Annales Bac · Spécialité mathématiques › 2022

2022Bac spé maths · Amérique du Nord · Jour 1

Épreuve écrite de spécialité mathématiques, série générale · 18 mai 2022

18 mai 2022Durée : 4 heures20 points4 exercices
Fiche « Démonstration par récurrence »Fiche « Dérivée seconde et convexité »Fiche « Équation cartésienne d'un plan »Fiche « Loi binomiale »Couverture des fiches magiques Terminale spé maths

40 fiches · tout le programme

📒 Les fiches magiques

Exercice 1 (7 pts)

Probabilités

Chaque chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, si il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.

  1. lorsqu'il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu'une fois sur 50 alors que, lorsqu'il prend sa voiture pour rejoindre la gare Paul rate son train une fois sur 10.

    On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul sera à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail.

    On note:

    • \(V\) l'évènement « Paul prend son vélo pour rejoindre la gare » ;

    • \(R\) l'évènement « Paul rate son train ».

    1. Faire un arbre pondéré résumant la situation.

    2. Montrer que la probabilité que Paul rate son train est égale à \(\dfrac{7}{150}\).

    3. Paul a raté son train. Déterminer la valeur exacte de la probabilité qu'il ait pris son vélo pour rejoindre la gare.

  2. On choisit au hasard un mois pendant lequel Paul s'est rendu \(20\) jours à la gare pour rejoindre son lieu de travail selon les modalités décrites en préambule.

    On suppose que, pour chacun de ces 20 jours, le choix entre le vélo et la voiture est indépendant des choix des autres jours.

    On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces \(20\) jours.

    1. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire \(X\). Préciser ses paramètres.

    2. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo exactement \(10\) jours sur ces \(20\) jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à \(10^{-3}\).

    3. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo au moins \(10\) jours sur ces 20 jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à \(10^{-3}\).

    4. En moyenne, combien de jours sur une période choisie au hasard de 20 jours pour se rendre à la gare, Paul prend-il son vélo ? On arrondira la réponse à l'entier.

  3. Dans le cas où Paul se rend à la gare en voiture, on note \(T\) la variable aléatoire donnant le temps de trajet nécessaire pour se rendre à la gare. La durée du trajet est donnée en minutes, arrondie à la minute. La loi de probabilité de \(T\) est donnée par le tableau ci-dessous:

    \(k\) (en minutes)101112131415161718
    \(P(T = k)\)0,140,130,130,120,120,110,100,080,07

    Déterminer l'espérance de la variable aléatoire \(T\) et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

Voir le corrigé de l'exercice 1

Partie A

    1. L'arbre complété avec les valeurs disponibles :

      Figure du corrigé de l'exercice 1

    2. D'après la formule des probabilités totales :

      \(p(R)=p(R\cap V)+ p\left(R \cap \overline{V}\right) = p_V(R)\times p(V) + p_{\overline{V}}(R)\times p\left(\overline{V}\right) = \dfrac{1}{50}\times \dfrac23+\dfrac{1}{10}\times \dfrac13 = \dfrac{7}{150}\)

    3. On cherche la probabilité : \(p_R(V)\).

      D'après la formule de Bayes, \(p_R(V)=\dfrac{p(R\cap V)}{p(R)}=\dfrac{\dfrac{1}{50}\times \dfrac23}{\dfrac{7}{150}}=\dfrac{2}{7}\).

      Attention, piège :

      Ne confondez pas \(P_V(R)\) et \(P_R(V)\). Ici, \(P_V(R)=\dfrac{1}{50}\) est la probabilité de rater son train sachant qu’il a pris le vélo, alors que l’on demande \(P_R(V)\), la probabilité qu’il ait pris le vélo sachant qu’il a raté son train. On utilise \(P_R(V)=\dfrac{P(R \cap V)}{P(R)}\).

