2023Bac spé maths · Amérique du Sud · Jour 1

Partie A

1. \(\bullet~~\)Limite en 0 : On sait que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2\ln (x) = 0\), que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x = 0\), donc par somme de limites :

   \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1\).

   \(\bullet~~\)Limite en \(+ \infty\) : en écrivant \(f(x) = 1 + x^2(1 - 2\ln (x))\), on a :

   \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x^2 = + \infty, \:\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - 2\ln (x) = - \infty\), puis \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 - 2\ln (x) = - \infty\) et enfin par produit de limites :

   \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = - \infty\).

   Attention, piège :

   Attention : \(x^2 \ln x\) est une forme indéterminée \(0 \times (-\infty)\) en \(0^+\). On utilise la croissance comparée : pour tout \(n>0\), \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^n \ln x = 0\).

2. Pour tout réel de l'intervalle \(]0~;~+ \infty[, \: f'(x) = 2x - 4x\ln (x) - 2x^2 \times \dfrac1x = 2x - 4x\ln (x) - 2x = - 4x\ln (x)\).

3. Puisque \(x \geqslant 0\), le signe de \(f'(x)\) est l'opposé de celui de \(\ln (x)\).

   On sait que \(\ln (x) < 0\) sur \([0~;~1[\), donc \(f'(x) > 0\) sur \([0~;~1[\) et que

   \(\ln (x) > 0\) sur \(]1~;~+ \infty[\), donc \(f'(x) < 0\) sur \(]1~;~+ \infty[\).

   La fonction \(f\) est donc :

   \(\bullet~~\)croissante sur [0 ; 1] de 1 à \(f(1) = 1 + 1 - 2 \times 1 \times 0 = 2\) ;

   \(\bullet~~\)décroissante sur \([1~;~+\infty[\) de 2 à moins l'infini.

   

4. La fonction \(f\) est continue car dérivable sur l'intervalle \([1~;~+ \infty]\) et décroissante de 2 à moins l'infini : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique \(\alpha\), avec \(\alpha \in ]1~;~+ \infty[\) tel que \(f(\alpha) = 0\).

   Comme \(f(\mathrm{e}) = 1 + \mathrm{e}^2(1 - 2\ln \mathrm{e}) = 1 + \mathrm{e}^2(1 - 2) = 1 - \mathrm{e}^2 \approx - 6{,}4\).

   En appliquant le même théorème, on a donc \(1 < \alpha < \mathrm{e}\).

On admet dans la suite de l'exercice, que l'équation \(f(x) = 0\) n'admet pas de solution sur l'intervalle ]0 ; 1].

Rem. : comme \(0 \notin [1~;~2]\) le même théorème montre qu'il n'existe pas de réel \(\beta \in [0~;~1]\) tel que \(f(\beta) = 0\).

1. On part de l'intervalle [1 ; 2,7], (avec \(\mathrm{e} \approx 2{,}7\)) dichotomie(1) donne par dichotomie un encadrement de \(\alpha\) par deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(b - a \leqslant 10^{-1}\).

   Comme \(\alpha \approx 1{,}9\), C et D sont exclus et A ne donne pas un encadrement au dixième : reste la proposition B.

   Attention, piège :

   Attention : \(x^2 \ln x\) est une forme indéterminée \(0 \times (-\infty)\) en \(0^+\). On utilise la croissance comparée : pour tout \(n>0\), \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^n \ln x = 0\).

Partie B

On considère la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\), par

On admet que \(g\) est dérivable sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) et on note \(g'\) sa fonction dérivée.

On note \(\mathcal{C}_g\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans le plan rapporté à un repère \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\).

1. \(g\) est un quotient de fonctions dérivables sur \(]0~;~+ \infty[\), le dénominateur étant non nul (supérieur ou égal à 1), donc quel que soit \(x \in ]0~;~+ \infty[\) :

   \(g'(x) = \dfrac{\dfrac 1x \times \left(1 + x^2\right) - 2x \ln (x)}{\left(1 + x^2\right)^2} = \dfrac{\dfrac{1 + x^2 - 2x^2\ln (x)}{x}}{\left(1 + x^2\right)^2} = \dfrac{1 + x^2 - 2x^2\ln (x)}{x\left(1 + x^2\right)^2} = \dfrac{f(x)}{x\left(1 + x^2\right)^2}\).

