2022Bac spé maths · Nouvelle-Calédonie · Jour 1

1. 1. On a \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = \displaystyle\lim_{x \to 0} - 6x = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to 0} - 4\ln x = - \infty\) et par somme de limites : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty\).

      Graphiquement ce résultat montre que la droite d'équation \(x = 0\) (axe des ordonnées est asymptotoe verticale à \(\mathcal{C}_f\) au voisinage de 0.

   2. On a puisque \(x > 0\),   \(x^2 - 6x = x^2\left(1 - \dfrac{6}{x}\right)\).

      \(\bullet~\)\(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{6}{x} = 0\), donc

      \(\bullet~\)\(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \dfrac{6}{x} = 1\) (par somme de limites), puis

      \(\bullet~\)\(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty\), d'où

      \(\bullet~\)\(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x^2\left(1 - \dfrac{6}{x}\right) = + \infty\) (par produit de limites) ; enfin

      \(\bullet~\)\(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln (x) = + \infty\), donc finalement :

      \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty\) (par somme de limites).

2. 1. Sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\),   \(f\) est dérivable et sur cet intervalle :

      \(f'(x) = 2x - 6 + 4 \times \dfrac1x = \dfrac{2x^2 - 6x + 4}{x}\).

   2. Comme \(x > 0\), le signe du quotient est celui du numérateur, donc du trinôme \(2x^2 - 6x + 4\) ou plus simplement du trinôme \(x^2 - 3x + 2\).

      Celui-ci a une racine évidente : 1 et l'autre 2 (puisque le produit des racines est 2).

      On alors que \(f'(x)\) est positif sauf sur l'intervalle ]1 ; 2[ où \(f'(x) < 0\)

      La fonction \(f\) est donc croissante sauf sur l'intervalle ]1 ; 2[ où elle est décroissante.

      On a \(f(1) = 1 - 6 + 4\ln 1 = 0 - 5 = - 5\) et \(f(2) = 4 - 12 + 4\ln 2 = 4\ln 2 - 8 \approx - 5{,}23\).

      D'où le tableau de variations :

      

3. \(\bullet~~\)On a \(f(4) = 16 - 24 + 4\ln 4 = - 8 + 8\ln 2 \approx - 2{,}45\) et \(f(5) = 25 - 30 + 4\ln 25 = 4\ln 5 - 5 \approx 1{,}44\) ;

   \(\bullet~~\)Sur l'intervalle [4 ; 5], la fonction est continue car dérivable et strictement croissante de \(f(4) < 0\) à \(f(5) > 0\), donc :

   d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique \(\alpha \in ]4~;~5[\) tel que \(f(\alpha) = 0\).

4. \(f''(x) = \dfrac{2x^2 - 4}{x^2}\).

   1. On a \(2x^2 - 4 = 0 \iff 2\left(x^2 - 2 \right) = 0 \iff x^2 - 2 = 0 \iff \left(x + \sqrt 2 \right)\left(x - \sqrt 2 \right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l}x + \sqrt 2 = 0\\x - \sqrt 2= 0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}x = - \sqrt 2\\x = \sqrt 2 \end{array}\right.\)

      Le trinôme, donc \(f''(x)\) est positif sauf sur l'intervalle \(\left]-\sqrt 2~;~\sqrt{2}\right[\) ou ici puisque \(x > 0, \: f''(x)\) est positif sauf sur l'intervalle \(\left]0~;~\sqrt{2}\right[\). Conclusion :

      \(\bullet~~\) Sur l'intervalle \(\left]0~;~\sqrt 2\right]\), \(f''(x) < 0\), la fonction \(f\) est concave ;

      \(\bullet~~\) Sur l'intervalle \(\left]\sqrt 2~;~+ \infty\right]\), \(f''(x) > 0\), la fonction \(f\) est convexe ;

      \(\bullet~~\)\(f''\left(\sqrt 2\right) = 0\) : le point d'abscisse \(\sqrt 2\), donc d'ordonnée \(f\left( \right) = 2 - 6\sqrt 2 + 4 \ln \sqrt 2 = 2 - 6\sqrt 2 + 4 \times \dfrac12\ln 2 = 2 - 6\sqrt 2 + 2\ln 2\) est le point d'inflexion de \(\mathcal{C}_f\), car en ce point la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.

