2021Bac spé maths · Sujet 0

1. On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) telles que, pour tout entier naturel \(n\),

   \[u_n=1-\left(\frac{1}{4}\right)^n \text{et } v_n=1+\left(\frac{1}{4}\right)^n.\]

   On considère de plus une suite \((w_n)\) qui, pour tout entier naturel \(n\), vérifie \(u_n\leqslant w_n\leqslant v_n\).

   On peut affirmer que :

   a.   Les suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) sont géométriques.	b.  La suite \((w_n)\) converge vers 1.
   c.  La suite \(\left(u_n\right)\) est minorée par 1.	d.   La suite \(\left(w_n\right)\) est croissante.

   Application directe du théorème dit « des gendarmes ».

2. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)= x\mathrm{e}^{x^2}\).

   La fonction dérivée de \(f\) est la fonction \(f'\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

   a.   \(f'(x) = 2x\mathrm{e}^{x^2}\)	b.   \(f'(x) = (1+2x) \mathrm{e}^{x^2}\)
   c.  \(f'(x) = (1+2x^2) \mathrm{e}^{x^2}\)	d.   \(f'(x) = (2+x^2) \mathrm{e}^{x^2}\).

   \(f'(x)= 1\times \mathrm{e}^{x^2} + x \times 2x \mathrm{e}^{x^2} = \left ( 1+2x^2\right )\mathrm{e}^{x^2}\)

3. Que vaut \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1}\)?

   a.   \(-1\)

   b.   \(0\)

   c.  \(\frac{1}{2}\)

   d.   \(+\infty\).

   \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1} = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{x^2\left (1-\frac{1}{x^2}\right )}{x^2\left (2-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right )} = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{1-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}} =\dfrac{1}{2}\)

4. On considère une fonction \(h\) continue sur l'intervalle \([-1~;~1]\) telle que

   \[h(-1)=0 \qquad h(0)=2\qquad h(1)=0 .\]

   On peut affirmer que :

      a.   La fonction \(h\) est croissante sur l'intervalle \([-1~;~0]\).

      b.   La fonction \(h\) est positive sur l'intervalle \([-1~;~1]\).

      c.   Il existe au moins un nombre réel \(a\) dans l'intervalle [0 ; 1] tel que \(h(a) =1\).

      d.   l'équation \(h(x)=1\) admet exactement deux solutions dans l'intervalle \([-1~;~1]\).

   Application du théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle \([0~;~1]\).

5. On suppose que \(g\) est une fonction dérivable sur l'intervalle \([-4~;~4]\). On donne ci-contre la représentation graphique de sa fonction dérivée \(g'\).

   On peut affirmer que :

   a.   \(g\) admet un maximum en \(-2\).

   b.   \(g\) est croissante sur l'intervalle [1 ; 2].

   c.   \(g\) est convexe sur l'intervalle [1 ; 2].

   d.   \(g\) admet un minimum en 0.

   

   La fonction \(g'\) est croissante sur l'intervalle \([1~;~2]\), donc la fonction \(g\) est convexe sur cet intervalle.

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1, le milieu I de [EF] et J le symétrique de E par rapport à F.

Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormé \(\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)\).

Les sommets du cube ont pour coordonnées: A \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), B \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), D \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), E \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\), C \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), F \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\), H \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) et G \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

1. 1. • Le point I est le milieu de [EF] donc I a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

      • Le point J est le symétrique de E par rapport à F, donc J a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

   2. On en déduit les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{\text{DJ}}\,\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{\text{BI}}\,\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{BG}}\,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

   3. • Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{BI}}\) et \(\overrightarrow{\text{BG}}\) ne sont pas colinéaires donc ce sont deux vecteurs directeurs du plan (BGI).

      • \(\overrightarrow{\text{DJ}}\cdot\overrightarrow{\text{BI}} = -1+0+1=0\) donc \(\overrightarrow{\text{DJ}}\perp\overrightarrow{\text{BI}}\).

