Aires, périmètres et volumes au CRPE

1Calculer un périmètre

Le périmètre est la longueur du contour d'une figure. Pour un polygone, on additionne les longueurs des côtés ; pour un cercle de rayon $r$ et de diamètre $d$ : $P = 2\pi r = \pi d$.

Exemple. Une figure est formée d'un rectangle de 8 cm sur 4 cm, prolongé sur un de ses petits côtés par un demi-cercle de diamètre 4 cm. Son périmètre vaut $8 + 4 + 8 + \dfrac{\pi \times 4}{2} \approx 26{,}3$ cm.

Convertir des longueurs

Dans le tableau km, hm, dam, m, dm, cm, mm, on multiplie par 10 à chaque colonne vers la droite : 5,2 km = 5 200 m.

2Aires des figures usuelles et composées

L'aire mesure la surface d'une figure, en unités d'aire (cm², m²…). Les formules à connaître :

Exemple. Un triangle de base 6 cm et de hauteur 4 cm a une aire de $\dfrac{6 \times 4}{2} = 12$ cm². Un disque de rayon 3 cm a une aire de $\pi \times 3^2 \approx 28{,}3$ cm².

Aires composées

On découpe la figure en figures usuelles et on additionne, ou on part d'une grande figure et on soustrait ce qui manque.

Exemple. Un rectangle de 10 cm sur 6 cm auquel on retire un demi-disque de rayon 2 cm : $60 - \dfrac{\pi \times 2^2}{2} \approx 53{,}7$ cm².

Aire et périmètre sont indépendants

Un rectangle de 6 cm sur 1 cm et un rectangle de 3 cm sur 2 cm ont la même aire (6 cm²), mais des périmètres différents (14 cm et 10 cm).

3Convertir les unités d'aire et de volume

Pour les aires, on multiplie par 100 à chaque unité vers la droite ($1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2$) ; pour les volumes, par 1 000 ($1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ dm}^3$).

Exemple. 3,5 m² = 350 dm² = 35 000 cm². Un hectare vaut 10 000 m².

Volumes et contenances

Le lien à retenir : 1 dm³ = 1 L, donc 1 m³ = 1 000 L et 1 cm³ = 1 mL.

Exemple. Une cuve de 2,4 m³ contient 2 400 dm³, soit 2 400 L.

4Calculer un volume

Pour le cube et le pavé droit, on multiplie les trois dimensions :

• Prisme droit et cylindre : $V = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$ (cylindre : $\pi r^2 h$).
• Pyramide et cône : $V = \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$.
• Boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.

Exemple. Un cylindre de rayon 5 cm et de hauteur 12 cm : $\pi \times 5^2 \times 12 = 300\pi \approx 942$ cm³, soit environ 0,94 L.
Une pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 10 cm : $\dfrac{36 \times 10}{3} = 120$ cm³.

Effet d'un agrandissement

Si toutes les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$.

Exemple. Une maquette dont toutes les longueurs sont doublées a une aire 4 fois plus grande et un volume 8 fois plus grand.

Les erreurs classiques au concours

• Confondre périmètre et aire, ou leurs unités : cm pour une longueur, cm² pour une aire.
• Convertir des aires en multipliant par 10 au lieu de 100, ou des volumes par 10 au lieu de 1 000.
• Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans πr².
• Oublier de diviser par 3 pour une pyramide ou un cône, ou par 2 pour un triangle.
• Arrondir dans le mauvais sens : pour un nombre de pots de peinture ou de bus, on arrondit à l'unité supérieure.
• Croire qu'en doublant les longueurs, on double l'aire : elle est multipliée par 4.

Ce qui tombe au CRPE : exercices corrigés

Ces exercices des sujets officiels portent sur les notions de cette page. Chaque lien ouvre l'énoncé et son corrigé détaillé, en accès libre.

Les 44 exercices corrigés « Aires et volumes » →

Questions fréquentes