2021Bac spé maths · Métropole · Jour 2

Commun à tous les candidats

Question 1 : On voit que pour \(t = 5\), les coordonnées du point de la droite \(\mathcal{D}'\) sont \((11~;~- 9~;~- 22)\) soit les coordonnées de M\(_2\).

Réponse b.

Question 2 : Un vecteur directeur de la droite \(\mathcal{D}'\) est : \(\overrightarrow{u}_3\begin{pmatrix}3\\- 3\\-6\end{pmatrix}\).

Réponse c.

Question 3 :

Un vecteur directeur de la droite \(\mathcal{D}\) est \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}-2\\2\\4\end{pmatrix}\) colinéaire au vecteur \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\)

Un vecteur directeur de la droite \(\mathcal{D}'\) est \(\overrightarrow{u_3}\begin{pmatrix}3\\- 3\\-6\end{pmatrix}\) colinéaire au vecteur \(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{u_3}\begin{pmatrix}1\\- 1\\-2\end{pmatrix}\) ou encore colinéaire au vecteur \(-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{u_3}\begin{pmatrix}-1\\+ 1\\2\end{pmatrix}\).

Les droites \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}'\) ayant des vecteurs directeurs colinéaires au même vecteur sont donc parallèles.

De plus en remplaçant \(t\) par \(\dfrac{5}{3}\) dans l'équation paramétrique de \(\mathcal{D}'\) on obtient \(x = 1,~\, y = 1\) et \(z = - 2\).

Les droites sont parallèles et ont un point commun : elles sont donc confondues.

Réponse d.

Question 4 :

\(\mathcal{P}\) a pour vecteur normal \(\overrightarrow{p}\begin{pmatrix}1\\m\\-2\end{pmatrix}\).

\(\mathcal{D}\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\) si \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{p}\) sont orthogonaux, soit :

\(\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{p} = 0 \iff -2 \times 1 + 2 \times m + 4 \times (- 2) = 0 \iff - 2 + 2m - 8 = 0 \iff 2m = 10 \iff m = 5\).

Réponse c.

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

1. 1. On traduit la situation par un arbre pondéré.

      

   2. Il faut trouver \(P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = 0{,}4 \times 0{,}9 = 0{,}36\).

   3. On a de même \(P\left(\overline{M} \cap T\right) = P\left(\overline{M}\right) \times P_{\overline{M}}(T) = 0{,}6 \times 0{,}15 = 0{,}09\).

      D'après la loi des probabilités totales :

      \(P(T) = P(M \cap T) + P\left(\overline{M} \cap T\right) = 0{,}36 + 0{,}09 = 0{,}45\).

   4. Il faut trouver \(P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0,36}{0,45} = \dfrac{36}{45} = \dfrac{9 \times 4}{9 \times 5} = \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8\).

2. 1. On suppose que le nombre de chats est assez important pour que l'on puisse assimiler le choix des 20 chats à un tirage avec remise.

      La variable \(X\) suit donc une loi binomiale de paramètres \(n = 20\) et de probabilité \(p = 0{,}45\) trouvé à la question 1. c..

   2. On a \(p\left(X = 5\right) = \binom{20}{5} \times 0{,}45^5 \times (1 - 0{,}45)^{20-5} = 15\,504\times 0{,}45^5 \times 0{,}55^{15} \approx 0{,}0365\) soit environ 0,037.

   3. La calculatrice donne \(P(X < 9) \approx 0{,}414\).

   4. On sait que l'espérance \(E = n \times p = 20 \times 0{,}45 = 9\).

      Cela signifie que sur un grand nombre d'échantillons il y aura en moyenne 9 chats positifs par échantillon de 20.

3. 1. On a encore une loi binomiale de paramètres \(n\) et de probabilité d'être positif de \(0{,}45\).

      On a \(P(X = 0) = \binom{n}{0}\times 0{,}45^0 \times 0{,}55^n = 0{,}55^n\).

      Donc \(p_n = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}55^n\).

   2. En partant de \(n=0\), le programme calcule \(p_n\) et augmente la taille de l'échantillon de 1 tant que \(p_n < 0{,}99\).

   3. On cherche donc \(n\) tel que \(1 - 0{,}55^n \geqslant 0{,}99 \iff 0{,}01 \geqslant 0{,}55^n\), d'où par croissance de la fonction logarithme népérien : \(\ln 0{,}01 \geqslant n \ln 0{,}55 \iff \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}55} \leqslant n\) (car \(\ln 001 < 0\)).

      Or \(\dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}55} \approx 7{,}7\).

      Conclusion : le programme renvoie la valeur 8.

Commun à tous les candidats

Soit la suite \(\left(u_n\right)\) définie par : \(u_0 = 1\) et, pour \(n\), \(u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n + 4}.\)

1. On peut conjecturer que quel que soit \(n\),   \(\dfrac{4}{u_n} = n + 4\).

2. On veut démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n > 0\).

   Initialisation : \(u_0 = 1 > 0\) : la proposition est vraie au rang \(0\).

   Hérédité : supposons qu'il existe \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(u_n > 0\).