      • \(\overrightarrow{\text{DJ}}\cdot\overrightarrow{\text{BG}} = 0-1+1=0\) donc \(\overrightarrow{\text{DJ}}\perp\overrightarrow{\text{BG}}\).

      Donc le vecteur \(\overrightarrow{\text{DJ}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BGI), donc il est normal au plan (BGI).

   4. • Le vecteur \(\overrightarrow{\text{DJ}}\,\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) est normal au plan (BGI) donc le plan (BGI) a une équation de la forme \(2x-y+z+d=0\).

      • Le point B appartient au plan (BGI) donc les coordonnées de B vérifient l'équation du plan; donc \(2x_{\text B}-y_{\text B}+z_{\text B}+d=0\), ce qui équivaut à \(2-0+0+d=0\), ce qui veut dire que \(d=-2\).

      Donc une équation cartésienne du plan (BGI) est \(2x - y + z - 2 = 0\).

2. On note \(d\) la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).

   1. La droite \(d\) est orthogonale au plan (BGI), et \(\overrightarrow{\text{DJ}}\) est un vecteur normal au plan (BGI), donc \(\overrightarrow{\text{DJ}}\) est un vecteur directeur de la droite \(d\).

      Le point F appartient à la droite \(d\) donc la droite \(d\) est l'ensemble des points M de coordonnées \((x~;~y~;~z)\) tels que \(\overrightarrow{\text{FM}}\) et \(\overrightarrow{\text{DJ}}\) soient colinéaires.

      \(\overrightarrow{\text{FM}}\) et \(\overrightarrow{\text{DJ}}\) colinéaires \(\iff \overrightarrow{\text{FM}}=t.\overrightarrow{\text{DJ}} \iff \left\{ \begin{array}{r !{=} l} x-1 & t \times 2\\ y-0 & t \times (-1)\\ z-1 & t\times 1 \end{array} \right .\)

      Donc la droite \(d\) a pour équation \(\left\{ \begin{array}{r !{=} r} x&1+2t\\ y& -t\\ z &1+ \hphantom{2}t \end{array} \right . \,,\, t \in \mathbb{R}\)

   2. On considère le point L de coordonnées \(\left(\frac{2}{3}~;~\frac{1}{6}~;~\frac{5}{6}\right)\).

      • Pour prouver que \(\text L\in d\), on cherche \(t\) pour que \(\left\{ \begin{array}{rcl}\frac{2}{3}&=&1+2t\\ \frac{1}{6}&=&-t\\ \frac{5}{6}&=&1+t\end{array} \right .\)

        On trouve \(t=-\dfrac{1}{6}\) donc \(\text L \in d\).

      • Le plan (BGI) a pour équation \(2x-y+z-2=0\); or \(2x_{\text L}-y_{\text L}+z_{\text L}-2 = \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{6} +\dfrac{5}{6}-2=0\), donc \(\text L \in \text{(BGI)}\).

      Le point L est donc le point d'intersection de la droite \(d\) et du plan (BGI).

3. 1. La pyramide FBGI a pour base le triangle rectangle FBG, et pour hauteur IF.

      • \(\text{IF} = \dfrac{1}{2}\)

      • Le triangle rectangle FBG a pour aire \(\dfrac{\text{FG}\times \text{FB}}{2} = \dfrac{1}{2}\).

      Le volume de la pyramide FBGI est donc \(\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{12}\).

   2. La droite \(d\) est orthogonale au plan (BGI) et coupe ce plan en L. Le point F appartient à la droite \(d\), donc on peut dire que la distance FL est la distance du point F au plan (BGI), autrement dit c'est la hauteur de la pyramide FBGI dont le triangle BGI est la base.

      \(\text{FL}^2 = \left (\dfrac{2}{3} -1\right )^2 + \left (\dfrac{1}{6}-0 \right )^2 + \left (\dfrac{5}{6} -1\right )^2 = \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\) donc \(\text{FL} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\)

      On appelle \(\mathcal{A}\) l'aire du triangle BGI. On exprime le volume de la pyramide FBGI:

      \(\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times \text{FL}\times \mathcal{A} \iff \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{\sqrt{6}} \times \mathcal{A} \iff \dfrac{3\times \sqrt{6}}{12} = \mathcal{A} \iff \mathcal{A} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}\)

      L'aire du triangle BGI est égale à \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\).

