2021Bac spé maths · Sujet 1 (15 mars)

Partie 1

1. Traduire la situation par un arbre pondéré.

   

2. On a \(P(D \cap A) = P(D) \times P_D(A) = 0{,}1 \times 0{,}6 = 0{,}06\).

3. On a de même \(P\left(\overline{D} \cap A \right) = P\left(\overline{D}\right)\times P_{\overline{D}}(A) = 0{,}9 \times 0{,}2 = 0{,}18\).

   D'après la loi des probabilités totales :

   \(P(A) = P(D \cap A) + P\left(\overline{D} \cap A \right) = 0{,}06 + 0{,}18 = 0{,}24\).

4. On a \(P_A\left(\overline{D} \right) = \dfrac{P\left(A \cap \overline{D}\right)}{P(A)} = \dfrac{P\left(\overline{D} \cap A \right) }{P(A)} = \dfrac{0,18}{0,24} = \dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\).

Partie 2

1. 1. Les paramètres de cette loi sont \(n = 7\) et \(p = 0{,}24\).

   2. On a \(P(X = 1) = \binom{7}{1}\times 0{,}24 \times (1 - 0{,}24)^{7-1} = 7 \times 0{,}24 \times 76^6 \approx 0{,}324\) soir environ 0,32 au centième près.

   3. On a \(P(X \geqslant 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) \approx 1 - 0{,}146 - 0{,}324\) soit environ 0,53.

2. 1. On a \(P_n = 0{,}24^0 \times 0{,}76^n = 0{,}76^n\).

   2. La probabilité d'avoir au moins un candidat reçu est \(1 - P_n = 1 - 0{,}76^n\).

      Il faut donc résoudre \(1 - 0{,}76^n \geqslant 0{,}99 \iff 1 - 0{,}99 \geqslant 0{,}76^n\) ou \(0{,}01 \geqslant 0{,}76^n\), soit par croissance de la fonction logarithme népérien :

      \(\ln 0{,}01 \geqslant n\ln 0{,}76 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}76}\).

      Or \(\dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}76} \approx 16{,}7\). Il faut donc présenter au moins 17 candidats.

1. 1. On sait que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty\).

   2. \(f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x} = \text{e}^x \times \dfrac{1}{x}\).

      Or \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\text{e}^x = 1\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty\), donc par produit de limites \(\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = + \infty\) : ceci signifie que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au voisinage de zéro.

2. le dénominateur étant non nul, la fonction \(f\) quotient de fonctions dérivables sur \(]0~;~ +\infty[\) est dérivable et sur cet intervalle :

   \(f'(x) = \dfrac{\text{e}^x \times x - 1 \times \text{e}^x}{x^2} = \dfrac{\text{e}^x(x - 1)}{x^2}\).

3. On sait que quel que soit \(x \in \mathbb{R}\),  , \(x^2 > 0\) et \(\text{e}^x > 0\) ; le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x - 1\) :

   \(\bullet~~\)Sur [0 ; 1], \(x - 1 < 0\), donc \(f'(x) < 0\) : la fonction \(f\) est décroissante de \(+ \infty\) à \(f(1) = \text{e}\) ;

   \(\bullet~~\)Sur \([1~;~+ \infty]\), \(x - 1 > 0\), donc \(f'(x) > 0\) : la fonction \(f\) est croissante de \(f(1) = \text{e}\) à \(+ \infty\) ;

   \(\bullet~~\)\(f(1) = \text{e}\) est donc le minimum de \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\). D'où le tableau de variations :

   

4. On voit \(f\) prend toutes les valeur réelles de e à plus l'infini, donc :

   \(\bullet~~\)Si \(m > \text{e}\) : l'équation \(f(x) = m\) a deux solutions ;

   \(\bullet~~\)Si \(m = \text{e}\) : l'équation \(f(x) = \text{e}\) a une solution : 1 ;

   \(\bullet~~\)Si \(m < \text{e}\) : l'équation \(f(x) = m\) n'a pas de solution.

5. 1. \(\Delta\) a pour coefficient directeur \(- 1\), donc la tangente aussi et ce coefficient directeur est égal au nombre dérivé \(f'(a) = \dfrac{\text{e}^a(a - 1)}{a^2}\). D'où :

      \(\dfrac{\text{e}^a(a - 1)}{a^2} = - 1 \iff \text{e}^a(a - 1) =- a^2 \iff \text{e}^a(a - 1) + a^2 = 0\).

      Donc \(a\) doit être solution dans l'intervalle \([0~;~+ \infty[\) de l'équation \(\text{e}^x(x - 1) + x^2 = 0\).

      On note \(g\) la fonction définie sur \([0~;~ +\infty[\) par \(g(x) = \text{e}^x(x - 1) + x^2\).

   2. Sur \([0~;~ +\infty[\), on a :

      \(g'(x) = \text{e}^x(x - 1) + 1\times \text{e}^x + 2x = \text{e}^x(x - 1 + 1) + 2x = x\text{e}^x + 2x\).