   2. \(\bullet~~\)Pour \(k \in ]0~;~\sqrt 2[\), [A\(M_k]\) est une corde de la courbe d'une fonction concave donc [A\(M_k\)] est en dessous de \(\mathcal{C}_f\).

      \(\bullet~~\)Pour \(k \in ]\sqrt 2~;~ +\infty[\), [A\(M_k\)] est une corde de la courbe d'une fonction convexe donc [A\(M_k\)] est au-dessus de \(\mathcal{C}_f\).

1. On définit la suite \(\left(u_n\right)\) par \(u_0 = - 1\) et, pour tout entier naturel \(n,\: u_{n+1} = f\left(u_n\right)\).

   1. \(\bullet~~\)\(u_1 = (- 1)^3 \mathrm{e}^{-1} = - \mathrm{e}^{-1} = - \dfrac{1}{\mathrm{e}} \approx - 0{,}368\) ;

      \(\bullet~~\)\(u_2 = f\left(u_1\right) = \left(- \mathrm{e}^{-1}\right)^3\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-1}}\right) = - \mathrm{e}^{-3} \times \left(\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-1}}\right) = - \mathrm{e}^{- 3 - \mathrm{e}^{-1}} \approx - 0{,}034\).

   2. On a fonc(2)\(= u_2 \approx - 0{,}034\).

2. 1. En dérivant \(f(x)\) comme un produit on obtient :

      \(f'(x) = 3x^2 \mathrm{e}^x + x^3\mathrm{e}^x = x^2\mathrm{e}^x(3 + x)\).

   2. 

      \(\bullet~~\)Quel que soit le réel \(x\),   \(x^2 \geqslant 0\) et \(\mathrm{e}^x > 0\), donc le signe de \(f'(x)\) est celui de \(3 + x\) qui s'annule pour \(x = - 3\), d'où les deux intervalles de variations ;

      \(3 + x < 0 \iff x <- 3\) : sur \(]- \infty~;~-3[,\: f'(x) < 0\) : la fonction \(f\) est donc décroissante sur \(]- \infty~;~- 3[\) ;

      \(3 + x > 0 \iff x >- 3\) : sur \(]- 3~;~+\infty[,\: f'(x) > 0\) : la fonction \(f\) est donc croissante sur \(]- 3~;~+\infty[\) ;

      \(f(- 3) = (- 3)^3 \times \mathrm{e}^{-3} = - 27\mathrm{e}^{-3} = - \dfrac{27}{\mathrm{e}^3} \approx - 1{,}344\) est le minimum de la fonction sur \(\mathbb{R}\).

      \(\bullet~~\) On a \(f(0) = 0^3 \times \text{e}^0 = 0 \times 1 = 0\) ;

      \(\bullet~~\) De \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^3 = + \infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \mathrm{e}^{x} = + \infty\), on a par produit de limites

      \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty\).

   3. Initialisation : avec \(u_0 = - 1\) et \(u_1 \approx - 0{,}368\), on a bien : \(- 1 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 0\) : l'encadrement est vrai au rang \(0\).

      Hérédité : soit \(n \in \mathbb{N}\) et supposons que \(- 1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0\).

      On a vu que sur l'intervalle \(]- 3~;~+\infty[\), donc a fortiori sur l'intervalle \(]- 1~;~+ \infty[\), la fonction est strictement croissante.

      On a donc par croissance de \(f\) : \(f(- 1) \leqslant f\left(u_n\right) \leqslant f\left(u_{n+1}\right)\leqslant f(0)\), ou encore :

      \(u_1\leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant f(0)\)

      et comme \(u_1 \approx -0{,}338, \: \: - 1 \leqslant u_1\) et \(f(0) = 0\), on a bien :

      \(- 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 0\).

      La relation est vraie au rang \(n + 1\).

      Conclusion : l'encadrement est vrai au rang \(0\) et s'il est vrai au rang \(n,\:\:n \in \mathbb{N}\), il est encore vrai au rang \(n + 1\) : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0\).

