2022Bac spé maths · Nouvelle-Calédonie · Jour 2

Principaux domaines abordés : Probabilités

1. 1. 

   2. \(p\left(\overline{D} \cap R\right) = p\left(\overline{D}\right) \times p_{\overline{D}}\left(R \right) = 0{,}75 \times 0{,}35 = 0{,}2625\).

   3. On a de même \(p(D \cap R) = p(D) \times p_D(R) = 0{,}25 \times 0{,}6 = 0{,}15\).

      D'après la loi des probabilités totales :

      \(p(R) = p(D \cap R) + p\left(\overline{D} \cap R\right) = 0{,}15 + 0{,}2625 = 0{,}4125\).

   4. Il faut trouver \(p_R\left(\overline{D}\right) = \dfrac{p\left(R \cap \overline{D}\right)}{p(R)} = \dfrac{0{,}2625}{0{,}4125}\approx 0{,}6364\), soit 0,64 au centième près.

2. 1. Les tirs sont indépendants et à chaque tir la probabilité de le réussir est égale à 0,35 : la variable aléatoire \(X\) égale au nombre de réussites suit donc une loi binomiale de paramètres \(n = 10\) et \(p = 0{,}35\).

   2. On a \(E = np = 10 \times 0{,}35 = 3{,}5\) : en moyenne sur \(20\) tirs Stéphanie en réussira \(7\).

   3. La calculatrice donne \(p(X \leqslant 6) \approx 0{,}97\).

   4. On a de même \(p(X \geqslant 6) \approx 0{,}095\).

3. La probabilité de rater \(n\) tirs à 3 points est égale à \(0{,}65^n\), donc elle d'en réussir un est \(1 - 0{,}65^n\).

   Il faut donc résoudre dans \(\mathbb{N}\), l'inéquation \(1 - 0{,}65^n \geqslant 0{,}99 \iff 0{,}01 \geqslant 0{,}65^n\), soit par croissance de la fonction logarithme népérien:

   \(\ln 0{,}01 \geqslant n\ln 0{,}62 \iff \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}65} \leqslant n\) (car \(\ln 0{,}65 < 0\)).

   Or \(\dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}65} \approx 10{,}69\) ; le plus petit naturel solution est donc 11 : Stéphanie doit tenter 11 tirs.

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme.

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0~;~+\infty[\) par :

1. 1. Somme de produits de fonctions dérivables sur \(]0~;~+\infty[\),   \(f\) est dérivable et sur cet intervalle :

      \(f'(x) = \ln x + x \times \dfrac1x - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x\).

   2. On a \(f(\text{e}) = \mathrm{e} \ln \mathrm{e} - \mathrm{e} - 2 = - 2\).

      De plus \(f'(\mathrm{e}) = \ln \mathrm{e} = 1\).

      On sait que \(M(x~;~y) \in (T) \iff y - (- 2) = 1(x - \mathrm{e}) \iff y = x - 2 - \mathrm{e}\).

   3. De \(f'(x) = \ln x\), on en déduit que \(f''(x) = \dfrac1x\).

      Comme \(x > 0\), on a donc \(f''(x) > 0\) sur \(]0~;~+\infty[\) : la fonction \(f\) est donc convexe sur cet intervalle.

   4. Le résulta précédent montre que la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au dessus de la tangente \(T\).

2. 1. On sait que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0\), que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x = 0\), donc par somme de limites \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - 2\)

   2. On a pour tout réel \(x \in ]0~;~+ \infty[\), on peut écrire :

      \(f(x) = x\left[\ln (x) - 1\right] - 2\).

      Comme \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x - 1 = + \infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty\), on a par produit de limites : \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty\).

3. On a \(f'(x) = \ln x\). On sait que :

   \(\bullet~~\)sur \(]0~;~1[, \: \ln x < 0\) : donc \(f\) décroit sur cet intervalle ;

   \(\bullet~~\)sur \(]1~;~+\infty[, \: \ln x > 0\) : donc \(f\) croit sur cet intervalle ;

   \(\bullet~~\)\(f(1) = - 1 - 2 = - 3\) est donc le minimum de \(f\) sur \(]0~;~+ \infty[\).

   D'où le tableau de variations :

   

4. 1. Le tableau de variations montre que sur l'intervalle \(]1~;~+ \infty[\), \(f\) est strictement croissante de \(- 3\) à plus l'infini.

      \(f\) étant continue car dérivable, le théorème des valeurs intermédiaires montre qu'il existe un réel unique \(\alpha\) de \(]1~;~+ \infty[\) tel que \(f(\alpha) = 0\).

   2. On a \(f(4{,}3) \approx - 0{,}028\) et \(f(4{,}4) \approx 0{,}119\).

      D'après le même théorème ceci montre que \(\alpha \in ]4{,}3~;~4{,}4[\).

