Sujet CRPE 2021 Mathématiques · Session supplémentaire Créteil : corrigé

A.1.a

Corrigé

Sur le diagramme, dans la catégorie « De 150 à 399 ruches », la barre de l’année 2017 atteint la graduation \(1\text{ }523\) sur l’axe des ordonnées.

En 2017, \(1\text{ }523\) apiculteurs possédaient entre 150 et 399 ruches.

Pour comprendre en détail

Une lecture attentive de la légende ou des couleurs permet d’identifier la bonne barre dans la bonne catégorie.

A.1.b

Corrigé

Le nombre total d'apiculteurs en 2017 est :

\(49\text{ }892 + 1\text{ }939 + 1\text{ }523 + 599 = 53\text{ }953\).

Il y avait donc \(53\text{ }953\) apiculteurs en France métropolitaine en 2017.

Pour comprendre en détail

Les quatre catégories sont disjointes et couvrent l'ensemble des apiculteurs, donc la somme des effectifs donne le total demandé.

A.1.c

Corrigé

Les apiculteurs possédant entre 50 et 399 ruches en 2016 sont ceux des catégories « de 50 à 149 ruches » et « de 150 à 399 ruches ».

En 2016, le graphique donne :

• catégorie 50 à 149 ruches : \(2\text{ }020\) apiculteurs ;
• catégorie 150 à 399 ruches : \(2\text{ }540\) apiculteurs.

On additionne ces deux valeurs : \(2\text{ }020 + 2\text{ }540 = 4\text{ }560\).

Il y avait donc \(4\text{ }560\) apiculteurs possédant entre 50 et 399 ruches en France métropolitaine en 2016.

Pour comprendre en détail

A.2.a

Corrigé

Il y a plus de 20 fois plus d’apiculteurs ayant moins de 50 ruches (49 892 en 2017) que dans les autres catégories (quelques centaines à 2 000) : à la même échelle, les autres barres seraient presque invisibles ; la barre est donc coupée (axe interrompu).

Pour comprendre en détail

La catégorie « moins de 50 ruches » concentre la très grande majorité des apiculteurs : sans cette rupture d’axe, les barres des catégories 50 à 149, 150 à 399 et plus de 400 ruches (de quelques centaines à environ 2 500) seraient écrasées près de zéro et le graphique perdrait toute information utile. C’est donc un choix de lisibilité du graphique, signalé par la barre coupée.

A.2.b

Corrigé

Une augmentation de \(10\text{,}4\ \%\) correspond au coefficient multiplicateur \(1+\dfrac{10\text{,}4}{100}=1\text{,}104\).

Soit \(n\) le nombre d'apiculteurs possédant moins de 50 ruches en 2016. On a : \(n \times 1\text{,}104 = 49\text{ }892\), donc \(n = \dfrac{49\text{ }892}{1\text{,}104} \approx 45\text{ }192\).

En 2016, il y avait environ \(45\text{ }192\) apiculteurs dans cette catégorie.

Pour comprendre en détail

Vérification : \(45\text{ }192 \times 1\text{,}104 \approx 49\text{ }892\) ; le résultat est arrondi à l'unité car il s'agit d'un nombre d'apiculteurs.

A.3

Corrigé

Les apiculteurs possédant au moins 150 ruches sont ceux des catégories « De 150 à 399 ruches » et « Plus de 400 ruches ».

• En 2016 : \(2\text{ }540 + 608 = 3\text{ }148\) apiculteurs.
• En 2017 : \(1\text{ }523 + 599 = 2\text{ }122\) apiculteurs.

Le taux d'évolution est donné par \(\dfrac{V_f - V_i}{V_i} \times 100\) :

\(\dfrac{2\text{ }122 - 3\text{ }148}{3\text{ }148} \times 100 \approx -32\text{,}6\).

Le pourcentage d'évolution du nombre d'apiculteurs possédant au moins 150 ruches de 2016 à 2017 est donc environ \(-32\text{,}6\,\%\), soit une diminution de \(32\text{,}6\,\%\).

