2023Bac spé maths · La Réunion · Jour 2

Un commerçant vend deux types de matelas: matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.

On suppose que chaque client achète un seul matelas.

On dispose des informations suivantes :

• 20 % des clients achètent un matelas RESSORTS.

  Parmi eux, 90 % sont satisfaits de leur achat.

• 82 % des clients sont satisfaits de leur achat.

Partie A

On note \(x = P_{\overline{R}}(S)\), où \(P_{\overline{R}}(S)\) désigne la probabilité de \(S\) sachant que \(R\) n'est pas réalisé.

1. D'après la loi des probabilités totales : \(P(S) = P(R \cap S) + P\left(\overline{R} \cap S \right)\) Or :

   \(\bullet~~P(R \cap S) = P(R) \times P_R(S) = 0{,}2 \times 0{,}9 = 0{,}18\) et

   \(\bullet~~P\left(\overline{R} \cap S \right) = P\left(\overline{R}\right) \times P_{\overline{R}}(S) = 0{,}8 \times x = 0{,}8x\) et comme \(P(S) = 0{,}82\), on a donc l'équation :

   \(0{,}18 + 0{,}8x = 0{,}82 \iff 0{,}8x = 0{,}64 \iff x = 0{,}8\).

2. On choisit un client satisfait de son achat.

   Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un matelas RESSORTS ?

   Il faut calculer \(P_S(R) = \dfrac{P(S \cap R)}{P(S)} = \dfrac{0,18}{0,82} = \dfrac{18}{82} = \dfrac{9}{41} \approx 0{,}219\), soit 0,22 au centième près.

Partie B

1. On choisit 5 clients au hasard.

   On considère la variable aléatoire \(X\) qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.

   1. Les paramètres de la loi binomiale sont \(n = 5\)   et   \(p=0.82\).

   2. Il faut trouver \(P(X \leqslant 3) \approx 0{,}2223\), d'après la calculatrice soit 0,222 au millième près.

      À retenir :

      Pour \(X\) suivant une loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\), on a \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\). Ici, \(P(X \leqslant 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\).

2. 1. On note \(p_n\) la probabilité que les \(n\) clients soient tous satisfaits de leur achat.

      La probabilité qu'un acheteur soit satisfait est égale à 0,82, la probabilité que deux acheteurs soient satisfaits est \(0{,}82^2\), …, la probabilité que les \(n\) acheteurs soient satisfaits est égale à \(0{,}82^n\).

   2. Il faut donc résoudre dans \(\mathbb{N}\) l'inéquation :

      \(p_n < 0{,}01 \iff 0{,}82^n < 0{,}01 \iff n \ln 0{,}82 < \ln 0{,}01\) par croissance de la fonction logarithme népérien soit encore

      \(n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}82}\). (car \(\ln 0{,}82 < 0\)). Or \(\dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}82} \approx 23{,}2\).

      Il faut donc au minimum 24 acheteurs.

      Moins de 1 % des acheteurs seront tous satisfaits si leur nombre dépasse 23.

On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par \(u_0 = 8\) et, pour tout entier naturel \(n\),

1. Pour \(n = 0\), on a \(u_1 = \dfrac{6 \times 8 + 2}{8 + 5} = \dfrac{50}{13}\).

2. \[f(x) = \dfrac{6x + 2 }{x +5}.\]

   1. Le dénominateur étant supérieur à 4 ne s'annule pas : la fonction \(f\) est donc dérivable sur \([0~;~+\infty[\) et sur cet intervalle :

      \(f'(x) = \dfrac{6(x + 5) - 1(6x + 2)}{(x + 5)^2} = \dfrac{6x + 30 - 6x - 2}{(x + 5)^2} = \dfrac{28}{(x + 5)^2}\) :quotient de deux nombres supérieurs à zéro cette dérivée est supérieure à zéro : la fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\) et son minimum est \(f(0) = \dfrac25 = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\).