    1. Il s'agit là d'un schéma de Bernoulli : la répétition de 20 expériences aléatoires n'ayant que deux issues, identiques et indépendantes entre elles. \(X\) suit donc une loi binomiale de paramètres \(n = 20\) et \(p = \dfrac23\) : \(X \sim \mathcal{B}\left(20~;~\dfrac23\right)\)

    2. \(p(X = 10)=\dbinom{20}{10}\times \left(\dfrac23\right)^{10} \times \left(1-\dfrac23\right)^{20-10}\approx 0{,}054\).

    3. \(p(X\geqslant 10)=1-p(X<10)=1-p(X\leqslant 9)\approx 0{,}962\)

    4. Calculons l'espérance \(E(X)\) de cette loi binomiale: \(E(X)=n\times p=20 \times \dfrac23=\dfrac{40}{3}\approx 13{,}333\).

      En moyenne, il se rendra à la gare en vélo 13,33 jours par mois soit 13 jours à l'unité près.

  3. Calculons l'espérance de la loi de probabilité de \(T\) :

    \(E(t)=0{,}14\times 10+0{,}13 \times 11+0{,}13\times12+0{,}12\times13+0{,}12\times14+0{,}11\times15+0{,}10\times16+0{,}08\times17+0{,}07\times18\\ =13{,}5\)

    Il mettra en moyenne 13 minutes et demie pour se rendre à la gare en voiture.

Exercice 2 (7 pts)

SuitesAlgorithmique et PythonLimites et continuité

Dans cet exercice, on considère la suite \(\left(T_n\right)\) définie par :

\[T_0 = 180 \:\text{et, \: pour tout entier naturel} \:n, \: T_{n+1} = 0{,}955T_n + 0{,}9\]

    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\),  \(T_n \geqslant 20\).

    2. Vérifier que pour tout entier naturel \(n\),  \(T_{n+1} - T_n = - 0{,}045\left(T_n - 20\right)\). En déduire le sens de variation de la suite \(\left(T_n\right)\).

    3. Conclure de ce qui précède que la suite \(\left(T_n\right)\) est convergente. Justifier.

  2. Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \(u_n = T_n - 20\).

    1. Montrer que la suite \(\left(u_n\right)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

    2. En déduire que pour tout entier naturel \(n\),  \(T_n = 20 + 160 \times 0{,}955^n\).

    3. Calculer la limite de la suite \(\left(T_n\right)\).

    4. Résoudre l'inéquation \(T_n \leqslant 120\) d'inconnue \(n\) entier naturel.

  3. Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température au centre d'un gâteau après sa sortie du four.

    On considère qu'à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de \(180 ^\circ\) C et celle de l'air ambiant de \(20 ^\circ\) C.

    La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente \(\left(T_n\right)\). Plus précisément, \(T_n\) représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, n minutes après sa sortie du four.

    1. Expliquer pourquoi la limite de la suite \(\left(T_n\right)\) déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l'exercice.

    2. On considère la fonction Python ci-dessous:

      def temp(x) :
     T = 180
     n = 0
     while T > x :
         T=0.955*T+0.9
         n=n+1
     return n

      Donner le résultat obtenu en. exécutant la commande temp(120).

      Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Voir le corrigé de l'exercice 2

On considère la suite \(\left(T_n\right)\) définie par : \(T_0 = 180\) et \(\forall n \in \mathbb{N},~T_{n+1} = 0{,}955T_n + 0{,}9\)

    1. Montrons par récurrence que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(T_n \geqslant20\).

      Initialisation : \(T_0=180\geqslant 20\). L'initialisation est vérifiée.

      Hérédité : Soit \(n \in \mathbb{N}\), et supposons que \(T_n \geqslant 0\). Montrons que \(T_{n+1}\geqslant 20\).

      \(T_n \geqslant 20 \iff 0{,}955 \times T_n\geqslant 0{,}955\times 20\iff 0{,}955 T_n\geqslant 19{,}1 \\ \iff 0{,}955 T_n + 0{,}9 \geqslant 19{,}1+0{,}9 \iff 0{,}955 T_n + 0{,}9 \geqslant 20\). Donc \(T_{n+1}\geqslant 20\). L'hérédité est démontrée.

