2023Bac spé maths · Métropole, Antilles-Guyane · Jour 1

Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques.

On sait que :

• 20 % des machines sont sous garantie;

• 0,2 % des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie;

• 8,2 % des machines sont défectueuses.

Le technicien teste une machine au hasard.

On considère les évènements suivants :

• \(G\): « la machine est sous garantie » ;

• \(D\): « la machine est défectueuse » ;

• \(\overline{G}\) et \(\overline{D}\) désignent respectivement les évènements contraires de \(G\) et \(D\).

1. La probabilité \(p_G(D)\) de l'évènement \(D\) sachant que \(G\) est réalisé est égale à :

   a.  0,002

   b.   0,01

   c.   0,024

   d.   0,2

   20 % des machines sont sous garantie donc \(p(G)=0{,}2\). 0,2 % des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie donc \(p(G\cap D)=0{,}002\). \(p_{G}(D) = \dfrac{p(G\cap D)}{p(G)} = \dfrac{0,002}{0,2}=0{,}01\) Réponse b.

2. La probabilité \(p\left(\overline{G} \cap D\right)\) est égale à :

   a.  0,01

   b. 0,08

   c.   0,1

   d.   0,21

   8,2 % des machines sont défectueuses donc \(p(D)=0{,}082\). D'après la formule des probabilités totales: \(p(D)= p(G\cap D) + p\left(\overline{G} \cap D\right)\). Donc: \(p\left(\overline{G} \cap D\right) = p(D) - p(G\cap D) = 0{,}082 - 0{,}002 = 0{,}08\) Réponse b.

3. La machine est défectueuse. La probabilité qu'elle soit sous garantie est environ égale, à \(10^{-3}\) près, à :

   a.  0,01

   b.   0,024

   c.   0,082

   d.   0,1

   On cherche: \(p_{D}(G)=\dfrac{p(G\cap D)}{p(D)}=\dfrac{0,002}{0,082}\approx 0{,}024\) Réponse b.

Pour les questions 4 et 5, on choisit au hasard et de façon indépendante \(n\) machines de l'entreprise, où \(n\) désigne un entier naturel non nul.

On assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par \(X\) la variable aléatoire qui associe à chaque lot de \(n\) machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot.

On admet que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p = 0{,}082\).

1. Dans cette question, on prend \(n =50\).

   La valeur de la probabilité \(p(X > 2)\), arrondie au millième, est de :

   a.  0,136

   b.   0,789

   c.   0,864

   d. 0,924

   \(p(X>2) = 1-p(X\leqslant 2)\approx 1-0{,}2114 \approx 0{,}789\) Réponse b.

2. On considère un entier \(n\) pour lequel la probabilité que toutes les machines d'un lot de taille \(n\) fonctionnent correctement est supérieure à \(0{,}4\).

   La plus grande valeur possible pour \(n\) est égale à :

   a.  5

   b.   6

   c.   10

   d. 11

   Si toutes les machines fonctionnent, le nombre de machines défectueuses est 0; donc on cherche le plus grand \(n\) tel que \(p(X=0)>0{,}4\). \(p(X=0) = \displaystyle\binom{10}{0}\times 0{,}082^0 \times (1-0{,}082)^n = 0{,}918^n\) \(p(X=0)>0{,}4 \iff 0{,}918^n > 0{,}4 \iff \ln\left (0{,}918^n\right ) > \ln(0{,}4)\) \(\phantom{p(X=0)>0{,}4} \iff n\times \ln(0{,}918) > \ln (0{,}4) \iff n < \dfrac{\ln(0{,}4)}{\ln(0{,}918)}\) \(\dfrac{\ln(0{,}4)}{\ln(0{,}918)} \approx 10{,}71\) donc le plus grand entier \(n\) inférieur à \(\dfrac{\ln(0{,}4)}{\ln(0{,}918)}\) est 10. Réponse c.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0~;~+\infty[\) par \(f(x) = x^2 - 8\ln (x)\), où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que \(f\) est dérivable sur \(]0~;~+\infty[\), on note \(f'\) sa fonction dérivée.