Pour préparer l'examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :

• la formation avec conduite accompagnée ;

• la formation traditionnelle.

On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l'examen du permis de conduire. Dans ce groupe :

• 75 personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, 50 ont réussi l'examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.

• 225 personnes se sont présentées à l'examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, 100 ont réussi l'examen à la première présentation, 75 à la deuxième et 50 à la troisième présentation.

On interroge au hasard une personne du groupe considéré.

On considère les évènements suivants :

• \(A\) : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ;

• \(R_1\) : « la personne a réussi l'examen à la première présentation » ;

• \(R_2\) : « la personne a réussi l'examen à la deuxième présentation » ;

• \(R_3\) : « la personne a réussi l'examen à la troisième présentation ».

1. On modélise la situation par un arbre pondéré.

   

2. 1. La probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l'examen à sa deuxième présentation est:

      \(P\left (A\cap R_2\right ) = P(A) \times P_{A}\left (R_2\right ) = \frac{75}{300}\times\frac{25}{75}=\frac{25}{300}=\frac{1}{12}\).

   2. La probabilité que la personne interrogée ait réussi l'examen à sa deuxième présentation est égale à \(P\left (R_2\right )\)..

      D'après la formule des probabilités totales:

      \(P\left (R_2\right ) = P\left (A\cap R_2\right ) + P\left (\overline{A}\cap R_2\right ) = \dfrac{25}{300} + \dfrac{125}{300}\times \dfrac{75}{125} = \dfrac{25}{300} + \dfrac{75}{300} =\dfrac{100}{300} = \dfrac{1}{3}\).

   3. La personne interrogée a réussi l'examen à sa deuxième présentation. La probabilité qu'elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée est:

      \(P_{R_2}(A) = \dfrac{P\left (A\cap R_2 \right )}{P\left (R_2\right )}= \dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\).

3. On note \(X\) la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s'est présentée à l'examen jusqu’à sa réussite.

   Ainsi, \({X=1}\) correspond à l'évènement \(R_1\).

   1. La loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) est:

      \(x_i\)	1	2	3
      \(p_i=P(X=x_i)\)	\(P(R_1)\)	\(P(R_2)\)	\(P(R_3)\)

      • \(P\left (R_1\right ) = P\left (A\cap R_1\right ) + P\left (\overline{A}\cap R_1\right ) = \dfrac{75}{300}\times \dfrac{50}{75}+ \dfrac{225}{300}\times \dfrac{100}{225} = \dfrac{50}{300} + \dfrac{100}{300} = \dfrac{150}{300}=\dfrac{1}{2}\)

      • \(P\left (R_2\right ) = \dfrac{1}{3}\)

      • \(P\left (R_3\right ) = P\left (A\cap R_3\right ) + P\left (\overline{A}\cap R_3\right ) = 0 + \dfrac{225}{300}\times \dfrac{50}{225} = \dfrac{50}{300} = \dfrac{1}{6}\)

      Donc la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) est:

      

   2. L'espérance de cette variable aléatoire est: \(E(X)= \sum(x_i\times p_i)= 1\times\dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{3} + 3\times \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{3}\approx 1{,}67\).

      Cela veut dire que le nombre de passages pour réussir l'examen est en moyenne de \(1{,}67\).

4. On choisit, successivement et de façon indépendante, \(n\) personnes parmi les 300 du groupe étudié, où \(n\) est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de \(n\) personnes parmi les 300 personnes du groupe.

   On admet que la probabilité de l'évènement \(R_3\) est égale à \(\frac{1}{6}\).