   3. Conclusion :

      \(\bullet~~\)sur \(]0~;~\alpha[, \: f(x) < 0\) ;

      \(\bullet~~\)sur \(]\alpha~;~+ \infty[, \: f(x) > 0\) ;

      \(\bullet~~\)\(f(\alpha) = 0\).

5. La fonction seuil(0.01) renvoie la valeur 4,32.

   Ceci donne l'encadrement de \(\alpha\) au centième près : \(4{,}31 < \alpha < 4{,}32\).

Principaux domaines abordés : géométrie dans l'espace

1. B(6 ; 4 ; 0),   E(0 ; 4 ; 4),   F(6 ; 4 ; 4),   G(6 ; 0 ; 4).

2. On a \(\mathcal{A}(\text{EFGH}) = 6 \times 4 = 24\).

   La hauteur de la pyramide est égale à \(6 - 4 = 2\), donc :

   \(V(\text{EFGHS}) = \dfrac13 \times 24 \times 2 = 16\).

   D'autre part \(V(\text{ABCDEFGH}) = 6 \times 4 \times 4 = 96\).

   Le volume de la maison est donc égal à \(16 + 96 = 112\).

   Or \(\dfrac{V(\text{EFGHS})}{V(\text{maison})} = \dfrac{16}{112}\dfrac{4}{28} = \dfrac{1}{7}\).

3. 1. On a \(\overrightarrow{\text{EF}}\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{ES}}\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}\).

      \(\overrightarrow{\text{EF}}\cdot \overrightarrow{n} = 6 \times 0 + 0 \times 1 + 0 \times 1 = 0\) et

      \(\overrightarrow{\text{ES}}\cdot \overrightarrow{n} = 3 \times 0 - 2 \times 1 + 2 \times 1 = 0\).

      Le vecteur \(\overrightarrow{n}\) orthogonal à deux vecteurs manifestement non colinéaires du plan (EFS) est donc normal à ce plan.

   2. Le résultat précédent montre que :

      \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{EFS}) \iff 0x + 1y + 1z = d, \quad d \in \mathbb{R}\).

      Or, par exemple E(0 ; 4 ; 4) \(\in (\text{EFS}) \iff 0 + 4 + 4 = d \iff d = 8\).

      On a donc \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{EFS}) \iff y + z = 8.\)

4. 1. On a \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{PQ}) \iff \overrightarrow{\text{Q}M} = t\overrightarrow{k}, \quad (t \in \mathbb{R}) \iff \left\{\begin{array}{l c l} x - 2 &=& 0t\\ y - 3&=&0t\\ z - 5{,}5&=&1t \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2\\ y &=&3\\ z &=&5{,}5 + t \end{array}\right., \quad (t \in \mathbb{R})\).

   2. Les coordonnées du point P vérifient les équations paramétriques de la droite (PQ) et du plan (EFS), donc du système :

      \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2\\ y &=&3\\ z &=&5{,}5 + t\\ y + z &=& 8 \end{array}\right. \Rightarrow 3 + 5{,}5 + t = 8 \iff t = - 0{,}5\).

      Conclusion : P(2 ; 3 ; 5).

   3. On a PQ\(^2 = (2 - 2)^2 + (3 - 3)^2 + (5{,}5 - 5)^2 = 0{,}25\) , donc PQ \(= 0{,}5\).

5. \(\Delta\) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{\delta}\begin{pmatrix}6\\-4\\4\end{pmatrix}\) et la droite (PQ) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{k}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles.

   Elles sont sécantes s'il existe un point \(M(x~;~y~;~z)\) dont les coordonnées vérifient les équations des deux droites soit le système :

   \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2\\ y &=&3\\ z &=&5{,}5 + t\\ x & =& -4 + 6s\\ y &=& 7 - 4s\\ z &=& 2 + 4s \end{array}\right.\)

   On en déduit (équations 1 et 4) que \(2 = - 4 + 6s \iff 6 = 6s \iff s = 1\) et (équations 3 et 6) que \(5{,}5 + t = 2 + 4 \iff t = 0{,}5.\)

   Il existe donc un point commun aux deux droites de coordonnées (2 ; 3 ; 6)

   Reprenons les équations paramétriques de la droite (PQ) : \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{PQ}) \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2\\ y &=&3\\ z &=&5{,}5 + t \end{array}\right., \quad (t \in \mathbb{R})\)

   L'abscisse et l'ordonnée de tous les points de cette droite sont fixes, seule la cote varie de 5 pour P (correspondant à \(t = -0{,}5\) à 5,5 pour Q (correspondant à \(t = 0\)) ; autrement dit les points du segment vérifient le système :

   \(M(x~;~y~;~z) \in [\text{PQ}] \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2\\ y &=&3\\ z &=&5{,}5 + t \end{array}\right., \quad (-0{,}5 \leqslant t \leqslant 0)\).

   Le point commun aux deux droites correspond lui à \(t = 0{,}5\), donc n'appartient pas au segment [PQ] : autrement dit l'oiseau ne va pas percuter l'antenne représentée par le segment [PQ]. (il va passer 0,5 unité au dessus de [PQ]).

