Annales Bac · Spécialité mathématiques › 2022

2022Bac spé maths · Métropole, Antilles-Guyane · Jour 1

Épreuve écrite de spécialité mathématiques, série générale · 11 mai 2022

11 mai 2022Durée : 4 heures20 points4 exercices
Fiche « Démonstration par récurrence »Fiche « Dérivée seconde et convexité »Fiche « Équation cartésienne d'un plan »Fiche « Loi binomiale »Couverture des fiches magiques Terminale spé maths

40 fiches · tout le programme

📒 Les fiches magiques

Exercice 1 (7 pts)

SuitesDérivation et convexité

Dans le cadre d'un essai clinique on envisage deux protocoles de traitement d'une maladie.

L'objectif de cet exercice est d'étudier, pour ces deux protocoles, l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient en fonction du temps.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A : Étude du premier protocole

Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.

On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction \(f\) définie sur l'intervalle [0 ; 10] par

\[f(t) = 3t\text{e}^{-0{,}5t+1},\]

où \(t\) désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.

    1. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle [0 ; 10] et on note \(f'\) sa fonction dérivée.

      Montrer que, pour tout nombre réel \(t\) de [0 ; 10], on a : \(f'(t) = 3(- 0{,}5t + 1)\text{e}^{-0{,}5t+1}\).

    2. En déduire le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle [0 ; 10].

    3. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ?

      Quelle est alors cette quantité maximale?

    1. Montrer que l'équation \(f(t) = 5\) admet une unique solution sur l'intervalle [0 ; 2] notée \(\alpha\), dont on donnera une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.

      On admet que l'équation \(f(t) = 5\) admet une unique solution sur l'intervalle [2 ; 10], notée \(\beta\), et qu'une valeur approchée de \(\beta\) à \(10^{-2}\) près est 3,46.

    2. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5 mg.

      Déterminer, à la minute près, la durée d'efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.

Partie B : Étude du deuxième protocole

Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de \(2\) mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de \(1{,}8\) mg.

On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite progressivement éliminé.

On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30 % par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.

On modélise cette situation à l'aide de la suite \(\left(u_n\right)\) où, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la \(n\)-ième heure. On a donc \(u_0 = 2\).

  1. Calculer, selon cette modélisation, la quantité \(u_1\), de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la première heure.

  2. Justifier que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n+1} = 0{,}7u_n + 1{,}8\).

    1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n \leqslant u_{n+1} < 6\).

    2. En déduire que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente. On note \(\ell\) sa limite.

    3. Déterminer la valeur de \(\ell\). Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

  4. On considère la suite \(\left(v_n\right)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_n = 6 - u_n\).

    1. Montrer que la suite \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique de raison \(0{,}7\) dont on précisera le premier terme.

    2. Déterminer l'expression de \(v_n\) en fonction de \(n\), puis de \(u_n\) en fonction de \(n\).

    3. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à \(5{,}5\) mg.

      Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce protocole.

Voir le corrigé de l'exercice 1

Partie A

    1. La fonction \(f\) est continue et dérivable sur \([0~;~10]\). En utilisant les règles de dérivation d'un produit, on obtient :
      \(f'(t)=3\mathrm{e}^{-0{,}5t+1}+3t\times -0{,}5\mathrm{e}^{0,5t+1}=\mathrm{e}^{-0{,}5t+1}\left(+-3(0{,}5t+1)\right)=(-1{,}5t+3)\mathrm{e}^{-0{,}5t+1}\)
      Donc \(\forall t \in [0~;~10]\), \(f'(t)=3(-0{,}5t+1)\mathrm{e}^{-0{,}5t+1}\)

    2. \(\forall t \in [0~;~10]\), \(\mathrm{e}^{-0{,}5t+1}>0\) donc \(f'(t)\) a le même signe que \(-0{,}5t+1\).
      \(-0{,}5t+1\geqslant 0 \iff x\leqslant 2\).
      Dans le tableau : \(f(0)=0\), \(f(2)=6\mathrm{e}^0=6\) et \(f(10)=30\mathrm{e}^{-5+1}=30\mathrm{e}^{-4}\).

      D'où le tableau de variation de \(f\) :

      Figure du corrigé de l'exercice 1

    3. Le maximum de la fonction \(f\) est atteint pour \(t=2\), et \(f(2)=6\). La dose maximale de 6 mg sera atteinte au bout de 2 heures.