1. On détermine \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\).

   \(\left . \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 =0\\ \displaystyle\lim_{x \to 0 \atop x>0} \ln(x)=-\infty \end{array} \right \} \text{ donc } \displaystyle\lim_{x \to 0\atop x>0} x^2 -8\ln(x)=+\infty \text{ et donc } \displaystyle\lim_{x \to 0\atop x>0} f(x)=+\infty\)

2. On admet que, pour tout \(x > 0\),  \(f(x) = x^2\left(1 - 8\dfrac{\ln (x)}{x^2}\right)\).

   \(\left . \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} =0\\ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}=0 \end{array} \right \} \text{ donc } \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2} =0 \text{ et donc } \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left ( 1-\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right ) =1\)

   \(\left . \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left ( 1-\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right ) =1\\ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2=+\infty \end{array} \right \} \text{ donc } \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2\left ( 1-\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right ) =+\infty \text{ et donc } \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) =+\infty\)

3. Calcul de la dérivée sur \(]0~;~+\infty[\):

   \(f'(x)=2x -8\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2-8}{x}=\dfrac{2\left (x^2-4\right )}{x} =\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x}\)

4. Pour étudier les variations de \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\), on cherche le signe de \(f'(x)\).

   

   \(f(2)=4-8\ln(2)\) On en déduit le tableau des variations de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\).

   

5. \(4-8\ln(2) \approx -1{,}55 <0\) donc on complète le tableau de variations.

   

   La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0\;;\;+\infty[\) donc continue sur cet intervalle, donc continue sur \(]0\;;\;2[\). Sur l'intervalle \(]0\;;\;2[\), la fonction \(f\) est continue et strictement décroissante; elle passe d'une valeur positive à une valeur négative donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=0\) admet une solution unique dans \(]0\;;\;2[\). On l'appelle \(\alpha\).

   Attention, piège :

   Sur \(]0\,;\,2]\), \(f\) n’est pas définie en \(0\) : on ne peut donc pas écrire \(f(0)\). Pour appliquer le corollaire du TVI, on utilise \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)=+\infty\) et \(f(2)=4-8\ln(2)\lt 0\), ce qui permet d’affirmer que \(0\) est bien une valeur intermédiaire.

6. On admet que, sur l'intervalle \([2~;~ +\infty[\), l'équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(\beta\). On complète le tableau de variations de \(f\) et on en déduit le signe de \(f\) sur \(]0\;;\;+\infty[\).

   

7. Pour tout réel \(k\), on considère la fonction \(g_k\) définie sur \(]0~;~+\infty[\) par: \(g_k(x) = x^2 - 8\ln (x) + k\); donc \(g_k(x)=f(x)+k\).

   La fonction \(g_k\) a donc les mêmes variations que \(f\) et elle a donc pour minimum sur \(]0~,~+\infty[\) le nombre \(4-8\ln(2)+k\). Pour que \(g_k\) soit positive ou nulle, il faut que ce minimum soit positif ou nul, donc \(4-8\ln(2)+k\geqslant 0\) soit \(k\geqslant 8\ln(2)-4\).

   Donc \(8\ln(2)-4\) est la plus petite valeur de \(k\) telle que \(g_k\geqslant 0\) sur \(]0\;;\;+\infty[\).

Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.

On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.

Partie A : Première modélisation

Dans cette partie, on admet que, chaque mois :

• 90 % des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;

• 130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.

Au cours du premier mois, \(300\) questions ont été posées.

Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le \(n\)-ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l'aide de la suite \(\left(u_n\right)\) définie par : \(u_1 =3\) et, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), \(u_{n+1} = 0{,}9u_n + 1{,}3\).

