2024Bac spé maths · Amérique du Nord · Jour 1

Partie A

1. On dresse l'arbre pondéré de probabilités en utilisant les données de l'énoncé :

   \(p(R) = 0{,}07 \:; p_R(E) = 0{,}8\) et \(p_{\overline{R}}(E) = 0{,}4\):

   

   On a \(p(R \cap E) = p(R) \times p_{R}(E) = 0{,}07 \times 0{,}8 = 0{,}056\).

2. D'après la loi des probabilités totales :

   \(p(E) = p(R \cap E) + p\left(\overline{R} \cap E\right)\).

   Or \(p\left(\overline{R} \cap E\right) = p\left(\overline{R}\right) \times p_{\overline{R}}(E) = 0{,}93 \times 0{,}4 = 0{,}372\).

   Donc \(p(E) =0{,}056 + 0{,}372 = 0{,}428\).

3. On a \(p_{E}(R) = \dfrac{p(E \cap R)}{p(E)} = \dfrac{p(R \cap E)}{p(E)} = \dfrac{0,056}{0,428} = \dfrac{56}{428} = \dfrac{14}{107} \approx 0{,}1308\) soit 0,131 au millième près.

   Attention, piège :

   Attention à ne pas confondre \(P_R(E)\) et \(P_E(R)\). L'énoncé donne \(P_R(E)=0{,}8\), mais on demande ici \(P_E(R)\) ; beaucoup d'élèves répondent à tort \(0{,}8\). On doit bien utiliser \(P_E(R)=\dfrac{P(R \cap E)}{P(E)}\).

Partie B

1. Les évènements étant indépendants et la probabilité d'obtenir un objet rare étant toujours égale à 0,07, la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n,\:p)\) avec \(n = 30\) et \(p = 0{,}07\).

   L'espérance mathématique est \(E = n \times p = 30 \times 0{,}07 = 2{,}1\).

2. La calculatrice donne \(P(X < 6) \approx 0{,}9838\) soit 0,984 au millième près.

3. Quel que soit \(k \in \mathbb{N}\),   \(p(X \geqslant k + 1) = 1 - p(X \leqslant k)\). D'après la calculatrice :

   \(p(X \geqslant 1 + 1) = 1 - p(X \leqslant 1) \approx 0{,}631\), et \(p(X \geqslant 2 + 1) = 1 - p(X \leqslant 2) \approx 0{,}351\), on a donc \(k = 2\).

   Dans le cadre du jeu ceci signifie que la probabilité d'obtenir au moins 2 objets rares est supérieure à \(\dfrac12\).

4. Soit \(Y\) la variable correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté \(N\) défis Il faut donc trouver \(Y\) tel que \(p(Y \geqslant 1) \geqslant 0{,}95\) ou encore \(1 - p(X = 0) \geqslant 0{,}95 \iff p(X = 0) \leqslant 1 - 0{,}95 \iff p(X = 0) \leqslant 0{,}05\).

   Or \(p(X = 0) = \binom{N}{0} \times 0{,}07^0 \times (1 - 0{,}07)^N = 0{,}93^N\).

   Il faut donc résoudre l'inéquation :

   \(0{,}93^N \leqslant 0{,}05 \Rightarrow N \ln 0{,}93 \leqslant \ln 0{,}05\) par croissance de la fonction logarithme népérien et enfin \(N \geqslant \dfrac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}93}\), car \(\ln 0{,}93 < 0\) et son inverse \(\dfrac{1}{\ln 0{,}93}\) aussi.

   D'après la calculatrice \(\dfrac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}93} \approx 41{,}3\).

   Conclusion : il faut que \(N \geqslant 42\). À partir de 42 succès la probabilité d'obtenir un objet rare est supérieure ou égale à 0,95.

1. On considère les points A(1 ; 0 ; 3) et B(4 ; 1 ; 0).

   Une représentation paramétrique de la droite (AB) est:

   On a \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}3\\1\\-3\end{pmatrix}\). \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{AB}) \iff \overrightarrow{\text{A}M} = t\overrightarrow{\text{AB}}, \: t \in \mathbb{R} \iff\)

   \(\left\{\begin{array}{l c l}x - 1&=&3t\\y - 0&=&1t\\z - 3&=&- 3t, \end{array}\right. \: t \in \mathbb{R}\iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + 3t\\ y &=&\phantom{1 + 3}t\\ z&=&3 - 3t \end{array}\right.\: t \in \mathbb{R}\) Réponse c. 

   On considère la droite \((d)\) de représentation paramétrique

   \(\left\{\begin{array}{l c l} x&=&3 + 4t\\ y&=&\phantom{3 + }6t\\ z&=&4 - 2 t \end{array}\right.\) avec \(t \in \mathbb{R}\)

2. Réponse d.

3. \(\bullet~~\)Les deux droites ont pour vecteurs directeurs respectifs : \(\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}\) : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles.