      Conclusion : La proposition est vraie au rang \(0\) et si elle est vraie au rang \(n\), elle l'est aussi au rang \(n + 1\). D'après l'axiome de récurrence, \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(T_n\geqslant 20\).

    2. \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(T_{n+1}- T_n= 0{,}955~T_n+ 0{,}9 - T_n = - 0{,}045~T_n+0{,}9=-0{,}045\left(T_n-\dfrac{0,9}{0,045}\right)\)

      \(=- 0{,}045(T_n-20)\).

      Or d'après la question précédente, \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(T_n\geqslant 20\) donc \(T_n - 20 \geqslant 0\).

      Donc \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(T_{n+1}-T_n \leqslant0\). La suite \(\left(T_n\right)_{n\in \mathbb{N}}\) est donc décroissante.

    3. La suite \((T_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est donc décroissante et minorée par 20. Donc d'après le théorème de convergence monotone, la suite \(\left(T_n\right)_{n\in \mathbb{N}}\) converge vers une limite finie supérieure ou égale à 20.

  2. On note \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_n=T_n-20\).

    1. \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(u_{n+1}=T_{n+1}-20=0{,}955\times T_n+0{,}9-20=0{,}955~T_n-19{,}1=0{,}955\left(T_n-\dfrac{19,1}{0,955}\right)\\=0{,}955(T_n-20)=0{,}955~u_n\).

      Donc \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(u_{n+1}=0{,}955u_n\) donc la suite \(\left(u_n\right)\) est géométrique de raison 0,955 et de premier terme \(u_0=T_0-20=160\).

    2. \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(u_n=u_0 \times q^n=160 \times 0{,}955^n\).

      De plus \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(u_n=T_n-20\) donc \(T_n=u_n+20=160\times 0{,}955^n+20\).

    3. \(\displaystyle\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0{,}955^n=0\) car \(0{,}955\in ]-1~;~1[\). Donc \(\displaystyle\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} T_n=20\).

    4. \(T_n\leqslant 120 \iff 160\times 0{,}955^n+20\leqslant 120 \iff 160\times 0{,}955^n \leqslant 120-20 \iff 160\times 0{,}955^n \leqslant 100 \\ \iff 0{,}955^n \leqslant \dfrac{100}{160} \iff 0{,}955^n \leqslant \dfrac58\).

      Sachant que la fonction \(f:x\mapsto \ln(x)\) est strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\), on obtient :

      \(\ln\left(0{,}955^n\right)\leqslant \ln\left(\dfrac58\right) \iff n \times \ln(0{,}955) \leqslant \ln\left(\dfrac58\right)\). Or \(\ln(0{,}955)<0\) donc,

      \(n\geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac58\right)}{\ln(0{,}955)}\). À la calculatrice, \(\dfrac{\ln\left(\dfrac58\right)}{\ln(0{,}955)} \approx 10{,}21\) donc \(n\geqslant 11\).

      Attention, piège :

      Ici \(0{,}955 \lt 1\), donc \(\ln(0{,}955) \lt 0\). Lorsqu’on divise chaque membre par un même nombre strictement négatif, le sens de l’inégalité change : \(n \times \ln(0{,}955) \leqslant \ln\left(\dfrac58\right)\) devient \(n \geqslant \dfrac{\ln\left(\frac58\right)}{\ln(0{,}955)}\). C’est l’erreur la plus fréquente sur ce type de résolution : sans cette inversion, on obtient \(n \leqslant 10{,}21\) et on conclut à tort \(n \leqslant 10\).

    1. Lorsque le gâteau est sorti du four, il va céder son énergie (sa chaleur) à l'extérieur (environnement ambiant). Sa masse étant très faible par rapport à celle de l'extérieur, il va diminuer sa température pour atteindre celle de l'extérieur, soit \(20 ^\circ\) C.