Principaux domaines abordés : suites, fonctions, primitives

1. \[u_n = \dfrac{(- 1)^n}{n + 1}.\]

   On a \(- 1 \leqslant (- 1)^n \leqslant 1\), donc puisque \(n+1 \geqslant 1 > 0\) et que \(\dfrac{1}{n 1} > 0\), on en déduit que pour tout naturel :

   \[- \dfrac{1}{n+1} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}\]

   La suite \(\left(u_n\right)\) encadrée par deux suites ayant pour limite 0 a pour limite 0.

Dans les questions 2 et 3, on considère deux suites \(\left(v_n\right)\) et \(\left(w_n\right)\) vérifiant la relation :

On a \(w_0 = \mathrm{e}^{- 2v_0} + 2 = \mathrm{e}^{- 2\ln (a)} + 2 = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{2\ln(a)}} + 2= \dfrac{1}{\mathrm{e}^{\ln \left(a^2\right)}} + 2 = \dfrac{1}{a^2} + 2\).

1. On sait que la suite \(\left(v_n\right)\) est croissante. On peut affirmer que la suite \(\left(w_n\right)\) est :

   On a successivement :

   \(v_n \leqslant v_{n+1} \Rightarrow 2v_n \leqslant 2v_{n+1} \Rightarrow - 2v_{n+1} \leqslant - 2v_n\Rightarrow \mathrm{e}^{- 2v_{n+1}} \leqslant \mathrm{e}^{- 2v_n}\) par croissance de la fonction exponentielle et enfin \(\mathrm{e}^{- 2v_{n+1}} + 2 \leqslant \mathrm{e}^{- 2v_n} + 2\), soit \(w_{n+1} \leqslant w_n\) : la suite \(\left(w_n\right)\) est décroissante.

   D'autre part on sait que quel que soit le réel\(\alpha, \: \mathrm{e}^{\alpha} > 0\) donc la suite est minorée par 2.

2. \[a_0 = 2 \:\:\text{et, pour tout entier naturel}\: n, \quad a_{n+1} = \dfrac13a_n + \dfrac83.\]

   Soit la suite \(\left(b_n\right)\) définie pour tout naturel \(n\) par \(b_n = a_n + \alpha\).

   Alors \(b_{n+1} = a_{n+1} + \alpha = \dfrac13a_n + \dfrac83 + \alpha = \dfrac13\left(b_n - \alpha \right) + \dfrac83 + \alpha = \dfrac13b_n - \dfrac{\alpha}{3} + \dfrac83 + \alpha = \dfrac13b_n + \dfrac{8 + 2\alpha}{3}\).

   Prenons \(\alpha = - 4\), alors \(b_{n+1} = \dfrac13b_n\) : cette égalité montre que la suite \(\left(b_n\right)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac13\) et de premier terme \(b_0 = a_0 + \alpha = 2 - 4 = - 2\).

   On sait qu'alors que, quel que soit le naturel \(n\),   \(b_n = b_0 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = - 2 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\).

   Finalement \(b_n = a_n - 4 \iff a_n = 4 + b_n = 4 - 2\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\).

3. On considère une suite \(\left(b_n\right)\) telle que, pour tout entier naturel \(n\), on a :

   \[b_{n+1} = b_n + \ln \left(\dfrac{2}{\left(b_n \right)^2 + 3}\right).\]

   On a quel que soit le naturel \(n\),   \(b_{n+1} - b_n = \ln \left(\dfrac{2}{\left(b_n \right)^2 + 3}\right)\).

   Or quel que soit le réel \(b_n\),   \(b_n^2 \geqslant 0\), donc \(\left(b_n\right)^2 + 3 \geqslant 3 > 2\), donc \(\dfrac{2}{\left(b_n \right)^2 + 3} < 1\) et enfin \(\ln \left(\dfrac{2}{\left(b_n \right)^2 + 3}\right) < 0\).

   Conclusion : \(b_{n+1} - b_n < 0\) montre que la suite \(\left(b_n\right)\) est décroissante.

4. \[g(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{x}.\]

   \(\bullet~~\)Au voisinage de zéro : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \mathrm{e}^x = 1\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0}x = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = +\infty\) : géométriquement l'axe des ordonnées est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_g\).

   \(\bullet~~\)Au voisinage de plus l'infini : on sait que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty\), donc pas d'asymptote.

5. \[f(x) = x\mathrm{e}^{x^2+1}.\]

   En posant \(u(x) = x^2 + 1\), on a \(u'(x) = 2x\) et l'on peut écrire \(f(x) = \dfrac12 \times 2x \times \mathrm{e}^{x^2+1} = \dfrac12 u'\mathrm{e}^u\) : on reconnait la dérivée de \(\dfrac12\mathrm{e}^u = \dfrac12\mathrm{e}^{x^2 + 1}\).

   Donc \(F(x) = \dfrac12\mathrm{e}^{x^2+1}\).