      On voit que \(g'(x)\) est la somme de deux termes positifs donc est positive sur \(]0~;~+ \infty[\).

      On a \(g(0) = 1 \times (- 1) + 0 = - 1 = 1\).

      La fonction \(g\) est donc croissante de \(- 1\) à plus l'infini car \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\text{e}^x = + \infty\).

   3. De la question précédente et en appliquant le théorème de la bijection on déduit que \(f\) s'annule une seule fois sur \([0~;~+ \infty[\) ; il existe donc \(a \in ]0~;~+\infty[\) unique tel que

      \(f(a) = 0\).

      La calculatrice donne \(a \approx 0{,}74\).

1. Les droites (AC) et (SB) ne sont pas coplanaires:

Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace \(\left(\text{ I}~;~ \overrightarrow{\text{IC}},~\overrightarrow{\text{IB}},~\overrightarrow{\text{IS}}\right)\).

Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants:

1. Les coordonnées du milieu N de [KL] sont:

   On a K\((0~;~- 0{,}5~;~0{,}5)\) et L\((0{,}5~;~0,~;~0{,}5)\) donc N\((0{,}25~;~- 0{,}25~;~0{,}5) = \left(\frac{1}{4}~;~- \frac{1}{4}~;~\frac{1}{2} \right)\).

2. Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{AS}}\) sont : \(\begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}\).

3. Méthode 1

   On voit que la seule représentation dont le vecteur directeur a pour coordonnées (1 ; 0 ; 1) est la troisième.

   De plus la valeur \(t = - 1\) donne les coordonnées de A et la valeur \(t = 0\) donne les coordonnées de S. Donc réponse c.

   Méthode 2 \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{AS}) \iff\) il existe   \(u \in \mathbb{R}, \: \overrightarrow{\text{A}M} = u\overrightarrow{\text{AS}} \: (u \in \mathbb{R})\iff \left\{\begin{array}{l c l} x - (- 1)&=&1\times u\\ y- 0&=&0 \times u\\ z - 0&=&1\times u \end{array}\right. \: (u \in \mathbb{R})\iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&- 1 + u \\ y&=&0\\ z &=&u \end{array}\right.\: (u \in \mathbb{R})\).

   En posant \(- 1 + u = t\) ou encore \(u = 1 + t\) le système devient en remplaçant \(u\) par \(1 + t\) :

   \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{AS}) \iff\) il existe   \(t \in \mathbb{R}, \left\{\begin{array}{l c l} x &=&t \\ y&=&0\\ z &=&1 + t \end{array}\right.\). Donc réponse c.

4. Le plan d'équation \(y+z-1=0\) ne contient pas C \((1~;~0~;~0)\); on élimine a. Le plan d'équation \(x-y+z=0\) ne contient pas S \((0~;~0~;~1)\); on élimine c. Le plan d'équation \(x+z-1=0\) ne contient pas B \((0~;~1~;~0)\); on élimine d. Réponse b.

La suite \(\left(u_n\right)\) est définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_0 = 1\) et pour tout entier naturel \(n\),

1. \(\bullet~~\)\(u_1 = \dfrac{3}{4} \times 1 + 0 + 1 = \dfrac{3}{4} + \dfrac{4}{4} = \dfrac{7}{4} = 1{,}75\) ;

   \(\bullet~~\)\(u_2 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{7}{4} + \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{21}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{16}{16} = \dfrac{41}{16} = 2{,}5625\).

2. 1. Dans la cellule B3 : =0,75*B2 + 0,25*A2 +1.

   2. La suite \(\left(u_n\right)\) semble être croissante.

3. 1. Initialisation : au rang 0 : on a bien \(0 \leqslant u_0 \leqslant 0 + 1\), soit \(0\leqslant 1 \leqslant 1\).

      Hérédité : supposons qu'il existe \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n \leqslant u_n \leqslant n + 1\).

      En multipliant par le nombre positif \(\dfrac{3}{4}\), on a \(\dfrac{3}{4}n \leqslant \dfrac{3}{4}u_n \leqslant \dfrac{3}{4}(n + 1)\), puis en ajoutant à chaque terme \(\dfrac{1}{4}n + 1\) :

      \(\dfrac{3}{4}n + \dfrac{1}{4}n + 1\leqslant \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1\leqslant \dfrac{3}{4}(n + 1) + \dfrac{1}{4}n + 1\), soit

      \(n + 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n + 1 + \dfrac{3}{4}\) et enfin

      \(n + 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant (n + 1) + 1\) : la relation est donc vraie au rang \(n + 1\).

      La relation est vraie au rang \(0\) et si elle est vraie au rang \(n\) elle l'est aussi au rang \(n + 1\) : on a démontré par le principe de récurrence que quel que soit le naturel \(n\),   \(n \leqslant u_n \leqslant n + 1\).

