300
      	return n

   2. La valeur renvoyée lorsqu'on appelle la fonction seuil est la plus petite valeur de \(n\) telle que \(a_n<1280\). On résout cette inéquation.

      \(a_n<1280 \iff 500\times 0{,}75^n + 1200 < 1280 \iff 500\times 0{,}75^n < 80\\ \phantom{a_n<1280} \iff 0{,}75^n < \dfrac{80}{500} \iff \ln\left (0{,}75^n\right ) < \ln\left (0{,}16\right ) \iff n\ln(0{,}75)<\ln(0{,}16)\\ \phantom{a_n<1280} \iff n>\dfrac{\ln(0{,}16}{\ln(0{,}75)}\)

      Or \(\dfrac{\ln(0{,}16}{\ln(0{,}75)} \approx 6{,}38\) donc la valeur de \(n\) renvoyée par la fonction seuil est 7.

      Attention, piège : Lors de la résolution \(n\ln(0{,}75) < \ln(0{,}16)\), on divise par \(\ln(0{,}75)\) qui est strictement négatif (car \(0{,}75\lt 1\)). Le sens de l'inégalité doit donc être inversé : on obtient \(n > \dfrac{\ln(0{,}16)}{\ln(0{,}75)}\), et non \(n < \ldots\).

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé d'unité \(1 \mathrm{~cm}\), on considère les points

1. 1. Le vecteur \(\overrightarrow{\text{EF}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} -1-3 \\ 2-(-2) \\ 1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\)

      Le vecteur \(\overrightarrow{\text{FG}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} 3-(-1) \\ 2-2 \\ -3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\-4 \end{pmatrix}\)

   2. \(-4\times (-1)=4\) et \(4\times (-1)=-4\neq 0\) donc les vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{FG}}\) ne sont pas colinéaires; on en déduit que les points E, F et G ne sont pas alignés.

2. 1. La droite (FG) passe par le point F et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{\mathrm{FG}}\); elle a donc pour représentation paramétrique:

      \(\left \{ \begin{array}{l !{=} l l} x & x_{\text F} + 4t\\ y & y_{\text F} +0t & t\in\mathbb{R}\\ z & z_{\text F} + (-4)t \end{array} \right .\) soit \(\left \{ \begin{array}{l !{=} l l} x & -1 + 4t\\ y & \phantom{-}2 & t\in\mathbb{R}\\ z & \phantom{-}1-4t \end{array} \right.\)

   2. On appelle \(\mathrm{H}\) le point de coordonnées \((2~;~2~;~-2)\).

      \(\mathrm{H}\) est le projeté orthogonal de E sur la droite (FG) si H appartient à la droite (FG) et si les vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{EH}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{FG}}\) sont orthogonaux.

      • Le point H appartient à la droite (FG) si on peut trouver une valeur de \(t\) telle que: \(\left \{ \begin{array}{l !{=} l} x_{\text H} & -1 + 4t\\ y_{\text H} & \phantom{-}2 \\ z_{\text H} & \phantom{-}1-4t \end{array} \right .\) c'est-à-dire \(\left \{ \begin{array}{r !{=} l} 2 & -1 + 4t\\ 2 & \phantom{-}2 \\ -2 & \phantom{-}1-4t \end{array} \right .\)

        La valeur \(t=\dfrac{3}{4}\) convient donc le point H appartient à la droite (FG).

      • Le vecteur \(\overrightarrow{\text{EH}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} 2-3 \\ 2-(-2) \\ -2-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\-1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{FG}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\)

        \(\overrightarrow{\mathrm{EH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{FG}} = (-1)\times 4 + 4\times 0 + (-1)\times (-4)=0\) donc \(\overrightarrow{\mathrm{EH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{FG}}\)

      Le point H est donc le projeté orthogonal du point E sur la droite (FG).

   3. D'après les questions précédentes, [EH] est la hauteur du triangle EFG correspondant à la base [FG]; donc l'aire du triangle EFG vaut, en cm\(^2\):

      \(\mathcal{A}=\dfrac{\text{EH}\times \text{FG}}{2}\).

