2026Bac spé maths · Asie · Jour 2

Partie A

1. La fonction \(f:x \mapsto \dfrac{x-2}{2x-3}\) est dérivable sur \(]-\infty~;~\frac32[\) en tant que quotient de fonctions polynomiales, le dénominateur étant non nul. On a :

   \[\begin{array}{rcl} f'(x) &=& \dfrac{1 \times (2x - 3) - (x - 2) \times 2}{(2x - 3)^2} \\ &=& \dfrac{2x - 3 - 2x + 4}{(2x - 3)^2}\\ &=& \dfrac{1}{(2x - 3)^2} \end{array}\]

   Pour tout \(x \in \left]-\infty~;~\frac32\right[\),  \((2x - 3)^2 > 0\), donc \(f'(x) > 0\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur l'intervalle \(\left]-\infty~;~\frac32\right[\).

   Étudions les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition :

   • Limite en \(-\infty\):

     \[\begin{matrix} f(x) &=&\dfrac{x-2}{2x-3} \\ &=&\dfrac{x\left(1-\dfrac2{x}\right)}{x\left(2-\dfrac3{x}\right)}\\ & =&\dfrac{1-\frac2{x}}{2-\frac3{x}}, \\ \end{matrix}\]

     donc puisque \(\displaystyle \lim_{x \to - \infty}\dfrac2{x} = \displaystyle \lim_{x \to - \infty}\dfrac3{x} = 0\), on en déduit que \(\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = \dfrac12\) (quotient de limites)

   • Limite en \(\frac{3}{2}, \: x < \frac{3}{2}\):

     \[\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{\substack{x \to \frac32\\ x < \frac32}}x - 2 = -\frac12 \\ \displaystyle \lim_{\substack{x \to \frac32\\ x < \frac32}} 2x-3 = 0^- \end{array}\right\} \Rightarrow \lim_{\substack{x \to \frac32\\ x < \frac32}} f(x)= +\infty \text{ (quotient de limites)}\]

   On en déduit donc le tableau de variations suivant:

   

2. Sur l'intervalle \([- \infty~;~\frac32]\), donc a fortiori sur l'intervalle [0 ; 1] la fonction \(f\) est strictement croissante. Ainsi :

   \[\begin{array}{rcl} 0 \leqslant x \leqslant 1 &\implies& f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(1) \\ &\implies& \dfrac{-2}{-3} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{-1}{-1} \\ &\implies& \dfrac{2}{3} \leqslant f(x) \leqslant 1 \end{array}\]

   Puisque \(\frac{2}{3} \geqslant 0\), on en déduit que pour tout \(x \in [0~;~1]\),  \(f(x) \in [0~;~1]\).

Partie B

1. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1\).

   • Initialisation : Pour \(n = 0\), on a \(u_0 = 0\) et \(u_1 = f(0) = \frac{2}{3}\). On a bien \(0 \leqslant 0 \leqslant \frac{2}{3} \leqslant 1\), soit \(0 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 1\). La propriété est initialisée.

   • Hérédité : Soit \(n \in \mathbb{N}\), tel que \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1\)

     La fonction \(f\) étant strictement croissante sur \([0~;~1]\), elle conserve l'ordre, on a donc:

     \[\begin{array}{rl} & 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 \\ \implies & f(0) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(1) \\ \implies & \frac{2}{3} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1 \end{array}\]

     Comme \(0 \leqslant \frac{2}{3}\), on obtient \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1\). L'encadrement est vrai au rang \(n + 1\).

   • Conclusion : L'encadrement est vrai au rang 0 et s'il est vrai à un rang supérieur ou égal à 0, il l'est aussi au rang suivant : par le principe de récurrence :

     Pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1\).

2. Le résultat précédent montre :

   – que \(u_n \leqslant u_{n+1}\) donc que la suite \((u_n)\) est croissante et

   – majorée par 1 puisque tous ses termes le sont.