   1. On cherche un évènement dont la probabilité est égale à \(1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\).

      \(P(R_3)=\frac{1}{6}\) donc \(P\left (\overline{R_3} \right )=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\). Le nombre \(\frac{5}{6}\) est donc la probabilité de l'événement « \(R_1\) ou \(R_2\) », c'est-à-dire la probabilité qu'une personne prise au hasard réussisse l'examen à la première tentative ou à la deuxième.

      La probabilité que \(n\) personnes réussissent l'examen à la première ou à la deuxième tentative est de \(\left (\frac{5}{6}\right )^n\).

      L'événement de probabilité \(1-\left (\frac{5}{6}\right )^n\) est l'événement contraire du précédent, donc correspond à l'événement « au moins une personne n'a pas réussi l'examen à la première ou à la deuxième tentative », c'est-à-dire « au moins une personne a réussi l'examen à la troisième tentative ».

      On considère la fonction Python seuil ci-dessous, où \(p\) est un nombre réel appartenant à l'intervalle ]0;1[.

      def seuil(p):
          n = 1
          while 1-(5/6)**n <= p:
               n = n+1
          return n

   2. La valeur renvoyée par seuil(0.9) est la première valeur de \(n\) pour laquelle \(1-\left (\frac{5}{6}\right )^n >0{,}9\).
      On résout cette inéquation:

      \(1-\left (\frac{5}{6}\right )^n >0{,}9 \iff 0{,}1 > \left (\frac{5}{6}\right )^n \iff \ln(0{,}1) > \ln\left (\left (\frac{5}{6}\right )^n\right ) \iff \ln(0{,}1) > n\ln\left (\frac{5}{6}\right ) \iff \dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln\left (\frac{5}{6}\right )} < n\)

      \(\dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln\left (\frac{5}{6}\right )}\approx 12{,}6\) donc la commande seuil(0.9) renvoie la valeur 13.

      Il faut donc prendre \(n=13\) personnes sur les 300 pour que la probabilité d'en avoir une qui a réussi l'examen à sa troisième tentative soit supérieure à \(0{,}9\).

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :

• la courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(]0~;~+\infty[\) ;

• la tangente \(\mathcal{T}_A\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point A de coordonnées \(\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}~;~\mathrm{e}\right)\) ;

• la tangente \(\mathcal{T}_B\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point B de coordonnées (1 ; 2).

La droite \(\mathcal{T}_A\) est parallèle à l'axe des abscisses. La droite \(\mathcal{T}_B\) coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées (3 ; 0) et l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 3).

On note \(f'\) la fonction dérivée de \(f\).

Partie I

1. • La droite \(\mathcal{T}_A\) est tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point A de coordonnées \(\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}~;~\mathrm{e}\right)\); elle a donc comme coefficient directeur \(f'\left (\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right )\).

     La droite \(\mathcal{T}_A\) est parallèle à l'axe des abscisses donc son coefficient directeur est nul.

     On peut donc déduire que \(f'\left (\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right )=0\).

   • La droite \(\mathcal{T}_B\) est tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point B de coordonnées (1 ; 2), donc elle a pour coefficient directeur \(f'(1)\).

     La droite \(\mathcal{T}_B\) coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées (3 ; 0) et l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 3), donc on peut en déduire que son coefficient directeur est \(\dfrac{3-0}{0-3}=-1\).

     On a donc \(f'(1)=-1\).

2. La droite \(\mathcal{T}_B\) a pour coefficient directeur \(-1\) et 3 pour ordonnée à l'origine, donc elle a pour équation: \(y=-x+3\).

Partie II

On suppose maintenant que la fonction \(f\) est définie sur \(]0~;~+\infty[\) par : \(f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}\).

1. • \(f\left (\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right ) = \dfrac{2+\ln\left (\frac{1}{\mathrm{e}}\right )}{\frac{1}{\mathrm{e}}} = \mathrm{e}\left ( 2 - \ln(\mathrm{e})\right ) = = \mathrm{e}\left ( 2 - 1\right )=\mathrm{e}\) donc \(\text A \in \mathcal{C}_f\).

