2021Bac spé maths · Métropole · Jour 1

Commun à tous les candidats

Soit \(f\) la fonction définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) de l'intervalle \(]0~;~ +\infty[\) par : \(f(x) =\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{x}\).

On donne \(f''\), définie sur l'intervalle \(]0~;~ +\infty[\) par: \(f''(x)=\dfrac {2 \mathrm{e}^{2x} (2x^2-2x+1)}{x^3}\).

1. \(f\) est dérivable comme fonction quotient de fonctions dérivables, le dénominateur étant non nul sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\).

   On a: \(f'(x) = \dfrac{2\mathrm{e}^{2x} \times x - 1 \times \mathrm{e}^{2x}}{x^2} = \dfrac{\mathrm{e}^{2x}(2x - 1)}{x^2}\). Réponse c.

2. Comme sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\),   \(x^2 > 0\) et \(\mathrm{e}^{2x} > 0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(2x - 1\).

   ★ \(f'(x) = 0 \iff 2x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}\) ;

   ★ \(f'(x) < 0 \iff 2x - 1 < 0 \iff x < \dfrac{1}{2}\) : la fonction \(f\) est décroissante sur \(\left]0~;~\frac{1}{2}\right[\) ;

   ★ \(f'(x) > 0 \iff 2x - 1 > 0 \iff x > \dfrac{1}{2}\) : la fonction \(f\) est croissante sur \(\left]\frac{1}{2}~;~+ \infty\right[\) ;

   Conclusion : \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) est le minimum de la fonction sur \(]0~;~+ \infty[\). Réponse c.

3. On a: \(f(x) = 2 \times \dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{2x}\).

   En posant \(X = 2x\), on a \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 2x = \displaystyle\lim_{X \to + \infty} X = + \infty\).

   On sait que \(\displaystyle\lim_{X \to + \infty} \dfrac{\mathrm{e}^X}{X} = + \infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty\). Réponse a.

4. Sur \(]0~;~+\infty[\),   \(x^3 > 0\) et \(2\mathrm{e}^{2x} > 0\), donc le signe de \(f''(x)\) est celui du trinôme \(2x^2 - 2x + 1\).

   Or \(2x^2 - 2x + 1 = 2\left(x^2 - x + \frac{1}{2}\right) = 2\left[ \left (x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right ] = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\).

   Donc \(f''(x)\) somme de deux nombres positifs est positive sur \(]0~;~+ \infty\). La fonction est donc convexe sur \(]0~;~+\infty[\). Réponse b.

Commun à tous les candidats

PARTIE I

1. On traduit la situation à l'aide d'un arbre pondéré:

   

2. 1. On a: \(P(D \cap T) = P(D) \times P_D(T) = 0{,}05 \times 0{,}98 = 0{,}049\).

   2. On a de même : \(P\left(\overline{D} \cap T\right) = P\left(\overline{D}\right) \times P_{\overline{D}}(T) = 0{,}95 \times 0{,}3 = 0{,}0285\).

      D'après la loi des probabilités totales :

      \(P(T) = P(D \cap T) + P\left(\overline{D} \cap T\right) = 0{,}049 + 0{,}0285 = 0{,}0775\).

3. La valeur prédictive positive du test est égale à :

   \(P_T(D) = \dfrac{P(T \cap D)}{P(T)} = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0,049}{0{,}0775} \approx 0{,}6322\), soit 0,632 au millième près.

   Comme \(0{,}632 < 0{,}95\) on peut en déduire que le test n'est pas efficace.

PARTIE II

1. Le choix de l'échantillon étant assimilé à un tirage avec remise et avec une probabilité constante de choisir un produit défectueux égale à \(0{,}05\), on peut donc dire que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 20\) et \(p = 0{,}05\).

2. On a: \(p(X = 0) = 0{,}05^0 \times 0{,}95^{20}\).

   Donc la probabilité cherchée est \(p(X \geqslant 1) = 1 -p(X =0) = 1 - 0{,}95^{20} \approx 0{,}642\), soit 0,64 au centième près.

3. On a: \(E = n \times p = 20 \times 0{,}05 = 1\).

   Cela signifie que sur un grand nombre de tirages d'échantillons on trouvera 1 pièce défectueuse sur 20 pièces tirées.

