2023Bac spé maths · Centres étrangers (groupe II) · Jour 1

Partie A

On considère la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) par

1. \(\bullet~~\)On a \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x^2 = - \infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x = 0\), d'où par somme de limites : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = - \infty\).

   \(\bullet~~\)\(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x^2 = + \infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty\), d'où par somme de limites : \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty\).

2. Sur \(]0~;~+\infty[\), on a \(g(x) = 2\ln x + x - 2\), d'où :

   \(g'(x) = 2\times \dfrac1x + 1\). On a par composition de la dérivation :

   \(g'(x) = 2 \times \dfrac1x + 1 = \dfrac{2 + x}{x}\).

   Comme \(x > 0\), le signe de \(g'(x)\) est celui de \(2 + x\).

   Or \(x > 0 \implies 2 + x > 2 > 0\), donc \(g'(x) > 0\) sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\).

   La fonction \(g\) est donc croissante et d'après la question précédente de moins l'infini à plus l'infini.

3. 1. D'après la question précédente \(g\) est continue car dérivable sur \(]0~;~+\infty[\) et croit de moins l'infini à plus l'infini : d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe donc un réel unique \(\alpha \in ]0~;~+\infty[\) tel que \(g(\alpha) = 0\).

      À retenir :

      Pour démontrer l’existence et l’unicité de \(\alpha\), on applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : si \(g\) est continue (ici car dérivable) et strictement monotone sur \(]0~;~+\infty[\), et si \(0\) est compris entre ses limites aux bornes, alors l’équation \(g(x)=0\) admet une unique solution sur cet intervalle.

   2. La calculatrice donne :

      \(g(1) = - 1\) et \(g(2) \approx1,4\), donc \(1 < \alpha < 2\) ;

      \(g(1{,}3) \approx - 0{,}175\) et \(g(1{,}4) \approx 0{,}07\), donc \(1{,}3 < \alpha < 1{,}4\) ;

      \(g(1{,}37) \approx - 0{,}0004\) et \(g(1{,}38) \approx 0{,}02\), donc \(1{,}37 < \alpha < 1{,}38\)

4. D'où le tableau de signe :

   

Partie B

On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) par:

1. 1. On a successivement :

      \(\displaystyle\lim_{x \to 0} (x - 2) = - 2\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x = 0\), d'où par quotient de limites \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(x - 2)}{x} = - \infty\) ;

      D'autre part \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty\), donc par produit de limites : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty.\)

   2. Géométriquement le résultat précédent montre que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe \(\mathcal{C}_f\).

2. \(\bullet~~\)On a \(\dfrac{x - 2}{x} = \dfrac{x\left(1 - \frac2x\right)}{x} = 1 - \frac2x\)

   De \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac2x = 0\), il suit \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x - 2}{x} = 1\).

   \(\bullet~~\)D'autre part on sait que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln x = + \infty\).

   Donc par produit de limites, on a \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty\).

3. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\),

   Sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\), on a par dérivation du produit :

   \(f'(x) = \dfrac{1 \times x - 1 \times (x - 2)}{x^2}\ln x + \dfrac{x - 2}{x} \times \dfrac1x = \dfrac{x - x + 2}{x^2}\ln x + \dfrac{x - 2}{x^2} = \dfrac{2\ln x + x - 2}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}\).

4. Comme \(x^2 > 0\) sur \(]0~;~+\infty[\), le signe de \(f'(x)\) sur cet intervalle est celui de \(g(x)\).

   On a vu à la question A. 4. que :

   \(\bullet~~\) :sur l'intervalle \(]0~;~\alpha[, \: g(x) < 0\) : la fonction \(f\) est donc décroissante sur \(]0~;~\alpha[\) ;

   \(\bullet~~\) :sur l'intervalle \(]\alpha~;~+ \infty[, \: g(x) > 0\) : la fonction \(f\) est donc croissante sur \(]\alpha~;~\infty[\).

Partie C

La position relative de la courbe \(\mathcal{C}_f\) et de la courbe représentative de la fonction \(\ln\) est donnée par le signe de la fonction \(d\).