   4. La question précédente montre que :

      \(\bullet~~\)la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante ;

      \(\bullet~~\)la suite \(\left(u_n\right)\) est majorée par \(0\) ;

      La suite \(\left(u_n\right)\) est donc convergente vers une limite \(\ell\), avec \(\ell \leqslant 0\).

   5. On résout dans \(]- 1~;~0[\), (car d'après la question précédente tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle) l'équation :

      \(f(x) = x \iff x^3\mathrm{e}^x = x \iff x^3\mathrm{e}^x - x = 0 \iff x\left(x^2\mathrm{e}^x - 1 \right) = 0 \iff x = 0\), car on admet que l'équation \(x^2\mathrm{e}^x - 1 = 0\) n'a pas de solution dans l'intervalle \(]- 1~;~0[\).

      Conclusion \(\ell = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0\).

1. On a \(\overrightarrow{\text{AG}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AD}} + \overrightarrow{\text{AE}} = 3\overrightarrow{\imath} + 2\overrightarrow{\jmath} + \overrightarrow{k}\). Donc G(3 ; 2 ; 1).

2. On sait que \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{EHI}) \iff 2x + 0y - 3z = d\), avec \(d \in \mathbb{R}\).

   Ainsi, par exemple E\((0~;~0~;~1) \in (\text{EHI}) \iff 2\times 0 + 0\times 0 - 3\times 1 = d \iff d = -3\).

   Donc \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{EHI}) \iff 2x - 3z = -3\)

3. Puisque (EIF) est isocèle en I le projeté orthogonal de I sur [EF] est le milieu de [EF] ; ces deux points ont donc la même abscisse qui est aussi celle du milieu de [AB] soit \(\dfrac32\).

   L'ordonnée de I est aussi celle de E soit \(0\), enfin

   I\(\left(\dfrac32~;~0~;~z\right) \in (\text{EHI}) \iff 2 \times \dfrac32 - 3z = - 3\iff 3z = 3 + 3 \iff z = 2\). Donc I\(\left(\dfrac32~;~0~;~2\right)\).

4. \(\bullet~~\) Avec le produit scalaire : avec E(0 ; 0 ; 1) et F(3 ; 0 ; 1), on a \(\overrightarrow{\text{IE}}\begin{pmatrix}-\dfrac32\\0\\- 1\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{\text{IF}}\begin{pmatrix}\dfrac32\\0\\- 1\end{pmatrix}\), donc :

   IE\(^2 = \dfrac94 + 0 + 1 = \dfrac{13}{4}\), d'où IE \(= \dfrac{\sqrt{13}}{2}\) ;

   IF\(^2 = \dfrac94 + 0 + 1 = \dfrac{13}{4}\), d'où IF \(= \dfrac{\sqrt{13}}{2}\) ;

   Donc \(\overrightarrow{\text{IE}} \cdot \overrightarrow{\text{IF}} = \text{IE} \times \text{IF} \times \cos \left(\overrightarrow{\text{IF}}~;~ \right)\), soit :

   \(- \dfrac94 + 0 + 1 = \dfrac{\sqrt{13}}{2} \times \dfrac{\sqrt{13}}{2} \times \cos \left(\overrightarrow{\text{IE}}~;~ \overrightarrow{\text{IF}}\right) \iff \dfrac{-5}{4} = \dfrac{13}{4}\times \cos \left(\overrightarrow{\text{IE}}~;~ \overrightarrow{\text{IF}}\right)\).

   Finalement \(\cos \left(\overrightarrow{\text{IE}}~;~ \overrightarrow{\text{IF}}\right) = \dfrac{\dfrac{-5}{4}}{\dfrac{13}{4}} = - \dfrac{5}{13}\). La calculatrice donne \(\left(\overrightarrow{\text{IE}}~;~ \overrightarrow{\text{IF}}\right) \approx 112{,}6^\circ\).