      On a \(f(2) = \dfrac{6\times 2 + 2}{2 + 5} = \dfrac{14}{7} = 2\).

      Or comme \(f\) est croissante sur \([0~;~+\infty[\) : \(x > 2 \implies f(x) > f(2) = 2\) d'après le calcul précédent.

   2. Initialisation : \(u_0 = 8 > 2\) : la relation est vraie au rang \(0\).

      Hérédité : soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(u_n > 2\).

      Alors par croissance de la fonction \(f\) : \(f\left(u_n\right) > f(2) = 2\).

      Or \(f\left(u_n\right) = u_{n+1}\) : on a donc \(u_{n+1} > 2\).

      Conclusion : la relation est vraie au rang \(0\) et si elle est vraie au rang \(n, \: n \in \mathbb{N}\) elle l'est aussi au rang \(n + 1\). Par le principe de récurrence quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(u_n > 2\).

3. On admet que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

   \[u_{n+1} - u_n = \dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n +5}.\]

   1. On a \(u_n > 2 \implies u_n + 1 > 2 + 1 > 0\) et \(u_n > 2 \implies u_n + 5 > 2 + 5 > 0\).

      Le signe du quotient précédent est donc celui de \(2 - u_n\) ; or \(u_n > 2 \implies\)

      \(0 > 2 - u_n\), donc \(u_{n+1} - u_n < 0\) ce qui signifie que la suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante.

   2. La suite \(\left(u_n\right)\) étant décroissante et minorée par 2 est donc convergente vers une limite \(\ell\), avec \(\ell \geqslant 2\).

      À retenir :

      Toute suite décroissante et minorée est convergente. Ici, la minoration \(u_n > 2\) a été démontrée par récurrence, donc la décroissance de \((u_n)\) suffit pour conclure.

4. On définit la suite \(\left(v_n\right)\) pour tout entier naturel par:

   \[v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}.\]

   1. \(v_0 = \dfrac{u_0 - 2}{u_0 + 1} = \dfrac{8 - 2}{8 + 1} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\).

   2. On sait que \(u_{n +1} = \dfrac{6u_n + 2}{u_n +5}\)

      Or \(v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} - 2}{u_{n+1} + 1}\) et en utilisant la relation précédente :

      \(v_{n+1} = \dfrac{\frac{6u_n + 2}{u_n + 5} - 2}{\frac{6u_n + 2}{u_n + 5} + 1} = \dfrac{\frac{6u_n + 2}{u_n + 5} - \frac{2u_n + 10}{u_n + 5}}{\frac{6u_n + 2}{u_n + 5} + \frac{u_n + 5}{u_n + 5}} =\dfrac{4u_n - 8}{7u_n + 7} = \dfrac{4\left(u_n - 2\right)}{7\left(u_n + 1\right)} = \dfrac47 v_n\).

      La relation \(v_{n+1} = \dfrac47v_n\) vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) signifie que la suite \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac47\).

   3. \(\bullet~~\)On sait qu'alors quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(v_n = v_0\left(\dfrac47\right)^n\) ou encore \(v_n = \dfrac{2}{3}\times \left(\dfrac47\right)^n\).

      Or comme \(- 1 < \dfrac{4}{7} < 1\), on a \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac47\right)^n\) et par produit de limites \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 0\).

      On a donc \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}\) et comme \(u_n + 1 > 2 + 1 > 0\), on a \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n - 2 = 0\), soit enfin \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 2\). Donc \(\ell = 2\).

   4. On vérifie à la calculatrice que \(u_{14} \approx 2{,}00079\) est le premier terme inférieur à 2,001. Valeur renvoyée : 14.

On considère le point A(1 ; 1 ; 0) et le vecteur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}0\\2\\- 1\end{pmatrix}\).

On considère le plan \(\mathcal{P}\) d'équation : \(x + 4y + 2z + 1 = 0\).

