2023Bac spé maths · Nouvelle-Calédonie · Jour 1

Partie A

1. 

2. La probabilité qu'un client choisisse un bateau à voile et qu'il ne prenne pas l'option PILOTE est \(P\left(V \cap \overline{L}\right)\).

   \[P\left(V \cap \overline{L}\right) = P(V) \times P_{V}\left(\overline{L}\right) = 0.6 \times 0.8 = \boxed{0.48}\]

3. Les évènements \(V\) et \(\overline{V}\) forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales, on a :

   \[P(L) = P\left(V \cap L\right) + P\left(\overline{V} \cap L\right)\]

   On a \(P\left(V \cap L\right) = 0.6 \times 0.2 = 0.12\).

   Posons \(P\left(\overline{V}\cap L\right) = p\). On a :

   \[P(L) = 0.12 + p \iff 0.42 = 0.12 + p \iff p = 0.42-0.12 = \boxed{0.3}\]

   On a donc bien \(P\left(\overline{V} \cap L\right) = 0.3\).

4. D'après la formule des probabilités conditionnelles :

   \[P_{\overline{V}}(L) = \dfrac{P\left(\overline{V} \cap L\right)}{P\left(\overline{V}\right)} = \dfrac{0.3}{0.4} = \boxed{\dfrac{3}{4} = 0.75}\]

5. La probabilité qu'un client ait choisi un voilier, sachant qu'il a pris l'option PILOTE est, d'après la formule des probabilités conditionnelles :

   \[P_{L}(V) = \dfrac{P\left(V \cap L\right)}{P(L)} = \dfrac{0.12}{0.42} = \boxed{\dfrac{2}{7} \approx 0.29}\]
   Attention, piège :

   Ne pas confondre \(P_L(V)\) et \(P(V \cap L)\). Ici, on sait que le client a pris l’option PILOTE, donc on calcule une probabilité conditionnelle : il faut diviser \(P(V \cap L)=0{,}12\) par \(P(L)=0{,}42\), et non répondre directement \(0{,}12\).

Partie B

1. \[P\left(L \cap A\right) = P(L) \times P_{L}(A) = 0.42 \times 0.005 = \boxed{0.0021}\] \[P\left(\overline{L} \cap A\right) = P\left(\overline{L}\right) \times P_{\overline{V}}(A) = (1-0.42) \times 0.12 = \boxed{0.0696}\]

2. Les évènements \(L\) et \(\overline{L}\) forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales, on a :

   \[P(A) = P\left(L \cap A\right) + P\left(\overline{L} \cap A\right) = 0.0021 + 0.0696 = 0.0717\]

   La probabilité que le bateau loué par un client choisi au hasard subisse une avarie est donc 0.0717.

   Puisque l'entreprise loue 1000 bateaux, elle peut s'attendre à \(1000 \times 0.0021 \approx 72\) avaries.

Partie C

1. Les paramètres de la loi binomiale suivie par \(X\) sont \(\boxed{n=40}\) et \(\boxed{p=0.42}\).

2. À l'aide de la calculatrice, on calcule \(P(X \geqslant 15)\) :

   \[\boxed{P(X \geqslant 15) \approx 0.768}\]

1. 1. \[u_1 = 5u_0 - 4 \times 0 - 3 = 5 \times 3 - 0 - 3 = 15 - 3 = \boxed{12}\]

      ;

   2. \[u_2 = 5u_1 - 4 \times 1 - 3 = 5 \times 12 - 4 - 3 = 60 - 7 = \boxed{53}\]

      ;

   3. Il semble que la suite \(\left(u_n\right)\) soit croissante et tende vers \(+\infty\).

2. 1. Soit \(P_n\) la proposition \(u_n \geqslant n+1\).

      Initialisation : \(u_0 = 3\) et \(0+1 = 1\).

      \(3 \geqslant 1\). La proposition est donc vraie au rang \(n=0\).

      Hérédité : on suppose la proposition vraie au rang \(n \in \mathbb{N}\),  \(u_n \geqslant n + 1\) (hypothèse de récurrence). On va vérifier qu'alors elle est vraie au rang suivant.

      \[\begin{aligned} u_n \geqslant n + 1 &\iff& 5u_n \geqslant 5(n+1)\\ &\iff& 5u_n - 4n - 3 \geqslant 5n + 5 - 4n - 3\\ &\iff& u_{n+1} \geqslant n + 2 = (n+1) + 1 \end{aligned}\]

      La proposition est donc héréditaire.