2. Le résultat précédent montre que puisque \(x > 0\) et \(\left(1 + x^2\right)^2 > 0\), le signe de \(g'(x)\) est celui du numérateur donc le signe de \(f(x)\).

   Or on a vu (Partie A question 3.) que \(f(x) > 0\) sur \(]0~;~\alpha[\) et \(f(x) < 0\) sur \(]\alpha~;~+ \infty[\).

   La fonction \(g\) est donc croissante sur \([0~;~\alpha]\), puis décroissante sur \([\alpha~;~+ \infty[\) avec un maximum \(g(\alpha)\).

   Rem. : on sait que \(f(\alpha) = 0 \iff 1 + \alpha^2 - 2\alpha^2 \ln \alpha \iff 2\alpha^2 \ln \alpha = 1 + \alpha^2 \iff\)

   \(\ln \alpha = \dfrac{1 + \alpha^2}{2\alpha^2}\).

   Donc \(g(\alpha) = \dfrac{f(\alpha)}{1 + \alpha^2} = \dfrac{\dfrac{1 + \alpha^2}{2\alpha^2}}{1 + \alpha^2} = \dfrac{1}{2\alpha^2}\).

3. On note \(T_1\) la tangente à \(\mathcal{C}_g\) au point d'abscisse 1 et on note \(T_{\alpha}\) la tangente à \(\mathcal{C}_g\) au point d'abscisse \(\alpha\).

   \(\bullet~~\)On a \(M(x~;~y) \in T_1 \iff y - g(1) = g'(1)(x - 1) \iff y - 0 = \dfrac12(x - 1) = \dfrac12 x - \dfrac12\) ;

   \(\bullet~~\)On a vu que la fonction a un maximum en \(\alpha\) et en ce point le nombre dérivé égal au coefficient directeur de la tangente en ce point (donc \(T_{\alpha}\)) est nul : la tangente est donc horizontale d'équation \(y = g(\alpha)\) ou \(y = \dfrac{1}{2\alpha^2}\).

   Donc \(M(x~;~y) \in T_1 \cap T_{\alpha} \iff \dfrac12 x - \dfrac12 = \dfrac{1}{2\alpha^2}\), soit

   \(x - 1 = \dfrac{1}{\alpha^2} \iff x = 1 + \dfrac{1}{\alpha^2}\) et \(y = \dfrac{1}{2\alpha^2}\).

   Donc \(T_1 \cap T_{\alpha}\left(1 + \dfrac{1}{\alpha^2}~;~\dfrac{1}{2\alpha^2}\right)\).

1. 1. On a \(\dfrac{4921}{18\,221\,965} \approx 0{,}0161 \approx 1{,}6\,\%\).

   2. De même \(\dfrac{4921}{18\,221\,965} \approx 0{,}0003< 0{,}001\) soit moins de 0,1 %.

2. 1. Les 20 accouchements sont des évènements indépendants et la probabilité d'avoir une naissance est égale à 0,016, donc la variable \(X\) suit une loi binomiale

      \(\mathcal{B}(20~;~0{,}016)\).

      On a \(p(X = 1) = 20 \times 0{,}016 \times 0984^{19} \approx 0{,}2355\) soit 0,236 au millième près.

   2. On a \(p(X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - 0{,}984^n \times 0{,}016^0 = 1 - 0{,}984^n\).

      Il faut donc résoudre l'inéquation :

      \(1 - 0{,}984^n \geqslant 0{,}99 \iff 0{,}01 \geqslant 0{,}984^n \iff\) (par croissance de la fonction logarithme népérien) \(\ln 0{,}01 \geqslant n \ln 0{,}984 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}01}{ \ln 0{,}984}\) soit \(n \geqslant 285{,}5\).

      Donc en moyenne, sur 286 accouchements il y a un accouchement double.

3. Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu'il y a 30 % de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70 % de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents: deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).

   Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d'être une fille à la naissance est égale à \(0{,}49\) et que celle d'être un garçon à la naissance est égale à \(0{,}51\).

   Dans le cas d'une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau–né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.