1. On sait que \(M(x~;~y~;~z) \in (d) \iff \overrightarrow{\text{A}M} = t \overrightarrow{u}\), avec \(t \in \mathbb{R}\).

   Soit \(M(v) \in (d) \iff \left\{\begin{array}{l c l} x - 1&=&0t\\ y - 1&=&2t\\ z - 0&=&-t \end{array}\right., \: t \in \mathbb{R} \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&1\\ y&=&1 + 2t\\ z&=&\phantom{1 + } -t \end{array}\right., \: t \in \mathbb{R}\).

2. Un point de coordonnées \((x~;~y~;~z)\) est commun à la droite \((d)\) et au plan \(\mathcal{P}\) si ces coordonnées les équations de la droite et du plan soit le système :

   \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&1\\ y&=&1 + 2t\\ z&=&\phantom{1 + } -t\\ x + 4y + 2z + 1&=&0 \end{array}\right., \: t \in \mathbb{R}\).

   En remplaçant \(x, \:y\) et \(z\) par leurs valeurs en fonction de \(t\) dans la dernière équation on obtient :

   \(1 + 4(1 + 2t) + 2\times (- t) + 1 = 0 \iff 1 + 4 + 8t - 2t + 1 = 0 \iff 6t + 6 = 0 \iff t = - 1\)

   En remplaçant \(t\) par \(- 1\) dans les trois équations de \((d)\), on obtient :

   \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&1\\ y&=&1 - 2\\ z&=&\phantom{1 + } 1 \end{array}\right.\)

   On a donc B\((1~;~- 1~;~1) \in (d) \cap \mathcal{P}\).

3. 1. Ona \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}0\\-2\\- 1\end{pmatrix}\) : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisque les deux premières coordonnées sont égales mais pas les troisièmes. ; les points A, B et C non alignés définissent bien le plan (ABC).

   2. On a \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0 + 0 + 0 = 0\) et

      \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0 + 0 + 0 = 0\).

      Conclusion : le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est donc normal à ce plan.

   3. On sait qu'alors \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff x \times 1 + y\times 0 + z \times 0 + d = 0\), avec \(d \in \mathbb{R}\).

      Or A\((1~;~1~;~0) \in (\text{ABC}) \iff 1 \times 1 + d = 0 \iff d = - 1\).

      On a donc \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff x - 1 = 0\).

4. 1. AB\(^2 = \left\|\overrightarrow{\text{AB}}\right\|^2 = 0^2 + (- 2)^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5\) ;

      AC\(^2 = \left\|\overrightarrow{\text{AB}}\right\|^2 = 0^2 + (- 2)^2 + (- 1)^2 = 4 + 1 = 5\).

      On a donc AB\(^2 = \text{AC}^2 \implies\) AB = AC : le triangle ABC est isocèle en A.

   2. On a H\(\left(\dfrac{1+1}{2}~;~\dfrac{(- 1) + (- 1)}{2}~;~\dfrac{1 - 1}{2} \right)\) soit H\((1~;~- 1~;~0)\).

      On a donc AH\(^2 = (1 - 1)^2 + (- 1 - 1)^2 + (0 - 0)^2 = 4\), d'où AH \(= 2\).

      ABC étant isocèle en A, la droite (AH) médiane est aussi hauteur relative au côté [BC].

      O a donc \(\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{\text{BC} \times \text{AH}}{2}\).

      Comme BC\(^2 = (1 - 1)^2 + (- 1 + 1)^2 + (- 1 - 1)^2 = 0 + 0 + 4\), d'où BC \(= 2\).

      Donc \(\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{2 \times 2}{2} = 2\).

