2024Bac spé maths · Polynésie (septembre) · Jour 1

Une concession automobile vend deux sortes de véhicules :

• 60 % sont des véhicules tout-électrique ;

• 40 % sont des véhicules hybrides rechargeables.

75 % des acheteurs de véhicules tout-électrique et 52 % des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d'installer une borne de recharge à domicile.

On choisit un acheteur au hasard et on considère les évènements suivants:

• \(E\) : « l'acheteur choisit un véhicule tout-électrique » ;

• \(B\) : « l'acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile ».

On crée un arbre pondéré résumant la situation.

1. La probabilité que l'acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu'il ait la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile est:
   \(P(E\cap B) = P(E)\times P_E(B)=0{,}6\times 0{,}75 = 0{,}45\).

2. D'après la formule des probabilités totales:
   \(P(B)= P(E\cap B) + P \left (\overline{E}\cap B \right ) = 0{,}45+0{,}4\times 0{,}52=0{,}658\).

3. Un acheteur a la possibilité d'installer une borne de recharge à son domicile.

   La probabilité qu'il choisisse un véhicule tout-électrique est:
   \(P_B(E)=\dfrac{P(E\cap B)}{P(B)} = \dfrac{0,45}{0,658}\approx 0{,}684\).

4. On choisit un échantillon de \(20\) acheteurs. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre total d'acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l'échantillon de \(20\) acheteurs.

   1. On est dans le cas d'une répétition avec remise d'une expérience n'ayant que 2 issues: la possibilité d'installer une borne de recharge, avec la probabilité \(p=0{,}658\), ou non. Donc la variable aléatoire \(X\) qui donne le nombre total d'acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile suit la loi binomiale de paramètres \(n=20\) et \(p=0{,}658\).

   2. \(P(X = 8) = \displaystyle\binom{20}{8}\times 0{,}658^8\times (1-0{,}658)^{20-8} \approx 0{,}011\)

   3. La probabilité qu'au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge est: \(P(X\geqslant 10) = 1-P(X\leqslant 9) \approx 1- 0{,}0452 \approx 0{,}955\)

      Attention, piège :

      Pour « au moins 10 », l’événement contraire est « obtenir 9 succès ou moins ». On a donc \(P(X \geqslant 10)=1-P(X \leqslant 9)\). Ne pas écrire \(1-P(X \leqslant 10)\), car cela exclurait aussi la valeur \(10\).

   4. L'espérance de \(X\) est: \(E(X)=np=20\times 0{,}658 = 13{,}16\).

   5. La directrice de la concession décide d'offrir l'installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d'en installer une à leur domicile. Cette installation coûte 1200 €.

      L'espérance de \(X\) représente le nombre moyen de clients pouvant installer une borne de recharge à leur domicile. L'installation d'une borne coûte 1200 €.

      Il faut donc prévoir: \(13{,}16\times 1200\) soit 15 792 €.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \mathrm{e}^x + x\).

   Affirmation A : La fonction \(f\) admet pour tableau de variations le tableau ci- dessous:

   \(\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & -\infty & & & & +\infty \\ \hline & & & & & +\infty \\ \text{variations de } f \text{} & & \nearrow & & \nearrow & \\ & -\infty & & & & \\ \hline\end{array}\)

   • \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} \mathrm{e}^{x}=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} x = -\infty\) donc \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty\)

   • \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \mathrm{e}^{x}=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} x = +\infty\) donc \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty\)

   • \(f'(x)=\mathrm{e}^{x}+1>0\) sur \(\mathbb{R}\), donc la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

   Affirmation A vraie

   Affirmation B : L'équation \(f(x) = -2\) admet deux solutions dans \(\mathbb{R}\).

   \(\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & -\infty & & \color{red}{\alpha} & & +\infty \\ \hline & & & & & +\infty \\ \text{variations de } f \text{} & & \nearrow & \color{red}{-2} & \nearrow & \\ & -\infty & & & & \\ \hline\end{array}\)

   La fonction \(f\) est dérivable donc continue sur \(\mathbb{R}\). Elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et va de \(-\infty\) à \(+\infty\). Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=-2\) admet une solution unique dans \(\mathbb{R}\).