   2. Les termes de la suite sont encadrés par des entiers consécutifs de plus en plus grands, donc la suite est croissante.

      Comme \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} (n + 1) = + \infty\), par le principe d'encadrement, on a

      \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty\). .

   3. On a pour tout naturel \(n \geqslant 1\) : \(n \leqslant u_n \leqslant n+1\) soit en multipliant par \(\dfrac{1}{n}\) non nul : \(\frac{n}{n} \leqslant \dfrac{u_n}{n} \leqslant \dfrac{n}{n+1}\) ou

      \(1 \leqslant \dfrac{u_n}{n} \leqslant \dfrac{n}{n+1}\).

      Or comme \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n}{n+1} = 1\), par le principe d'encadrement, on a \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{n} = 1\).

4. 1. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\),   \(v_{n+1} = u_{n+1} - (n + 1) = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1 - n - 1 = \dfrac{3}{4}u_n - \dfrac{3}{4}n = \dfrac{3}{4}\left(u_n - n\right) = \dfrac{3}{4}v_n\).

      Cette égalité montre que la suite \(\left(v_n\right)\) est géométrique de raison \(\dfrac{3}{4}\) et de premier terme \(v_0 = u_0 - 0 = u_0 = 1\).

   2. On sait alors que pour tout naturel \(n\),   \(v_n = v_0 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 1 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n\).

      Or \(v_n = u_n - n \iff u_n = v_n + n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + n\).

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme; convexité
tabularx

1. On détermine la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).

   Pour tout \(x\) réel strictement positif, on a : \(f(x) = x\left ( 1- 4\dfrac{\ln(x)}{x}\right ) + 4 - \dfrac{3}{x}\)

   D'après la propriété des croissances comparées : \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0\)

   Donc, par limite de la somme : \(\lim\limits_{x\to +\infty} 1- 4\dfrac{\ln(x)}{x} = 1\)

   Puis, par limite du produit : \(\lim\limits_{x\to +\infty} x\left ( 1- 4\dfrac{\ln(x)}{x}\right ) = +\infty\)

   Comme par ailleurs, \(\lim\limits_{x\to +\infty} 4 -\dfrac{3}{x} = 4\), par limite de la somme, on en conclut :

   \(\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x\to +\infty} x\left ( 1- 4\dfrac{\ln(x)}{x}\right ) + 4 -\dfrac{3}{x} = +\infty\).

2. On a \(f'(x) = 1 - 4 \times \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2}\).

3. 1. On sait que sur \(]0~;~ +\infty[\),   \(x^2 > 0\), donc le signe de \(f'(x)\) est celui du trinôme \(x^2 - 4x + 3\).

      Or \(x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1 = (x - 2 + 1)(x - 2 - 1) = (x - 1)(x - 3).\)

      On sait que ce trinôme est positif sauf sur l'intervalle ]1 ; 3[ où \(f'(x) < 0\).

      Conclusion : la fonction \(f\) est croissante sur ]0 ; 1[, décroissante de ]1 ; 3[ et croissante sur \(]3~;~+ \infty[\).

      

   2. La simple lecture ne permet pas de comparer \(\dfrac{5}{3}\) et \(6 - 4\ln 3\).

      Avec \(6 - 4\ln 3 \approx 1{,}6\) et \(\dfrac{5}{3} < \dfrac{6}{3} = 2\), on peut affirmer qu'il existe trois antécédents de \(\dfrac{5}{3}\), donc trois solutions pour l'équation \(f(x) = \dfrac{5}{3}\) dans \(\mathbb{R}_+\).

4. \(f'\) est dérivable sur \(]0~;~+ \infty[\) et sur cet intervalle :

   \(f''(x) = \dfrac{x^2(2x - 4) - 2x\left(x^2 - 4x + 3 \right)}{x^4} = \dfrac{2x^3 - 4x^2 - 2x^3 + 8x^2 - 6x}{x^4} = \dfrac{4x^2 - 6x}{x^4} = \dfrac{4x - 6}{x^3} = \dfrac{2(2x - 3)}{x^3}\).

   Comme \(x^3 > 0\), le signe de \(f''(x)\) est celui de \(2x - 3\). Donc :

   \(\bullet~~\)Sur \(\left]0~;~\frac{3}{2}\right[, \: f''(x) < 0\) : la fonction est concave ;

   \(\bullet~~\)Sur \(\left]\frac{3}{2}~;~+ \infty\right[, \: f''(x) > 0\) : la fonction est convexe ;

   \(\bullet~~\)\(f''\left(\frac{3}{2}\right) = 0\), donc \(\mathcal{C}\) admet un unique point d'inflexion d'abscisse \(\frac{3}{2}\).

   Son ordonnée est \(f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} + 4 - 4\ln \frac{3}{2} - \dfrac{3}{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} + 4 - 2 - 4\ln \frac{3}{2} = \dfrac{7}{2} - 4\ln \frac{3}{2}\).