      Conclusion : la proposition \(P_n\) est vérifiée au rang \(n = 0\) et est héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n \geqslant n + 1\).

   2. On a : \(\lim\limits_{n \to +\infty}(n+1) = +\infty\). Puisque \(u_n \geqslant n+1\), par comparaison, on a :

      \[\boxed{\lim_{n \to +\infty}u_n = +\infty}\]
      À retenir :

      Si une suite \((u_n)\) vérifie \(u_n \geqslant v_n\) à partir d'un certain rang et si \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty\), alors \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).

3. 1. \[\begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+1}-(n+1) - 1\\ &= 5u_n - 4n - 3 - n - 1 - 1\\ &= 5u_n - 5n - 5\\ &= 5\left(u_n - n - 1\right)\\ &= 5v_n \end{aligned}\]

      La suite \(\left(v_n\right)\) est donc une suite géométrique de raison \(q=5\) et de premier terme \(v_0 = u_0 - 0 - 1 = 2\).

   2. Puisque \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique de raison \(5\) et de premier terme \(v_0=2\), on a :

      \[\boxed{v_n = 2 \times 5^n}\]

   3. \(v_n = u_n - n - 1 \iff u_n = v_n + n + 1\). Donc :

      \[\boxed{u_n = 2 \times 5^n + n + 1}\]

   4. Puisque \(5 > 1\), la suite de terme général \(5^n\) est strictement croissante, donc \(5^{n+1} \geqslant 5^n\).

      \[\begin{aligned} 5^{n+1} \geqslant 5^n &\iff& 2 \times 5^{n+1} \geqslant 2 \times 5^n\\ &\iff& 2\times 5^{n+1} + (n+1) + 1 \geqslant 2 \times 5^n + (n + 1) + 1\\ &\iff& u_{n+1} \geqslant 2 \times 5^n + n + 2\\ &\iff& u_{n+1} \geqslant 2 \times 5^n + n + 1\\ &\iff& u_{n+1} \geqslant u_n \end{aligned}\]

      La suite \(\left(u_n\right)\) est donc croissante.

4. 1. def suite(): u=3 n=0 while u<10**7: u= 5*u-4*n-3 n=n+1 return n

   2. u	n	u < 107
      3	0	VRAI
      12	1	VRAI
      53	2	VRAI
      254	3	VRAI
      1255	4	VRAI
      6256	5	VRAI
      31 257	6	VRAI
      156 258	7	VRAI
      781 259	8	VRAI
      3 906 260	9	VRAI
      19 531 261	10	FAUX

      La valeur renvoyée par cette fonction est \(n = 10\). C'est le rang à partir duquel \(u_n \geqslant 10^{7}\).

1. On a \(f(x) = (x+1)\mathrm{e}{x} = x\mathrm{e}{x} + \mathrm{e}{x}\). Donc les primitives de \(f\) sont de la forme \(F(x) = x\mathrm{e}{x} + c\) avec \(c \in \mathbb{R}\). Donc \(F(x) = 1 + x\mathrm{e}{x}\) est une primitive de \(f\).

   Réponse a.

2. \(\overrightarrow{u_1} \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \(\left(\text{d}_1\right)\) et \(\overrightarrow{u_2} \begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \(\left(\text{d}_2\right)\).

   On a \(\dfrac{1}{-1} \neq \dfrac{1}{1}\), donc \(\overrightarrow{u_1}\) et \(\overrightarrow{u_2}\) ne sont pas colinéaires. Les droites ne sont donc pas parallèles.

   Supposons qu'elle soient sécantes en un point A. Alors les coordonnées \((a~;~b~;~c)\) de A vérifient les deux représentations paramétriques :

   \(\left\{\begin{array}{rcl}a &=& 2 + r \\ b &=& 1 + r \\ c &=& -r\end{array}\right.\) et \(\left\{\begin{array}{rcl}a &=& 1 - s \\ b &=& -1 + s \\ c &=& 2 - s\end{array}\right.\).

   On a donc \(-r = 2 - s \iff r = s - 2\) et \(2 + r = 1 - s \iff 2 + s - 2 = 1 - s \iff 2s = 1 \iff s = \dfrac{1}{2}\).

   Donc : \(b = -1 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2}\), \(a = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\) et \(c = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\).

   Les deux droites sont sécantes en \(\text{A}\left(\dfrac{1}{2}~;~-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)\).

   Réponse a.

3. Un vecteur normal au plan (P) est \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\) et un vecteur directeur de \((\Delta)\) est \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\).