   \(\bullet~~\)Les deux droites sont sécantes s'il existe deux réels \(t\) et \(k\) tels que :

   \(\left\{\begin{array}{l c l} 3 + 4t&=&- 2 + 3k\\ 6t&=&- 1 - 2k\\ 4 - 2t&=&1 + k \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 4t&=&3k - 5\\6t&=&- 2k - 1\\ - 2t&=&k - 3\end{array}\right.\)

   Par différence de la ligne 1 et de la ligne 2, on obtient\(-2t = 5k - 4 = k - 3\) (ligne 3) soit \(4k = 1 \iff k = \dfrac14\), puis comme \(- 2t = k - 3 = \dfrac14 - 3 = - \dfrac{11}{4}\), d'où \(t = \dfrac{11}{8}\), mais la première ligne donne \(4t = 3k - 5 = \dfrac34 - 5 = - \dfrac{17}{4}\), d'où \(t = \dfrac{17}{8}\) : ceci n'est pas possible : les deux droites ne sont pas sécantes.

   \(\bullet~~\)Les deux droites ne sont pas confondues : il reste la réponse b.

   Attention, piège :

   Dans l’espace, deux droites dont les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires ne sont pas nécessairement sécantes : elles peuvent être non coplanaires. Il ne suffit donc pas de constater que les droites ne sont pas parallèles ; il faut tester la compatibilité du système d’intersection.

4. Le vecteur \(\overrightarrow{n}\) vecteur directeur de \((d)\) est un vecteur normal au plan \((P)\) . On a donc

   \(M(x~;~y~;~z) \in (P) \iff \overrightarrow{\text{I}M} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \iff 4(x - 2) + 6(y - 1) - 2(z - 0) = 0 \iff 4x - 8 + 6y - 6 - 2z = 0 \iff 4x + 6y -2z - 14 = 0 \iff 2x + 3y - z - 7 = 0\) : réponse a.

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) par :

Partie A : lectures graphiques

On a tracé ci-dessous la courbe représentative \((\mathcal{C}_f)\) de la fonction \(f\), ainsi que la droite \((T)\), tangente à la courbe \((\mathcal{C}_f)\) au point A de coordonnées \((1~;~-1)\).

Cette tangente passe également par le point B\((0~;~-4)\).

1. Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est le nombre dérivé \(f'(1)\) ; on lit sur le graphique \(f'(1) = \dfrac31 = 3\).

   L'ordonnée à l'origine est égale à \(- 4\), donc l'équation réduite de la tangente \((T)\) est

   \[M(x~;~y) \in (T) \iff y = 3x - 4.\]

2. \(\bullet~\) il semble que \(f\) est concave sur ]0 ; 1[ ;

   \(\bullet~\) il semble que \(f\) est convexe sur \(]1~;~+ \infty[\).

   Le point A semble être un point d'inflexion de la courbe \((\mathcal{C}_f)\).

Partie B : étude analytique

1. \(\bullet~~\)On a \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac 1x = 0, \: \displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(x^2\right) = + \infty\) ; donc par produit de limites \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty\).

   \(\bullet~~\)Avec \(f(x) = 2x \ln x - \dfrac1x\), on sait que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac 1x = + \infty\), donc

   \(\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = - \infty\) (l'axe des ordonnées est asymptote verticale de \((\mathcal{C}_f)\) au voisinage de zéro.

   À retenir :

   Pour \(x>0\), \(\ln(x^2)=2\ln x\). La limite \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x=0\) est une croissance comparée usuelle à connaître.

2. On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\).

   1. Les fonctions \(x \longmapsto x\),   \(x \longmapsto \ln \left(x^2 \right)\) et \(x \longmapsto - \dfrac 1x\) sont dérivables sur \(]0~;~+ \infty[\) et l'on a :

      \(f'(x) = \ln \left(x^2 \right) + x \times \dfrac{2x}{x^2} + \dfrac{1}{x^2} = \ln \left(x^2 \right)+ 2 + \dfrac{1}{x^2}\) ou \(f'(x) = 2\ln x + 2 + \dfrac{1}{x^2}\) sur \(]0~;~+ \infty[\).

   2. En dérivant \(f'(x)\) on obtient :

      \(f''(x) = \dfrac2x - \dfrac{2x}{x^4} = \dfrac2x - \dfrac{2}{x^3} = \dfrac{2x^2 - 2}{x^3} = \dfrac{2\left(x^2 - 1\right)}{x^3} = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}\).