   D'après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge vers une limite réelle \(\ell\) vérifiant \(0 \leqslant \ell \leqslant 1\).

3. La fonction \(f\) étant continue, la limite \(\ell\) est solution de l'équation \(f(x) = x\).

   \[\begin{array}{rcl} \dfrac{x - 2}{2x - 3} = x &\iff& x - 2 = x(2x - 3) \\ &\iff& x - 2 = 2x^2 - 3x \\ &\iff& 2x^2 - 4x + 2 = 0 \\ &\iff& 2(x - 1)^2 = 0 \\ &\iff& (x - 1)^2 = 0\\ &\iff& (x - 1) = 0\\ &\iff& x = 1\\ \end{array}\]

   On en déduit que \(\ell = 1\) et donc que la suite \((u_n)\) converge vers 1.

4. La fonction seuil(0.0001) renvoie la plus petite valeur de l'entier \(n\) telle que \(u_n \geqslant 1 - 0{,}0001\), c'est-à-dire \(u_n \geqslant 0{,}9999\). La valeur 5000 signifie que c'est à partir du rang \(n = 5000\) que les termes de la suite dépassent 0,9999.

5. 1. Les premiers termes sont :

      \[\begin{array}{rcl} u_0 &=& 0 \\ u_1 &=& \frac{2}{3} \\ u_2 &=& \frac{\frac{2}{3} - 2}{2\left(\frac{2}{3}\right) - 3} = \frac{-\frac{4}{3}}{-\frac{5}{3}} = \frac{4}{5} \\ u_3 &=& \frac{\frac{4}{5} - 2}{2\left(\frac{4}{5}\right) - 3} = \frac{-\frac{6}{5}}{-\frac{7}{5}} = \frac{6}{7} \end{array}\]

   2. On peut conjecturer que \(u_n = \dfrac{2n}{2n + 1}\).

      Démontrons-le par récurrence :

      • Initialisation : Pour \(n = 0\), \(\frac{2 \times 0}{2 \times0 + 1} = \frac01 = 0 = u_0\). La propriété est vraie au rang 0.

      • Hérédité : Soit \(n \in \mathbb{N}\), tel que \(u_n = \frac{2n}{2n + 1}\).

        \[\begin{array}{rcl} u_{n+1} &=& f(u_n) = \frac{\frac{2n}{2n+1} - 2}{2\left(\frac{2n}{2n+1}\right) - 3} \\ &=& \frac{\frac{2n - 2(2n+1)}{2n+1}}{\frac{4n - 3(2n+1)}{2n+1}} \\ &=& \frac{2n - 4n - 2}{4n - 6n - 3} \\ &=& \frac{-2n- 2}{-2n - 3} \\&=& \frac{2n+2}{2n+3}\\ &=& \frac{2n+2}{2n+2 + 1}\\ u_{n+1} &=&\dfrac{2(n+1)}{2(n+1) + 1}\\ \end{array}\]

        La relation est vraie au rang \(n + 1\).

      • La relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang \(n \geqslant 0\), elle l'est aussi au rang \(n + 1\). Par le principe de récurrence on a donc montré que:

        \[\text{quel que soit}\: n \in \mathbb{N},\enspace u_n=\frac{2n}{2n+1}\]

Partie A

1. L'épreuve consiste en la répétition de \(n = 16\) lancers francs identiques et indépendants. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli avec deux issues : succès (probabilité

   \(p = 0{,}492\)) ou échec. La variable aléatoire \(X\) compte le nombre de succès. \(X\) suit donc la loi binomiale de paramètres \(n = 16\) et \(p = 0{,}492\), notée \(\mathcal{B}(16~;~0{,}492)\).

2. L'espérance est donnée par :

   \[\begin{array}{rcl} E(X) &=& n \times p \\ &=& 16 \times 0{,}492 \\ &=& 7{,}872 \end{array}\]

   En moyenne, sur 16 000 tirs, le joueur réussira environ 7872 lancers francs .

