2021Bac spé maths · Métropole (septembre) · Jour 1

1. On peut affirmer que:

   1. \(f'(-0{,}5) = 0\)

      Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(- 0{,}5\) est manifestement positif Faux

   2. si \(x \in ]- \infty~;~-0{,}5[\), alors \(f'(x) < 0\)

      Le nombre dérivé s'annule en à peu près en \(x = -1{,}5\) Faux

   3. \(f'(0) = 15\)

      Graphiquement \(f'(0) = \dfrac{20 - 5}{1 - 0}= 15\) Vrai

   4. la fonction dérivée \(f'\) ne change pas de signe sur \(\mathbb{R}\)

      \(f'\) est négative sur \(]- \infty~;~- 1{,}5[\) et positive sur \(]- 1{,}5~;~+ \infty[\) Faux

2. On admet que la fonction \(f\) représentée ci-dessus est définie sur \(\mathbb{R}\) par

   \(f(x) = (ax + b)\text{e}^x\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels et que sa courbe coupe l'axe des abscisses en son point de coordonnées \((-0{,}5~;~ 0)\).

   On peut affirmer que:

   1. \(a = 10\) et \(b = 5\)

   2. \(a = 2{,}5\) et \(b = -0{,}5\)

   3. \(a = -1{,}5\) et \(b = 5\)

   4. \(a = 0\) et \(b = 5\)

   Graphiquement \(f(0) = 5 \iff b\text{e}^0 = 5 \iff b = 5\) ;

   D'autre part \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sur cet intervalle :

   \(f'(x) = a\text{e}^x + (ax + b)\text{e}^x = \text{e}^x(ax + a + b)\).

   On a vu que \(f'(0) = 15 \iff a + b = 15 \iff a + 5 = 15 \iff a = 10\): la réponse a. est vraie.

3. On admet que la dérivée seconde de la fonction \(f\) est définie sur   par :

   \[f''(x) = (10x + 25)\text{e}^x.\]

   On peut affirmer que :

   1. La fonction \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\)

   2. La fonction \(f\) est concave sur \(\mathbb{R}\)

   3. Le point C est l'unique point d'inflexion de \(\mathcal{C}_f\)

   4. \(\mathcal{C}_f\) n'admet pas de point d'inflexion

   \(f''(x) = 0 \iff (10x + 25)\text{e}^x = 0 \iff 10x + 25 = 0\) (car \(\text{e}^x > 0\) quel que soit \(x \in \mathbb{R}\)) ; donc \(f''(x) = 0 \iff x = - 2{,}5\) : C est donc l'unique point d'inflexion. Réponse c.

4. On considère deux suites \(\left(U_n\right)\) et \(\left(V_n\right)\) définies sur \(\mathbb{N}\) telles que :

   • pour tout entier naturel \(n\),  \(U_n \leqslant V_n\);

   • \(\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} V_n= 2\).

   On peut affirmer que:

   1. la suite \(\left(U_n\right)\) converge

      Non car par exemple si \(U_n = - n\) et \(V_n = 2 + \dfrac{1}{n}\) ces deux suites vérifient l'énoncé et la suite \(\left(U_n\right)\) diverge;

   2. pour tout entier naturel \(n\),  \(V_n \leqslant 2\)

      Non avec \(V_n = 2 + \dfrac{1}{n}\) on a \(V_n \geqslant 2\) ;

   3. la suite \(\left(U_n\right)\) diverge

      Non avec par exemple \(U_n = 1 - \dfrac{1}{n}\) et \(V_n = 2 + \dfrac{1}{n}\), les deux suites vérifient l'énoncé et la suite \(\left(U_n\right)\) converge ;

   4. la suite \(\left(U_n\right)\) est majorée

      On sait, d'après le cours que toute suite convergente est bornée; donc la suite \((V_n)\) est majorée et donc il existe un réel \(M\) tel que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a \(V_n\leqslant M\).

      Or pour tout \(n\in\mathbb{N}\) on a \(U_n \leqslant V_n\); on en déduit que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a \(U_n\leqslant M\) et donc que la suite \((U_n)\) est majorée. Réponse d.

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(\left]-\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[\) par:

On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie par : \(u_0 = \dfrac{1}{2}\) et, pour tout entier naturel \(n\),  \(u_{n+1} = f\left(u_n\right)\).