3. 1. Comme \(x^3 > 0\) sur \(]0~;~+ \infty[\), le signe de \(f''(x)\) est celui de \((x + 1)(x - 1)\) et comme \(x + 1 > 1 > 0\), le signe de \(f''(x)\) est celui de \(x - 1\).

      Conclusion :

      \(\bullet~~\)Sur \(]0~;~1[,\: x < 1, \: f''(x) < 0\) : la fonction est concave ;

      \(\bullet~~\)Sur \(]1~;~+\infty[,\: x > 1, \: f''(x) > 0\) : la fonction est convexe ;

      \(\bullet~~\)pour \(x = 1\), la dérivée seconde s'annule en changeant de signe : le point A est le point d'inflexion de \((\mathcal{C}_f)\).

   2. Du signe de \(f''(x)\) on en déduit les variations de \(f'\) qui est décroissante sur ]0 ; 1[ puis croissante sur \([1~;~+ \infty[\), donc \(f'(1) = 2 + 1 = 3\) (vu à la question 1.).

      Comme 3 est le minimum de \(f'\), on en déduit que \(f'(x) > 0\) sur \(]0~;~+ \infty[\) et par conséquent la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+^*\).

4. 1. Tableau de variations de \(f\) :

      

      Sur l'intervalle ]1 ; 2[ la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante avec \(f(1) < 0\) et \(f(2) > 0\) : d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un nombre unique \(\alpha \in ]1~;~2[\) tel que \(f(\alpha) = 0\).

   2. La calculatrice donne \(f(1{,}3) \approx - 0{,}09\) et \(f(1{,}4) \approx 0{,}23\) donc \(1{,}3 < \alpha < 1{,}4\), puis \(f(1{,}32) \approx - 0{,}02\) et \(f(1{,}33) \approx 0{,}007\), d'où \(1{,}32 < \alpha < 1{,}33\) et enfin

      \(f(1{,}327) \approx - 0{,}003\) et \(f(1{,}328) \approx 0{,}0004\), donc \(\alpha \approx 1{,}33\) au centième près.

      On sait que \(\alpha\) est solution de \(f(x) = 0 \iff x \ln \left(x^2 \right) - \dfrac1x = 0 \iff\)

      \(x\ln \left(x^2 \right) = \dfrac{1}{x} \iff \ln \left(x^2\right) = \dfrac{1}{x^2}\) et enfin par croissance de la fonction exponentielle :

      \(\exp\left(\ln \left(x^2\right)\right) = \exp\left(\dfrac{1}{x^2}\right) \iff x^2 = \exp\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\).

      \(\alpha\) vérifie cette équation donc \(\alpha^2 = \text{exp} \left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right)\).

1. \(I_0 = \displaystyle\int_0^{\pi} 1 \times \sin (x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^{\pi} \sin (x)\:\text{d}x = [- \cos x]_0^{\pi} = - \cos \pi - (- \cos 0) = 1 + 1 = 2\).

2. 1. On sait que \(0 \leqslant x \leqslant \pi \Rightarrow 0 \leqslant \sin x \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant \text{e}^{- nx}\sin (x) \leqslant \text{e}^{- nx}\) par produit par \(\text{e}^{- nx} > 0\) : la fonction à intégrer étant positive et l'intervalle d'intégration étant croissant on sait que l'intégrale de cette fonction positive est positive. Quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),  \(I_n \geqslant 0\).

   2. Pour \(n \in \mathbb{N}\),   \(I_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \mathrm{e}^{-(n+1)x} \sin (x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_0^{\pi} \mathrm{e}^{-(nx)} \sin (x)\:\text{d}x =\)

      \(\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\left[\mathrm{e}^{-(n+1)x} - \mathrm{e}^{-(nx)} \right]\:\text{d}x\) par linéarité de l'intégrale, puis

      \(I_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \sin x \mathrm{e}^{-(nx)}\left[\mathrm{e}^{- x} - 1\right]\:\text{d}x\).

      Soit \(u\) la fonction définie sur \([0~;~\pi]\) par \(u(x) = \mathrm{e}^{- x} - 1\).

      \(u\) est dérivable sur \([0~;~\pi]\) et sur cet intervalle \(u'(x) = - \mathrm{e}^{-x} < 0\). La fonction \(u\) est donc décroissante de \(\mathrm{e}^{-0} - 1 = 0\) à \(\mathrm{e}^{- \pi} - 1 \approx -0{,}957\).

      Comme \(\sin x \mathrm{e}^{-(nx)} \geqslant 0\) et \(\mathrm{e}^{- x} - 1 < 0\), la fonction à intégrer dans \(I_{n+1} - I_n\) est négative et donc \(I_{n+1} - I_n \leqslant 0\).