   • \(f(1)=\dfrac{2+\ln(1)}{1}=2\) donc \(\text B \in \mathcal{C}_f\).

   • La courbe \(\mathcal{C}_f\) coupe l'axe des abscisses en un point dont l'abscisse est solution de l'équation \(f(x)=0\). On résout dans \(]0~;~+\infty[\) cette équation.

     \(f(x)=0 \iff \dfrac{2+\ln(x)}{x} = 0 \iff 2+\ln(x)=0 \iff \ln(x)=-2 \iff x = \mathrm{e}^{-2}\)

     Donc la courbe \(\mathcal{C}_f\) coupe l'axe des abscisses en un point unique de coordonnées \(\left ( \mathrm{e}^{-2}~;~0\right )\).

2. Calculs des limites.

   • \(\left . \begin{array}{r} \displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x>0} \left (2+\ln(x)\right )=-\infty\\ \displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x>0} \dfrac{1}{x}=+\infty \end{array} \right \rbrace \implies \displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x>0} \left (2+\ln(x)\right )\times \dfrac{1}{x} = -\infty \text{ donc } \displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x>0} f(x)=-\infty\)

   • \(\left . \begin{array}{r}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x}=0\\ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0\end{array} \right \rbrace \implies \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x} + \dfrac{\ln(x)}{x}=0 \text{ donc } \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=0\)

3. Pour \(x\in]0~;~\infty[\), \(f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x - (2+\ln(x)) \times 1}{x^2} = \dfrac{1-2-\ln(x)}{x^2} = \dfrac{-1-\ln(x)}{x^2}\).

4. \(f'(x)\) est du signe de \(-1-\ln(x)\); \(-1-\ln(x) >0 \iff -1 > \ln(x) \iff x < \mathrm{e}^{-1}\)

   On dresse le tableau de variations de \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\):

   

5. On admet que, pour tout \(x\in]0~;~+\infty[\), \(f''(x)=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3}\).

   La fonction \(f\) est convexe sur les intervalles sur lesquels \(f''\) est positive.

   Sur \(]0~;~+\infty\), \(x^3>0\) donc

   \(f''(x)\geqslant 0 \iff \dfrac{1+2\ln(x)}{x^3} \geqslant 0 \iff 1+2\ln(x) \geqslant 0 \iff \ln(x) \geqslant -\dfrac{1}{2} \iff x\geqslant \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\)

   Donc le plus grand intervalle sur lequel la fonction \(f\) est convexe est \(\left [\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}~;~+\infty \right [\).

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de 225 °C.

On s'intéresse à l'évolution de la température d'une baguette après sa sortie du four.

On admet qu'on peut modéliser cette évolution à l'aide d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\).

Dans cette modélisation, \(f(t)\) représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée \(t\), exprimée en heure, après la sortie du four.

Ainsi, \(f(0{,}5)\) représente la température d'une baguette une demi-heure après la sortie du four.

Dans tout l'exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à 25 °C.

On admet alors que la fonction \(f\) est solution de l'équation différentielle \(y'+ 6y = 150\).

1. 1. \(f(0)\) représente la température d'une baguette lors de sa sortie du four, c'est-à-dire 225 \(^{\circ}\)C.

   2. Pour résoudre l'équation, on la met sous la forme \(y'=ay+b\) avec \(a\) et \(b\) des réels. On obtient :

      \[y'=-6y+150 \iff y'=ay+b \ \text{ avec } \ \begin{cases} a=-6 \\ b=150 \end{cases}\]

      On sait alors que les solutions de cette équation sont toutes les fonctions de la forme :

      \[f(t)= - \dfrac{b}{a}+C\mathrm{e}^{at}, \ C \in \mathbb{R}\]

      Les solutions de l'équation différentielle sont donc toutes les fonctions de la forme :

      \[\begin{aligned} f(t) &= - \dfrac{150}{-6} + C\mathrm{e}^{-6t} \\ f(t) &= 25 + C\mathrm{e}^{-6t} \end{aligned}\]