   On a : \(\overrightarrow{n}\cdot\vec{u} = 2 \times 1 - 1 \times 1 + 1 \times (-1) = 0\), donc \(\overrightarrow{n}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont orthogonaux. Donc (P) et \((\Delta)\) sont parallèles.

   S'il existe un point commun à (P) et \((\Delta)\), alors \((\Delta)\) est incluse dans (P).

   \((\Delta)\) passe par le point de coordonnées \((2~;~4~;~1)\). Or \(2 \times 2 - 4 + 1 - 1 = 0\), donc ce point est un point du plan (P). La droite \((\Delta)\) est donc incluse dans le plan (P).

   Réponse b.

4. Un vecteur normal à \(\left(\text{P}_1\right)\) est \(\overrightarrow{n_1} = \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\) et un vecteur normal à \(\left(\text{P}_2\right)\) est \(\overrightarrow{n_2} = \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\).

   On a \(\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{-2}{1}\), donc \(\overrightarrow{n_1}\) et \(\overrightarrow{n_2}\) ne sont pas colinéaires. Les plans ne sont donc pas parallèles. Ils sont donc sécants.

   De plus \(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 1 \times 2 - 2 \times 1 + 1 \times 1 = 1\), donc les vecteurs \(\overrightarrow{n}_1\) et \(\overrightarrow{n}_2\) ne sont pas orthogonaux. Les plans ne sont donc pas perpendiculaires.

   Réponse c.

5. On sait que \(\overrightarrow{\text{EF}} \cdot \overrightarrow{\text{EG}} = \left\|\overrightarrow{\text{EF}}\right\| \times \left\|\overrightarrow{\text{EG}}\right\| \times \cos \left(\overrightarrow{\text{EF}},~\overrightarrow{\text{EG}}\right) \iff \cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{\text{EF}} \cdot \overrightarrow{\text{EG}}}{\left\|\overrightarrow{\text{EF}}\right\| \times \left\|\overrightarrow{\text{EG}}\right\|}\)

   On a : \(\overrightarrow{\text{EF}}\begin{pmatrix}2-1\\4-2\\3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{EG}}\begin{pmatrix}-2-1\\2-2\\5-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}\). \(\overrightarrow{\text{EF}} \cdot \overrightarrow{\text{EG}} = 1 \times (-3) + 2 \times 0 + 2 \times 4 = 5\)

   \(\left\|\overrightarrow{\text{EF}}\right\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\)

   \(\left\|\overrightarrow{\text{EG}}\right\| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)

   Donc : \(\cos \alpha = \dfrac{5}{3 \times 5} = \dfrac{1}{3}\), soit \(\alpha \approx 71{^\circ}\) d'après la calculatrice. Réponse d.

1. 1. \(\lim\limits_{\substack{x \to 0\\x>0}}f(x) = \lim\limits_{\substack{x \to 0\\x>0}}\left[5x^2 + 2x - 2x^2\ln(x)\right]\)

      \[\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x \to 0}\left(5x^2+2x\right) = 0\\ \text{Par croissance comparée}\: \lim\limits_{\substack{x \to 0\\x>0}}x^2\ln(x) = 0 \end{array}\right\} \overset{\substack{\text{par} \\ \text{somme}}}{\implies} \lim_{\substack{x \to 0\\x>0}}\left[5x^2 + 2x - 2x^2 \ln (x)\right] = 0\] \[\boxed{\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}}f(x) = 0}\]

   2. \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty}\left[5x^2+2x-2x^2\ln (x)\right] = \lim\limits_{x \to +\infty}x^2\left[5+\dfrac{2}{x}-2\ln(x)\right]\)

      \[\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2}{x} = 0 \implies \lim\limits_{x \to +\infty}\left(5+\dfrac{2}{x}\right) = 5 \\ \lim\limits_{x \to +\infty}\ln(x) = +\infty \implies \lim\limits_{x \to +\infty}-2\ln(x) = -\infty \end{array}\right\} \overset{\substack{\text{par} \\ \text{somme}}}{\implies} \lim_{x \to +\infty}\left[5 + \dfrac{2}{x} - 2\ln (x)\right] = -\infty\] \[\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x \to +\infty}x^2 = +\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty}\left[5 + \dfrac{2}{x} - 2\ln (x)\right] = -\infty \end{array}\right\} \overset{\substack{\text{par} \\ \text{produit}}}{\implies} \lim_{x \to +\infty}x^2\left[5+\dfrac{2}{x}-2\ln(x)\right] = -\infty\] \[\boxed{\lim_{x \to +\infty}f(x) = -\infty}\]
2. \[\begin{aligned} f'(x) &= 5 \times 2x + 2 - 2 \left[ 2x \times \ln(x) + x^2 \times \dfrac{1}{x}\right] = 10x + 2 - 2\left[2x\ln(x) + x\right] = 10x + 2 - 4x\ln(x) - 2x\\ &= \boxed{8x + 2 - 4x\ln(x)} \end{aligned}\]
3. 1. \[f''(x) = 8 - 4\left[1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x}\right] = 8 - 4\ln (x) - 4 = 4 - 4\ln(x) = \boxed{4\left[1-\ln(x)\right]}\]