1. On a donc pour \(n = 0\),   \(u_1 = f\left(u_0\right) = f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2}{1 + \frac{3}{2}} = \dfrac{2}{\frac{5}{2}} = \dfrac{4}{5}\).

2. On admet que la fonction \(f\) est croissante sur l'intervalle \(\left]-\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[\).

   1. On veut montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

      \[\dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2.\]

      Initialisation : on a \(u_0=\dfrac{1}{2}\) et \(u_1=\dfrac{4}{5}\); de plus \(\dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{4}{5} \leqslant 2\), donc:

      \(\dfrac{1}{2} \leqslant u_0 \leqslant u_1\leqslant 2\) : l'encadrement est vrai au rang 0 ;

      Hérédité : on suppose que pour \(n \geqslant 0\),  \(\dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2\).

      La fonction \(f\) étant croissante les images des quatre nombres ci-dessus sont rangées dans le même ordre, soit : \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) \leqslant f\left(u_n\right) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f(2)\).

      Or on a vu que \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{4}{5}\) et on a \(f(2) = \dfrac{8}{1 + 6} = \dfrac{8}{7}\);

      de plus \(f(u_{n})= u_{n+1}\) et \(f(u_{n+1})= u_{n+2}\) donc \(\dfrac{4}{5} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \dfrac{8}{7}\).

      Or \(\dfrac{1}{2} < \dfrac{4}{5}\) et \(\dfrac{8}{7} < 2\) ; on a donc finalement :

      \(\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 2\) : l'encadrement est donc vrai au rang \(n + 1\).

      Conclusion : l'encadrement est vrai au rang \(0\) et s'il est vrai au rang \(n \geqslant 0\),   il est vrai au rang \(n + 1\) : par le principe de récurrence pour tout entier naturel \(n\), on a : \(\dfrac{1}{2} \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2\).

   2. La suite \(\left(u_n\right)\) est croissante et elle majorée par 2, elle est donc convergente vers une limite \(\ell\) telle que: \(\dfrac{1}{2} \leqslant \ell \leqslant 2.\)

   3. La fonction \(f\) est continue car dérivable au moins sur \(\mathbb{R}_+\) donc la limite \(\ell\) vérifie l'égalité \(f(\ell)=\ell\) ; on résout cette équation:

      \(f(\ell) = \ell \iff \dfrac{4\ell}{1 + 3\ell} = \ell \iff 4\ell = \ell(1 + 3\ell) \iff 0 = \ell(1 + 3\ell - 4) \\ \phantom{f(\ell) = \ell} \iff \ell(3\ell - 3) = 0 \iff 3\ell(\ell - 1) = 0 \iff \left[\begin{array}{l}\ell = 0 \\ \text{ou} \\ \ell - 1 = 0\end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{l}\ell = 0 \\ \text{ou} \\ \ell = 1\end{array}\right.\)

   Comme \(\ell \geqslant \dfrac{1}{2}\), la seule solution possible est 1; la suite \(\left(u_n\right)\) converge vers 1.

3. 1. On complète la fonction Python ci-dessous qui, pour tout réel positif \(E\), détermine la plus petite valeur \(P\) tel que : \(1 - u_{P} < E\):

      def seuil(E):
           u = 0,5
           n = 0
            while 1 - u > = E
                u = 4*u/(1 + 3*u)
                n = n + 1
           return n

   2. On obtient \(u_7 \approx 0{,}999939\), donc \(1 - u_7 < 10^{-4}\). Le programme renvoie \(n = 7\).

4. On considère la suite \(\left(v_n\right)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par :

   \[v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}\]

   1. Pour tout entier naturel \(n\),   \(v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{1 - u_{n+1}}\) soit en utilisant la définition de \(u_{n+1}\) :

      \(v_{n+1} = \dfrac{\frac{4u_n}{1 + 3u_n}}{1 - \frac{4u_n}{1 + 3u_n}}\) soit en multipliant chaque terme par \(1 + 3u_n\) :

      \(v_{n+1} = \dfrac{4u_n}{1 + 3u_n - 4u_n} = \dfrac{4u_n}{1 - u_n} = 4\dfrac{u_n}{1 - u_n} = 4v_n\).

      L'égalité, vraie pour tout naturel \(n\), \(v_{n+1} = 4v_n\) montre que la suite \(\left(v_n\right)\) est géométrique de raison 4, de premier terme \(v_0 = \dfrac{u_0}{1 - u_0} = \dfrac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1\).