Comme \(x > 0\), le signe de \(d(x)\) est celui du produit \(- 2\ln x\).

On dresse donc un tableau de signes :

Conclusion : sur l'intervalle \(]0~;~1[\), la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au dessus de la courbe logarithme népérien et,

sur l'intervalle \(]1~;~+ \infty[\) la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au dessous de la courbe logarithme népérien.

S'il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à 0,8.

S'il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à 0,4.

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note:

• \(T_n\) l'évènement « Monsieur Durand utilise les transports en commun le \(n\)-ième jour »

• \(V_n\) l'évènement « Monsieur Durand utilise son vélo le \(n\)-ième jour »

• On note \(p_n\) la probabilité de l'évènement \(T_n\),

Le premier matin, il décide d'utiliser les transports en commun. Ainsi, la probabilité de l'évènement \(T_1\) est \(p_1 = 1\).

1. 2^e et 3^e jours,

   

2. Calculer \(p_3\)

   D'après la loi des probabilités totales : \(p_3 = p\left(T_2 \cap T_3 \right) + p\left(V_2 \cap T_3\right)\).

   \(p\left(T_2 \cap T_3 \right) = p\left(T_2\right) \times p_{T_2}\left(T_3\right)= 0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}64\). De même :

   \(p\left(V_2 \cap T_3\right) = p\left(V_2\right) \times p_{V_2}\left(T_3\right)= 0{,}2 \times 0{,}6 = 0{,}12\).

   Donc \(p_3 = 0{,}64 + 0{,}12 = 0{,}76\).

3. Le 3^e jour, M. Durand utilise son vélo.

   Calculer la probabilité qu'il ait pris les transports en commun la veille.

   On calcule \(p_{V_3}\left(T_2\right) = \dfrac{p\left(V_3 \cap T_2\right)}{p\left(V_3\right)} = \dfrac{p\left(T_2 \cap V_3\right)}{p\left(V_3\right)}\).

   Or \(p\left(V_3\right) = 1 - p_3 = 1 - 0{,}76 = 0{,}24\) et

   \(p\left(T_2 \cap V_3\right) = 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}16\), d'où

   \(p_{V_3}\left(T_2\right) = \dfrac{0,16}{0,24} = \dfrac{16}{24} = \dfrac{2}{3}\).

4. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les \(n\)-ième et \((n + 1)\)-ième jours.

   

5. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(p_{n+1} = 0{,}2p_n + 0{,}6\).

   On a \(p_{n+1} = p\left(T_{n+1}\right) = p\left(T_n \cap T_{n+1} \right) + p\left(V_n \cap T_{n+1}\right) = 0{,}8p_n + 0{,}6\left(1 - p_n\right) = 0{,}8p_n + 0{,}6 - 0{,}6p_n = 0{,}2p_n + 0{,}6\).

6. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a

   \[p_n = 0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{n-1}.\]

   Initialisation : pour \(n = 1\), on a \(p_1 = 0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{1-1} = 0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^0 = 0{,}72 + 0{,}25 = 1\) : la relation est vraie au rang 1.

   Hérédité : soit \(n \geqslant 1\) tel que \(p_{n} = 0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{n-1}\).

   Alors d'après la question 5. \(p_{n+1} = 0{,}2p_n + 0{,}6\), d'où en utilisant l'hypothèse de récurrence :

   \(p_{n+1} = 0{,}2\left(0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{n-1}\right) + 0{,}6 = 0{,}15 + 0{,}25\times 0{,}2^{n} + 0{,}6 = 0{,}75 + 0{,}25\times 0{,}2^{n}\) : l'égalité est vraie au rang \(n + 1\).

   Conclusion : la relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie au rang \(n\) au moins égal à 1 elle l'est aussi au rang \(n + 1\) : d'après le principe de récurrence :

   pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(p_n = 0{,}75 + 0{,}25 \times 0{,}2^{n-1}\).

7. Déterminer la limite de la suite \((p_n)\) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

   Comme \(- 1 < 0{,}2 < 1\), on sait que \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0{,}2^{n-1} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0{,}25\times 0{,}2^{n-1} = 0\) et par somme de limites \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = 0{,}75 = \dfrac34\).