   Alors \(u_n + 4 >4 > 0\) donc : \(\dfrac{1}{u_n + 4} >0\) et donc \(\dfrac{4}{u_n + 4} >0\)

   Or \(u_n>0\) (hypothèse de récurrence) donc \(\dfrac{4u_n}{u_n + 4}>0\).

   Soit finalement : \(u_{n+1} >0\).; la proposition est vraie au rang \(n + 1\).

   La proposition est vraie au rang \(0\) et si elle est vraie au rang \(n \in \mathbb{N}\), elle est vraie au rang \(n + 1\).

   D'après le principe de récurrence on a démontré que pour tout \(n \in \mathbb{N}\),   \(u_n > 0\).

3. Quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{4u_n}{u_n + 4} - u_n = \dfrac{4u_n - u_n^2 - 4u_n}{u_n + 4} = - \dfrac{u_n^2}{u_n + 4}\).

   Comme \(u_n + 4 > 4 > 0\) d'où l'inverse \(\dfrac{1}{u_n + 4} > 0\) et comme \(u_n^2 > 0\), \(\dfrac{u_n^2}{u_n + 4} > 0\) et finalement

   \(- \dfrac{u_n^2}{u_n + 4} < 0\).

   On a donc quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(u_{n+1} - u_n < 0\) : la suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante.

4. La suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante et minorée par \(0\) : d'après le théorème de la convergence monotone, la suite est convergente vers un réel \(\ell \geqslant 0\)

5. On a pour \(n \in \mathbb{N}\),
   \(v_{n+1} - v_n = \dfrac{4}{u_{n+1}} - \dfrac{4}{u_n} = \dfrac{4}{\frac{4u_n}{u_n + 4}} - \dfrac{4}{u_n} = \dfrac{4\left(u_n + 4 \right)}{4u_n} - \dfrac{4}{u_n} = \dfrac{u_n + 4}{u_n} - \dfrac{4}{u_n} = \dfrac{u_n + 4 - 4}{u_n} = \dfrac{u_n}{u_n} = 1\).

   \(v_{n+1} - v_n = 1\), quel que soit \(n \in \mathbb{N}\) montre que la suite \(\left(v_n\right)\) est une suite arithmétique de raison \(r = 1\).

   Son premier terme est \(v_0 = \dfrac{4}{u_0} = \dfrac{4}{1} = 4\).

6. On sait qu'alors pour \(n \in \mathbb{N}\),   \(v_n = v_0 + nr = 4 + n\).

   Or \(v_n = \dfrac{4}{u_n} \iff u_n = \dfrac{4}{v_n}\) donc \(u_n = \dfrac{4}{4 + n}\) quel que soit \(n \in \mathbb{N}\).

   \(u_n = \dfrac{1}{1 + \frac{n}{4}}\), donc comme \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1 + \frac{n}{4} = + \infty\),   \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0\).

   La limite de la suite \(\left(u_n\right)\) est donc \(0\).

Soit \(h\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0~;~ +\infty[\) par: \(h(x) = 1 + \dfrac{\ln (x)}{x^2}.\)

1. ★ Limite en \(0\) : \(h(x) = 1 + \dfrac{1}{x} \times \dfrac{\ln (x)}{x}\).

   On sait que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty\) et que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln (x)}{x} = - \infty\) ; donc par produit de limites \(\displaystyle\lim_{x \to 0} h(x) = - \infty\).

   ★ Limite en \(+ \infty\) : on sait que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0\) et que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = 0\), donc par produit et somme de limites : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} h(x) = 1\). ( La droite d'équation \(y = 1\) est asymptote horizontale à la représentation graphique de \(h\) en \(+\infty\).)

2. La fonction est dérivable (admis) sur \(]0~;~ +\infty[\) et sur cet intervalle :

   \(h'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \times x^2 - 2x\ln (x)}{x^4} = \dfrac{x - 2x\ln (x)}{x^4} = \dfrac{1 - 2\ln (x)}{x^3}\).

3. Sur \(]0~;~ +\infty[\),   \(x > 0\) donc \(x^3 > 0\) : le signe de \(h'(x)\) est donc celui du numérateur \(1 - 2\ln x\).

   ★ \(1 - 2\ln x > 0 \iff 1 > 2\ln x \iff \dfrac{1}{2} > \ln x \iff \ln x < \dfrac{1}{2}\), soit finalement \(x < \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\)   \(\left(\text{ou encore }\, x < \sqrt{\mathrm{e}} \right)\)

4. D'après les résultats précédents, on établit le tableau de variations de \(h\) sur \(]0~;~+\infty[\).

   \(h\left ( \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\right ) = 1+\dfrac{\ln\left (\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\right )}{\left (\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\right )^2}= 1+\dfrac{\frac{1}{2}}{\mathrm{e}}= 1+\dfrac{1}{2\mathrm{e}}\approx 1{,}18\)

   

   D'après ce tableau de variations, l'équation \(h(x)=0\) admet une solution unique dans l'intervalle \(\left ] 0~;~\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\right [\).

   On appelle \(\alpha\) cette solution; \(h\left (\dfrac{1}{2}\right ) \approx -1{,}8<0\) et \(h(1)=1>0\) donc \(\dfrac{1}{2} < \alpha < 1\).

