2023Bac spé maths · Métropole, Antilles-Guyane (septembre) · Jour 1

1. \[f(x) = x \mathrm{e}^{x^2 - 3}.\]

   Avec \(F(x) = \dfrac12 \mathrm{e}^{x^2 - 3}\), on a \(F'(x) = 2x \times \dfrac12\mathrm{e}^{x^2 - 3} = x\mathrm{e}^{x^2 - 3} = f(x)\) : réponse d. 

2. On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par:

   \[u_n = \mathrm{e}^{2n+1}.\]

   Si pour tout entier naturel \(n\),   \(u_n = \mathrm{e}^{2n+1}\), alors \(u_{n+1} = \mathrm{e}^{2(n+1)+ 1} = \mathrm{e}^{2n + 2 + 1} = \mathrm{e}^{2} \times \mathrm{e}^{2n + 1} = \mathrm{e}^{2} \times u_n\) : cette égalité montre que la suite \(\left(u_n\right)\) est géométrique de raison \(\mathrm{e}^{2}\) : réponse c.  

   Pour les questions 3. et 4., on considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par:

   \[u_0 = 15 \quad \text{et pour tout entier naturel }\: n \quad :\: u_{n+1} = 1{,}2u_n + 12.\]

3. def seuil() :
            n=0
            u=15
            while u<= 10\,000:
                 n=n+1
                 u=1,2*u+12
            return(n)

   Réponse a.

   Attention, piège : Dans une boucle de seuil, on continue tant que la condition cherchée n’est pas encore réalisée. Ici on veut \(u_n > 10\,000\), donc on boucle tant que \(u \leqslant 10\,000\). Inverser la condition (while u > 10000) arrêterait la boucle immédiatement car \(u_0=15\).

4. On considère la suite \(\left(v_n\right)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(v_n = u_n + 60\).

   On a quel que soit \(n \in \mathbb{N}, \: v_{n+1} = u_{n+1} + 60 = 1{,}2u_n + 12 + 60 = 1{,}2u_n + 72 = 1{,}2\left(u_n + 60\right) = 1{,}2v_n\) : cette égalité montre que la suite \(\left(v_n\right)\) est géométrique de raison 1,2.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\).

On considère les points

On note \(\Delta\) la droite de représentation paramétrique

1. 1. On a \(\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}\) : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (en comparant les premières coordonnées, s'il l'étaient on aurait \(\overrightarrow{\text{AB}} = 2\overrightarrow{\text{AC}}\), ce qui est faux), donc les points A, B et C ne sont pas alignés et définissent donc un plan unique \(\mathcal{P}\).

   2. On a \(\overrightarrow{\text{CD}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}\), puis

      \(\bullet~~\) \(\overrightarrow{\text{CD}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 4 - 1 - 3 = 0\) ;

      \(\bullet~~\) \(\overrightarrow{\text{CD}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 2 - 2 + 0 = 0\).

      Le vecteur \(\overrightarrow{\text{CD}}\) est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \(\mathcal{P}\), c'est donc un vecteur normal à ce plan.

      Puisque \(\overrightarrow{\text{CD}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0\) les droites (CD) et (AC) sont perpendiculaires en C, donc C est le projeté orthogonal de D sur le plan \(\mathcal{P}\).

   3. Puisque \(\overrightarrow{\text{CD}}\) est un vecteur normal au plan \(\mathcal{P}\), on sait que ses cordonnées sont dans l'ordre les coefficients \(a, \: b,\:c\) de \(x,\:y,\:z\), soit :

      \(M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff 2x + 1y - 1z + d = 0\).

      En particulier C\((2~;~-2~;~ -1) \in \mathcal{P} \iff 2\times 2 + 1\times (- 2) - 1\times (- 1) + d = 0 \iff 4 - 2 + 1 + d = 0 \iff d = - 3\).

      Finalement : \(M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff 2x + y - z - 3 = 0\).

2. 1. On a grâce aux coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{CD}}\),  CD\(^2 = 4 + 1 + 1 = 6\), d'où CD \(= \sqrt 6\).

   2. Puisque C est le projeté orthogonal de D sur le plan \(\mathcal{P}\), ce point est celui qui est à la plus courte distance du point D, soit \(\sqrt 6\) : il n'existe donc pas d'autre point de \(\mathcal{P}\) situé à cette distance \(\sqrt 6\) de D;

      Ou encore : la sphère de centre D et de rayon \(\sqrt 6\) est tangente en C au plan \(\mathcal{P}\), donc quel que soit M dans \(\mathcal{P}\), le triangle DCM est rectangle en C, d'hypoténuse [DM] et l'on sait qu'alors DM > DC \(= \sqrt 6\) : tout point M du plan aurez que C est donc à une distance supérieure à \(\sqrt 6\) de D.