Commun à tous les candidats

En 10 minutes la température a augmenté de \(1{,}3 - ( - 19) = 1{,}3 + 19 = 20{,}3\) soit une augmentation de \(2{,}03\) °C.

Selon ce premier modèle l'augmentation de la température serait au bout de 25 minutes de \(25 \times 2{,}03 = 50{,}75\)(°C).

Les gâteaux seraient donc à une température de \(- 19 + 50{,}75 = 31{,}75\)(°C) alors que la température ambiante est de 25°C : c'est impossible, donc ce modèle n'est pas pertinent.

On note \(T_n\) la température des gâteaux en degré Celsius, au bout de \(n\) minutes après leur sortie du congélateur ; ainsi \(T_0= - 19\). On admet que pour modéliser l'évolution de la température, on doit avoir la relation suivante: \(\text{pour tout } n,\ T_{n+1}-T_n=-0.06\times \left(T_n - 25\right).\)

1. On a: \(T_{n+1}-T_n=-0.06\times \left(T_n - 25\right) \iff T_{n+1}-T_n = -0{,}06T_n + 1{,}5 \\ \iff T_{n+1} = T_n - 0{,}06T_n + 1{,}5 \iff T_{n+1} = 0{,}94T_n + 1{,}5\).

2. ★   Avec \(n = 0\), la relation donne \(T_1 = 0{,}94 \times (- 19) + 1{,}5 = 1{,}5 - 17{,}86 = -16{,}36\) ;

   ★   Avec \(n = 1\), la relation donne \(T_2 = 0{,}94 \times (- 16{,}36) + 1{,}5 = 1{,}5 - 15{,}3784 = -13{,}8784\).

3. On démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(T_n\leqslant 25\).

   Initialisation - \(T_0 = - 19 \leqslant 25\); l'inégalité est vraie au rang \(0\).

   Hérédité - Supposons que pour \(n \in \mathbb{N}\),   \(T_n\leqslant 25\) alors en multipliant par 0,94 :

   \(0{,}94T_n \leqslant 0{,}94 \times 25\), soit \(0{,}94T_n \leqslant 23{,}5\).

   D'où en en ajoutant à chaque membre 1,5 :

   \(0{,}94T_n + 1{,}5 \leqslant 23{,}5 + 1{,}5\), soit finalement \(T_{n+1} \leqslant 25\) : l'inégalité est vraie au rang \(n\).

   Conclusion : l'inégalité est vraie au rang \(0\) et si elle est vraie au rang \(n\), elle l'est aussi au rang \(n + 1\).

   D'après le principe de récurrence : quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(T_n \leqslant 25\).

   Ceci correspond à une évidence : la température des gâteaux ne peut dépasser la température ambiante.

4. On sait que quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(T_{n+1}-T_n = -0.06\times \left(T_n - 25\right)\).

   D'après la question précédente \(T_n \leqslant 25\) soit en multipliant par 0,06 :

   \(0{,}06T_n \leqslant 0{,}06 \times 25\), ou \(0{,}06T_n \leqslant 1{,}5\)

   et en prenant les opposés : \(- 1{,}5 \leqslant - 0{,}06T_n\) et enfin en ajoutant à chaque membre 1,5 :

   \(0 \leqslant - 0{,}6T_n + 1{,}5\).

   On a donc démontré que quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(T_{n+1}-T_n \geqslant 0\) : la suite \(\left(T_n\right)\) est donc croissante.

5. On a donc démontré que la suite \(\left(T_n\right)\) est croissante et majorée par 25 : d'après le théorème de la convergence monotone, cette suite converge vers une limite \(\ell\) telle que \(\ell \leqslant 25\).

6. On pose pour tout entier naturel \(n\), \(U_n = T_n - 25\).

   1. Quel que soit \(n \in \mathbb{N}\), \(U_{n+1} = T_{n+1} - 25 = 0{,}94T_n + 1{,}5 - 25\) ou encore

      \(U_{n+1} = 0{,}94T_n - 23{,}5 = 0{,}94\left(T_n - \dfrac{23,5}{0,94} \right) = 0{,}94\left(T_n - 25 \right)\), soit finalement

      \(T_{n+1} = 0{,}94U_n\): cette égalité montre que la suite \(\left(U_n\right)\) est une suite géométrique de raison 0,94 et de premier terme \(U_0 = T_0 - 25 = - 19 - 25 = - 44\).