   3. La solution de l'équation différentielle a été obtenue en question b. Il reste à exploiter la condition initiale \(f(t=0)=f(0)= 225\) d'après la valeur trouvée à la question a. La fonction qui satisfait donc le modèle de l'exercice est la solution de l'équation :

      \[\begin{aligned} f(0)= 225 &\Longleftrightarrow C\mathrm{e}^{0} + 25 = 225 \\ &\Longleftrightarrow C + 25 = 225 \\ &\Longleftrightarrow C= 200 \end{aligned}\]

      Donc on a bien, pour tout réel \(t \geqslant 0\) :

      \[f(t)= 200\mathrm{e}^{-6t}+25\]

2. Par expérience, on observe que la température d'une baguette sortant du four décroît et tend à se stabiliser à la température ambiante.

   • Vérifions d'abord que la fonction \(f\) décroît. \(f\) est d'abord bien dérivable pour tout réel \(t \geqslant 0\) comme composée de fonctions dérivables et :

     \[\text{pour tout réel} \ t \geqslant 0, \ f'(t)=-1200\mathrm{e}^{-6t}\]

     Or, pour tout réel \(t \geqslant 0\) :

     \[\left\{\begin{array}{cc} \mathrm{e}^{-6t} & > 0 \\ -1200 & < 0 \end{array}\right . \Longrightarrow f'(t) < 0 \Longrightarrow f \ \text{est bien décroissante (strictement)}.\]

   • Pour vérifier que la température tend à se stabiliser à la température ambiante (\(25\) \(^{\circ}\)C), nous allons calculer la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\) :

     \[\lim\limits_{t \rightarrow + \infty}\mathrm{e}^{-6t} = 0 \underset{\text{par produit}}{\Longrightarrow} \lim\limits_{t \rightarrow + \infty} 200\mathrm{e}^{-6t} = 0 \underset{\text{par somme}}{\Longrightarrow} \lim\limits_{t \rightarrow + \infty} 200\mathrm{e}^{-6t} + 25 = 25 = \lim\limits_{t \rightarrow + \infty} f(t).\]

     La fonction \(f\), qui représente la température de la baguette (en \(^{\circ}\)C) au bout du temps, a pour limite \(25\) en \(+\infty\). Cela signifie donc bien que la température tend à se stabiliser à la température ambiante de \(25\) \(^{\circ}\)C.

   Donc la fonction \(f\) fournit un modèle en accord avec ces observations.

3. La fonction \(f\) est continue et décroissante strictement donc monotone sur \([0:+\infty[\). Par ailleurs, \(f(0)=225\) et \(\lim\limits_{t \rightarrow + \infty} f(t)=25\) donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique élément \(c \in [0;+\infty[\) tel que \(f(c)=40\).

   Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à 40 °C. On note \(\mathcal{T}_0\) le temps d'attente minimal entre la sortie du four d'une baguette et sa mise en rayon.

   On donne la représentation graphique de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal.

   

4. La courbe \(\mathcal{C}_f\) semble atteindre \(40\) vers \(0{,}43\) heure soit \(0{,}43 \times 60 = 25{,}8\) minutes. On trouve donc une valeur approchée de \(26\) minutes.

5. On s'intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d'une baguette à sa sortie du four.

   Ainsi, pour un entier naturel \(n\), \({D}_n\) désigne la diminution de température en degré Celsius d'une baguette entre la \(n\)-ième et la \((n+1)\)-ième minute après sa sortie du four.

   On admet que, pour tout entier naturel \(n\) : \(D_n=f\left(\dfrac{n}{60}\right)-f\left(\dfrac{n+1}{60}\right)\).