      On sait qu'alors , pour tout entier naturel \(n\),  \(v_n = 1 \times 4^n = 4^n\).

   2. Quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),

      \(v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}\iff v_n\left( 1 - u_n\right) = u_n \iff v_n - u_nv_n = u_n \iff v_n = u_nv_n + u_n \iff v_n = u_n\left(v_n + 1 \right)\).

      Comme \(v_n = 4^n, v_n \geqslant 1\), donc \(v_n + 1 \geqslant 2\), donc \(v_n + 1 \ne 0\) et finalement en multipliant par \(\dfrac{1}{v_n + 1}\), on obtient \(u_n = \dfrac{v_n}{v_n + 1}\) quel que soit \(n \in \mathbb{N}\).

   3. On sait que quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(v_n = 4^n\), d'où en remplaçant dans l'écriture précédente :

      \(u_n = \dfrac{4^n}{4^n +1}\) et en multipliant par \(\dfrac{1}{4^n}\) :

      \(u_n = \dfrac{1}{1 + \frac{1}{4^n}}\). Or \(\dfrac{1}{4^n} = \dfrac{1^n}{4^n} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^n = 0{,}25^n\), d'où \(u_n = \dfrac{1}{1 + 0{,}25^n}\).

      Comme \(0 < 0{,}25 < 1\), on peut dire que \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0{,}25^n = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \dfrac{1}{1+0} = 1\).

Les parties I et II peuvent être abordées de façon indépendante.

Soit \(f\) la fonction définie pour \(t \in [0~;~120]\) par:

La variable \(t\) représente le temps écoulé, en jour, à partir de l'introduction à l'instant \(t = 0\) des truites dans le lac, et \(f(t)\) modélise le nombre de crapauds à l'instant \(t\).

1. Pour \(t = 0\),  \(f(0) = 400 \mathrm{e}^{0} + 40 = 440\) (crapauds)

2. Sur l'intervalle [0 ; 120] en dérivant le produit :

   \(f'(t) = (0{,}08t - 8)\text{e}^{\frac{t}{50}} + \dfrac{1}{50}\left(0{,}04t^2 - 8t + 400\right)\text{e}^{\frac{t}{50}} = \text{e}^{\frac{t}{50}}\left[(0{,}08t - 8) + \dfrac{1}{50}\left(0{,}04t^2 - 8t + 400\right)\right]\\ \phantom{f'(t)} = \text{e}^{\frac{t}{50}}\left(0{,}08t - 8 + 0{,}0008t^2 - 0{,}16 t + 8 \right) = \text{e}^{\frac{t}{50}}\left(-0{,}08t + 0{,}0008t^2\right) \\ \phantom{f'(t)} = 0{,}0008\left(t^2 - 100t\right)\text{e}^{\frac{t}{50}} = t(t - 100)\text{e}^{\frac{t}{50}} \times 8 \times 10^{-4}.\)

3. On sait que quel que soit \(t \in [0~;~120]\), \(\text{e}^{\frac{t}{50}} > 0\) : le signe de \(f'(t)\) est donc celui du trinôme \(t(t - 100)\) qui est positif sauf sur l'intervalle \(]0~;~100[\) (entre les racines du trinôme).

   \(f(0) = 480\), \(f(100) = (400 - 800 + 400)\text{e}^{\frac{100}{50}} + 40 = 0 + 40 = 40\) et
   \(f(120) = 576 - 960 + 400)\text{e}^{\frac{120}{50}} + 40 = 16 \text{e}^{2,4} + 40 \approx 216{,}37\).

   On dresse le tableau de variations de \(f\) sur l'intervalle \([0~;~120]\):

   

4. Selon cette modélisation:

   1. On a vu dans la question précédente que \(f(100) = 40\) est le minimum de la fonction \(f\), on a donc \(J = 100\).

   2. On a aussi vu que de 100 jours à 120 jours le nombre de crapauds croît strictement de 40 à environ 216 : il dépassera donc 140 individus.

   3. Soit \(J_{140}\) la durée en jour à partir de laquelle le nombre de crapauds dépassera \(140\) individus. La calculatrice donne :

      \(f(115) \approx 130<140\) et \(f(116) \approx 144>140\), donc \(J_{140} = 116\).