Pour comprendre en détail

On peut aussi, pour vérifier, calculer le coefficient multiplicateur \(\dfrac{V_f}{V_i}\) et le comparer à 1 : s'il est inférieur à 1, le nombre a baissé.

B.1.a

Corrigé

Les segments [OF] et [OE] sont deux rayons du cercle de centre O, donc \(OF = OE\). Le triangle FOE est donc isocèle en O.

Comme ABCDEF est un hexagone régulier, les six angles au centre sont égaux, donc \(\widehat{EOF} = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ\).

Le triangle FOE est isocèle en O avec un angle de 60° ; il est donc équilatéral.

Pour comprendre en détail

On peut aussi justifier que les angles à la base valent chacun \(\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ\).

B.1.b

Corrigé

L’hexagone régulier ABCDEF est formé de six triangles équilatéraux de côté \(x\), tous isométriques au triangle FOE.

L’aire d’un triangle équilatéral de côté \(x\) est donnée par \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2\).

Donc l’aire de l’hexagone est :

\[ 6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2 = \dfrac{6\sqrt{3}}{4}x^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2 \]

L’aire de l’hexagone ABCDEF est donc \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2\).

Pour comprendre en détail

Le découpage en six triangles équilatéraux repose sur le fait que l’hexagone régulier est inscrit dans le cercle de centre O : les six angles au centre mesurent \(60^\circ\), donc les triangles formés avec deux sommets consécutifs et le centre sont équilatéraux.

B.1.c

Corrigé

Le périmètre d’un hexagone régulier de côté \(x\) est \(6x\). On a donc \(6x = 18\), d’où \(x = 3\ \text{mm}\).

D’après la question B.1.b, l’aire de l’hexagone est \(A = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2\). Pour \(x = 3\ \text{mm}\) : \(A = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \times 3^2 = \dfrac{27\sqrt{3}}{2}\ \text{mm}^2\). Or \(\dfrac{27\sqrt{3}}{2} \approx 23\text{,}38\), donc \(A \approx 23\text{,}38\ \text{mm}^2\).

Comme \(1\ \text{cm}^2 = 100\ \text{mm}^2\), on a \(23\text{,}38\ \text{mm}^2 = 0\text{,}2338\ \text{cm}^2\). En arrondissant au millième, on obtient \(A \approx 0\text{,}234\ \text{cm}^2\).

L’aire de l’hexagone, arrondie au millième près, vaut donc bien \(0\text{,}234\ \text{cm}^2\).

Pour comprendre en détail

L’hexagone régulier se décompose en six triangles équilatéraux identiques, ce qui justifie la formule utilisée.

L’arrondi au millième exige trois chiffres après la virgule ; ici le quatrième chiffre étant supérieur ou égal à 5, on arrondit au millième supérieur.

B.2.a

Corrigé

• la translation de vecteur \(\overrightarrow{OO_1}\) ;
• la symétrie centrale de centre le milieu du segment \([OO_1]\) ;
• la symétrie axiale d’axe \((O_2O_6)\), médiatrice de \([OO_1]\), qui contient le côté commun aux hexagones A et B.

Ces trois transformations permettent de passer de l’hexagone A à l’hexagone B.

Pour comprendre en détail

La translation est la transformation la plus directe : elle envoie le centre \(O\) sur \(O_1\) et conserve l’orientation des hexagones. La symétrie centrale de centre le milieu de \([OO_1]\) échange les deux centres et laisse globalement invariant le côté commun, donc échange les deux hexagones. La symétrie axiale d’axe \((O_2O_6)\) retourne A sur B car cette droite est la médiatrice de \([OO_1]\) et contient le côté commun.

B.2.b

Corrigé

La transformation qui permet de passer de l’hexagone A à l’hexagone C est la translation de vecteur \(3\,\overrightarrow{OO_1}\).

En effet, C est situé sur la même rangée, à droite de A, trois « pas » après A ; chaque pas correspondant à la translation de vecteur \(\overrightarrow{OO_1}\).