   On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :

   • \(M\) : « les jumeaux sont monozygotes » ;

   • \(F_1\) : « le premier nouveau–né est une fille » ;

   • \(F_2\) : « le second nouveau–né est une fille ».

   On notera \(p(A)\) la probabilité de l'évènement \(A\) et \(\overline{A}\) l'évènement contraire de \(A\).

   

   1. Voir ci-dessus

   2. On a en suivant les première et troisième branche de l'arbre pondéré :

      \(p\left(F_1 \cap F_2 \right) = 0{,}3 \times 0{,}49 \times 1 + 0{,}7 \times 0{,}49 \times 0{,}49 = 0{,}147 + 0{,}16807 = 0{,}31507 \approx 0{,}316\).

   3. Sachant que les nouveaux-nés sont des jumelles, la probabilité qu'elles soient monozygotes est la probabilité conditionnelle :

      \(p_{F_1 \cap F_2} (M) = \dfrac{p(M \cap (F_1 \cap F_2))}{p(F_1 \cap F_2)} = \dfrac{0,3 \times 0{,}49 \times 1}{0{,}31507} \approx 0{,}4665\) soit 0,467 au millième près.

1. 1. On a CK\(^2 = (4 - 0)^2 + (- 8 - 4)^2 + (0 - 3)^2 = 16 + 144 + 9 = 169 = 13^2\), donc

      CK \(= 13 \iff \text{C} \in S\).

   2. Calculons les coordonnées de \(\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}4\\-12\\-16\end{pmatrix}, \: \overrightarrow{\text{BC}}\begin{pmatrix}4\\-12\\10\end{pmatrix}\)

      D'où le produit scalaire : \(\overrightarrow{\text{AC}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = 16 + 144 - 160 = 160 - 160 = 0\) : les vecteurs sont orthogonaux, les droites (AC) et (BC) sont perpendiculaires en C, donc le triangle ABC est rectangle en C.

2. 1. \(\bullet~~\)\(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 12 - 12 + 0 = 0\) : \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{\text{AC}}\) ;

      \(\bullet~~\)\(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = 12 - 12 + 0 = 0\) : \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{\text{BC}}\).

      Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AC}}\) et \(\overrightarrow{\text{BC}}\) ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées sont égales mais pas les dernières), donc \(\overrightarrow{n}\) normal deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) est normal à ce plan.

      Attention, piège :

      Pour montrer que \(\overrightarrow{n}\) est normal au plan (ABC), deux produits scalaires nuls ne suffisent pas : il faut aussi vérifier que les deux vecteurs utilisés ne sont pas colinéaires. Ici, \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\) ne le sont pas car leurs troisièmes coordonnées diffèrent.

   2. On sait qu'alors les coordonnées de \(\overrightarrow{n}\) sont les coefficients de \(x\),   \(y\) et \(z\) dans l'équation du plan (ABC).

      On a donc \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 3x + y + d = 0\), avec \(d \in \mathbb{R}\).

      Or par exemple :

      C\((4~;~-8~;~0) \in (\text{ABC}) \iff 3\times 4 + (- 8) + d = 0 \iff 12 - 8 + d = 0 \iff d = - 4\).

      Finalement \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 3x + y - 4 = 0\).

3. 1. Si D appartient à l'axe des abscisses son ordonnée et sa cote sont nuls, donc D a pour coordonnées \((x~;~0~;~;0)\).

      De plus KD \(= 13 \Rightarrow \text{KD}^2 = 13^2 = 169 = (x - 0)^2 + (0 - 4)^2 + (0 - 3)^2\iff (x - 0)^2 + 16 + 9 = 169 \iff \iff x^2 = 144 \iff x^2 = 12^2 \iff x ^2 - 12^2 = 0 \iff (x + 12)(x - 12) = 0\left\{\begin{array}{l c l} x - 4 + 12&=&0\\ x - -&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x + 12&=&0\\ x - 12&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&- 12\\ x &=& 12 \end{array}\right.\)

      Conclusion D(12 ; 0 ; 0).