5. Soit D le point de coordonnées \((0~;~-1~;~1)\).

   1. Avec \(\overrightarrow{\text{BD}}\begin{pmatrix}- 1\\0\\0\end{pmatrix}\), donc \(\overrightarrow{\text{BD}} = - \overrightarrow{n}\) qui est un vecteur normal au plan (ABC), donc \(\overrightarrow{\text{BD}}\) aussi et par conséquent la droite (BD) est une hauteur de la pyramide ABCD.

   2. Pour la pyramide ABCD on prend comme base le triangle (ABC) et comme hauteur le segment [BD], d'où :

      \(\mathcal{V}(\text{ABCD}) = \dfrac{\mathcal{A}\text{ABC}) \times [\text{BD}]}{3}\).

      Avec BD\(^2 = \left\|\overrightarrow{\text{BD}}\right\|^2 = (- 1)^2 + 0^2 + 0^2 = 1\), on a donc BD \(= 1\) et

      \(\mathcal{V}(\text{ABCD}) = \dfrac{2\times 1}{3} = \dfrac23\) en unité d'aire.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x\mathrm{e}^x\).

   La fonction \(f\) produit de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) est dérivable et pour tout réel : \(f'(x) = 2\mathrm{e}^x + 2x\mathrm{e}^x = 2\mathrm{e}^x(1 + x)\). Cette dérivée est du signe de \(1 + x\).

   On a donc \(f'(x) < 0 \iff x < - 1\) : la fonction est décroissante sur \(]- \infty~;~- 1]\).

   On sait que \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x\mathrm{e}^x = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0\) et \(f(-1) = 2 \times (- 1) \times \mathrm{e}{-1} = - 2\mathrm{e}^{-1} \approx - 0{,}74\).

   De même \(f'(x) > \iff x > - 1\) : la fonction est croissante sur \([- 1~;~+ \infty[\).

   Or \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x) = + \infty\).

   Sur l'intervalle \([- 1~;~+ \infty[\), la fonction \(f\) croit de \(f(-1) < -0{,}73\) à plus l'infini.

   La fonction \(f\) étant continue car dérivable et strictement croissante prend donc une seule fois la valeur \(-0{,}73\) d'après le théorème des valeurs intermédiaires. Réponse c.

   Attention, piège :

   Ne pas conclure hâtivement à une seule solution après l'étude sur \([-1;+\infty[\). Sur \(]-\infty;-1]\), \(f\) est continue et strictement décroissante, avec \(\lim_{x\to-\infty} f(x)=0\) et \(f(-1)=-2\mathrm{e}^{-1}\approx -0{,}74\) ; comme \(-0{,}73\) est entre ces deux valeurs, l'équation \(f(x)=-0{,}73\) y admet aussi une solution. C'est le cumul des deux intervalles qui donne la réponse c.

2. \[g(x) = \dfrac{x+ 1}{\mathrm{e}^x}.\]

   On a \(g(x) = (x + 1) \times \dfrac{1}{\mathrm{e}^x}\). Or :

   \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}x + 1= - \infty\) et

   \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\dfrac{1}{\mathrm{e}^x} = + \infty\), donc par produit de limites : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}g(x) = - \infty\). Réponse a.

3. \[h(x) = (4x - 16)\mathrm{e}^{2x}.\]

   La fonction \(h\) produit de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) est dérivable et pour tout réel :

   \(h'(x) = 4\mathrm{e}^{2x} + 2(4x - 16)\mathrm{e}^{2x} = \mathrm{e}^{2x}(4 + 8x - 32) = \mathrm{e}^{2x}(8x - 28)\).

   \(h''(x) = 8\mathrm{e}^{2x} + 2(8x - 28)\mathrm{e}^{2x} = \mathrm{e}^{2x}(8 + 16x - 56) = \mathrm{e}^{2x}(16x - 48) = 16\mathrm{e}^{2x}(x - 3)\).

   Comme \(4\mathrm{e}^{2x} > 0\) quel que soit le réel \(x\), le signe de \(h''(x)\) est celui de \(x - 3\).