Pour comprendre en détail

Le déplacement élémentaire qui mène d’un hexagone à son voisin direct est donné par le vecteur \(\overrightarrow{OO_1}\). Comme C est situé trois positions plus loin sur la même rangée, on répète trois fois ce déplacement.

B.3.a

Corrigé

La contenance de l'alvéole est le volume \(V\) d'un prisme droit de base hexagonale régulière et de hauteur \(h=11\text{,}5\ \text{mm}\).

L'aire d'un hexagone régulier de côté \(c\) est \(A_{\text{base}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}c^2\). Avec \(c=3\ \text{mm}\) :

\(A_{\text{base}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\times 3^2=\dfrac{27\sqrt{3}}{2}\approx 23\text{,}38\ \text{mm}^2\).

Le volume du prisme est donc :

\(V=A_{\text{base}}\times h\approx 23\text{,}38\times 11\text{,}5\approx 268\text{,}9\ \text{mm}^3\).

La contenance d'une alvéole est donc environ \(270\ \text{mm}^3\).

Pour comprendre en détail

L'ouverture de l'alvéole ne change pas la contenance : celle-ci correspond au volume intérieur du prisme.

B.3.b

Corrigé

On sait que \(1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3 = 1\text{ }000\ \text{mm}^3\).

On convertit donc le volume donné :

\(270\ \text{mm}^3 = \dfrac{270}{1\text{ }000}\ \text{mL} = 0\text{,}27\ \text{mL}\).

La contenance d’une alvéole est donc \(0\text{,}27\ \text{mL}\).

Pour comprendre en détail

La conversion repose sur les équivalences entre unités de volume et de capacité : \(1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3\), donc \(1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3\). Un centimètre cube est le volume d’un cube de \(10\ \text{mm}\) de côté, soit \(10 \times 10 \times 10 = 1\text{ }000\ \text{mm}^3\).

B.3.c

Corrigé

L’échelle \(6 : 1\) est un agrandissement : les dimensions réelles sont multipliées par \(6\).

• côté de l’hexagone : \(3\ \text{mm} \times 6 = 18\ \text{mm}\) ;
• profondeur de l’alvéole : \(11\text{,}5\ \text{mm} \times 6 = 69\ \text{mm}\).

Le patron d’un prisme droit à base hexagonale ouvert sur une face comporte :

• un seul hexagone régulier de côté \(18\ \text{mm}\) ;
• six rectangles de \(18\ \text{mm}\) sur \(69\ \text{mm}\), correspondant aux six faces latérales.

On trace donc une rangée de six rectangles de \(18\ \text{mm}\) par \(69\ \text{mm}\), accolés par leurs grands côtés, puis on fixe l’hexagone de côté \(18\ \text{mm}\) sur l’un des petits côtés d’un rectangle.

Pour comprendre en détail

Pour tracer l’hexagone régulier, on peut tracer un cercle dont le rayon est égal au côté de l’hexagone, puis reporter six fois ce rayon sur le cercle.

C.1

Corrigé

Aire d’une alvéole carrée de côté \(5\ \text{mm}\) : \(5\ \text{mm} \times 5\ \text{mm} = 25\ \text{mm}^2\).

Dimensions d’un cadre : \(41\ \text{cm} = 410\ \text{mm}\) et \(26\text{,}5\ \text{cm} = 265\ \text{mm}\).

Aire d’une face de cadre : \(410 \times 265 = 108\text{ }650\ \text{mm}^2\).

Aire utile par cadre, avec ses deux faces : \(2 \times 108\text{ }650 = 217\text{ }300\ \text{mm}^2\).

Nombre d’alvéoles par cadre : \(\dfrac{217\text{ }300}{25} = 8\text{ }692\).

Pour 12 cadres : \(12 \times 8\text{ }692 = 104\text{ }304\).

Une telle ruche peut donc héberger environ \(104\text{ }304\) alvéoles, soit environ \(100\text{ }000\) alvéoles, ce qui valide l’estimation demandée.