   Affirmation B fausse

2. Affirmation C : \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x) - x^2 +2}{3x^2} = - \dfrac13\).

   Pour \(x\neq 0\), on a: \(\dfrac{\ln(x) - x^2 +2}{3x^2} = \dfrac{x^2 \left (\frac{\ln(x)}{x^2} -1 +\frac{2}{x^2} \right )}{3x^2} = -\dfrac{1}{3} \left ( 1 - \dfrac{\ln(x)}{x^2} -\dfrac{2}{x^2} \right )\)

   • \(\dfrac{\ln(x)}{x^2}=\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{1}{x}\)

     On sait que \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0\) et que \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0\); donc par produit: \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0\).

   • On sait aussi que \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0\) donc \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x^2}=0\).

   On en déduit que \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \left ( 1 - \dfrac{\ln(x)}{x^2} -\dfrac{2}{x^2} \right )=1\) et donc que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x) - x^2 +2}{3x^2} = - \dfrac13\).

   Affirmation C vraie

3. On considère la fonction \(k\) définie et continue sur \(\mathbb{R}\) par \(k(x) = 1 + 2\mathrm{e}^{-x^2 + 1}\).

   Affirmation D : Il existe une primitive de la fonction \(k\) décroissante sur \(\mathbb{R}\).

   Toute primitive \(K\) de la fonction \(k\) a pour dérivée \(k\). Or, pour tout réel \(X\), on a \(\mathrm{e}^{X}>0\). Donc pour tout réel \(x\), on a \(\mathrm{e}^{-x^2 + 1}>0\), donc \(1+2\mathrm{e}^{-x^2 + 1}>0\), et donc \(k(x)>0\).

   La primitive \(K\) a donc une dérivée toujours strictement positive, donc elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

   Affirmation D fausse

4. On considère l'équation différentielle \(\quad (E): \quad 3y' + y = 1\).

   Affirmation E : La fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = 4\mathrm{e}^{- \frac13 x} + 1\) est solution de l'équation différentielle \((E)\) avec \(g(0) = 5\).

   • \(g(x) = 4\mathrm{e}^{- \frac13 x} + 1\) donc \(g(0)=4\mathrm{e}^{0} + 1=4+1=5\)

   • \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(g'(x)= 4\times \left (-\dfrac{1}{3}\right )\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x} = -\dfrac{4}{3}\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x}\).

     Donc \(3g'(x)+g(x) = 3\times \left ( -\dfrac{4}{3}\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x}\right ) + \left ( 4\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x} +1 \right ) = - 4\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x} + 4\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x} +1 = 1\)

     Donc la fonction \(g\) est solution de l'équation différentielle \((E)\).

   Affirmation E vraie

5. Affirmation F : Une intégration par parties permet d'obtenir : \(\displaystyle\int_0^1 x\mathrm{e}^{-x}\:\text{d}x = 1 - 2\mathrm{e}^{-1}\).

   En prenant: \(\left\{ \begin{array}{l !{=} l} u(x) & x \\ v'(x) & \mathrm{e}^{-x} \end{array}\right.\), on a: \(\left\{ \begin{array}{l !{=} l} u'(x) & 1\\ v(x) & - \mathrm{e}^{-x} \end{array}\right.\)

   Cela donne par intégration par parties :

   \(\displaystyle\int_0^1 x\mathrm{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[- x \mathrm{e}^{-x}\right]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 - \mathrm{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[- x \mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x}\right]_0^1 = - \mathrm{e}^{-1} - \mathrm{e}^{-1} + 1 = 1 - 2\mathrm{e}^{- 1}\).

   Affirmation F vraie

On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres:

• le 1^er étage, situé au niveau le plus haut, est composé de 1 boule ;

• le 2^e étage, niveau juste en dessous, est composé de 4 boules ;

• le 3^e étage possède 9 boules ;

• …

• le \(n\)-ième étage possède \(n^2\) boules.

Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on note \(u_n\) le nombre de boules qui composent le \(n\)-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, \(u_n = n^2\).

1. Le nombre total de boules d'une pyramide de 4 étages est:
   \(u_1+u_2+u_3+u_4=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16=30\).

2. On considère la suite \(\left(S_n\right)\) définie pour tout entier \(n \geqslant 1\) par \(S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n.\)

   1. \(S_5 = u_1+u_2+u_3+u_4+u_5 = \left ( u_1+u_2+u_3+u_4 \right ) +u_5 30+5^2 = 55\)

      Le nombre total de boules d'une pyramide de 5 étages est: \(S_5=55\).