      • \(\overrightarrow{\mathrm{EH}}\;\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\-1 \end{pmatrix}\) donc \(\text{EH}=\displaystyle\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} = \displaystyle\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)

      • \(\overrightarrow{\mathrm{FG}}\;\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\-4 \end{pmatrix}\) donc \(\text{FG}=\displaystyle\sqrt{4^2+0^2+(-4)^2} = \displaystyle\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)

      Donc l'aire du triangle est en cm\(^2\): \(\mathcal{A}= \dfrac{3\sqrt{2}\times 4\sqrt{2}}{2}=12\).

3. 1. Le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (EFG) s'il est orthogonal à \(\overrightarrow{\mathrm{EF}}\) et à \(\overrightarrow{\mathrm{FG}}\).

      • \(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{EF}} = 2\times(-4) + 1\times 4 +2\times 2=0\) donc \(\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{\mathrm{EF}}\)

      • \(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{FG}} = 2\times 4 + 1\times 0 +2\times (-4)=0\) donc \(\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{\mathrm{FG}}\)

      Le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}\) est donc un vecteur normal au plan (EFG).

      À retenir :

      Pour démontrer qu’un vecteur \(\vec{n}\) est normal à un plan, il suffit de vérifier qu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Ici, \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{FG}\) sont non colinéaires d’après la question 1.b, donc les deux produits scalaires nuls suffisent.

   2. \(\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (EFG), donc le plan (EFG) a une équation de la forme \(2x+y+2z+d=0\) où \(d\) est un réel à déterminer.

      F est un point de (EFG) donc \(2x_{\text F} + y_{\text F} +2z_{\text F}+d=0\) c'est-à-dire
      \(2\times (-1) + 2 +2\times 1+d=0\) ce qui donne \(d=-2\).

      Le plan (EFG) a donc pour équation \(2x+y+2z-2=0\).

   3. La droite \((d)\) passant par le point \(\mathrm{D}\) et orthogonale au plan (EFG) a pour vecteur directeur tout vecteur normal au plan (EFG) donc en particulier le vecteur \(\overrightarrow{n}\). Elle a donc pour représentation paramétrique;

      \(\left \{ \begin{array}{l !{=} l l} x & x_{\text D} + x_{\vec n}t\\ y & y_{\text D} +y_{\vec n}t & t\in\mathbb{R}\\ z & z_{\text D} + z_{\vec n}t \end{array} \right .\) c'est-à-dire \(\left \{ \begin{array}{l !{=} l l} x & 3 + 2t\\ y & 1 +t & t\in\mathbb{R}\\ z & 5 + 2t \end{array} \right.\)

   4. On note K le projeté orthogonal du point D sur le plan (EFG). Le point K appartient donc à la droite \((d)\) et au plan (EFG) donc ses coordonnées sont solutions du système: \(\left \{ \begin{array}{r !{=} l} x & 3 + 2t\\ y & 1 +t \\ z & 5 + 2t\\ 2x+y+2z-2 & 0 \end{array} \right.\)

      On a donc \(t\) tel que \(2\left (3+2t\right ) + \left (1+t\right ) + 2\left (5+2t\right ) -2=0\), soit
      \(6+4t+1+t+10+4t-2 = 0\) ou encore \(9t+15 = 0\); ce qui donne \(t=-\dfrac{15}{9}=-\dfrac{5}{3}\).

      On a donc: \(x_{\text K} =3+2t=3+2\left (-\dfrac{5}{3}\right ) = -\dfrac{1}{3}\), \(y_{\text K} = 1+t=1+\left (-\dfrac{5}{3}\right )=-\dfrac{2}{3}\) et \(z_{\text K} = 5+2t = 5+2\left (-\dfrac{5}{3}\right )=\dfrac{5}{3}\)

      Donc le point K a pour coordonnées \(\left ( -\dfrac{1}{3}~,~ -\dfrac{2}{3} ~,~\dfrac{5}{3} \right )\).