Pour comprendre en détail

La modélisation par des carrés de \(5\ \text{mm}\) de côté est une approximation ; le résultat obtenu est un ordre de grandeur, pas une valeur exacte.

C.2

Corrigé

D’après la question B.3.b, une alvéole a une contenance d’environ \(0\text{,}27\ \text{mL}\).

Pour \(100\text{ }000\) alvéoles, le volume total est :

\(100\text{ }000 \times 0\text{,}27 = 27\text{ }000\ \text{mL}\).

Or \(1\ \text{L} = 1\text{ }000\ \text{mL}\), donc :

\(27\text{ }000\ \text{mL} = 27\ \text{L}\).

Le volume de miel pouvant être contenu dans l’ensemble des \(100\text{ }000\) alvéoles est donc environ \(27\ \text{L}\), arrondi au litre.

Pour comprendre en détail

Le résultat obtenu est déjà un nombre entier de litres, donc l’arrondi au litre n’introduit pas de nouvelle approximation ; il s’agit toutefois d’une estimation car la contenance d’une alvéole utilisée était elle-même arrondie.

C.3.a

Corrigé

D’après le document, 1 kg de miel nécessite 4 kg de nectar.

On convertit : \(25\ \text{g} = 0\text{,}025\ \text{kg}\).

Par proportionnalité, la masse de nectar nécessaire est :
\(0\text{,}025 \times 4 = 0\text{,}1\ \text{kg}\).

Or \(0\text{,}1\ \text{kg} = 100\ \text{g}\).

Les abeilles doivent donc récolter 100 g de nectar pour obtenir 25 g de miel.

Pour comprendre en détail

C.3.b

Corrigé

100 mL = \(0\text{,}1\ \text{L}\).

Masse de 100 mL de miel : \(1\text{,}4 \times 0\text{,}1 = 0\text{,}14\ \text{kg}\).

Masse de nectar nécessaire : \(4 \times 0\text{,}14 = 0\text{,}56\ \text{kg}\).

Les abeilles doivent donc récolter \(0\text{,}56\ \text{kg}\) de nectar.

Pour comprendre en détail

Pourquoi cette méthode : la masse volumique \(\rho\) relie une masse \(m\) à un volume \(V\) par \(m=\rho \times V\) ; il faut donc exprimer le volume en litres pour utiliser \(\rho=1\text{,}4\ \text{kg/L}\).

Attention : la question porte sur la masse de nectar, pas la masse de miel. Le document indique qu’il faut 4 kg de nectar pour produire 1 kg de miel, ce qui impose de multiplier la masse de miel obtenue par 4. Le corrigé officiel s’arrête à la masse de miel (\(0\text{,}14\ \text{kg}\)) et omet cette dernière étape.

Une erreur fréquente est d’oublier la conversion des millilitres en litres ou d’oublier le facteur 4.

C.3.c

Corrigé

Le volume de miel que peuvent contenir les alvéoles de la ruche Dadant à 12 cadres a été estimé à 27 L à la question C.2. La masse volumique du miel est \(1\text{,}4\ \text{kg/L}\).

On a \(m = \rho \times V\), donc :

\(m = 27\ \text{L} \times 1\text{,}4\ \text{kg/L} = 37\text{,}8\ \text{kg}\).

L'ensemble des alvéoles d'une ruche Dadant à 12 cadres peut contenir environ \(37\text{,}8\ \text{kg}\) de miel.

Pour comprendre en détail

Cette valeur est une estimation : la masse volumique du miel et le volume des alvéoles sont des données approchées. La cohérence peut se vérifier en remarquant que le miel est plus dense que l'eau.

C.3.d

Corrigé

D’après le document, il faut 4 kg de nectar pour fabriquer 1 kg de miel.

Une sortie d’abeille butineuse récolte \(6 \times 10^{-5}\) kg de nectar, donc le nombre de sorties nécessaires est :

\(\dfrac{4}{6 \times 10^{-5}} \approx 66\text{ }667\).