   2. On complète la fonction pyramide ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul \(n\), l'instruction pyramide(n) renvoie le nombre de boules composant une pyramide de \(n\) étages.

      def pyramide(n) :
               S = 0
               for i in range(1, n+1) :
                        S =  S + i**2
               return S

   3. • \(\begin{aligned}[t] \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 & = \dfrac{(n+1)(2n^2+n)}{6} + \dfrac{6(n+1)^2}{6}\\ & = \dfrac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{8}\\ & = \dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \end{aligned}\)

      • \(\begin{aligned}[t] \dfrac{(n + 1)(n +2)[2(n + 1) + 1]}{6} & = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} = \dfrac{(n+1)(2n^2+3n+4n+6)}{6}\\ & = \dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \end{aligned}\)

      Donc \(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \dfrac{(n + 1)(n +2)[2(n + 1) + 1]}{6}\)

   4. On démontre par récurrence que pour tout entier \(n \geqslant 1\) : \(S_n = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\).

      • Initialisation

        Pour \(n=1\), on a \(S_1=1\) et \(\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \dfrac{1(1 + 1)(2\times 1 + 1)}{6} = \dfrac{1\times 2\times 3}{6} =1\)

        Donc la propriété est vraie au rang 1.

      • Hérédité

        On suppose la propriété vraie au rang \(n\), avec \(n \geqslant 1\), c'est-à-dire \(S_n = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\). C'est l'hypothèse de récurrence.

        \(\begin{aligned}[t] S_{\color{blue} n+1} & = u_1+u_2+\cdots +u_n+u_{n+1} = \left (u_1+u_2+\cdots +u_n \right )+u_{n+1} \\ & = S_n+(n+1)^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}+(n+1)^2 \\ & = \dfrac{(n + 1)(n +2)[2(n + 1) + 1]}{6} \text{ (d'après la question précédente)}\\ & = \dfrac{({\color{blue} n + 1})[({\color{blue} n + 1}) + 1][2({\color{blue} n + 1}) + 1]}{6} \end{aligned}\)

        Donc la propriété est vraie au rang \({\color{blue} n + 1}\).

      • Conclusion

        La propriété est vraie au rang 1, et elle est héréditaire pour tout \(n\geqslant 1\).
        Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout \(n\geqslant 1\).

      On a donc démontré par récurrence que pour tout entier \(n \geqslant 1\) : \(S_n = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\).

3. Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède \(200\) oranges.

   Il faut donc trouver le plus grand entier \(n\) tel que \(S_n \leqslant 200\).

   On calcule: \(S(7)=\dfrac{7(7+1)(2\times 7+1}{6}=140<200\) et \(S(8)=\dfrac{8(8+1)(2\times 8+1)}{6}=204>200\).

   Le marchand utilise donc 140 oranges pour construire une pyramide à 7 étages.

1. Le point E a pour coordonnées (0 ; 0 ; 1).

   Comme \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\), le point C a pour coordonnées (1 ; 1 ; 0).

2. Dans cette question, \(m = 0\). Ainsi, le point L (1 ; 1 ; 1) est confondu avec le point G, le point K(0 ; 0 ; 0) est confondu avec le point A et le plan (LEK) est donc le plan (GEA).

   1. • ABCD est un carré donc ses diagonales sont perpendiculaires, donc \(\overrightarrow{\mathrm{DB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}\).

      • Le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) est normal au plan (ABD) donc \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) est orthogonal à tout vecteur du plan (ABD), donc \(\overrightarrow{\mathrm{AE}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DB}}\).

      • Les vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) ne sont pas colinéaires.

      Le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{DB}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (GEA) donc le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{DB}}\) est normal au plan (GEA).

   2. On déduit de la question précédente que le plan (GEA) a une équation de la forme \(1\times x + (-1)\times y + 0\times z + d =0\), soit \(x-y+d=0\).

      Le plan (GEA) passe par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 0) donc \(0-0+d=0\) et donc \(d=0\).

      Le plan (GEA) a donc pour équation \(x-y=0\).

On s'intéresse désormais à la nature de CKEL en fonction du paramètre \(m\).