   2. On sait que quel soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(U_n = U_0 \times 0{,}94^n\) ou \(U_n = - 44 \times 0{,}94^n\).

      Or \(U_n = T_n - 25 \iff T_n = U_n + 25\) ou encore \(T_n = - 44 \times 0{,}94^n + 25\), soit finalement :

      \[T_n = 25 - 44 \times 0{,}94^n, \text{quel que soit }\, n \in \mathbb{N}\]

   3. Comme \(0 < 0{,}94 < 1\), on sait que \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0{,}94^n = 0\), d'où par somme de limites :

      \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} T_n = \ell = 25.\]

7. 1. On a: \(T_{30} = 25 - 44 \times 0{,}94^{30} \approx 18{,}12\) soit environ 18°C au degré près.

   2. La calculatrice donne \(T_{17} \approx 9{,}63\) et \(T_{18} \approx 10{,}55\), donc Cécile devra déguster son gâteau entre la 17^e et la 18^e minute après sa sortie.

   3. On complète le programme suivant, écrit en langage Python, qui doit renvoyer après son exécution la plus petite valeur de l'entier \(n\) pour laquelle \(T_n \geqslant 10\).

      def seuil() :
        n = 0
        T = - 19
        while T < 10
              T = 0,94T + 1,5
              n = n+1
         return n

1. \(M(x~;~y~;~z) \in (d) \iff \overrightarrow{\text{O}M} = t\overrightarrow{u}, \, \text{avec } t \in \mathbb{R}\), soit : \(\left\{\begin{array}{l c l} x&=&t\\ y&=&t\\ z&=&0 \end{array}\right., \, t \in \mathbb{R}\).

2. 1. De \(\overrightarrow{\text{A}M}\begin{pmatrix}t - 1\\t - 3\\0 - 2\end{pmatrix}\), on calcule :

      A\(M^2 = (t - 1)^2 + (t - 3)^2 + (- 2)^2 = t^2 + 1 - 2t + t^2 + 9 - 6t + 4 = 2t^2 - 8t+ 14.\)

   2. \(2t^2 - 8t+ 14 = 2\left(t^2 - 4t + 7\right) = 2\left[(t - 2)^2 - 4 + 7 \right] = 2\left[(t - 2)^2 + 3\right]\).

      La plus petite valeur de ce trinôme est obtenue quand le carré est nul, soit pour \(t = 2\).

      On a: \(2t^2 - 8t+ 14 \geqslant 6\), soit \(\text{A}M^2 \geqslant 6 \Rightarrow \text{A}M \geqslant \sqrt{6}\).

      La plus petite distance est A\(M_0 = \sqrt{6}\) avec \(M_0(2~;~2~;~0)\).

3. On a: \(\overrightarrow{\text{A}M_0}\begin{pmatrix}1\\- 1\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\ 1\\0\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \((d)\).

   On a: \(\overrightarrow{\text{A}M_0} \cdot \overrightarrow{u} = 1 - 1 + 0 = 0\) : les vecteurs sont orthogonaux donc les droites \(\left(\text{A}M_0\right)\) et \(d\) sont orthogonales.

4. \(\overrightarrow{\text{A}'M_0}\) a pour coordonnées : \(\overrightarrow{\text{A}'M_0}\begin{pmatrix}1\\- 1\\0\end{pmatrix}\) et donc on en déduit :

   \(\overrightarrow{\text{A}'M_0} \cdot \overrightarrow{u} = 1 \times 1 + (-1)\times 1 + 0 \times 0 = 0\) donc le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est orthogonal au vecteur \(\overrightarrow{\text{A}'M_0}\).

   Donc le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \(\left(\text{AA}'M_0\right)\), les vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{A}M_0}\) (question précédente) et \(\overrightarrow{\mathrm{A}'M_0}\) (comme on vient de l'établir), donc la droite \((d)\) est orthogonale au plan \(\left(\text{AA}'M_0\right)\). Le point \(M_0\) est donc le projeté orthogonal de O sur le plan \(\left(\text{AA}'M_0\right)\), donc O\(M_0\) est la distance la plus courte du point O au plan \(\left(\text{AA}'M_0\right)\).

5. Aire de la base AA\('M_0\) : on a AA\(' = 2\) et A\('M_0^2 = (2 - 1)^2 + (2 - 3)^2 + 0^2 = 1 + 1 = 2\). D'où A\('M_0 = \sqrt{2}\).