5. D'après les questions précédentes, on peut établir le tableau signes de \(h(x)\) pour \(x\) appartenant à \(]0~;~ +\infty[\):

   

On désigne par \(f_1\) et \(f_2\) les fonctions définies sur \(]0~;~ +\infty[\) par : \(f_1(x) = x-1 - \dfrac{\ln (x)}{x^2}\text{et }f_2(x) = x - 2 - \dfrac{2\ln (x)}{x^2}.\)

On note \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) les représentations graphiques respectives de \(f_1\) et \(f_2\) dans un repère \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\).

1. Pour tout nombre réel \(x\) appartenant à \(]0~;~ +\infty[\), on a :

   \(f_1(x) -f_2(x) = x-1 - \dfrac{\ln (x)}{x^2} - \left ( x - 2 - \dfrac{2\ln (x)}{x^2}\right ) = x-1 - \dfrac{\ln (x)}{x^2} - x + 2 + \dfrac{2\ln (x)}{x^2} = 1 + \dfrac{\ln(x)}{x^2}= h(x)\)

2. • On a vu que \(h(x)<0\) sur \(]0~;~\alpha[\), donc sur cet intervalle \(f_1(x)<f_2(x)\) donc \(\mathcal{C}_1\) est en dessous de \(\mathcal{C}_2\).

   • On a vu que \(h(x)>0\) sur \(]\alpha~;~+\infty[\), donc sur cet intervalle \(f_1(x)>f_2(x)\) donc \(\mathcal{C}_1\) est au dessus de \(\mathcal{C}_2\).

   • \(h(\alpha)=0\) donc \(f_1(\alpha)=f_2(\alpha)\); donc \(\alpha\) est l'abscisse du point d'intersection de \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\).

   • L'ordonnée de ce point d'intersection est \(f(\alpha) = \alpha - 1 - \dfrac{\ln(\alpha)}{\alpha^2} = \alpha -\left ( 1+\dfrac{\ln(\alpha)}{\alpha^2}\right )= \alpha -h(\alpha) = \alpha\).

   • Les deux courbes se coupent donc au point de coordonnées \((\alpha~;~\alpha)\).

1. • la fonction \(f'\) est positive sur \(]-\infty~;~1[\) donc la fonction \(f\) est croissante sur cet intervalle;

   • la fonction \(f'\) est négative sur \(]1~;~+\infty[\) donc la fonction \(f\) est décroissante sur cet intervalle.

2. • la fonction \(f'\) est décroissante sur \(]-\infty~;~0[\) donc la fonction \(f\) est concave sur cet intervalle;

   • la fonction \(f'\) est croissante sur \(]0~;~+\infty[\) donc la fonction \(f\) est convexe sur cet intervalle.

On admet que la fonction \(f\) mentionnée dans la Partie 1 est définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}.\)

1. Pour tout nombre réel \(x\), \(f(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}=x\mathrm{e}^{-x}+2\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}+ 2\mathrm{e}^{-x}\).

   D'après le cours: \(\displaystyle\lim_{x \to ++ \infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}= +\infty\) donc \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}= 0\).

   De plus \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \mathrm{e}^{-x}= 0\) donc \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0\).

   On en déduit que la courbe \(\mathcal{C}\) admet la droite d'équation \(y=0\), c'est-à-dire l'axe des abscisses, comme asymptote horizontale en \(+\infty\).

   On admet que \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty\).

2. 1. \(f'(x)=1\times \mathrm{e}^{-x} + (x+2)\times (-1)\mathrm{e}^{-x} = (1-x-2) \mathrm{e}^{-x}=(-x-1)\mathrm{e}^{-x}\).

   2. Pour tout \(x\), \(\mathrm{e}^{-x}>0\) donc \(f'(x)\) est du signe de \(-x-1\); donc \(f'(x)\) s'annule et change de signe en \(x=-1\).

      \(f(-1) = (-1+2)\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}\); on établit le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\):

      

   3. Sur l'intervalle \([-2~;~-1]\), la fonction \(f\) est strictement croissante et continue car dérivable sur cetintervalle. \(f(-2)=0<2\) et \(f(-1)=\mathrm{e}>2\) donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=2\) admet une solution unique sur l'intervalle \([-2~;~-1]\).

3. \(f''(x)=(-1)\times \mathrm{e}^{-x} + (-x-1)\times (-1)\mathrm{e}^{-x} = (-1+x+1) \mathrm{e}^{-x}=x\mathrm{e}^{-x}\)

   \(\mathrm{e}^{-x}>0\) pour tout \(x\), donc \(f''(x)\) est du signe de \(x\).

   • Sur \(]-\infty~;~0[\), \(f''(x)<0\) donc la fonction \(f\) est concave.

   • Sur \(]0~;~+\infty[\), \(f''(x)>0\) donc la fonction \(f\) est convexe.

   • En \(x=0\), la dérivée seconde s'annule et change de signe donc le point A d'abscisse 0 de \(\mathcal{C}\) est le point d'inflexion de cette courbe.