    1. Sur l'intervalle \([0~;~2]\), la fonction \(f\) est continue et strictement croissante à valeurs dans \([0~;~6]\). Or \(5\in [0~;~6]\), donc d'après le corollaire du TVI (théorème des valeurs intermédiaires), l'équation \(f(t)=5\) admet une unique solution, notée \(\alpha\), dans l'intervalle \([0~;~2]\).

      À la calculatrice, \(\alpha\approx 1{,}02\).

    2. D'après le tableau de variations, \(f(t)\geqslant 5 \iff t \in [\alpha~;~\beta]\). De plus \(\beta-\alpha=2{,}44\) (heures).
      Donc le traitement sera efficace pendant 2,44 heures soit environ 146 minutes.

Partie A

  1. Au bout d'une heure, la quantité de médicament dans le sang diminue de 30 %, donc il en reste 70 %. Puis on en injecte à nouveau 1,8 mg. Sachant que \(u_0=2\), alors \(u_1=0{,}70\times 2+1{,}8=3{,}2\). Au bout d'une heure, la quantité de médicament dans le sang sera de 3,2 mg.

  2. Soi \(n\in \mathbb{N}\). \(u_n\) désigne la quantité de médicament dans le sang au bout de \(n\) heures. Une heure plus tard, il ne restera que 70 % de la quantité précédente (70 % de \(u_n\)), puis on en ajoute 1,8 mg par injection.
    Donc \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1}=0{,}7\times u_n+1{,}8\).

    1. Montrons par récurrence que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_n\leqslant u_{n+1} <6\).

      Initialisation : \(u_0=2\) et \(u_1=3{,}2\). Donc \(u_0\leqslant u_1<6\). L'initialisation est vérifiée.

      Hérédité : on suppose que si \(n \in \mathbb{N}\), alors \(u_n\leqslant u_{n+1} < 6\).

      Montrons que \(u_{n+1}\leqslant u_{n+2} < 6\).

      \(u_n\leqslant u_{n+1} < 6\iff 0{,}7 \times u_n\leqslant 0{,}7\times u_{n+1} <0{,}7 \times 6\iff 0{,}7 u_n\leqslant 0{,}7 u_{n+1} < 4{,}2\)
      donc \(0{,}7 u_n+1{,}8\leqslant 0{,}7 u_{n+1}+ 1{,}8 < 4{,}2 + 1{,}8 \iff 0{,}7 u_n + 1{,}8 \leqslant 0{,}7 u_{n+1} + 1{,}8 < 6\).

      Donc \(u_{n+1}\leqslant u_{n+2}< 6\). L'hérédité est démontrée.

      Conclusion : La proposition est vraie au rang \(0\) et si elle est vraie au rang \(n\), elle l'est aussi au rang \(n + 1\).

      D'après l'axiome de récurrence, \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_n\leqslant u_{n+1} < 6\).

    2. Nous venons de montrer que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_n\leqslant u_{n+1} < 6\). Cela signifie que la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante et majorée par 6. Donc d'après le théorème de convergence monotone, la suite \(\left(u_n\right)\) converge vers une limite finie notée \(\ell\).

    3. La suite \(\left(u_n\right)\) converge vers \(\ell\) donc \(\ell\) est l'unique solution de l'équation \(\ell = 0{,}7\ell + 1{,}8\) (théorème du point fixe).

      \(l=0{,}7l+1{,}8\iff 0{,}3l=1{,}8\iff l=6\). Donc \(\displaystyle\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=6\)

  4. On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_{n}=-u_{n}+6\).

    1. \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(v_{n+1}=-u_{n+1}+6=-(0{,}7\times u_n+1{,}8)+6=-0{,}7u_n+4{,}2=0{,}7\left(-u_n+\dfrac{4,2}{0,7}\right)\\=0{,}7(-u_n+6)=0{,}7v_n\).
      Donc \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(v_{n+1}=0{,}7n_n\) donc la suite \(\left(v_n\right)\) est géométrique de raison 0,7 et de premier terme \(v_0=-u_0+6=4\).

    2. \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(v_n=v_0 \times q^n=4 \times 0{,}7^n\).

      De plus \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(v_n=-u_n+6\) donc \(u_n=-v_n+6=6-4\times 0{,}7^n\).