4. 1. \(\text{DK}^2 = \left (-\dfrac{1}{3}-3 \right )^2 +\left (-\dfrac{2}{3}-1 \right )^2 +\left (\dfrac{5}{3}-5 \right )^2 = \left (-\dfrac{10}{3} \right )^2 +\left (-\dfrac{5}{3} \right )^2 +\left (-\dfrac{10}{3} \right )^2\\[7pt] \phantom{\text{DK}^2} = \dfrac{100}{9} + \dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9} = \dfrac{225}{9}=25\)

      Donc la distance DK est égale à 5 cm.

   2. Le volume du tétraèdre DEFG est donné par la formule: \(\dfrac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}\).

      Une base du tétraèdre est le triangle EFG d'aire 12, et la hauteur relative à cette base est [DK] de longueur 5.

      Le volume du tétraèdre DEFG est donc, en cm\(^3\): \(\dfrac{12\times 5}{3}=20\).

1. On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]1~;~+\infty[\) par \(f(x)= 0{,}05 - \dfrac{\ln x}{x - 1}\).

   La limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\) est égale à :

   a.   \(+\infty\)

   b.  0,05

   c.  \(-\infty\)

   d.  0

   \(f(x)= 0{,}05 - \dfrac{\ln x}{x - 1} = 0{,}05 - \dfrac{\ln x}{x}\times \dfrac{x}{x-1}\) Or \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=1\) donc \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}\times \dfrac{x}{x-1}=0\).

   On en déduit que \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=0{,}05\). Réponse b.

2. On considère une fonction \(h\) continue sur \([-2 ; 4]\) telle que : \(h(-1)=0\), \(h(1) = 4\), \(h(3) = -1\).

   On peut affirmer que :

   a.   la fonction \(h\) est croissante sur l'intervalle \([-1~;~1]\).

   b.   la fonction \(h\) est positive sur l'intervalle \([-1~;~1]\).

   c.   il existe au moins un nombre réel \(a\) dans l'intervalle \([1~;~3]\) tel que \(h(a) = 1\).

   d.   l'équation \(h(x)=1\) admet exactement deux solutions dans l'intervalle \(\phantom{d.~~~}[-2~;~4]\).

   C'est l'application du théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle \([1~;~3]\). Réponse c.

3. On considère deux suites \(\left(u_{n}\right)\) et \(\left(v_{n}\right)\) à termes strictement positifs telles que

   \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty\) et \(\left(v_{n}\right)\) converge vers 0 .

   On peut affirmer que :

   a.  la suite \(\left(\frac{1}{v_{n}}\right)\) converge.	b.   la suite \(\left(\frac{v_{n}}{u_{n}}\right)\) converge.
   c.   la suite \(\left(u_{n}\right)\) est croissante.	d.   \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty\)

   Limite du quotient de deux suites. Réponse b.

4. Pour participer à un jeu, un joueur doit payer \(4\) €.

   Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :

   • s'il obtient 1, il remporte \(12\) €;

   • s'il obtient un nombre pair, il remporte \(3\) €;

   • sinon, il ne remporte rien.

   En moyenne, le joueur :

   a.  gagne \(3{,}50\)  €	b.  perd \(3\) .
   c.  perd \(1{,}50\)  €	d.  perd \(0{,}50\)  €.

   

5. On considère la variable aléatoire \(X\) suivant la loi binomiale \(\mathcal{B}(3~;~p)\).

   On sait que \(P(X = 0) = \dfrac{1}{125}\). On peut affirmer que :

   a.  \(p = \dfrac{1}{5}\)	b.  \(P(X = 1) =\dfrac{124}{125}\)
   c.  \(p = \dfrac{4}{5}\)	d.  \(P(X= 1) =\dfrac{4}{5}\)

   \(P(X=0) = \displaystyle\binom{3}{0}\times p^0 \times (1-p)^{3-0} = (1-p)^3\) On a donc \((1-p)^3 = \dfrac{1}{125} \iff (1-p)^3 = \left ( \dfrac{1}{5}\right )^3 \iff 1-p=\dfrac{1}{5}\); donc \(p=\dfrac{4}{5}\). Réponse c.