3. Calcul de la probabilité d'avoir exactement 5 succès :

   \[\begin{array}{rcl} P(X = 5) &=& \binom{16}{5} \times (0{,}492)^5 \times (1 - 0{,}492)^{16 - 5} \\ P(X = 5)&\approx& 0{,}073 \end{array}\]

4. Probabilité de réussir au moins 6 lancers francs :

   \[\begin{array}{rcl} P(X \geqslant 6) &=& 1 - P(X \leqslant 5) \\ &\approx& 1 - 0{,}117 \\ P(X \geqslant 6)&\approx& 0{,}883 \end{array}\]

Partie B

1. Le joueur effectue 3 lancers francs. La variable \(Y\) peut donc prendre les valeurs \(0, 1, 2, 3\).

2. \(Y\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(3~;~p)\).

   \[\begin{array}{rcl} P(Y = 2) &=& \binom{3}{2} p^2 (1 - p)^1 \\ &=& 3p^2(1 - p) \\ &=& 3p^2 - 3p^3 \end{array}\]

3. Loi de probabilité de \(Y\) :

   \(y_i\)	0	1	2	3
   \(P(Y = y_i)\)	\((1 - p)^3\)	\(3p(1 - p)^2\)	\(3p^2(1 - p)\)	\(p^3\)

4. Calcul de \(P(Y \geqslant 2)\) :

   \[\begin{array}{rcl} P(Y \geqslant 2) &=& P(Y = 2) + P(Y = 3) \\ &=& (3p^2 - 3p^3) + p^3 \\ &=& -2p^3 + 3p^2 \end{array}\]

5. 1. Étude de \(f(x) = -2x^3 + 3x^2\) sur \([0~;~1]\).

      \[\begin{array}{rcl} f'(x) &=& -6x^2 + 6x \\ &=& 6x(1 - x) \end{array}\]

      Sur \([0~;~1]\), \(6x \geqslant 0\), \(f'(x)\) est donc du signe de \(1 - x\). Or

      \[1 - x > 0 \iff 1 >x.\]

      On a donc pour \(x \in [0~;~1[\),  \(f'(x) > 0\). La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \([0~;~1]\).

      

   2. Sur l'intervalle \([0~;~1]\), la fonction \(f\) est continue et strictement croissante. De plus, \(f(0) = 0\) et \(f(1) = 1\). Puisque \(0{,}9 \in [0~;~1]\), d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x) = 0{,}9\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([0~;~1]\).

      À retenir :

      Pour appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il faut vérifier que \(f\) est continue sur \([0;1]\) (c’est le cas car \(f\) est une fonction polynôme), que \(f\) est strictement monotone sur \([0;1]\), et que \(0{,}9\) est bien compris entre \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\). La stricte monotonie assure l’unicité de la solution \(\alpha\).

   3. À l'aide de la calculatrice :

      \[\begin{array}{rcl} f(0{,}80) &=& 0{,}896\\ f(0{,}81) &=& 0{,}905 \end{array} \implies f(0{,}80) < 0{,}9 < f(0{,}81)\]

      L'encadrement est donc \(0{,}80 \leqslant \alpha \leqslant 0{,}81\).

   4. La valeur \(\alpha\) représente la probabilité de réussite minimale qu'un joueur doit avoir sur un lancer franc pour que sa probabilité de réussir au moins 2 lancers sur 3 soit égale à \(90\,\%\).

1. 1. Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) ont pour coordonnées :

      \[\begin{array}{rcl} \overrightarrow{\text{AB}} && \begin{pmatrix} -1 - 1 \\ 3 - 2 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{\text{AC}} && \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 1 - 2 \\ 6 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{array}\]

      Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés et définissent donc un plan.