   Au bout d'un certain nombre de jours Monsieur Durand prendra les transports en commun 3 jours sur 4.

1. Une primitive de la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) =x\text{e}^x\), est la fonction \(F\), définie sur \(\mathbb{R}\), par :

   Avec \(F(x) = (x - 1)\text{e}^x\), on a \(F'(x) = 1\text{e}^x + (x - 1)\text{e}^x = \text{e}^x(1 + x - 1) = x\text{e}^x\). Réponse b.

2. On considère la fonction \(g\) définie par \(g(x) = \ln \left(\dfrac{x - 1}{2x+ 4}\right).\)

   La fonction est définie quand l'argument du logarithme est supérieur à zéro donc quand

   \(\dfrac{x - 1}{2x+ 4} > 0\) ou ce qui revient au même quand \((x - 1)(2x + 4) = 0\).

   Or ce trinôme du second degré a deux zéros\(- 2\) et 1 et son coefficient dominant est \(+ 2\), donc ce trinôme est positif sauf entre les racines \(- 2\) et 1. Réponse c.

3. La fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)= (x + 1)\text{e}^{x}\) est :

   On peut calculer \(h'(x) = (x + 2)\text{e}^x\), puis \(h''(x) = (x + 3)\text{e}^x\).

   Comme \(\text{e}^x > 0\) quel que soit le réel \(x\) le signe de \(h''(x)\) est celui de \(x + 3\) qui est positif sur

   \(]-3~;~+ \infty[\). Sur cet intervalle la fonction est convexe. Réponse d.

4. Une suite \(\left(u_n\right)\) est minorée par 3 et converge vers un réel \(\ell\).

   La limite est supérieure ou égale à 3. Réponse b.

   À retenir :

   Lorsqu’une suite \((u_n)\) vérifie \(u_n \geqslant m\) pour tout \(n\) (ou à partir d’un certain rang) et converge vers \(\ell\), alors \(\ell \geqslant m\) : le passage à la limite conserve les inégalités larges.

5. La suite \(\left(w_n\right)\) est définie par \(w_1 = 2\) et pour tout entier naturel \(n\) strictement positif,

   \(w_{n+1} = \dfrac1n w_n\).

   On peut démontrer rapidement par récurrence de :

   \(w_1 = 2\),   \(w_2 = \dfrac{2}{1} = 2\),   \(w_3 = 1, \quad w_4 = \dfrac{1}{3}w_3 = \dfrac13 = \dfrac{2}{2 \times 3} = \dfrac{2}{(4 - 1)!}\), ...

   que \(w_n = \dfrac{2}{(n-1)!}\), avec \(n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n\).

   Or \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{2}{(n- 1)!} = 0\). Réponse d.

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\), on considère les points

1. On a \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}\) : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent donc un plan \(\mathcal{P}\).

2. 1. On a :

      \(\bullet~~\)\(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 4 \times 13 + 1 \times (- 16) + 4 \times (-9) = 52 - 16 - 36 = 52 - 52 = 0\) ;

      \(\bullet~~\)\(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 2 \times 13 + 5 \times (- 13) + (- 6 \times (-9) = 26 - 65 + 54 = 52 - 52 = 0\).

      Le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \(\mathcal{P}\) : il est normal à ce plan.

   2. On sait que \(M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff ax + by + cz + d = 0\) et que \(a, b\) et \(c\) sont les composantes d'un vecteur normal à ce plan donc par exemple \(\overrightarrow{n}\).

      On a donc \(M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff 13x - 16y -9z + d = 0\).

      par exemple C\((1~;~2~;~- 4) \in \mathcal{P} \iff 13\times 1 + 2\times (-16) -9 \times (- 4) + d = 0 + d = 0 \iff 13 - 32 + 36 + d = 0 \iff 17 + d = 0 \iff d = - 17\).

      On a donc \(M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff 13x - 16y - 9z - 17 = 0\).