   2. La courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de ses tangentes si, et seulement si, \(f\) est convexe, ce qui équivaut à \(f''(x)\) est positif.

      \(f''(x) \geqslant 0 \iff 4\left[1-\ln(x)\right] \geqslant 0 \iff 1-\ln(x) \geqslant 0 \iff -\ln(x) \geqslant -1 \iff \ln(x) \leqslant 1 \iff x \leqslant \text{e}\) (car la fonction ln est strictement croissante sur \(\left]0~;~+\infty\right[\)).
      

      La courbe \(\mathcal{C}_f\) est donc au-dessus de ses tangentes sur l'intervalle \(\left]0~;~\text{e}\right]\).

   3. 

      \(f'(\text{e}) = 8\text{e} + 2 - 4\text{e} \ln(\text{e}) = 8\text{e} + 2 - 4\text{e} = 4\text{e} + 2\)

4. 1. Sur \(\left]0~;~\text{e}\right]\), la fonction \(f'\) est strictement croissante avec \(\lim\limits_{\substack{x \to 0\\x>0}}f'(x) = 2\), donc pour tout \(x \in {\left]0~;~\text{e}\right]}\),on a \(f'(x) > 0\).
      

      Sur \(\left[\text{e}~;~+_infty\right[\), la fonction \(f'\) est continue (puisque dérivable) et strictement décroissante. De plus, \(f(_text{e}) = 4\text{e} + 2 > 0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty}f'(x) = -\infty\). \(0 \in {\left]-\infty~;~4\text{e}+2\right[}\), donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f'(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) sur \(\left[\text{e}~;~+\infty\right[\).
      

      Au final, l'équation \(f'(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) sur \(\left]0~;~+\infty\right[\).
      

      On a :

      \[\boxed{7.87 < \alpha < 7.88}\]

   2. On sait que sur \(\left]0~;~\text{e}\right]\) on a \(f'(x) > 0\). Puisque \(f'\) est décroissante sur \(\left[\text{e}~;~+\infty\right[\) et qu'elle s'annule en \(\alpha\), \(f'(x) \geqslant 0\) sur \(\left[\text{e}~;~\alpha\right]\) et \(f'(x) \leqslant 0\) sur \(\left[\alpha~;~+\infty\right[\). Donc \(f'(x)\) est positif sur \(\left]0~;~\alpha\right]\) et négatif sur \(\left[\alpha~;~+\infty\right[\).

      

5. On a \(f''(\alpha) = 8\alpha + 2 - 4\alpha \ln(\alpha)\), donc :

   \[\begin{aligned} f'(\alpha) = 0 &\iff& 8\alpha + 2 - 4 \alpha \ln(\alpha) = 0\\ &\iff& 4\alpha\ln(\alpha) = 8\alpha + 2\\ &\iff& \ln(\alpha) = \dfrac{2(4\alpha+1)}{4\alpha} \qquad (\alpha \neq 0)\\ &\iff& \boxed{\ln(\alpha) = \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}} \end{aligned}\]

   On a donc :

   \[\begin{aligned} f(\alpha) &= 5\alpha^2 + 2\alpha - 2\alpha^2 \ln(\alpha) \\ &= 5\alpha^2 + 2\alpha - 2\alpha^2 \times \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha} \\ &= 5\alpha^2 + 2\alpha - \alpha(4\alpha + 1) \\ &= 5\alpha^2 + 2\alpha - 4\alpha^2 - \alpha \\ &= \boxed{\alpha^2 + \alpha} \end{aligned}\]

6. D'après la question 4.a., on a :

   \[\begin{aligned} 7.87 < \alpha < 7.88 &\iff& 61.9369 < \alpha^2 < 62.0944 \\ &\iff& 69.8069 < \alpha^2 + \alpha < 69.9744 \\ &\iff& \boxed{69.8069 < f(\alpha) < 69.9744} \end{aligned}\]