1. On complète l'arbre de probabilité suivant en utilisant les données de l'énoncé:

   

2. D'après la loi des probabilités totales :

   \(P(T) = P(L \cap T) + P\left(\overline{L} \cap T\right) = P(L) \times P_L(T) + P\left(\overline{L}\right) \times P_{\overline{L}}(T) = 0{,}25 \times 0{,}74 + 0{,}75 \times 0 = 0{,}185\)

3. Le têtard n'est pas contaminé. La probabilité que le lac soit infecté est:

   \(P_{\overline{T}}(L) = \dfrac{P\left(L \cap \overline{T}\right)}{P\left(\overline{T}\right)} = \dfrac{0,25 \times 0{,}26}{1 - 0{,}185} = \dfrac{0,065}{0,815} \approx 0{,}0797\), soit \(0{,}080\) au millième près.

1. Dans le repère orthonormé \(\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)\) : I \(\left(0~;~\dfrac{1}{4}~;~1 \right)\),   J \(\left(\dfrac{1}{4}~;~0~;~1 \right)\),  K \(\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{4}\right)\).

2. On a \(\overrightarrow{\text{AG}} \left (1~;~1~;~1\right )\),  \(\overrightarrow{\text{IJ}}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{4}~;~- \dfrac{1}{4}~;~0\end{pmatrix}\),   \(\overrightarrow{\text{IK}}\begin{pmatrix}1~;~- \dfrac{1}{4}~;~-\dfrac{3}{4}\end{pmatrix}\).

   Or \(\overrightarrow{\text{AG}} \cdot \overrightarrow{\text{IJ}} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} + 0 = 0\) et \(\overrightarrow{\text{AG}} \cdot \overrightarrow{\text{IK}} = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} = 0\).

   Less vecteurs \(\overrightarrow{\text{IJ}}\) et \(\overrightarrow{\text{IK}}\) ne sont manifestement pas colinéaires, donc le vecteur \(\overrightarrow{\text{AG}}\) étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK) est normal à ce plan.

3. D'après la question précédente on sait que : \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJK}) \iff 1x + 1y + 1z + d = 0\).

   Or par exemple I\(\left(0~;~\dfrac{1}{4}~;~1 \right) \in (\text{IJK}) \iff 0 + \dfrac{1}{4} + 1\times 1 + d = 0 \iff 1 + 4 + 4d = 0 \iff 4d = - 5 \iff d = - \dfrac{5}{4}\).

   Finalement : \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJK}) \iff x + y + z - \dfrac{5}{4} = 0 \iff 4x + 4y + 4z - 5 = 0\).

   Le plan (IJK) a pour équation cartésienne \(4x + 4y + 4z - 5 = 0\).

4. On a \(\overrightarrow{\text{BC}}\left (0~;~1~;~0 \right )\). Donc :

   \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{BC}) \iff \overrightarrow{\text{B}M} = t\overrightarrow{\text{BC}} \;(\text{avec }t\in\mathbb{R}) \iff \left\{\begin{array}{l !{=} l} x - 1&t \times 0\\ y - 0&t \times 1,\\ z - 0 &t \times 0 \end{array}\right.\, t \in \mathbb{R} \\ \iff \left\{\begin{array}{l !{=} l} x &1\\ y &t,\\ z &0 \end{array}\right.\, t \in \mathbb{R}\).

   La droite (BC) a pour représentation paramétrique \(\left\{\begin{array}{l !{=} l} x &1\\ y &t,\\ z &0 \end{array}\right.\, t \in \mathbb{R}\).

5. Les coordonnées de L\((x~;~y~;~z)\) vérifient l'équation de (BC) et l'équation du plan (IJK) donc le système : \(\left\{\begin{array}{r !{=} l} x &1\\ y &t\\ z &0\\ 4x + 4y + 4z - 5 & 0 \end{array}\right.\)

   ce qui donne en remplaçant \(x\),   \(y\) et \(z\) par leurs valeurs en fonction de \(t\) dans la dernière équation :

   \(4 \times 1 + 4t + 4 \times 0 - 5 = 0 \iff 4t + 4 - 5 = 0 \iff 4t - 1 = 0 \iff t = \dfrac{1}{4}\).

   Les coordonnées de L sont donc \(\left(1~;~\dfrac{1}{4}~;~0\right)\).

6. Voir l'annexe.

   L'intersection du plan (IJK) avec la face (BCGF) est le segment [KL].