    3. \(u_n\geqslant 5{,}5 \iff 6-4\times 0{,}7^n\geqslant 5{,}5 \iff -4\times 0{,}7^n\geqslant -0{,}5 \iff 0{,}7^n\leqslant \dfrac{-0{,}5}{-4}\)

      \(\iff \ln\left(0{,}7^n\right) \leqslant \ln\left(\dfrac{1}{8}\right) \iff n\times \ln(0{,}7) \leqslant -\ln(8) \iff n\geqslant -\dfrac{\ln(8)}{\ln(0{,}7)}\) car \(\ln(0{,}7)<0\)
      Donc \(n\geqslant -\dfrac{2\ln(2)}{\ln(0{,}7)}\). À la calculatrice : \(-\dfrac{2\ln(2)}{\ln(0{,}7)}\approx 5{,}83\) donc \(n\geqslant 6\).

      Cela signifie que \(u_6\geqslant 5{,}5\). Il faudra donc au total 7 injections (de l'injection initiale \(u_0\) à la 7e qui correspond à \(u_6\)).

Exercice 2 (7 pts)

Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\), on considère:

\(\bullet~~\) le point A de coordonnées \((-1~;~1~;~3)\),

\(\bullet~~\)la droite \(\mathcal{D}\) dont une représentation paramétrique est: \(\left\{\begin{array}{l c l} x&=&1+2t\\y &=& 2 - t,\\z&=& 2+2t \end{array}\right. t \in \mathbb{R}\).

On admet que le point A n'appartient pas à la droite \(\mathcal{D}\).

    1. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) de la droite \(\mathcal{D}\).

    2. Montrer que le point B\((-1~;~3~;~0)\) appartient à la droite \(\mathcal{D}\).

    3. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u}\).

  2. On note \(\mathcal{P}\) le plan passant par le point A et orthogonal à la droite \(\mathcal{D}\), et on appelle H le point d'intersection du plan \(\mathcal{P}\) et de la droite \(\mathcal{D}\). Ainsi, H est le projeté orthogonal de A sur la droite \(\mathcal{D}\).

    1. Montrer que le plan \(\mathcal{P}\) admet pour équation cartésienne: \(2x - y + 2z - 3 = 0\).

    2. En déduire que le point H a pour coordonnées \(\left(\dfrac79~;~\dfrac{19}{9}~;~\dfrac{16}{9}\right)\).

    3. Calculer la longueur AH. On donnera une valeur exacte.

  3. Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite \(\mathcal{D}\), par une autre méthode.

    On rappelle que le point B\((-1~;~3~;~0)\) appartient à la droite \(\mathcal{D}\) et que le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur directeur de la droite \(\mathcal{D}\).

    1. Justifier qu'il existe un nombre réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{\text{HB}} = k\overrightarrow{u}\).

    2. Montrer que \(k = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u}}{\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2}\).

    3. Calculer la valeur du nombre réel \(k\) et retrouver les coordonnées du point H.

  4. On considère un point C appartenant au plan \(\mathcal{P}\) tel que le volume du tétraèdre ABCH soit égal à \(\dfrac89\).

    Calculer l'aire du triangle ACH.

    On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: \(V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h\) où \(\mathcal{B}\) désigne l'aire d'une base et \(h\) la hauteur relative à cette base.

Voir le corrigé de l'exercice 2

    1. La droite \(\mathcal{D}\) dont une représentation paramétrique est \(\left\{\begin{array}{l c l} x&=&1+2t\\y &=& 2 - t\\z&=& 2+2t \end{array}\right. , t \in \mathbb{R}\) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\, \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}\).

    2. Si \(B\) appartient à la droite \(\mathcal{D}\) alors \(\exists t \in \mathbb{R}\) tel que :

      \(\left\{\begin{array}{l c l} -1&=&1+2t\\3 &=& 2 - t\\0&=& 2+2t \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} 2t&=&-2\\-t&=&1\\2t&=&-2t\end{array}\right. \iff t=-1\). Donc \(B \in \mathcal{D}\).

    3. On a \(A(-1~;~1~;~3)\) et \(B(-1~;~3~;~0)\). Donc \(\overrightarrow{AB}\, \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ -3 \end{pmatrix}\).

      Alors \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\times 2+2\times (-1)+(-3)\times 2=-8\)

    1. Le plan \(\mathcal{P}\) passant par \(A\) est orthogonal à la droite \(\mathcal{D}\). Donc \(\mathcal{P}\) a pour vecteur normal le vecteur \(\overrightarrow{u}\) (vecteur directeur de \(\mathcal{D}\)).