1. \(u_2 = 0{,}9\times u_1 +1{,}3 = 0{,}9\times 3 + 1{,}3= 4\) et \(u_3 =0{,}9\times u_2 +1{,}3 = 0{,}9\times 4 + 1{,}3= 4{,}9\)

   On peut estimer à 400 le nombre de questions le 2^e mois, et à 490 le 3^e mois.

2. On va montrer par récurrence la propriété \(u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n\) pour tout \(n\geqslant1\).

   • Initialisation

     Pour \(n=1\), on a \(u_1=3\) et \(13 -\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^1=13-\dfrac{90}{9}=3\).

     La propriété est vérifiée au rang 1.

   • Hérédité

     On suppose la propriété vraie au rang \(n\) avec \(n\geqslant 1\); autrement dit \(u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n\) ; c'est l'hypothèse de récurrence.

     \(u_{n+1} = 0{,}9u_n+1{,}3 = 0{,}9 \left (13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n\right ) +1{,}3 = 0{,}9\times 13 - \dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1}+0{,}1\times 13\\ \phantom{u_{n+1}} = 13- \dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1}\)

     Donc la propriété est vraie au rang \(n+1\).

   • Conclusion

     La propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire pour tout \(n\geqslant 1\); d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout \(n\geqslant 1\).

   Donc pour tout \(n\geqslant 1\), on a: \(u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0{,}9^n\).

3. Pour tout \(n\geqslant 1\), on a:

   \(u_{n+1}-u_n =\left (13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1}\right ) - \left (13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n}\right ) = 13-\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n+1} - 13+\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n}\\ \phantom{u_{n+1}-u_n} = \dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n}\left (1-0{,}9\right ) = \dfrac{100}{9}\times 0{,}9^{n} \times 0{,}1>0\)

   donc la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}*}\) est croissante.

4. On considère le programme ci-contre, écrit en langage Python.

   Ce programme renvoie la plus petite valeur \(n\) telle que \(u_n>\texttt{p}\); donc seuil(8.5) renvoie la plus petite valeur \(n\) telle que \(u_n>8{,}5\). On résout cette inéquation.

   \(u_n>8{,}5 \iff 13 -\dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n > 8{,}5 \iff 4{,}5 > \dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\\ \phantom{u_n>8{,}5} \iff \dfrac{4,5\times 9}{100}> 0{,}9^n \iff \ln(0{,}405) > \ln \left (0{,}9^n\right )\\ \phantom{u_n>8{,}5} \iff \ln(0{,}405) >n \times \ln (0{,}9) \iff \dfrac{\ln(0{,}405)}{\ln(0{,}9)} <n\)

    
   def seuil(p) :
            n=1
            u=3
            while u<=p :
                      n=n+1
                     u=0.9*u+1.3
            return n

   \(\dfrac{\ln(0{,}405)}{\ln(0{,}9)} \approx 8{,}6\) donc la valeur renvoyée par seuil(8.5) est 9.

   Attention, piège :

   Comme \(0{,}9 \lt 1\), \(\ln(0{,}9)\) est négatif. En divisant par \(\ln(0{,}9)\), il faut donc inverser le sens de l’inégalité : c’est une erreur très fréquente dans ce type de résolution.

Partie B : Une autre modélisation

Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l'aide d'une nouvelle suite \(\left(v_n\right)\) définie pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\) par: \(v_n = 9 - 6 \times \mathrm{e}^{-0{,}19\times(n - 1)}\).

Le terme \(v_n\) est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le \(n\)-ième mois sur la FAQ.