   On a donc \(\mathcal{A}\left(\text{AA}'M_0\right) = \dfrac{2 \times \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).

   D'autre part : O\(M_0^2 = 2^2 + 2^2 = 8\), d'où O\(M_0 = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} = h\).

   Finalement \(V = \dfrac{\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}}{3} = \dfrac{4}{3}\).

On considère l’équation différentielle \((E)\quad y'= y+ 2 x \mathrm{e}^x\)

1. De \(u(x) = x^2\mathrm{e}^x\), on déduit que \(u'(x) = 2x\mathrm{e}^x + x^2\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x\left(x^2 + 2x \right) = x^2\mathrm{e}^x + 2x\mathrm{e}^x\), soit encore \(u'(x) = u(x) + 2x\mathrm{e}^x\) ce qui signifie que \(u\) est une solution particulière de \((E)\).

2. Soit \(g(x)=f(x) - u(x)\)

   1. \(f\) est solution de l'équation différentielle \((E)\) si et seulement si :

      \(f'(x) = f(x) + 2x\mathrm{e}^x \quad (1)\).

      Or \(g(x) = f(x) - u(x) \iff f(x) = g(x) + u(x)\), d'où on déduit, les deux fonctions étant dérivables sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x) = g'(x) + u'(x)\).

      L'égalité (1) devient : \(g'(x) + u'(x) = g(x) + u(x) + 2x\mathrm{e}^x \quad (2)\).

      Or on a vu dans la question précédente que \(u'(x) = u(x) + 2x\mathrm{e}^x\)

      L'équation (2) devient donc : \(g'(x) = g(x)\), ce qui signifie que la fonction \(g\) est solution de l'équation différentielle : \(y' = y\).

   2. On sait que les solutions de l'équation différentielle \(y' = y\) sont les fonctions définies par \(x \longmapsto K\mathrm{e}^x\),   avec \(K \in \mathbb{R}\).

      Donc on a \(g(x) = K \mathrm{e}^x, \, K \in \mathbb{R}\) et \(f(x) = K \mathrm{e}^x + x^2\mathrm{e}^x\).

      Les solutions de l'équation \((E)\) sont les fonctions définies par : \(f(x) = \left(K + x^2\right)\mathrm{e}^x\),   \(K \in \mathbb{R}\).

3. Étude de la fonction \(u\)

   1. On a \(u'(x) = x(x + 2)\mathrm{e}^x\). Comme \(\mathrm{e}^x > 0\), quel que soit \(x \in \mathbb{R}\), le signe de \(u'(x)\) est celui du trinôme \(x(x + 2)\) qui a pour racines \(- 2\) et \(0\).

      On sait que ce trinôme est positif, sauf entre les racines :

      \(u'(x) > 0\) sur \(]- \infty~;~-2[ \cup [0~;~+ \infty[\) ;

      \(u'(x) < 0\) sur \(]-2~;~0[\) ;

      \(u'(- 2) = u'(0) = 0\).

   2. De la question précédente il suit que \(u\) est croissante sauf sur \(]-2~;~0[\) où elle est décroissante, \(u(- 2) = 4\mathrm{e}^{-2}\) et \(u(0) = 0\) étant les deux extremums de la fonction sur \(\mathbb{R}\).

      

   3. \(u'\) est un produit de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\), donc elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\):

      \(u''(x) = (2x + 2)\mathrm{e}^x + \left(x^2 + 2x\right)\mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x\left(x^2 + 4x + 2\right)\).

      Comme \(\mathrm{e}^x > 0\), quel que soit \(x \in \mathbb{R}\), le signe de \(u''(x)\) est celui du trinôme \(x^2 +4x + 2 = (x + 2)^2 - 4 + 2 = (x + 2)^2 - 2 = (x + 2)^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2 = \left(x + 2 + \sqrt{2} \right)\left(x + 2 - \sqrt{2} \right)\).

      Les racines de ce trinôme sont donc \(-\sqrt{2} - 2\) et \(-\sqrt{2} + 2\).

      Le trinôme donc \(u''(x)\) sont négatifs entre les racines.

      Conclusion : la fonction est concave sur l'intervalle \(\left]- \sqrt{2} - 2~;~+ \sqrt{2} - 2\right[\).