   Donc la dérivée seconde s'annule en \(x = 3\) en changeant de signe, donc le point de coordonnées \(\left(3~;~-4\text{e}^{6}\right)\) est le seul point d'inflexion de la courbe \(\mathcal{C}_h\). Réponse b.

4. \[k(x) = 3 \ln (x) - x.\]

   Une équation de \(T\) est : \(M(x~;~y) \in (T) \iff y - k(\mathrm{e}) = f'(\mathrm{e})(x- \mathrm{e})\).

   Avec \(k(\mathrm{e}) = 3\ln \mathrm{e} - \mathrm{e} = 3 - \mathrm{e}\) et

   \(k'(x) = \dfrac 3x - 1\), d'où \(k'(\mathrm{e}) = \dfrac{3}{\mathrm{e}} - 1 = \dfrac{3 - \mathrm{e}}{\mathrm{e}}\), on obtient donc :

   \(M(x~;~y) \in (T) \iff y - (3 - \mathrm{e}) = \dfrac{3 - \mathrm{e}}{\mathrm{e}}(x- \mathrm{e}) \iff y = \dfrac{3 - \mathrm{e}}{\mathrm{e}}x - 3 + \mathrm{e} + 3 - \mathrm{e} \iff y = \dfrac{3 - \mathrm{e}}{\mathrm{e}}x\) (cette droite contient l'origine). Réponse b.

5. \([\ln (x)]^2 + 10 \ln (x) + 21 = 0\), avec \(x \in ]0~;~+\infty[\).

   En posant \(X = \ln x\), l'équation devient : \(X^2 + 10X + 21 = 0\).

   Avec \(\Delta = 10^2 - 4\times 21 = 100 - 84 = 16 = 4^2\), les solutions sont :

   \(\left\{\begin{array}{l c l} X_1 &=&\dfrac{-10 - 4}{2}\\ X_2&=&\dfrac{-10 + 4}{2} \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} X_1 &=&- 7\\ X_2&=&- 3 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} \ln x_1 &=&-7\\ \ln x_2&=&-3 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x_1 &=&\mathrm{e}^{-7}\\ x_2&=&\mathrm{e}^{-3} \end{array}\right.\)

   Cette équation a donc deux solutions. Réponse c.

document

1. • Quand   \(x \to 0\)   (avec \(x>0\)) :

     • \(3x+1 \to 3 \times 0+1=1\)   par continuité de   \(x\longmapsto3x+1\).

     • \(x \times \ln(x) \to 0\)   par croissances comparées.

     Finalement, par produit puis différence :   \(\displaystyle\lim_{ x \to 0 } f(x) = 1\).

   • Pour tout \(x\neq0\),   \(f(x)= x \times \left( 3 + \dfrac{ 1 }{ x }-2\; \ln(x) \right)\).

     Quand   \(x\to +\infty\) :

     \(\dfrac{1}{x} \to 0\)   et   \(\ln(x) \to +\infty\)   donc \(\left( 3+\dfrac{ 1 }{ x }-2\; \ln(x) \right) \to -\infty\)

     Finalement, par produit :   \(\displaystyle\lim_{ x \to +\infty } f(x)=-\infty\).

   Attention, piège :

   Ne pas conclure hâtivement à une seule solution après l'étude sur \([-1;+\infty[\). Sur \(]-\infty;-1]\), \(f\) est continue et strictement décroissante, avec \(\lim_{x\to-\infty} f(x)=0\) et \(f(-1)=-2\mathrm{e}^{-1}\approx -0{,}74\) ; comme \(-0{,}73\) est entre ces deux valeurs, l'équation \(f(x)=-0{,}73\) y admet aussi une solution. C'est le cumul des deux intervalles qui donne la réponse c.