1. \(v_1=9-6\mathrm{e}^{0}=3\) et \(v_2=9-6\mathrm{e}^{-0{,}19}\approx 4{,}04\)

2. On résout l'inéquation \(v_n > 8{,}5\).

   \(v_n > 8{,}5 \iff 9 - 6 \times \mathrm{e}^{-0{,}19\times(n - 1)} > 8{,}5 \iff 0{,}5 > 6 \times \mathrm{e}^{-0{,}19\times(n - 1)}\)
   

   \(\phantom{v_n > 8{,}5}\iff\dfrac{0,5}{6} > \mathrm{e}^{-0{,}19\times(n - 1)}\) et par croissance de la fonction logarithme népérien
   \(\phantom{v_n > 8{,}5} \iff \ln \left (\dfrac{0,5}{6}\right ) > -0{,}19\times (n-1) \iff -\dfrac{\ln \left (\frac{0,5}{6}\right )}{0,19} < n - 1 \iff n > 1 -\dfrac{\ln \left (\frac{0,5}{6}\right )}{0,19}\)

   Or \(-\dfrac{\ln \left (\frac{0,5}{6}\right )}{0,19}\approx -13{,}08\) et 1 + 13,08 = 14,08 donc la plus petite valeur telle que \(v_n > 8{,}5\) est \(n = 15\).

Partie C : Comparaison des deux modèles

1. L'entreprise considère qu'elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ.

   • Selon le 1^er modèle, il y a plus de 850 questions sur la FAQ quand \(u_n>8{,}5\), c'est-à-dire le 9^e mois.

   • Selon le 2^e modèle, il y a plus de 850 questions sur la FAQ quand \(v_n>8{,}5\), c'est-à-dire le 15^e mois.

   C'est la première modélisation qui conduit à procéder le plus tôt à cette modification.

2. Pour savoir pour quelle modélisation il y a le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme, on cherche les limites des suites \((u_n)\) et \((v_n)\).

   • \(u_n=13 - \dfrac{100}{9}\times 0{,}9^n\)

     \(-1<0{,}9 <1\) donc \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} 0{,}9^n=0\) donc \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n=13\).

     À long terme il y aura 1300 questions pour la 1^e modélisation..

   • \(v_n = 9 - 6 \times \mathrm{e}^{-0{,}19\times(n - 1)}\)

     \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} -0{,}19\times (n-1) = -\infty\) et \(\displaystyle\lim_{X\to -\infty} \mathrm{e}^{X}=0\) donc \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \mathrm{e}^{-0{,}19\times(n - 1)}=0\); on en déduit que \(\displaystyle\lim_{n\to +\infty} v_n=9\).

     À long terme il y aura 900 questions pour la 2^e modélisation..

   C'est donc pour la 1^re modélisation qu'il y aura le plus de questions à long terme.

1. On a: E \(\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}\), C \(\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}\) et G \(\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}\).

2. La droite (EC) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{\mathrm{EC}}\;\begin{pmatrix} 1-0\\1-0\\0-1\end{pmatrix}\) soit \(\begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}\).

   Donc la droite (EC) a pour représentation paramétrique;

   \(\left\{ \begin{array}{l !{=} l l} x & x_{\text E} + 1\times t\\ y & y_{\text E} + 1\times t & t\in\mathbb{R}\\ z & z_{\text E} + (-1)\times t \end{array} \right.\) soit \(\left\{ \begin{array}{l !{=} r l} x & t\\ y & t & t\in\mathbb{R}\\ z & 1- t \end{array} \right.\)

3. Les points G, B et D ne sont pas alignés donc (GDB) est un plan de vecteurs directeurs \(\overrightarrow{\mathrm{GB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{BD}}\).

   \(\overrightarrow{\mathrm{GB}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} 1-1\\0-1\\0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-1\\-1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{BD}}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} 0-1\\1-0\\0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\1\\0 \end{pmatrix}\).

   \(\overrightarrow{\mathrm{EC}}.\overrightarrow{\mathrm{GB}}=1\times 0 + 1\times (-1) + (-1)\times (-1)=0-1+1=0\) donc \(\overrightarrow{\mathrm{EC}}\perp\overrightarrow{\mathrm{GB}}\)

   \(\overrightarrow{\mathrm{EC}}.\overrightarrow{\mathrm{BD}}=1\times (-1) + 1\times 1 + (-1)\times 0=-1+1+0=0\) donc \(\overrightarrow{\mathrm{EC}}\perp\overrightarrow{\mathrm{BD}}\)

   Le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{EC}}\) est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (GDB) donc la droite (EC) est orthogonale au plan (GDB).