   2. Si la droite \(\Delta\) est perpendiculaire au plan (ABC) un de ses vecteurs directeurs est le vecteur \(\overrightarrow{n}\) normal à ce plan. On a donc :

      \(M(x~;~y~;~z) \in \Delta \iff \overrightarrow{\text{D}M} = t\overrightarrow{n}\), avec \(t \in \mathbb{R}\). Cette égalité se traduit par le système :

      \(\left\{\begin{array}{l c l} x - 12&=&3t\\ y - 0&=&1t\\ z - 0&=&0t \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r} x &=&12 + 3t\\ y &=&t\\ z &=&0t \end{array}\right.\).

   3. D appartient à \(\Delta\) perpendiculaire au plan (ABC) ; cherchons les coordonnées du projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) : I

      I appartient au plan (ABC) et appartient à \(\Delta\), ses coordonnées \((x~;~y~;~z)\) vérifient donc l'équation du plan (ABC) et les équations paramétriques de \(\Delta\) soit le système :

      \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&12 + 3t\\ y &=&t\\ z &=&0t\\ 3x + y - 4&=&0 \end{array}\right.\)

      En remplaçant dans la dernière équation \(x\) et \(y\) par leurs valeurs en fonction de \(t\) on obtient \(3(12 + 3t) + t - 4 = 0 \iff 36 + 9t + t - 4 = 0 \iff 10t + 32 = 0\)

      \(\iff 10t = - 32 \iff t = - \dfrac{32}{10} = - \dfrac{16}{5}\).

      En reportant cette valeur dans les deux premières équations de \(\Delta\), on obtient :

      \(x = 12 -3 \times \dfrac{16}{5} = \dfrac{60}{5} - \dfrac{48}{5} = \dfrac{12}{5}\) ; \(y = - \dfrac{16}{5}\) et \(z = 0\).

      I\(\left(\dfrac{12}{5}~;~- \dfrac{16}{5}~;0\right)\).

      On calcule DI\(^2 = \left(\dfrac{12}{5} - 12 \right)^2 + \left(- \dfrac{16}{5} - 0 \right)^2 + 0^2 = \left(-\dfrac{48}{5}\right)^2 + \left(- \dfrac{16}{5}\right)^2 = \dfrac{2304}{25} + \dfrac{256}{25} = \dfrac{2560}{25} = \dfrac{256 \times 10}{25}\).

      Finalement DI \(= \sqrt{\dfrac{256 \times 10}{25}} = \dfrac{16 \sqrt{10}}{5}\).

4. En prenant la base (ABC) rectangle en C : son aire est donc égale à : \(\dfrac{\text{AC} \times \text{BC}}{2}\).

   AC\(^2 = 16 + 144 + 256 = 416\) ; AC \(= \sqrt{416}\) ;

   BC\(^2 = 16 + 144 + 100 = 260\) ; BC \(= \sqrt{260}\).

   Donc \(\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{\sqrt{416} \times \sqrt{260}}{2} = 52\sqrt{10}\)

   Donc avec \(h = \dfrac{16 \sqrt{10}}{5}\), on obtient :

   \(V = \dfrac13 \times 52\sqrt{10} \times \dfrac{16 \sqrt{10}}{5} = \dfrac{1664}{3} \approx 554{,}7\) soit 555 à l'unité près.

Partie A

Cette relation de récurrence s'écrit \(u_{n+1} = f\left(u_n\right)\), où \(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

1. \(f\) est une fonction polynomiale donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sur cet intervalle :

   \(f(x) = 2x - 2x^2\), d'où \(f'(x) = 2 - 4x = 2(1 - 2x)\).

   On a :

   \(\bullet~~\)\(f'(x) = 0 \iff 1 - 2x = 0 \iff x = \dfrac12\) ;

   \(\bullet~~\)\(f'(x) > 0 \iff 1 - 2x > 0 \iff x < \dfrac12\) ; la dérivée est positive sur \(\left[0~;~\dfrac12\right]\), la fonction \(f\) est donc croissante sur cet intervalle.

   \(\bullet~~\)\(f'(x) < 0 \iff 1 - 2x < 0 \iff x > \dfrac12\) ;

2. On admet que pour tout entier naturel \(n,\:0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac12\).

   \(\bullet~~\)\(u_1 = 2u_0\left(1 - u_0\right) = 2\times 0{,}3 \times 0{,}7= 0{,}42\).

   \(\bullet~~\)Démonstration par récurrence :

   • Initialisation : on a \(u_0 \leqslant u_1\) car \(0{,}3 \leqslant 0{,}42\).