2. 1. \(f(x)=3x+1-2x\; \ln(x)\)   donc   \(\begin{aligned}[t] f'(x) & =3+0-\big( 2 \times \ln(x)+2x \times \dfrac{ 1 }{ x } \big) \\ & =3-2\ln(x)-2= 1 - 2\ln(x) \end{aligned}\)

   2. \(f'(x) > 0\)   équivaut successivement à

      \(1 - 2\ln(x) > 0\) ;

      \(1 > 2\ln(x)\) ;

      \(\dfrac{1}{2}>\ln(x)\) ;

      \(\mathrm{e}^{1/2} >x\)   (car \(\exp\) strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)).

      On peut faire de même avec \(=\) à la place de \(>\).

      \(f(\mathrm{e}^{1/2})=3\mathrm{e}^{1/2}+1-2\mathrm{e}^{1/2}\ln\big( \mathrm{e}^{1/2} \big) =3\mathrm{e}^{1/2}+1-2\mathrm{e}^{1/2} \times \dfrac{1}{2}=2\mathrm{e}^{1/2}+1\).

      D'où le tableau suivant :

      

3. 1. • D'après les résultats précédents, on a   \(f(x)\geqslant 1\)   sur \(\left[0~;~\mathrm{e}^{1/2}\right]\).

        L'équation   \(f(x)=0\)   n'a donc pas de solution sur cet intervalle.

      • sur \(\left[\mathrm{e}^{1/2}~;~+\infty \right[\) :

        \(f\) est dérivable donc continue, et strictement décroissante ; d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, \(f\) prend une seule fois toute valeur dans l'intervalle des bornes

        \(f(\mathrm{e}^{1/2}) = \mathrm{e}^{1/2}+1 > 1\)   et   \(\displaystyle\lim_{ x \to +\infty } f(x) = -\infty\).

        En particulier, l'équation   \(f(x)=0\)   admet une unique solution \(\alpha\) sur cet intervalle.

      \(\alpha\) est donc l'unique solution sur \(]0~;~+\infty[\).

   2. D'après les questions précédentes :

      

4. \(F'= f < 0\)   sur \(\left[\mathrm{e}^{2}~;~\alpha \right[\)   donc \(F\) strictement croissante sur une partie de \(\left[\mathrm{e}^{2}~;~+\infty\right[\).

   L'affirmation de l'énoncé est donc fausse.

5. 1. \(f'(x)=1-2\ln(x)\)   donc   \(f''(x)=0-2 \times \dfrac{ 1 }{ x }=\dfrac{ -2 }{ x }\).

      Sur \([0~;~+\infty[\)   on a donc   \(f''(x) < 0\) :   \(f\) est donc concave sur cet intervalle ; la courbe \(\mathcal{C}_f\) est donc au dessous de ses tangentes.

   2. Une équation de \(T\) est   \(y = f(1) +f'(1) \times (x - 1)\).

      \(f(1) = 3 \times 1+ 1 - 2 \times 1 \times \ln(1) = 4\)   et

      \(f'(1)=1-2\ln(1) =1\)   car   \(\ln(1) = 0\).

      \(f(1)+f'(1) \times (x-1) = 4+1 \times (x-1)= x + 3\)

      L'équation réduite de \(T\) est   \(y = x+3\).

   3. \(\mathcal{C}_f\) d'équation   \(y = f(x)\)   est au dessus de \(T\)   d'équation   \(y=x+3\).

      Pour tout \(x > 0\),   on a donc   \(f(x)> x+3\)   ce qui équivaut successivement à

      \(3x+1-2x\; \ln(x) > x + 3\) ;

      \(2x-2>2x\; \ln(x)\) ;

      \(\dfrac{ 2x-2 }{ 2x } > \ln(x)\)   car   \(2x>0\) ;

      \(\ln(x) <1-\dfrac{ 1 }{ x }\)   car   \(\dfrac{ 2x-2 }{ 2x }=\dfrac{ 2x }{ 2x }-\dfrac{ 2 }{2x }=1-\dfrac{ 1 }{ x }\).