      Son équation cartésienne sera de la forme \(ax+by+cz+d=0\), où \((a~;~b~;~c)\) sont les cordonnées d'un vecteur normal au plan.

      En prenant comme vecteur normal à \(\mathcal{P}\) le vecteur \(\overrightarrow{u}\), on obtient : \(\mathcal{P}~:\)

      \(2x-y+2z+d=0\). Or \(A\in \mathcal{P}\) donc \(-2-1+6+d=0\) donc \(d=-3\). Donc \(\mathcal{P}\) a pour équation \(2x-y+2z-3=0\)

    2. Le projeté orthogonal de \(A\) sur la droite \(\mathcal{D}\), noté \(H\), est l'unique point d'intersection de \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{D}\). Résolvons donc le système suivant :
      \(\left\{\begin{array}{l c l} 2x-y + 2z-3&=&0\\x&=&1+2t\\y &=& 2 - t\\z&=& 2+2t \end{array}\right.\). On remplace \(x\), \(y\) et \(z\) dans la première équation :
      \(2x-y+2z-3=0\iff 2(1 + 2t)-(2 - t)+2(2 + 2t) - 3 = 0 \iff\)

      \(2 + 4t - 2 + t + 4 + 4t = 0 \iff 9t + 1= 0\iff t = -\dfrac{1}{9}\).
      On remplace la valeur de \(t\) dans les trois dernières équations :
      \(\left\{\begin{array}{l c l} x&=&1+2\times-\dfrac{1}{9}=\dfrac{7}{9} \\y &=& 2 - \left(-\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{19}{9}\\z&=& 2+2 \times \left(-\dfrac{1}{9}\right) =\dfrac{16}{9} \end{array}\right.\). Donc \(H\left(\dfrac79~;~\dfrac{19}{9}~;~\dfrac{16}{9}\right)\).

    3. Déterminons les coordonnées de \(\overrightarrow{AH}\) avec \(A(-1~;~1~;~3)\) et \(H\left(\dfrac79~;~\dfrac{19}{9}~;~\dfrac{16}{9}\right)\) : \(\overrightarrow{AH}\, \begin{pmatrix} \frac{16}{9}\\ \frac{10}{9}\\ -\frac{11}{9} \end{pmatrix}\).

      Donc \(\left\| \overrightarrow{AH}\right\| =\sqrt{\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(\dfrac{10}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{11}{9}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{477}}{9}=\dfrac{\sqrt{53}}{3}\)

    1. Les points \(H\) et \(B\) appartiennent à \(\mathcal{D}\), donc le vecteur \(\overrightarrow{HB}\) est un vecteur directeur de \(\mathcal{D}\), tout comme \(\overrightarrow{u}\). Donc les vecteurs \(\overrightarrow{HB}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires donc \(\exists k \in \mathbb{R}\) tel que
      \(\overrightarrow{HB}=k\times \overrightarrow{u}\).

    2. D'après les propriétés du produit scalaire, et en utilisant la relation de Chasles,
      \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}\right).\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{u}\).

      Or les points \(A\) et \(H\) appartiennent au plan \(\mathcal{P}\) normal à la droite \(\mathcal{D}\), donc tout vecteur de \(\mathcal{P}\) est orthogonal à tout vecteur de \(\mathcal{D}\) donc \(\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{u}\) donc \(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}=0\).

      Donc \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{u} = k \times \overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=k~\overrightarrow{u}^2=k~\lVert\overrightarrow{u}\rVert^2\) donc \(k=\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}}{\lVert\overrightarrow{u}\rVert^2}\).

    3. On a \(\overrightarrow{u}\, \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}\) donc \(\lVert\overrightarrow{u}\rVert=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3\) et \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=-8\) donc

      \(k=\dfrac{-8}{3^2}=-\dfrac{8}{9}\).

      Donc en posant \(H(x~;~y~;~z)\) et \(B(-1~;~3~;~0)\) alors \(\overrightarrow{HB}\, \begin{pmatrix} - 1 - x\\ 3 - y\\ - z \end{pmatrix}\).

      De plus \(\overrightarrow{HB}=k\times \overrightarrow{u}=-\dfrac{8}{9}\times \overrightarrow{u}\) donc \(\left\{\begin{array}{l c l}- 1 - x&=&-\dfrac{8}{9}\times 2\\3 - y &=& -\dfrac{8}{9}\times (- 1)\\-z&=&-\dfrac{8}{9}\times 2 \end{array}\right.\)

      Donc \(x=\dfrac{16}{9}-1=\dfrac{7}{9}\) , \(y=3-\dfrac{8}{9}=\dfrac{19}{9}\) et \(z=\dfrac{16}{9}\). On retrouve les coordonnées du point \(H\).