    2. La fonction Python décrite est un algorithme de seuil : on cherche à partir de quand, la température devient inférieure ou égale au seuil fixé (ici l'argument de la fonction seuil() qui est \(x\)). La valeur renvoyée sera le premier entier vérifiant \(T_n\leqslant x\).

      temp(120) fournira le premier nombre entier \(n\) tel que \(T_n\leqslant 120\), soit d'après la question précédente, \(n=11\). Dans le contexte de l'exercice, il faudra donc 11 minutes avant que la température du plat soit inférieure ou égale à \(120 ^\circ\) C

Exercice 3 (7 pts)

Géométrie dans l'espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\) d'unité 1 cm, on considère les points suivants :

\[\text{J}(2~;~0~;~1), \quad \text{K}( 1~;~2~;~1)\:\text{et} \quad \text{L}(-2~;~-2~;~-2)\]

    1. Montrer que le triangle JKL est rectangle en J.

    2. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle JKL en cm\(^2\).

    3. Déterminer une valeur approchée au dixième près de l'angle géométrique \(\widehat{\text{JKL}}\).

    1. Démontrer que le vecteur \(\overrightarrow{n}\) de coordonnées \(\begin{pmatrix}6\\3\\-10\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (JKL).

    2. En déduire une équation cartésienne du plan (JKL).

Dans la suite, T désigne le point de coordonnées \((10~;~9~;~-6)\).

    1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) orthogonale au plan (JKL) et passant par T.

    2. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point T sur le plan (JKL).

    3. On rappelle que le volume \(V\) d'un tétraèdre est donné par la formule :

      \[V = \dfrac13 \mathcal{B} \times h\:\: \text{où } \mathcal{B}\:\text{désigne l'aire d'une base et } \: h \: \text{la hauteur correspondante}\]

      Calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre JKLT en cm\(^3\).

Voir le corrigé de l'exercice 3

    1. Les vecteurs \(\overrightarrow{JK}\) et \(\overrightarrow{JL}\) ont pour coordonnées : \(\overrightarrow{JK}\, \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}\)   \(\overrightarrow{JL}\, \begin{pmatrix} -4\\ -2\\ -3 \end{pmatrix}\).

      Le produit scalaire de \(\overrightarrow{JK}\) et \(\overrightarrow{JL}\) : \(\overrightarrow{JK}.\overrightarrow{JL}=(-1)\times(-4)+2\times (-2)+0\times (-3)=4-4=0\)

      Les vecteurs \(\overrightarrow{JK}\) et \(\overrightarrow{JL}\) sont orthogonaux donc le triangle JKL est rectangle en J.

    2. \(\mathcal{A}_{JKL}=\dfrac{JK\times JL}{2}\).

      \(JK = \left\|\overrightarrow{JK}\right\| =\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}=\sqrt{5}\) et \(JL=\left\|\overrightarrow{JL}\right\|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{29}\).

      Donc \(\mathcal{A}_{JKL}=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{29}}{2}=\dfrac{\sqrt{145}}{2}\) cm2.

    3. Le triangle JKL est rectangle en J donc en appliquant la formule de la tangente, on obtient :

      \(\tan \left(\widehat{\text{JKL}}\right)=\dfrac{JL}{JK}=\dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt{5}}\).

      Donc \(\widehat{\text{JKL}}=\arctan\left(\dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt{5}}\right)\approx 67{,}5^\circ\)

      Attention, piège :

      Dans la notation \(\widehat{JKL}\), la lettre centrale \(K\) est le sommet de l’angle. Le triangle étant rectangle en \(J\), le côté opposé à cet angle est \([JL]\) et le côté adjacent est \([JK]\) ; ne pas inverser le rapport dans la tangente.

    1. Les vecteurs \(\overrightarrow{JK}\) et \(\overrightarrow{JL}\) ne sont pas colinéaires : il n'existe pas de réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{JK}=k\times \overrightarrow{JL}\).