Chaque sortie correspond à une distance parcourue de 1 km, donc la distance totale est environ \(66\text{ }667 \times 1 = 66\text{ }667\) km, soit environ \(67\text{ }000\) km.

Pour comprendre en détail

On utilise ici une estimation : la masse de nectar par sortie est donnée comme une valeur fixe \(6 \times 10^{-5}\) kg, alors que le document indique une fourchette de fleurs butinées. L’arrondi final à \(67\text{ }000\) km est cohérent avec la précision des données.

C.3.e

Corrigé

D’après la question C.3.c, la masse de miel contenue dans la ruche est :

\(27 \times 1\text{,}4 = 37\text{,}8\ \text{kg}\).

D’après la question C.3.d, il faut parcourir environ \(67\text{ }000\ \text{km}\) pour produire \(1\ \text{kg}\) de miel.

La distance totale parcourue est donc :

\(37\text{,}8 \times 67\text{ }000 = 2\text{ }532\text{ }600\ \text{km}\).

Les abeilles parcourent donc environ \(2\text{,}5\) millions de kilomètres pour remplir les alvéoles de la ruche, soit plus de 60 fois le tour de la Terre.

Pour comprendre en détail

On combine ici deux résultats intermédiaires : la contenance de la ruche a été convertie en masse de miel grâce à la masse volumique (\(1\text{,}4\ \text{kg/L}\)), puis la question C.3.d a traduit cette masse en distance parcourue à raison de \(67\text{ }000\ \text{km}\) par kilogramme de miel.

Comme \(67\text{ }000\ \text{km}\) est une valeur arrondie, le résultat obtenu est lui aussi une estimation ; un calcul avec la valeur exacte \(\dfrac{4}{6\times10^{-5}} \approx 66\text{ }667\ \text{km}\) donnerait environ \(2\text{ }520\text{ }000\ \text{km}\), ce qui reste cohérent avec l’ordre de grandeur attendu.

1

Corrigé

Les quatre couleurs (rouge, verte, noire, bleue) couvrent toutes les issues possibles, donc la somme de leurs probabilités vaut \(1\).

\(P(\text{bleue}) = 1 - P(\text{rouge}) - P(\text{verte}) - P(\text{noire}) = 1 - \dfrac{1}{4} - 0\text{,}3 - 0\text{,}2 = 1 - 0\text{,}25 - 0\text{,}3 - 0\text{,}2 = 0\text{,}25\).

La probabilité de tirer une boule bleue est donc \(0\text{,}25\), soit \(\dfrac{1}{4}\) ou \(25\%\).

Pour comprendre en détail

On utilise le fait que les quatre couleurs forment une partition de l’univers : leurs probabilités ont une somme égale à \(1\). La probabilité cherchée est donc le complément à \(1\) des trois probabilités connues.

Autre méthode : exprimer toutes les probabilités en fractions (\(\dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{3}{10}\), \(\dfrac{1}{5}\)) permet d’obtenir le même complément à \(1\).

2

Corrigé

Les boules sont indiscernables au toucher : chaque boule a la même probabilité d’être tirée.

Les probabilités de tirer une boule rouge, verte et noire sont respectivement \(\dfrac{1}{4}=0\text{,}25\), \(0\text{,}3\) et \(20\%=0\text{,}2\).

La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1, donc :

\(P(\text{bleue}) = 1 - (0\text{,}25 + 0\text{,}3 + 0\text{,}2) = 1 - 0\text{,}75 = 0\text{,}25\).

Comme il y a 140 boules, on obtient :

• boules rouges : \(0\text{,}25 \times 140 = 35\)
• boules bleues : \(0\text{,}25 \times 140 = 35\)
• boules noires : \(0\text{,}2 \times 140 = 28\)
• boules vertes : \(0\text{,}3 \times 140 = 42\)

Il y a donc 35 boules rouges, 35 boules bleues, 28 boules noires et 42 boules vertes.

Pour comprendre en détail

On peut aussi raisonner avec des fractions sur 100 : \( \dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100} \), \( 0\text{,}3 = \dfrac{30}{100} \), \( 20\% = \dfrac{20}{100} \) ; la part restante est alors \( \dfrac{25}{100} \).