1. Dans cette question, \(m\) est un réel quelconque de l'intervalle [0 ; 1].

   1. • K \(\begin{pmatrix} m\\0\\0 \end{pmatrix}\) et E \(\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\) donc \(\overrightarrow{\mathrm{KE}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} 0-m\\0-0\\1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -m\\0\\1 \end{pmatrix}\).

      • C \(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}\) et L \(\begin{pmatrix} 1-m\\1\\1 \end{pmatrix}\) donc \(\overrightarrow{\mathrm{CL}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} 1-m-1\\1-1\\1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -m\\0\\1 \end{pmatrix}\).

      \(\overrightarrow{\mathrm{KE}} = \overrightarrow{\mathrm{CL}}\) donc CKEL est un parallélogramme.

   2. K \(\begin{pmatrix} m\\0\\0 \end{pmatrix}\) et C \(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}\) donc \(\overrightarrow{\mathrm{KC}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} 1-m\\1-0\\0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-m\\1\\0 \end{pmatrix}\).

      \(\overrightarrow{\mathrm{KC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{KE}} = x_{\overrightarrow{\mathrm{KC}}}\times x_{\overrightarrow{\mathrm{KE}}} + y_{\overrightarrow{\mathrm{KC}}}\times y_{\overrightarrow{\mathrm{KE}}} + z_{\overrightarrow{\mathrm{KC}}}\times z_{\overrightarrow{\mathrm{KE}}} = (1-m)\times (-m) + 1 \times 0 + 0 \times (-1) = m(m - 1)\)

   3. CKEL est un rectangle	CKEL possède un angle droit
      	\(\overrightarrow{\mathrm{KC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{KE}}\)
      	\(\overrightarrow{\mathrm{KC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{KE}}=0\)
      	\(m(m-1)=0\)
      	\(m = 0\) ou \(m = 1\)

2. Dans cette question, \(m = \dfrac12\).

   Ainsi, L a pour coordonnées \(\left(\dfrac12~;~1~;~1\right)\) et K a pour coordonnées \(\left(\dfrac12~;~0~;~0\right)\).

   1. • K \(\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\0\\0 \end{pmatrix}\) et L \(\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\1\\1 \end{pmatrix}\) donc \(\overrightarrow{\mathrm{KL}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\1-0\\1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}\).

      • E \(\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\) et C \(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}\) donc \(\overrightarrow{\mathrm{EC}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} 1-0\\1-0\\0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}\).

      • \(\overrightarrow{\mathrm{KL}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}} = 0\times 1 + 1\times 1 + 1 \times (-1)=0\) donc \(\overrightarrow{\mathrm{KL}} \perp \overrightarrow{\mathrm{EC}}\)

      Le parallélogramme CKEL a ses diagonales perpendiculaires donc c'est un losange.

   2. • \(\overrightarrow{\mathrm{KC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{KE}} = m(m-1)\); or \(m=\dfrac{1}{2}\) donc \(\overrightarrow{\mathrm{KC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{KE}} =\dfrac{1}{2} \left ( \dfrac{1}{2}-1 \right ) = - \dfrac{1}{4}\)

      • \(\overrightarrow{\mathrm{KC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{KE}} = \text{KC} \times \text{KE} \times \cos \left ( \widehat{\text{CKE}} \right )\)

      • \(\overrightarrow{\mathrm{KC}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} 1-m\\1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\1\\0 \end{pmatrix}\)

        Donc \(\text{KC}^2 = \left ( \dfrac{1}{2} \right )^2+ 1^2+0^2=\dfrac{5}{4}\) donc \(\text{KC}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

      • \(\overrightarrow{\mathrm{KE}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} -m\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\0\\1 \end{pmatrix}\)

        Donc \(\text{KE}^2 = \left (-\dfrac{1}{2} \right )^2+ 0^2+1^2=\dfrac{5}{4}\) donc \(\text{KE}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

      On a donc: \(-\dfrac{1}{4} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\times \dfrac{\sqrt{5}}{2} \times \cos \left ( \widehat{\text{CKE}} \right )\)

      Donc \(-\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}\times \cos \left ( \widehat{\text{CKE}} \right )\) et donc \(\cos \left ( \widehat{\text{CKE}} \right ) = -\dfrac{1}{5}\)

      On en déduit avec la calculatrice que \(\widehat{\text{CKE}} \approx 101{,}5^\circ\), soit \(\widehat{\text{CKE}} \approx 102^\circ\).