3. 1. Si \(M(x~;~y~;~z)\) est commun à \(\Delta\) et à \(\mathcal{P}\) ses coordonnées vérifient le système :

      \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&\phantom{-}0\\ y &=&\phantom{-}2 + t\\ z &=& -1 + t\\ 2x + y - z - 3 &=& 0 \end{array}\right.\:,\:\: \text{avec } t\in \mathbb{R} \Rightarrow 2 \times 0 + 2 + t - (- 1 + t) - 3 = 0 \iff 0 = 0\) : ceci signifie que tout point de \(\Delta\) appartient à \(\mathcal{P}\) donc que \(\Delta\) est incluse dans le plan \(\mathcal{P}\).

      Soit H le projeté orthogonal du point D sur la droite \(\Delta\).

   2. Un vecteur directeur de la droite \(\Delta\) est \(\delta\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) et avec H\((0~;~2 + t~;~- 1 + t)\), on a \(\overrightarrow{\text{DH}}\begin{pmatrix}4\\3 + t\\1 + t\end{pmatrix}\).

      Or (DH) \(\perp \Delta \Rightarrow \delta \cdot \overrightarrow{\text{DH}} = 0 \iff 0 + 3 + t + 1 + t = 0 \iff 4 + 2t = 0 \iff 2t = - 4 \iff t = - 2\).

      On a donc H\((0~;~0~;~- 3) \in \Delta\).

   3. On a donc \(\overrightarrow{\text{DH}}\begin{pmatrix}4\\3 - 2\\1 - 2\end{pmatrix}\), soit \(\overrightarrow{\text{DH}}\begin{pmatrix}4\\1\\- 1\end{pmatrix}\) ; il en résulte que DH\(^2 = 4^2 +1^2 + (- 1)^2 = 18\).

      Finalement DH \(= \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt 9 \times \sqrt 2 = 3\sqrt 2\).

Les probabilités demandées seront données à \(10^{-3}\) près.

Partie A

1. D'après l'énoncé :

   • \(p_A(T) = 0{,}97\) ;

   • \(p_{\overline{A}}\left(\overline{T}\right) = 0{,}957\) ;

   • \(p(T) = 0{,}2\).

   D'où l'arbre pondéré :

   

2. 1. D'après la loi des probabilités totales :

      \(p(T) = p(A \cap T) + p\left(\overline{A} \cap T\right) = p(A) \times p_{A}(T) + p\left(\overline{A}\right) \times p_{\overline{A}}(T) = x \times 0{,}97 + (1 - x) \times 0{,}043 = 0{,}97x + 0{,}043 -0{,}043x = 0{,}927x + 0{,}043\).

   2. Comme \(p(T) = 0{,}2 = 0{,}927x + 0{,}043 \iff 0{,}157 = 0{,}927x \iff \dfrac{0,157}{0,927} = x\).

      Or \(\dfrac{0,157}{0,927} \approx 0{,}1694\) soit 0,169 au millième près.

      \(x = p(A) \approx 0{,}169\).

3. L'affirmation se traduit par : \(p_T(A) > 0{,}8\).

   Or \(p_T(A) = \dfrac{p(T \cap A)}{p(T)} = \dfrac{p(A \cap T)}{p(T)} = \dfrac{p(A) \times p_A(T)}{p(T)} \approx \dfrac{0,169 \times 0{,}97}{0,2}\), soit

   \(p_T(A) \approx \dfrac{0{,}16393}{0,2} \approx 0{,}81965\), soit environ 81,97 % : l'affirmation est vraie.

Partie B

1. Les tirages successifs étant indépendants et chaque personne ayant un probabilité d'être allergique égale à 0,08, \(X\) suit une loi de Bernoulli de paramètres \(n = 150\) et \(p = 0{,}08\).

2. La calculatrice donne \(p(X = 20) \approx 0{,}00820\), soit 0,008 au millième près.

3. La calculatrice donne \(p(X \leqslant 14) \approx 0{,}7797\), donc \(p(X \geqslant 15) = 1 - p(X \leqslant 14) \approx 1 - 0{,}7797 \approx 0{,}2203\) soit 0,220 au millième près.

PARTIE A

On définit sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) la fonction \(g\) par :

On admet que la fonction \(g\) est dérivable sur \(]0~;~+\infty[\) et on note \(g'\) sa fonction dérivée.

1. La fonction \(g\) somme de fonctions dérivables sur \(]0~;~+\infty[\) est dérivable et sur cet intervalle:

   \(g'(x) = - \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x^3}\).

   Or \(x > 0 \Rightarrow x^3 > 0\), donc le signe de \(g'(x)\) est celui du numérateur le trinôme \(x^2 - 2x + 2\).

2. On a \(x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 - 1 + 2 = (x - 1)^2 + 1\).

   Comme \((x - 1)^2 + 1 \geqslant 1 > 0\), ce trinôme est donc supérieur à zéro pour tout \(x > 0\) : la fonction \(g\) est donc strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\).

3. \(\bullet~~\) On a \(\displaystyle\lim_{x \to 0} -\dfrac 2x = - \infty, \: \displaystyle\lim_{x \to 0} - \dfrac{1}{x^2} = - \infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty\).