   L'intersection du plan (IJK) et du cube a été dessinée en tirets rouge.

7. Soit M\(\left(\frac{1}{4}~;~1~;~0\right)\).

   Comme L \(\in (\text{IJK})\), il suffit de vérifier que M est aussi un point de ce plan, soit d'après le résultat de la question 4. :

   \(4 x_{\text{M}} + 4 y_{\text{M}} + 4 z_{\text{M}} - 5 = 4\times \frac{1}{4} + 4 \times 1 + 4 \times 0 - 5= 4 + 1 - 5 = 0\) donc \(\text{M}\left(\frac{1}{4}~;~1~;~0\right) \in (\text{IJK})\).

   Conclusion : les points I, J, K, L et M sont coplanaires.

Partie I

On considère la fonction \(h\) définie sur l'intervalle \(]0~;~ +\infty[\) par: \(h(x) = 1 + \dfrac{\ln (x)}{x}.\)

1. \(\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x>0} \ln x = - \infty\), et \(\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x>0} \dfrac{1}{x} = + \infty\).

   Par produit on déduit que \(\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x>0} \dfrac{\ln x}{x} = - \infty\) et donc que \(\displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x>0} h(x) = - \infty\).

2. On sait que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x) = 1\)

3. La fonction \(h\) est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur \(]0~;~ +\infty[\) et sur cet intervalle : \(h'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \times x - 1 \times \ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\).

4. Comme \(x^2 > 0\) pour \(x \in ]0~;~+ \infty[\) le signe de \(h'(x)\) est celui du numérateur \(1 - \ln x\) :

   • \(1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff \text{e} > x\) :
     la fonction \(h\) est donc strictement croissante sur \(]0~;~\text{e}[\) ;

   • \(1 - \ln x < 0 \iff 1 < \ln x \iff \text{e} < x\) :
     la fonction \(h\) est donc strictement décroissante sur \(]\text{e}~;~+ \infty[\) ;

   • \(1 - \ln x = 0 \iff 1 = \ln x \iff \text{e} = x\) :
     la fonction \(h\) a un maximum \(f(\text{e}) = 1 + \dfrac{\ln \text{e}}{\text{e}} = 1 + \dfrac{1}{\text{e}}\).

   D'où le tableau de variations de \(h\) :

   

5. Comme \(1 + \frac{1}{\text{e}} > 1 > 0\), le tableau de variations montre que l'équation \(h(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha \in ]0~;~\text{e}[\).

   On a \(f(1) = 1 + \dfrac{0}{1} = 1\), donc \(0 < \alpha < 1\) ;

   La calculatrice donne : \(f(0{,}5) \approx - 0{,}4\) et \(f(0{,}6) \approx 0{,}15\), donc \(0{,}5 < \alpha < 0{,}6\).

Partie II

Soit les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(]0~;~ +\infty[\) par \(f(x) = x \ln (x) - x\) et \(g(x) = \ln (x).\)

1. La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0~;~ +\infty[\) et sur cet intervalle :

   \(f'(x) = \ln (x) + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln (x) + 1 - 1 = \ln (x)\)

   Donc le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point de la courbe d'abscisse \(a\) est égal à \(f'(a) = \ln (a)\).

2. La fonction \(g\) est dérivable sur \(]0~;~ +\infty[\) et sur cet intervalle : \(g'(x) = \dfrac{1}{x}\).

   Donc le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}_g\) au point de la courbe d'abscisse \(a\) est égal à \(g'(a) = \dfrac{1}{a}\).

1. Le produit des coefficients directeurs est égal à \(- 1\), soit :

   \(\ln (a) \times \dfrac{1}{a} = - 1 \iff \dfrac{\ln (a)}{a} = - 1 \iff 1 + \dfrac{\ln (a)}{a} = 0 \iff h(a) = 0\)

   et on a vu à la fin de la partie I que cette équation n'avait qu'une solution \(a = \alpha\) : il existe une seule valeur de \(a\) telle que les droites \(T_a\) et \(D_a\) sont perpendiculaires : \(a = \alpha\). Voir la figure.

ANNEXE À COMPLÉTER ET À RENDRE AVEC LA COPIE

À COMPLÉTER SEULEMENT PAR LES ÉLÈVES AYANT CHOISI DE TRAITER L'EXERCICE A