3.a

Corrigé

Notons \(R\) l’événement « tirer une boule rouge » et \(V\) l’événement « tirer une boule verte ».

On a \(P(R)=\dfrac14=0\text{,}25\) et \(P(V)=0\text{,}3\).

Les deux tirages sont successifs avec remise, donc les événements sont indépendants.

Ainsi \(P(R \text{ puis } V) = P(R) \times P(V) = 0\text{,}25 \times 0\text{,}3 = 0\text{,}075\).

La probabilité de tirer une boule rouge puis une boule verte est donc \(0\text{,}075\), soit \(7\text{,}5\,\%\).

Pour comprendre en détail

La clé est que le tirage « avec remise » rend les deux épreuves indépendantes : le second tirage se fait dans les mêmes conditions que le premier.

3.b

Corrigé

Notons \(R\) l’événement « tirer une boule rouge » et \(V\) l’événement « tirer une boule verte ». Les tirages sont avec remise, donc les deux tirages sont indépendants.

L’issue « une boule rouge et une boule verte » peut se réaliser de deux façons : rouge puis verte, ou verte puis rouge.

\(P(R \text{ puis } V) = 0\text{,}25 \times 0\text{,}3 = 0\text{,}075\)
\(P(V \text{ puis } R) = 0\text{,}3 \times 0\text{,}25 = 0\text{,}075\)

Donc \(P(\text{une rouge et une verte}) = 0\text{,}075 + 0\text{,}075 = 0\text{,}15\), soit \(2 \times 0\text{,}25 \times 0\text{,}3 = 0\text{,}15\).

La probabilité de tirer une boule rouge et une boule verte est \(0\text{,}15\).

Pour comprendre en détail

On peut aussi visualiser la situation avec un arbre de probabilités : les deux branches \(R \to V\) et \(V \to R\) sont les issues favorables.

3.c

Corrigé

Notons \(N\) l’issue « tirer une boule noire », \(R\) « tirer une boule rouge », \(V\) « tirer une boule verte » et \(B\) « tirer une boule bleue ».

Les tirages étant avec remise, ils sont indépendants. Les quatre issues favorables sont \((N\,;N)\), \((R\,;R)\), \((V\,;V)\) et \((B\,;B)\), qui sont incompatibles entre elles.

\(P(\text{deux boules de même couleur}) = P(N\,;N) + P(R\,;R) + P(V\,;V) + P(B\,;B)\)

\(= 0\text{,}20^2 + 0\text{,}25^2 + 0\text{,}30^2 + 0\text{,}25^2 = 0\text{,}04 + 0\text{,}0625 + 0\text{,}09 + 0\text{,}0625 = 0\text{,}255\).

La probabilité de tirer deux boules de la même couleur est donc \(0\text{,}255\), soit \(25\text{,}5\ \%\).

Pour comprendre en détail

On additionne les probabilités des issues favorables car elles sont disjointes : le tirage ne peut pas être à la fois deux boules rouges et deux boules bleues.

Autre approche possible : calculer la probabilité de l’événement contraire « deux couleurs différentes » puis utiliser le fait que la somme des probabilités vaut 1.

1

Corrigé

Algorithme 1 : \(2+3=5\) ; \(5 \times 5=25\) ; \(25-9=16\).

Algorithme 2 : \(2+6=8\) ; \(8 \times 2=16\).

Ainsi, avec un nombre de départ égal à 2, les deux algorithmes affichent 16.

Pour comprendre en détail

On applique les instructions séquentiellement, en lisant chaque bloc l’un après l’autre.

Autre vision possible : pour un nombre de départ \(x\), l’algorithme 1 calcule \((x+3)^2-9\) et l’algorithme 2 calcule \(x(x+6)\).

2

Corrigé

Algorithme 1 : \(1\text{,}2 + 3 = 4\text{,}2\) ; \(4\text{,}2^2 = 17\text{,}64\) ; \(17\text{,}64 - 9 = 8\text{,}64\).