   • Hérédité On suppose qu'il existe \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(u_n \leqslant u_{n+1}\).

     Comme on suppose que \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac12\) on a par croissance de la fonction \(f\) sur \(\left[0~;~\dfrac12\right], \: \:f\left(u_n\right) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(\dfrac12\right)\), soit

     \(u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 2 \times \dfrac12 \times \dfrac12\), ou encore \(u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \dfrac12\) : l'encadrement est vrai au rang \(n+1\).

     La relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang \(n \in \mathbb{N}\) elle l'est encore au rang \(n + 1\) : d'après le principe de récurrence on a démontré que :

     pour tout rentier naturel \(n,\: u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac12\)

3. Cet encadrement montre que

   • la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante et

   • la suite \(\left(u_n\right)\) est majorée par \(\dfrac12\).

   Conclusion la suite \(\left(u_n\right)\) croissante et majorée converge vers une limite \(\ell \leqslant \dfrac12\).

4. La fonction \(f\) étant continue on a donc :

   \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} f\left(u_n\right) = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} 2u_n\left(1 - u_n\right)\), soit

   \(\ell = 2\ell(1 - \ell) \iff \ell = 2\ell - 2\ell^2 \iff 2\ell^2 - \ell = 0 \iff \ell\left(2\ell - 1\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} \ell&=&0\\ 2\ell - 1&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} \ell&=&0\\ \ell &=&\dfrac12 \end{array}\right.\) La seule solution acceptable est \(\ell = \dfrac12\).

   Attention, piège :

   Après résolution de \(\ell = 2\ell(1-\ell)\), on trouve \(\ell=0\) ou \(\ell=\dfrac12\). Il ne faut pas oublier de justifier l'élimination de \(0\) : ici, la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante et \(u_0=0{,}3\), donc sa limite \(\ell\) vérifie \(\ell \geqslant 0{,}3\), ce qui exclut \(\ell=0\).

Partie B

Le réel \(b\) est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

1. Dans cette question \(b = 0\).

   1. La relation de récurrence s'écrit alors \(P_{n+1} - P_n = P_n\left(1 - 0 \times P_n\right)\), soit

      \(P_{n+1} - P_n = P_n \iff P_{n+1} = 2 P_n\), donc \(P_{n+1} = 2 P_n\) : cette égalité montre que la suite \(\left(P_n\right)\) est une suite géométrique de raison \(2\) et de premier terme \(P_0 = 3\).

   2. On sait quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(P_n = P_0 \times 2^n = 3 \times 2^n\) : la limite de la suite \(\left(P_n\right)\) est plus l'infini (irréaliste)

2. Dans cette question \(b = 0{,}2\). On a donc \(P_{n+1} - P_n = P_n\left(1 - 0{,}2P_n\right)\)

   1. On a \(v_0 = 0{,}1 \times P_0 = 0{,}1 \times 3 = 0{,}3\).

      La relation de récurrence devient :

      \(P_{n+1} - P_n = P_n\left(1 - 0{,}2 \times P_n\right) \iff P_{n+1} - P_n = P_n - 0{,}2P_n^2\), d'où

      \(P_{n+1} = 2P_n - 0{,}2P_n^2\).   (1)

      Or \(v_{n+1} = 0{,}1P_{n+1} = 0{,}1\left(2P_n - 0{,}2P_n^2\right) = 0{,}2\left(P_n - 0{,}1P_n^2\right)\).

      Comme \(v_n = 0{,}1 \times P_n \iff 10v_n = P_n\), l'égalité ci-dessus devient :

      \(v_{n+1} = 0{,}2\left(10v_n - 0{,}1 \times \left(10v_n\right)^2\right)\), soit

      \(v_{n+1} = 0{,}2\left(10v_n - 10v_n^2\right) = 2v_n \left(1 - v_n\right)\).

   2. La relation de la question précédente montre que la suite \(\left(v_n \right)\) est la suite \(\left(u_n \right)\) de la Partie A et on a vu que cette suite converge vers \(\dfrac12\).

      On a donc \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = \dfrac12\).

      Or \(P_n = 10v_n\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}P_n = 10 \times \dfrac12 = 5\).

      Finalement la population se rapprochera de 5000 individus.