   3. On vient de démontrer que \(I_{n+1} - I_n \leqslant 0 \iff I_{n+1} \leqslant I_n\), c'est-à-dire que la suite \(\left(I_n\right)\) est décroissante ; étant minorée par zéro elle converge donc vers une limite \(\ell \geqslant 0\).

3. 1. On a déjà vu que que \(0 \leqslant x \leqslant \pi \Rightarrow 0 \leqslant \sin x \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant \text{e}^{- nx}\sin (x) \leqslant \text{e}^{- nx}\), donc par intégration sur l'intervalle \([0~;~+ \pi]\) on obtient

      \(\displaystyle\int_0^{\pi} 0\:\text{d}x \leqslant I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-n\pi}\:\text{d}x\).

      \[I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x.\]

   2. Une primitive de \(\text{e}^{- nx}\)est \(\dfrac{1}{- n}\text{e}^{- nx}\), donc pour \(n \geqslant 1\),   \(\displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{- n}\text{e}^{- nx}\right]_0^{\pi} = - \dfrac 1n\left[\mathrm{e}^{-n \pi} - \mathrm{e}^0\right] = - \dfrac 1n\left[\mathrm{e}^{-n \pi} - 1\right] = \dfrac{1 - \mathrm{e}^{-n \pi}}{n}.\)

   3. On sait que \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\mathrm{e}^{-n \pi} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1 - \mathrm{e}^{-n \pi} = 1\) et enfin \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{1 - \mathrm{e}^{-n \pi}}{n} = 0\).

      D'après le théorème des « gendarmes » la suite \(\left(I_n\right)\) a pour limite 0.

      Attention, piège :

      Pour appliquer le théorème des gendarmes, il ne suffit pas d’avoir \(I_n \leqslant \frac{1-\mathrm{e}^{-n\pi}}{n}\) avec \(\frac{1-\mathrm{e}^{-n\pi}}{n}\to 0\) ; il faut aussi la minoration \(I_n \geqslant 0\), obtenue à la question 2. Pensez à rédiger l’encadrement complet \(0 \leqslant I_n \leqslant \frac{1-\mathrm{e}^{-n\pi}}{n}\).

4. 1. \(\bullet~~\)IPP1 On pose :

      \(\begin{array}{l l} u(x) = \mathrm{e}^{-nx}&v'(x) = \sin x\\ u'(x) = -n\mathrm{e}^{-nx}&v(x) = - \cos x \end{array}\)

      On a donc \(I_n = \left[- \mathrm{e}^{-nx}\cos x\right]_0^{\pi} - \displaystyle\int_0^{\pi} n\mathrm{e}^{-nx}\cos x\:\text{d}x = \mathrm{e}^{-n \pi} + 1 - nJ_n =\)

      \(1 + \mathrm{e}^{-n \pi} - nJ_n\).

      \(\bullet~~\)IPP2 On pose :

      \(\begin{array}{l l} u(x) = \sin x&v'(x) = \mathrm{e}^{-nx}\\ u'(x) = \cos x&v(x) = \dfrac{1}{-n}\mathrm{e}^{-nx} \end{array}\)

      On a donc \(I_n = \left[\dfrac{1}{-n} \mathrm{e}^{-nx}\sin x \right]_0^{\pi} - \displaystyle\int_0^{\pi}\cos x\dfrac{1}{-n}\mathrm{e}^{-nx}\:\text{d}x = -\dfrac 1n \displaystyle\int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-nx} \cos x\:\text{d}x = \dfrac 1n J_n\).

   2. En égalant les deux valeurs de \(I_n\) trouvées on obtient :

      \(1 + \mathrm{e}^{-n\pi} - nJ_n = \dfrac 1n J_n\iff 1 + \mathrm{e}^{-n\pi} = J_n \left(n + \dfrac 1n\right)\)

      \(\iff J_n\left(\dfrac{n^2 + 1}{n}\right) = 1 + \mathrm{e}^{-n\pi} \iff J_n = \dfrac{n}{n^2 + 1} \times \left[1 + \mathrm{e}^{-n\pi}\right]\).

      En, reportant dans l'expression \(I_n = \dfrac 1n J_n\), on obtient finalement :

      \[I_n = \dfrac 1n\times \dfrac{n}{n^2 + 1}\times \left[1 + \mathrm{e}^{-n\pi}\right] = \dfrac{1 + \mathrm{e}^{-n\pi}}{n^2 + 1}.\]

5. On souhaite obtenir le rang \(n\) à partir duquel la suite \(\left(I_n\right)\) devient inférieure à 0,1.

   Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

   1	from math import *
   2	def seuil() :
   3	n = 0
   4	I = 2
   5	while I >= 0.1 :
   6	n=n+1
   7	I=(1+exp(-n*pi))/(n*n+1)
   8	return n