Algorithme 2 : \(1\text{,}2 + 6 = 7\text{,}2\) ; \(7\text{,}2 \times 1\text{,}2 = 8\text{,}64\).

Avec le nombre de départ \(1\text{,}2\), chacun des deux algorithmes donne \(8\text{,}64\).

Pour comprendre en détail

On peut aussi remarquer que les deux expressions sont égales : \((x+3)^2-9 = x^2+6x\) et \((x+6)x = x^2+6x\), donc les deux algorithmes donnent toujours le même résultat pour n’importe quel nombre de départ \(x\).

3

Corrigé

Conjecture : les deux algorithmes donnent toujours le même résultat, quel que soit le nombre choisi au départ.

Notons \(x\) le nombre saisi.

Algorithme 1 :
On ajoute 3 : \(x+3\).
On élève au carré : \((x+3)^2\).
On soustrait 9 : \((x+3)^2-9\).

À l’aide de l’identité remarquable \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), on développe :
\((x+3)^2-9 = x^2+6x+9-9 = x^2+6x\).

Algorithme 2 :
On ajoute 6 : \(x+6\).
On multiplie par le nombre de départ : \((x+6)\times x\).

En développant :
\((x+6)\times x = x^2+6x\).

Les deux algorithmes conduisent donc à la même expression littérale \(x^2+6x\). La conjecture est démontrée : les deux algorithmes donnent toujours le même résultat.

Pour comprendre en détail

Pour démontrer une conjecture valable pour tous les nombres de départ, il ne suffit pas de vérifier quelques valeurs : on utilise une lettre \(x\) qui représente un nombre quelconque et on exprime le résultat de chaque programme.

Une vérification des questions précédentes (par exemple \(x=2\) donne \(16\) pour les deux algorithmes) confirme la cohérence, mais la démonstration générale repose sur l’égalité des expressions.

1

Corrigé

Dans le triangle \(AEG\), \(D\) est sur \([AE]\), \(F\) est sur \([AG]\) et les droites \((DF)\) et \((EG)\) sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès :

\[ \dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AF}{AG}=\dfrac{DF}{EG} \]

On a :

\(AD=AE-DE=12-1=11\) m ;

\(EG=BG-BE=11-5=6\) m.

Donc :

\[ \dfrac{11}{12}=\dfrac{DF}{6} \]

d’où :

\[ DF = 6 \times \dfrac{11}{12}=\dfrac{66}{12}=5\text{,}5 \]

La longueur de la bôme \([DF]\) est \(5\text{,}5\) m.

Pour comprendre en détail

Pour appliquer le théorème de Thalès, on vérifie les conditions : \(D\) est sur \([AE]\), \(F\) est sur \([AG]\) et \((DF)\) est parallèle à \((EG)\).

Une autre rédaction possible est d’écrire \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DF}{EG}\) puis d’effectuer un produit en croix.

2

Corrigé

Les droites (DF) et (EG) sont parallèles et (EG) est perpendiculaire à (AE). Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre, donc \((DF) \perp (AE)\).

Le triangle ADF est donc rectangle en D. De plus, \(AD = AE - DE = 12 - 1 = 11\) m. D’après la question 1, \(DF = 5\text{,}5\) m.

Aire de la grand-voile \(= \dfrac{1}{2} \times AD \times DF = \dfrac{1}{2} \times 11 \times 5\text{,}5 = 30\text{,}25\) m².

L’aire de la grand-voile est \(30\text{,}25\) m².

Pour comprendre en détail

Pourquoi cette méthode ? L’aire d’un triangle rectangle est la moitié du produit des deux côtés de l’angle droit. Ici, \(AD\) et \(DF\) sont ces côtés, donc il n’est pas nécessaire de chercher une autre hauteur.