  4. Les points \(A\), \(H\) et \(C\) appartiennent au plan \(\mathcal{P}\). \(H\) est le projeté orthogonal de B sur \(\mathcal{P}\). Le tétraèdre \(BAHC\) a pour base le triangle \(AHC\) et pour hauteur \(BH\).

    Donc \(\mathcal{V}_{BAHC}=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{A}_{AHC}\times BH\) d'où \(\mathcal{A}_{AHC}=\dfrac{3\times \mathcal{V}_{BAHC}}{BH}\).

    D'après la question 3. c, \(\overrightarrow{HB}=k\times \overrightarrow{u}=\) donc \(\overrightarrow{HB}\, \begin{pmatrix} \frac{16}{9}\\ -\frac{8}{9}\\ \frac{16}{9} \end{pmatrix}\) donc

    \(HB=\sqrt{\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{9}\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}\right)^2} = \dfrac{8}{3}\)

    Donc \(\mathcal{A}_{AHC}=\dfrac{3\times \dfrac{8}{9}}{\dfrac{8}{3}}=1\) unité d'aire.

Exercice 3 (7 pts)

ProbabilitésAlgorithmique et Python

Le directeur d'une grande entreprise a proposé à l'ensemble de ses salariés un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel.

Ce stage a été suivi par 25 % des salariés.

  1. Dans cette entreprise, 52 % des salariés sont des femmes, parmi lesquelles 40 % ont suivi le stage.

    On interroge au hasard un salarié de l'entreprise et on considère les évènements:

    • \(F\) : « le salarié interrogé est une femme »,

    • \(S\) : « le salarié interrogé a suivi le stage ».

    \(\overline{F}\) et \(\overline{S}\) désignent respectivement les évènements contraires des évènements \(F\) et \(S\).

a.  Donner la probabilité de l'évènement \(S\).

b.  Recopier et compléter les pointillés de l'arbre pondéré ci-contre sur les quatre branches indiquées.

c.  Démontrer que la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à \(0{,}208\).

d.  On sait que la personne interrogée a suivi le stage. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

e.  Le directeur affirme que, parmi les hommes salariés de l'entreprise, moins de 10 % ont suivi le stage.

Justifier l'affirmation du directeur.

Figure de l'exercice 3

  1. On note \(X\) la variable aléatoire qui à un échantillon de \(20\) salariés de cette entreprise choisis au hasard associe le nombre de salariés de cet échantillon ayant suivi le stage. On suppose que l'effectif des salariés de l'entreprise est suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.

    1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\).

    2. Déterminer, à \(10^{-3}\) près, la probabilité que \(5\) salariés dans un échantillon de \(20\) aient suivi le stage.

    3. Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction binomiale\((i, n, p)\) créée pour l'occasion qui renvoie la valeur de la probabilité \(P(X = i)\) dans le cas où la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\).

      def proba(k):
      P=0
     for i in range(0,k+1) :
         P=P+binomiale(i,20,0.25)
     return P

      Déterminer, à \(10^{-3}\) près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l'on saisit proba(5) dans la console Python.

      Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

    4. Déterminer, à \(10^{-3}\) près, la probabilité qu'au moins \(6\) salariés dans un échantillon de \(20\) aient suivi le stage.

  2. Cette question est indépendante des questions 1 et 2.

    Pour inciter les salariés à suivre le stage, l'entreprise avait décidé d'augmenter les salaires des salariés ayant suivi le stage de 5 %, contre 2 % d'augmentation pour les salariés n'ayant pas suivi le stage.

    Quel est le pourcentage moyen d'augmentation des salaires de cette entreprise dans ces conditions ?

Voir le corrigé de l'exercice 3

    1. L'énoncé nous indique que ce stage a été suivi par 25 % des salariés. Donc \(p(S)=0{,}25\).

    2. L'arbre complété avec les valeurs disponibles :

      Figure du corrigé de l'exercice 3

    3. On calcule \(p(F\cap S)\) : \(p(F\cap S)=p_S(F)\times p(S)=0{,}4 \times 0{,}52 = 0{,}208\)

    4. On cherche calculer \(p_S(F)\). D'après la formule de Bayes,

      \(p_S(F)=\dfrac{p(F\cap S)}{p(S)}=\dfrac{0,208}{0,25}=0{,}832\)

    5. Appliquons la formule des probabilités totales : \(p(S)=p(S\cap F)+p(S\cap \overline{F})\).

      Donc \(p\left(S\cap \overline{F}\right)=p(S)-p(S\cap F)=0{,}25-0{,}208=0{,}042\).