   2. Calculons les produits scalaires :

      \[\begin{array}{rcl} \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} &=& 1 \times (-2) + 4 \times 1 + 1 \times (-2) = -2 + 4 - 2 = 0 \\ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} &=& 1 \times 1 + 4 \times (-1) + 1 \times 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \end{array}\]

      Le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), il est donc normal à ce plan.

   3. Une équation du plan (ABC) est de la forme \(x + 4 y + z + d = 0\). Le point A\((1~;~2~;~3)\) appartient au plan, donc :

      \[\begin{array}{rcl} 1 + 4\times 2+ 3 + d &=& 0 \iff 12 + d = 0 \iff d = -12 \end{array}\]

      Une équation cartésienne est : \(x + 4y + z - 12 = 0\).

2. 1. La droite \((d)\) est dirigée par le vecteur normal \(\overrightarrow{n}(1~;~4~;~1)\) et passe par D\((3~;~-2~;~-1)\). Une représentation paramétrique est :

      \[\left\{ \begin{array}{rcr} x &=& 3 + \phantom{4}t \\ y &=& -2 + 4t \\ z &=& -1 + \phantom{4}t \end{array} \right. , t \in \mathbb{R}\]

   2. Le point H appartient à \((d)\), il existe donc \(t \in \mathbb{R}\) tel que \(\begin{cases} x_{\text{H}}=3+\phantom{4}t \\y_{\text{H}}= -2+4t \\ z_{\text{H}}= -1+\phantom{4}t\end{cases}\)

      De plus H appartient au plan (ABC), ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan (ABC): \(x_{\text{H}}+4y_{\text{H}}+z_{\text{H}}- 12 = 0\). On en déduit que \(t\) est solution de :

      \[\begin{array}{rcl} (3 + t) + 4(-2 + 4t) + (-1 + t) - 12 &=& 0 \\ 3 + t - 8 + 16t - 1 + t - 12 &=& 0 \\ 18t - 18 &=& 0 \\ t &=& 1 \end{array}\]

      Les coordonnées de H sont donc \(x_{\text{H}} = 3 + 1 = 4\), \(y_{\text{H}} = -2 + 4(1) = 2\), \(z_{\text{H}} = -1 + 1 = 0\). Soit H\((4~;~2~;~0)\).

   3. La distance de D au plan (ABC) correspond à la longueur DH :

      \[\begin{array}{rcl} \text{DH} &=& \sqrt{(4 - 3)^2 + (2 - (-2))^2 + (0 - (-1))^2} \\ &=& \sqrt{1^2 + 4^2 + 1^2} \\ &=& \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \end{array}\]

3. 1. On sait que \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos(\widehat{\text{BAC}})\).

      \[\begin{array}{rcl} \overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} &=& -2(1) + 1(-1) - 2(3) = -9 \\ \text{AB} &=& \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3 \\ \text{AC} &=& \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{11} \\ \end{array}\]

      D'où :

      \[\begin{array}{rcl} -9 &=& 3 \times \sqrt{11} \times \cos(\widehat{\text{BAC}}) \\ \cos(\widehat{\text{BAC}}) &=& \dfrac{-9}{3\sqrt{11}} = \dfrac{-3}{\sqrt{11}} = \dfrac{-3\sqrt{11}}{11} \end{array}\]

   2. Sachant que \(\cos^2(\widehat{\text{BAC}}) + \sin^2(\widehat{\text{BAC}}) = 1\) :

      \[\begin{array}{rcl} \sin^2(\widehat{\text{BAC}}) &=& 1 - \left(-\frac{3}{\sqrt{11}}\right)^2 \\ &=& 1 - \frac{9}{11} = \dfrac{2}{11} \end{array}\]

      L'angle \(\widehat{\text{BAC}}\) étant dans \([0~;~\pi]\), son sinus est positif : \(\sin(\widehat{\text{BAC}}) = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\).