      En effet le système \(\left\{\begin{array}{l c l} -1&=&k\times (-4)\\2 &=& k\times (-2)\\0&=& k\times (-3) \end{array}\right.\) n'admet pas de solution.

      \(\left(\overrightarrow{JK}~,~\overrightarrow{JL}\right)\) est donc une base du plan (JKL).

      Calculons :

      \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{JK}=6\times(-1)+3\times 2+(-10)\times 0=0\) et \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{JL}=6\times(-4)+3\times (-2)+(-10)\times (-3)=0\).

      Le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est donc orthogonal aux \(\overrightarrow{JK}\) et \(\overrightarrow{JL}\). C'est donc un vecteur normal au plan (JKL).

    2. Le plan (JKL) a pour équation cartésienne : \(ax +by +cz +d = 0\), où \((a~;~b~;~c)\) sont les cordonnées d'un vecteur normal au plan. En prenant comme vecteur normal le vecteur \(\overrightarrow{n}\), on obtient : (JKL) : \(6x + 3y - 10z + d = 0\).

      Or \(J\in \text{(JKL)}\) donc \(12+0-10+d=0\) donc \(d=-2\). Donc (JKL) a pour équation

      \(6x + 3y - 10z - 2 = 0\).

    1. La droite \(\Delta\) est normale au plan (JKL) donc admet comme vecteur directeur \(\overrightarrow{n}\), normal à (JKL). elle passe par T\((10~;~9~;~-6)\) donc une représentation paramétrique est :

      \(\left\{\begin{array}{l c l} x&=&10+6t\\y &=&9+3t\\z&=&-6-10t \end{array}\right. , t \in \mathbb{R}\)

    2. Le projeté orthogonal H de T sur le plan (IJK) est l'unique point d'intersection de \(\Delta\) et (IJK). Ses coordonnées sont les solutions du système :

      \(\left\{\begin{array}{l} x=10+6t\\y =9+3t\\z=-6-10t\\6x+3y-10z-2=0 \end{array}\right.\)

      En remplaçant \(x\), \(y\) et \(z\) dans la dernière équation, on obtient :

      \(6(10+6t)+3(9+3t)-10(-6-10t)-2=0 \iff 145t+145=0 \iff t=-1\)

      Donc \(x=10+6\times(-1)=4\), \(y=9+3\times(-1)=6\) et \(z=-6-10\times(-1)=4\)

      H a pour coordonnées \((4~;~6~;~4)\)

    3. \(\mathcal{V}_{JKLT} = \dfrac13 \mathcal{B} \times h\). La base est le triangle JKL et la hauteur est le segment \([TH]\). D'après les question précédentes :

      \(\overrightarrow{TH}\, \begin{pmatrix} -6\\ -3\\ 10 \end{pmatrix}\) donc \(TH= \left\|\overrightarrow{TH}\right\| = \sqrt{(-6)^2+(-3)^2+10^2}=\sqrt{145}\)

      Donc \(\mathcal{V}_{JKLT} = \dfrac13 \mathcal{B}_{JKL} \times TH=\dfrac13 \times \dfrac{\sqrt{145}}{2} \times \sqrt{145}= \dfrac{145}{6}\) cm3.

Exercice 4 (7 pts)

Dérivation et convexité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.

  1. Affirmation 1 : Pour tout réel \(x\) : \(1 - \dfrac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x} = \dfrac{2}{1 + \text{e}^{-x}}\).

  2. On considère la fonction\(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}\).

    Affirmation 2 : L'équation \(g(x) = \dfrac12\) admet une unique solution dans \(\mathbb{R}\).

  3. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2\text{e}^{-x}\) et on note \(\mathcal{C}\) sa courbe dans un repère orthonormé.

    Affirmation 3 : L'axe des abscisses est tangent à la courbe \(\mathcal{C}\) en un seul point.

  4. On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = \text{e}^x\left(1 - x^2\right)\).

    Affirmation 4 : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction \(h\) n'admet pas de point d'inflexion.