      Avec la formule de Bayes : \(p_{\overline{F}}(S)=\frac{p\left(S\cap \overline{F}\right)}{p\left(\overline{F}\right)}=\dfrac{0,042}{0,48}= 0{,}0875 < 0{,}1\).

      L'affirmation du directeur est donc exacte.

    1. Il s'agit là d'un schéma de Bernoulli : la répétition de 20 expériences aléatoires n'ayant que deux issues, identiques et indépendantes entre elles. \(X\) est la variable aléatoire qui compte les succès. \(X\) suit donc une loi binomiale de paramètres \(n = 20\) et \(p = 0{,}25\) : \(X \sim \mathcal{B}(20~;~0{,}25)\)

    2. \(p(X=5)=\dbinom{20}{5}\times 0{,}25^5 \times (1-0{,}25)^{20-5}\approx 0{,}202\).

      La probabilité qu'exactement 5 salariés suivent le stage est d'environ 0,202.

    3. « proba(5) » calcule pour \(k\) allant de 0 à 5, la somme des probabilités \(p(X=k)\),

      Soit \(p(X\leqslant5)\). À la calculatrice, \(p(X\leqslant5)\approx 0{,}617\).
      Cela signifie que la probabilité qu'au plus 5 salariés aient effectué le stage, est égale à 0,617.

      La probabilité qu'au moins 6 salariés suivent le stage est d'environ 0,617.

    4. \(p(X\geqslant 6)=1-p(X<6)=1-p(X\leqslant5)\approx 1-0{,}617\approx0,383\)

  3. \(\bullet~~\)Premier exemple : supposons qu'il y ait 25 salariés à 1000 € et 75 à 1200 €, les premiers ayant fait le stage.

    Le salaire moyen est égal à \(\dfrac{25 \times 1000 + 75 \times 1200}{100} = 1150\) €.

    Après augmentation le salaire moyen passe à :

    \(\dfrac{25 \times 1000 \times 1{,}05 + 75 \times1200\times 1{,}02}{100} = 1180{,}50\) €.

    L'augmentation moyenne est donc égale à \(\dfrac{1180{,}5}{1150}\approx 1{,}0265\), soit une augmentation d'environ 2,65 %.

    \(\bullet~~\)Deuxième exemple : supposons qu'il y ait 25 salariés à 1200 € et 75 à 1000 €, les premiers ayant fait le stage.

    Le salaire moyen est égal à \(\dfrac{25 \times 1200 + 75 \times 1000}{100} = 1050\) €.

    Après augmentation le salaire moyen passe à :

    \(\dfrac{25 \times 1200 \times 1{,}05 + 75 \times1000\times 1{,}02}{100} = 1080\) €.

    L'augmentation moyenne est donc égale à \(\dfrac{1080}{1050}\approx 1{,}0285\), soit une augmentation d'environ 2,85 %.

    Conclusion : l'augmentation moyenne dépend de la répartition des salaires : on ne peut pas répondre à cette question.

Exercice 4 (7 pts)

Dérivation et convexitéQCMPrimitives et intégrales

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Les six questions sont indépendantes

  1. La courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{-2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1}\) admet pour asymptote la droite d'équation:

    a.  \(x = -2\) ;b.   \(y = -1\);
    c.   \(y = - 2\);d.   \(y = 0\)

  2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x\text{e}^{x^2}\).

    La primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui vérifie \(F(0) = 1\) est définie par :

    1.31.9

    a.   \(F(x) = \dfrac{x^2}{2}\text{e}^{x^2}\) ;b.   \(F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2}\)
    c.   \(F(x) = \left(1 + 2x^2\right)\text{e}^{x^2}\) ;d.   \(F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2} + \dfrac{1}{2}\)

    1.31

  3. On donne ci-contre la représentation graphique \(\mathcal{C}_{f'}\) de la fonction dérivée \(f'\) d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\).