   1. On cherche une valeur approchée de \(D_0\).

      \[\begin{aligned} {D}_0 &= f\left(\dfrac{0}{60}\right)- f\left(\dfrac{1}{60}\right) \\ &= f(0) - f\left(\dfrac{1}{60}\right) \\ &= 200\mathrm{e}^0 + \cancel{25} - \left(200\mathrm{e}^{-\frac{6}{60}} + \cancel{25}\right) \\ &= 200 - 200\mathrm{e}^{-\frac{6}{60}} \\ &\approx 19{,}03 \end{aligned}\]

      Donc \(19\) est bien une valeur approchée de \(\mathcal{D}_0\) à \(0{,}1\) près. Cela signifie que la diminution de température qui se fait lors de la première minute après la sortie du four est d'environ \(19\) \(^{\circ}\)C. Au bout d'une minute, la baguette est donc à \(225-19 = 206 \ ^{\circ}\)C.

   2. \[\begin{aligned} {D}_n &=f\left(\dfrac{n}{60}\right)- f\left(\dfrac{n+1}{60}\right) \\ &= 200\mathrm{e}^{- 6 \times \frac{n}{60}} + \cancel{25} - \left(200\mathrm{e}^{-6 \times \frac{n+1}{60}} + \cancel{25} \right) \\ &= 200\mathrm{e}^{-0{,}1n} - 200\mathrm{e}^{\frac{-6n-6}{60}} \\ &= 200\mathrm{e}^{-0{,}1n} - 200\mathrm{e}^{\frac{-6n}{60} + \left(\frac{-6}{60}\right)} \\ &= 200\mathrm{e}^{-0{,}1n} - 200\mathrm{e}^{-0{,}1n} \times \mathrm{e}^{-0{,}1} \\ \mathcal{D}_n &= 200\mathrm{e}^{-0{,}1n}\left(1-\mathrm{e}^{-0{,}1}\right) \end{aligned}\]

      Pour étudier le sens de variation de la suite \(({D}_n)\), on étudie le signe de \({D}_{n+1}-{D}_n\).
      Pour tout entier naturel \(n\) :

      \[\begin{aligned} {D}_{n+1}-{D}_n &= 200\mathrm{e}^{-0{,}1(n+1)}\left(1-\mathrm{e}^{-0{,}1}\right) - 200\mathrm{e}^{-0{,}1n}\left(1-\mathrm{e}^{-0{,}1}\right) \\ &= 200\mathrm{e}^{-0{,}1n} \times \mathrm{e}^{-0{,}1} \left(1-\mathrm{e}^{-0{,}1}\right)- 200\mathrm{e}^{-0{,}1n}\left(1-\mathrm{e}^{-0{,}1}\right) \\ {D}_{n+1}-{D}_n &= 200\mathrm{e}^{-0{,}1n}\left(1-\mathrm{e}^{-0{,}1}\right) \left[\mathrm{e}^{-0{,}1}-1\right] \end{aligned}\]

      Étudions le signe de cette expression pour tout entier naturel \(n\) :

      \[\left\{\begin{array}{cc} 200\mathrm{e}^{-0{,}1n} &\geqslant 0 \\ 1-\mathrm{e}^{-0{,}1} &\geqslant 0 \\ \mathrm{e}^{-0{,}1}-1 &\leqslant 0 \end{array}\right . \underset{\text{par produit}}{\Longrightarrow} \mathcal{D}_{n+1}-\mathcal{D}_n \leqslant 0 \Longrightarrow \text{la suite} \ (\mathcal{D}_n) \ \text{est décroissante}.\]

      Calculons alors la limite de cette suite :

      \[\left\{\begin{array}{cl} \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} 200\mathrm{e}^{-0{,}1n} &= 0 \\ \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} 1-\mathrm{e}^{-0{,}1} &= 1-\mathrm{e}^{-0{,}1} \\ \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \mathrm{e}^{-0{,}1}-1 &= \mathrm{e}^{-0{,}1} -1 \end{array} \right . \underset{\text{par produit}}{\Longrightarrow} \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} {D}_n=0\]

      Nous trouvons une limite de \(0\) pour \({D}_n\). Puisque la baguette tend à se stabiliser à la température ambiante, la diminution de température entre la \(n\)-ième et la \((n+1)\)-ième minute va tendre vers \(0\). Le résultat était bien prévisible dans le contexte de l'exercice.