   Par somme de limites on en déduit que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty\).

   \(\bullet~~\) On a \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - \dfrac{2}{x^2} = 0, \: \displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{2}{x^3} = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln x = + \infty\).

   Par somme de limites on en déduit que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty\).

4. 

   La fonction \(g\) est continue sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) car dérivable sur cet intervalle et on a démontré que sur cet intervalle la fonction est croissante de moins l'infini à plus l'infini : d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel unique \(\alpha\) tel que \(g(\alpha) = 0\).

   On a (calculatrice) \(g(0{,}5) \approx - 0{,}69\) et \(g(1) = 1\) , le même théorème permet d'affirmer que

   \(0{,}5 < \alpha < 1\).

PARTIE B

On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) par:

1. On admet que pour tout nombre réel \(x > 0,\:\: f'(x) = \mathrm{e}^x \left(\dfrac 1x + \ln x\right)\).

   Produit de fonctions dérivables sur \(]0~;~+\infty[\),  \(f'(x)\) est dérivable et sur cet intervalle :

   \(f''(x) = \mathrm{e}^x \left(\dfrac 1x + \ln x\right) + \mathrm{e}^x \left(-\dfrac{1}{x^2} + \dfrac 1x\right) = \mathrm{e}^x \left(\dfrac 1x + \ln x -\dfrac{1}{x^2} + \dfrac 1x\right) = \mathrm{e}^x \left(\dfrac 2x - \dfrac{1}{x^2} + \ln x\right)\).

2. On a donc \(f''(x) = \mathrm{e}^x g(x)\).

3. 1. Comme \(\mathrm{e}^x > 0\) quel que soit le réel \(x\), le signe de \(f''(x)\) est celui de \(g(x)\) donné précédemment, soit

      

   2. On sait que si \(f''(\beta) = 0\), la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet un point d'inflexion au point d'abscisse \(\beta\).

      Or \(f''(x) = 0 \iff \mathrm{e}^x g(x) = 0 \iff g(x) = 0 \iff x = \alpha\).

      Rem. : la calculatrice donne \(\alpha \approx 0{,}592\), puis \(f(\alpha) \approx - 0{,}948\). Le point A\((0{,}592~;~-0{,}948)\) est le seul point d'inflexion de la courbe \(\mathcal{C}_f\).

   3. On a vu que sur sur l'intervalle \(]0~;~\alpha]\), la dérivée seconde est négative : la fonction \(f\) est concave sur cet intervalle.

      Sur l'intervalle \([\alpha~;~+ \infty[\) la dérivée seconde est positive : la fonction \(f\) est convexe sur cet intervalle.

4. 1. \(\bullet~~\) On a \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \mathrm{e}^x = 1\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\ln x = - \infty\), donc par produit de limites : \(\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = - \infty\) ;

      \(\bullet~~\) On a \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \mathrm{e}^x = + \infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty\) , donc par produit de limites : \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty\).

   2. On sait que \(g(\alpha) = 0 \iff \dfrac{2}{\alpha} - \dfrac{1}{\alpha^2} + \ln \alpha = 0 \iff \ln \alpha = \dfrac{1}{\alpha^2} - \dfrac{2}{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha^2}(1 - 2\alpha)\).

      Donc \(f'(\alpha) = \mathrm{e}^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha} + \ln \alpha \right) = \mathrm{e}^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha} +\dfrac{1}{\alpha^2} - \dfrac{2}{\alpha}\right) = \mathrm{e}^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha^2} - \dfrac{1}{\alpha}\right) = \dfrac{\mathrm{e}^{\alpha}}{\alpha^2}(1 - \alpha)\).

   3. On sait que \(\mathrm{e}^{\alpha} > 0, \: \alpha^2 > 0\) et que \(\alpha \approx 0{,}592 < 1\), donc \(1 - \alpha > 0\). Donc \(f'(\alpha) > 0\) comme produit de trois facteurs supérieurs à zéro.

      On a vu que \(f''(x) = \mathrm{e}^x g(x)\), donc :

      \(\bullet~~\)sur \(]0~;~\alpha], \: g(x) < 0\), donc \(\mathrm{e}^x g(x) = f''(x) < 0\) : la fonction \(f'\) est décroissante sur cet intervalle ;

      \(\bullet~~\)sur \(]\alpha~;~+\infty[, \: g(x) > 0\), donc \(\mathrm{e}^x g(x) = f''(x) > 0\) : la fonction \(f'\) est croissante sur cet intervalle ;

      \(\bullet~~\)Donc \(f'(\alpha)\) est le minimum de la fonction \(f'\) sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\).

      Ce minimum étant supérieur à zéro, on a donc \(f'(x) > 0\) sur \(]0~;~+ \infty[\) et enfin la fonction \(f\) est strictement croissante de moins l'infini à plus l'infini.

   4. On peut établir le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) :