  5. Affirmation 5 : \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + x} = 0\).

  6. Affirmation 6 : Pour tout réel \(x,\: 1 + \text{e}^{2x} \geqslant 2\text{e}^x\).

Voir le corrigé de l'exercice 4

  1. \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(1-\dfrac{1-\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^{x}}=\dfrac{1+\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}-\dfrac{1-\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}=\dfrac{2\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^x}=\dfrac{2\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x\left(1+\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}\right)}=\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}}=\dfrac{2}{1+\mathrm{e}^{-x}}\)

    Affirmation 1 : Vraie

  2. \(g(x)=\dfrac12 \iff \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+1}=\dfrac12 \iff 2\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^x+1 \iff \mathrm{e}^x=1 \iff x=0\) Affirmation 2 : Vraie

  3. La fonction \(f\) est continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

    \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f'(x)=2x\mathrm{e}^{-x}+x^2\times -\mathrm{e}^{-x}= \left(2x-x^2\right)\mathrm{e}^{-x}\).

    L'équation d'une tangente à \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+ f(a)\). Pour que l'axe des abscisses soit tangent à \(\mathcal{C}\), il faut que la courbe \(\mathcal{C}\) admette une tangente d'équation \(y=0\) (équation de l'axe des abscisses), donc il faut que \(f(a)=0\) et \(f'(a)=0\). Sachant que \(\forall a \in \mathbb{R}\), \(\mathrm{e}^{-a}\neq 0\),

    \(f(a)=0 \iff a^2\mathrm{e}^{-a}=0 \iff a^2=0 \iff a=0\).

    \(f'(a)=0\iff (2a-a^2)\mathrm{e}^{-a}=0 \iff 2a-a^2=0 \iff a(2-a)=0 \iff a=0 \text{ ou } a=2\).

    Donc \(a=0\). Il n'existe donc qu'un seul point où l'axe des abscisses est tangent à \(\mathcal{C}\).

    Affirmation 3 : Vraie

  4. La fonction \(h\) est continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Soit \(\mathcal{C}_h\) sa courbe représentative.

    \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(h'(x)=\mathrm{e}^x\times \left(1-x^2\right)+\mathrm{e}^x\times-2x=\mathrm{e}^x\left(1-x^2-2x\right)= \left(-x^2-2x+1\right)~\mathrm{e}^x\).

    La fonction \(h'\) est continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

    \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(h''(x)=(-2x-2)\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x\times\left(-x^2-2x+1\right) =\mathrm{e}^x\left(-2x-2-x^2-2x+1\right)= \left(-x^2-4x-1\right)\mathrm{e}^x\)

    Si \(\mathcal{C}_h\) admet des points d'inflexions, alors \(h''(x)\) peut s'annuler et changer de signe. Or \(\mathrm{e}^x > 0\) pour tout réel \(x\), donc étudions le signe de \(- x^2- 4x- 1\) sur \(\mathbb{R}\).

    \(-x^2-4x-1\) s'annule pour \(x_1=-2-\sqrt{3}\) et pour \(x_2=-2+\sqrt{3}\) car \(\Delta = 12\).

    Le trinôme du second degré s'annule donc deux fois et change donc aussi de signe.

    Affirmation 4 : Fausse

  5. \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+x}=\dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x\left(1+\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}\right)}=\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}}\).

    D'après les croissances comparées, \(\lim \limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty\) donc \(\lim \limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{x}{\mathrm{e}^x}=0\) donc \(\lim \limits_{n \rightarrow +\infty} f(x)=1\)

    Affirmation 5 : Fausse

  6. \(1+\mathrm{e}^{2x}\geqslant 2\mathrm{e}^x \iff \mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^x+1\geqslant0 \iff \left(\mathrm{e}^x-1\right)^2\geqslant0\).

    Cette dernière inégalité est vraie pour tout réel \(x\). Affirmation 6 : Vraie

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