On note \(\mathcal{D}\) la droite passant par le point F\((15~;~-16~;~-8)\) et orthogonale au plan \(\mathcal{P}\).

1. La droite \(\mathcal{D}\) étant orthogonale au plan \(\mathcal{P}\) a pour vecteur directeur le vecteur \(\overrightarrow{n}\) normal au plan \(\mathcal{P}\).

   On a donc \(M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{D} \iff \overrightarrow{\text{F}M} = t \overrightarrow{n}, \quad t \in \mathbb{R}\), soit \(\left\{\begin{array}{l c l} x - 15&=&13t\\ y + 16&=&- 16t\\ z + 8&=&- 9t \end{array}\right., \quad t \in \mathbb{R}\)

2. Si E\((x~;~y~;~z)\) est commun à la droite \(\mathcal{D}\) et au plan \(\mathcal{P}\), ses coordonnées vérifient les équations de la droite et celle du plan donc le système :

   \(\left\{\begin{array}{l c l} x - 15&=&13t\\ y + 16&=&- 16t\\ z + 8&=&- 9t\\ 13x - 16y - 9z - 17 &=& 0 \end{array}\right., \quad t \in \mathbb{R}\).

   En remplaçant \(x, y\) et \(z\) par leurs valeurs en fonction de \(t\) dans l'équation du plan, on obtient :

   \(13(13t + 15) - 16(16t - 16)- 9(- 9t - 8) - 17 = 0 \iff 169t + 195 + 256t + 256 +81t + 72 - 17 = 0 \iff 506t + 506 = 0 \iff t = - 1\).

   En reportant cette valeur dans les équations paramétriques de la droite \(\mathcal{D}\), on obtient :

   \(\left\{\begin{array}{l c l} x - 15&=&-13 \\ y + 16&=&16\\ z + 8&=&9\\ \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&2 \\ y &=&0\\ z &=&1\\ \end{array}\right.\)

   Donc E(2 ; 0 ; 1).

3. F et E appartiennent à la droite \(\mathcal{D}\) perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\), donc la distance du point F au plan est égale à FE.

   Or FE\(^2 = (- 13)^2 + 16^2 + 9^2 = 169 + 256 + 81 = 506\). D'où FE \(= \sqrt{506}\).

4. Comme précédemment si \(M \in \mathcal{D}\) perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\) la distance de ce point au plan \(\mathcal{P}\) est \(M\)E.

   

   \(\bullet~~\)Premier point répondant à la question : \(M_1\) tel que \(\overrightarrow{\text{E}M_1} = \dfrac12 \overrightarrow{\text{EF}}\).

   De \(\overrightarrow{\text{EF}}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}\), on déduit que \(\dfrac12 \overrightarrow{\text{EF}} = \overrightarrow{\text{E}M_1}\begin{pmatrix}6{,}5\\-8\\-4{,}5\end{pmatrix}\), soit

   \(\left\{\begin{array}{l c l} x_1 - 2&=&6{,}5\\ y_1 - 0&=&- 8\\ z - 1&=&-4{,}5 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x_1 &=&8{,}5\\ y_1 &=&- 8\\ z &=&-3{,}5 \end{array}\right.\)

   \(\bullet~~\)Deuxième point répondant à la question : \(M_2\) tel que \(\overrightarrow{\text{E}M_2} = -\dfrac12 \overrightarrow{\text{EF}}\).

   De \(\overrightarrow{\text{EF}}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}\), on déduit que \(-\dfrac12 \overrightarrow{\text{EF}} = \overrightarrow{\text{E}M_2}\begin{pmatrix}-6{,}5\\8\\4,5\end{pmatrix}\), soit

   \(\left\{\begin{array}{l c l} x_2 - 2&=&-6{,}5\\ y_2 - 0&=& 8\\ z_2 - 1&=&4{,}5 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x_2 &=&- 4{,}5\\ y_2 &=& 8\\ z_2 &=&5{,}5 \end{array}\right.\)

   Donc \(M_1(8{,}5~;~-8~;~- 3{,}5)\) et \(M_2(-4{,}5~;~ 8~;~5{,}5)\).