3.a

Corrigé

Le triangle ADC est rectangle en D car \((AD) \perp (DC)\).
On a \(AD = AE - DE = 12 - 1 = 11\) m et \(DC = 1\) m.
Aire de ADC : \(\dfrac{1}{2} \times AD \times DC = \dfrac{1}{2} \times 11 \times 1 = 5\text{,}5\) donc \(5\text{,}5 \text{ m}^2\).

Le quadrilatère BCDE est un trapèze rectangle de bases parallèles \([BE]\) et \([CD]\), et de hauteur \([DE]\).
Aire de BCDE : \(\dfrac{(BE + CD) \times DE}{2} = \dfrac{(5 + 1) \times 1}{2} = 3\) donc \(3 \text{ m}^2\).

Conclusion : l’aire du triangle ADC est \(5\text{,}5 \text{ m}^2\) et celle du quadrilatère BCDE est \(3 \text{ m}^2\).

Pour comprendre en détail

Le calcul de l’aire du triangle utilise le fait que \((AD)\) et \((DC)\) sont perpendiculaires. Pour le quadrilatère, on applique la formule de l’aire d’un trapèze.

3.b

Corrigé

Le triangle \(ABE\) est rectangle en \(E\) car \((AE) \perp (BG)\) et les points \(B\), \(E\), \(G\) sont alignés.

Son aire est donc :
\(\dfrac{1}{2} \times AE \times BE = \dfrac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30\ \text{m}^2\).

Le foc \(ABC\) est la partie restante du triangle \(ABE\) après avoir enlevé le triangle \(ADC\) et le quadrilatère \(BCDE\).

Ainsi :
\(\text{Aire}(ABC) = \text{Aire}(ABE) - \text{Aire}(ADC) - \text{Aire}(BCDE)\)

\(\text{Aire}(ABC) = 30 - 5\text{,}5 - 3 = 21\text{,}5\ \text{m}^2\).

L’aire du foc \(ABC\) est donc bien \(21\text{,}5\ \text{m}^2\).

Pour comprendre en détail

La décomposition repose sur l’observation de la figure : le triangle \(ABE\) est partagé en trois pièces disjointes qui le recouvrent entièrement : le triangle \(ABC\), le triangle \(ADC\) et le quadrilatère \(BCDE\).

3.c

Corrigé

La trinquette est une réduction du foc de coefficient \(\dfrac45\).

Les aires sont donc multipliées par \(\left(\dfrac45\right)^2 = \dfrac{16}{25}\).

Aire du foc : \(21\text{,}5\ \text{m}^2\).

Aire de la trinquette :

\[

\dfrac{16}{25} \times 21\text{,}5 = \dfrac{344}{25} = 13\text{,}76

\]

L’aire de la trinquette est donc \(13\text{,}76\ \text{m}^2\).

Pour comprendre en détail

4

Corrigé

Coût chez le maître voilier local :

• \(86 \times 65\text{,}51 = 5\text{ }633\text{,}86\) €.

Coût à l'usine en Asie :

• Prix de base du tissu : \(64 \times 65\text{,}51 = 4\text{ }192\text{,}64\) €.
• Prix avec taxes d’importation (+ 32 %) : \(4\text{ }192\text{,}64 \times 1\text{,}32 = 5\text{ }534\text{,}28\) €.
• Masse des voiles : \(340\ \text{g/m}^2 = 0\text{,}34\ \text{kg/m}^2\), donc \(0\text{,}34 \times 65\text{,}51 \approx 22\text{,}3\ \text{kg}\), arrondie à l'unité : \(22\ \text{kg}\).
• Frais de port pour 22 kg : \(250\) €.
• Coût total : \(5\text{ }534\text{,}28 + 250 = 5\text{ }784\text{,}28\) €.

Comparaison : \(5\text{ }633\text{,}86 \lt 5\text{ }784\text{,}28\).

La solution la plus économique est le maître voilier local.

Pour comprendre en détail

Une autre présentation possible consiste à calculer séparément 32 % du prix de base puis à additionner cette taxe, plutôt que de multiplier directement par 1,32. L'écart entre les deux devis étant faible, il est important de conserver une précision suffisante dans les calculs.