   À retenir :

   Pour démontrer qu’une droite \((EC)\) est orthogonale à un plan \((GBD)\), il suffit de prouver qu’un vecteur directeur de \((EC)\) est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan \((GBD)\).

4. 1. La droite (EC) est orthogonale au plan (GDB) donc tout vecteur directeur de la droite (EC) est un vecteur normal au plan (GDB), en particulier le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{EC}}\) de coordonnées \((1\;;\;1\;;\;-1)\). Donc le plan (GDB) a une équation de la forme \(x+y-z+d=0\) où \(d\) est un réel à déterminer.

      Le point B appartient au plan (GDB) donc \(x_{\text B} + y_{\text B} -z_{\text B}+d=0\); autrement dit: \(1+0-0+d=0\) donc \(d=-1\).

      Le plan (GDB) a donc pour équation: \(x+y-z-1=0\).

   2. On appelle I le point d'intersection du plan (GBD) avec la droite (EC).

      Donc les coordonnées de I sont solutions du système: \(\left \{ \begin{array}{r !{=} l} x & t\\ y & t\\ z & 1-t\\ x+y-z-1 & 0 \end{array} \right .\)

      On a donc: \(t+t-(1-t)-1=0\) donc \(t=\dfrac{2}{3}\).

      On en déduit les coordonnées de I: \(x_{\text I}=t=\dfrac{2}{3}\), \(y_{\text I}=t=\dfrac{2}{3}\) et \(z_{\text I}=1-t=\dfrac{1}{3}\), soit \(\left( \dfrac{2}{3}\;;\;\dfrac{2}{3}\;;\;\dfrac{1}{3}\right )\).

   3. La droite (EC) est orthogonale au plan (GDB) donc la distance du point E au plan (GDB) est la longueur EI.

      \(\text{EI}^2 = \left ( \dfrac{2}{3} - 0\right )^2 + \left ( \dfrac{2}{3} - 0\right )^2 + \left ( \dfrac{1}{3} - 1\right )^2 = \dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{12}{9}\); donc \(\text{EI} = \displaystyle\sqrt{\dfrac{12}{9}} = \dfrac{\displaystyle\sqrt{12}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

      La distance du point I au plan (GDB) est donc de \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\).

5. 1. Les côtés [BD], [DG] et [GB] du triangle BDG sont les diagonales respectives des carrés ABCD, CDHG et BCGF qui sont superposables; donc leurs diagonales ont la même longueur. Ce qui veut dire que le triangle BDG est équilatéral.

   2. On appelle J le milieu du segment [BD]; donc le segment [GJ] est la médiane issue de G dans le triangle BDG. Or ce triangle est équilatéral donc [GJ] est la hauteur issue de G dans ce triangle. L'aire du triangle BDG est donc: \(\mathcal A = \dfrac{\text{BD}\times \text{GJ}}{2}\).

      B \(\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\\end{pmatrix}\) et D \(\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\\end{pmatrix}\) donc J \(\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\\\end{pmatrix}\)

      \(\text{GJ}^2 = \left ( \dfrac{1}{2} -1\right )^2 + \left ( \dfrac{1}{2}-1 \right )^2 + \left (0-1 \right )^2 = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+1 = \dfrac{6}{4}\) donc \(\text{GJ}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)

      [BD] est la diagonale du carré ABCD de côté 1 donc \(\text{BD}=\sqrt{2}\).

      L'aire de BDG est donc: \(\mathcal A= \dfrac{\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{6}}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{12}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

6. Le volume du tétraèdre EGBD est: \(\dfrac{1}{3} \left (\mathcal A \times \text{EI} \right ) = \dfrac{1}{3}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right ) =\dfrac{1}{3}\)