    On peut affirmer que la fonction \(f\) est :

    a.   concave sur \(]0~;~+\infty[\) ;

    b.   convexe sur \(]0~;~+\infty[\) ;

    c.   convexe sur [0 ; 2] ;

    d.   convexe sur \([2~;~+\infty[\).

    Figure de l'exercice 4

  4. Parmi les primitives de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3\text{e}^{-x^2} + 2\) :

    a.   toutes sont croissantes sur \(\mathbb{R}\) ;b.   toutes sont décroissantes sur \(\mathbb{R}\) ;
    c.   certaines sont croissantes sur \(\mathbb{R}\) et d'autres décroissantes sur \(\mathbb{R}\) ;d.   toutes sont croissantes sur \(]-\infty~;~0]\) et décroissantes sur \([0~;~+\infty[\).

  5. La limite en \(+\infty\) de la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2 + 1}\) est égale à :

    a.   \(\dfrac23\) ;b.   \(+ \infty\) ;c.   \(- \infty\) ;d.   \(0\).

  6. L'équation \(\text{e}^{2x} + \text{e}^x - 12 = 0\) admet dans \(\mathbb{R}\) :

    a.   trois solutions;b.   deux solutions;c.   une seule solution;d.   aucune solution.
Voir le corrigé de l'exercice 4

  1. Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1}\).
    Pour \(x\neq 0\), \(f(x)=\dfrac{x^2\left(-2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{-2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}}{1+\dfrac{1}{x^2}}\) donc \(\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=-2\).
    Donc la droite horizontale d'équation \(y=-2\) est une asymptote à la courbe représentative de la fonction \(f\). Réponse c

  2. La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) donc admet des primitives. Soit \(F\) une primitive de \(f\).

    \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f(x)\) est de la forme \(u'(x)\times \mathrm{e}^{u(x)}\), et admet pour primitives les fonctions \(x\mapsto\mathrm{e}^{u(x)}+k\), \(k\in\mathbb{R}\).

    En posant \(u(x) = x^2\) et \(u'(x)=2x\), et en remarquant que \(f(x)=\dfrac{1}{2}\times 2x~\mathrm{e}^{x^2}\), on peut donc écrire :

    \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(F(x)=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{e}^{x^2}+k\).

    Sachant que \(F(0)=1\) on en déduit que : \(\dfrac{1}{2}+k=1\) donc \(k=\dfrac{1}{2}\).

    Donc \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(F(x)=\dfrac{1}{2}~\mathrm{e}^{x^2}+\dfrac{1}{2}\) Réponse d

  3. La courbe représentative est celle de la fonction \(f'\). Avec la précision permise par le graphique, on peut affirmer que la fonction \(f'\) est croissante sur \(]-\infty~;~3]\) et décroissante sur \([3~;~+\infty[\). \([0~;~2] \subset ]-\infty~;~3]\), donc \(f'\) est croissante \([0~;~2]\).
    La fonction est donc convexe sur \([0~;~2]\). Réponse c

  4. La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=3\mathrm{e}^{-x^2}+2\) est continue et dérivable. \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f(x)>0\).

    Les primitives de la fonction \(f\), ont pour dérivée \(f\), qui est positive sur \(\mathbb{R}\).

    Donc les fonctions \(F\) sont croissantes sur \(\mathbb{R}\). Réponse a

  5. \(\forall x \in ]0~;~+ \infty[\), \(f(x)=\dfrac{2\ln(x)}{3x^2+1}= \dfrac23\dfrac{x^2\times \dfrac{\ln(x)}{x^2}}{x^2\left(1+\dfrac{1}{3x^2}\right)}= \dfrac23~\dfrac{\dfrac{\ln(x)}{x^2}}{1+\dfrac{1}{3x^2}}\).

    Nous savons que : \(\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}= 0\) (croissances comparées) et \(\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} 1+ \dfrac{1}{3x^2}= 1\)

    donc \(\displaystyle\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)= 0\) Réponse d

  6. \(\forall x \in \mathbb{R}\), \((E)~~\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^x-12=0 \iff \left(\mathrm{e}^x\right)^2+\mathrm{e}^x-12=0\).

    On pose comme changement de variable : \(X=\mathrm{e}^x\) : \((E) \iff X^2+X-12=0\). Cette équation a pour solutions \(X=-4\) et \(X= 3\).

    Or \(X=\mathrm{e}^x>0\) donc l'unique solution sera celle de l'équation \(X=\mathrm{e}^x=3\iff x=\ln(3)\). Réponse c

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