   3. L'aire du triangle ABC est donnée par :

      \[\begin{array}{rcl} \mathcal{A} &=& \frac{1}{2} \times \text{AB} \times \text{AC} \times \sin(\widehat{\text{BAC}}) \\ &=& \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{11} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}} \\ &=& \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \end{array}\]

4. Le volume du tétraèdre ABCD est :

   \[\begin{array}{rcl} \mathcal{V} &=& \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{ABC}} \times \text{DH} \\ &=& \frac{1}{3} \times \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \times 3\sqrt{2} \\ &=& \frac{1}{3} \times \dfrac{18}{2} \\ &=& 3 \end{array}\]

1. Affirmation 1 : Fausse.

   Calculons la dérivée seconde de \(f(x) = (-0{,}5x + 3)^5\). (on rappelle que \((u^n)'=nu^{n-1}u'\))

   \[\begin{array}{rcl} f'(x) &=& 5 \times (-0{,}5) \times (-0{,}5x + 3)^4 = -2.5(-0{,}5x + 3)^4 \\ f''(x) &=& -2{,}5 \times 4 \times (-0{,}5) \times (-0{,}5x + 3)^3 = 5(-0{,}5x + 3)^3 \end{array}\]

   Pour \(x = 10\), on a \(f''(10) = 5(-5 + 3)^3 = 5(-8) = -40 < 0\). La dérivée seconde n'est pas positive sur tout \(\mathbb{R}\), la fonction n'est donc pas convexe sur \(\mathbb{R}\).

2. Affirmation 2 : Vraie.

   Il y a 4 multiples de 8 parmi les 32 jetons \(\{8, 16, 24, 32\}\). Le nombre de tirages contenant au moins un multiple de 8 est le nombre total de tirages moins le nombre de tirages ne contenant aucun multiple de 8 (tirage parmi les 28 autres jetons).

   \[\begin{array}{rcl} \text{Nombre total} &=& \binom{32}{5} = 201376 \\ \text{Sans multiple de 8} &=& \binom{28}{5} = 98\,280 \\ \text{Au moins un} &=& 201\,376 - 98\,280 = 103\,096 \end{array}\]

3. Affirmation 3 : Fausse. Complétons l'arbre fourni par l'énoncé.

   

   On peut dans un premier temps calculer \(p(B)\) par la formule de probabilités totales:

   \[p(B)= p(A \cap B) + p\left(\overline{A} \cap B\right) = \frac25 \times \frac14 + \frac35 \times \frac3{10} =\frac1{10}+\frac9{50}= \frac{14}{50}\]

   On en déduit que:

   \[p_B\left(\overline{A}\right)=\frac{p\left(\overline{A} \cap B\right)}{p(B)} =\frac{\frac9{50}}{\frac{14}{50}} = \frac9{14}\]

4. Affirmation 4 : Vraie.
   Vérifions si \(h(x) = \mathrm{e}^{-x}\sin(x)\) vérifie \(h'(x) + h(x) = \mathrm{e}^{-x} \cos(x)\).

   \[\begin{array}{rcl} h'(x) &=& -\mathrm{e}^{-x}\sin(x) + \mathrm{e}^{-x}\cos(x) \\ h'(x) + h(x) &=& \left( -\mathrm{e}^{-x}\sin(x) + \mathrm{e}^{-x}\cos(x) \right) + \mathrm{e}^{-x}\sin(x) \\ h'(x) + h(x) &=& \mathrm{e}^{-x}\cos(x) \end{array}\]

   La fonction \(h\) est bien une solution particulière.

5. Affirmation 5 : Fausse.

   Les solutions de \((E)\) sont la somme de la solution particulière \(h(x)\) et des solutions de l'équation homogène associée \(y' + y = 0\). Les solutions de l'équation homogène sont de la forme \(C\mathrm{e}^{-x}\). L'ensemble des solutions de \((E)\) est donc constitué des fonctions de la forme \(y(x) = C\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x}\sin(x)\), ce qui est différent de l'expression proposée.