   \(\bullet~~\) Avec le triangle (IEL) rectangle en L (L projeté orthogonal de I sur (EF) :

   On a L\(\left(\dfrac32~;~0~;~1\right)\), donc IL\(^2 = 0 + 0 + 1^2 = 1\), d'où IL \(= 1\) ;

   On a vu que EI\(= \dfrac{\sqrt{13}}{2}\), d'où \(\cos \left(\widehat{\text{EIL}} \right) = \dfrac{\text{IL}}{\text{IE}} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{13}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}\) : la calculatrice donne

   \(\left(\widehat{\text{EIL}} \right) \approx 56{,}30^\circ\) ; donc \(\widehat{\text{EIF}} = 2\widehat{\text{EIL}}\approx 2 \times 56{,}30\), soit finalement \(\widehat{\text{EIF}} \approx 112{,}6^\circ\).

5. 1. On sait que \(M(x~;~y~;~z) \in \Delta \iff \overrightarrow{\text{R}M} = t \overrightarrow{u} \iff \left\{\begin{array}{l c l} x - 6&=&- 3t\\ y + 3&=&4t\\ z + 1&=&1t \end{array}\right.,\:\: (t \in \mathbb{R})\iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&\phantom{-}6 - 3t\\ y &=&- 3 + 4t\\ z &=&- 1 + \phantom{3}t \end{array}\right.,\quad (t \in \mathbb{R})\).

   2. K\((x~;~y~;~z)\) est commun à \(\Delta\) et au plan (BFG) si ses coordonnées vérifient les équations paramétriques de \(\Delta\) et l'équation cartésienne du plan (BFG) soit si le triplet de réels \((x~;~y~;~z)\) vérifie le système :

      \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&6 - 3t\\ y &=&- 3 + 4t\\ z &=&- 1 + t\\ x &=& 3 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 3 &=&6 - 3t\\ y &=&- 3 + 4t\\ z &=&- 1 + t\\ x &=& 3 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 3t &=&3\\ y &=&- 3 + 4t\\ z &=&- 1 + t\\ x &=& 3 \end{array}\right.\iff\)

      \(\left\{\begin{array}{l c l} t &=&1\\ y &=&- 3 + 4\\ z &=&- 1 + 1\\ x &=& 3 \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} t &=&1\\ y &=&1\\ z &=&0\\ x &=&3 \end{array}\right.\)

      Conclusion : K\((3~;~1~;~0)\).

   3. Avec B(3 ; 0 ; 0) et C(3 ; 2 ; 0) on remarque que les coordonnées de K sont les demi-sommes des coordonnées de B et de C, donc que K est le milieu du segment [BC].

Principaux domaines abordés : probabilités.

On peut compléter l'arbre pondéré :

On sait que:

\(p\left(E_0\right) = 0{,}4 ;\quad p_{R_0}\left(R_1\right) = 0{,}01 ;\quad p_{R_1}\left(R_0\right) = 0{,}02\).

On rappelle que la probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\) est notée \(p_B(A)\).

On peut ainsi représenter la situation par l'arbre de probabilités ci-dessus.

1. \(p\left(E_0 \cap R_0\right) = p\left(E_0 \right) \times p_{E_0}\left(R_0 \right) = 0{,}4 \times 0{,}99 = 0{,}396\).

2. On a aussi \(p\left(E_1 \cap R_0\right) = p\left(E_1 \right) \times p_{E_1}\left(R_0 \right) = 0{,}6 \times 0{,}02 = 0{,}012\).

   D'après la loi des probabilités totales : \(p\left(R_0\right) = p\left(E_0 \cap R_0\right) + p\left(E_1 \cap R_0\right) = 0{,}396 + 0{,}012 = 0{,}408\).

3. Avec \(p\left(R_1 \right) = 1 - p\left(R_0\right) = 1 - 0{,}408 = 0{,}592\) ;

   \(p_{R_1}\left(E_0\right) = \dfrac{p\left(R_1 \cap E_0 \right)}{p\left(R_1\right)} = \dfrac{p\left(E_0 \cap R_1 \right)}{p\left(R_1\right)} = \dfrac{0,4 \times 0{,}01}{0,592} = \dfrac{0,004}{0,592} \approx 0{,}0067\), soit environ 0,007 au millième près.

4. On a \(p(\text{erreur de transmission}) = p\left(E_0 \cap R_1\right) + p\left(E_1 \cap R_0\right) = 0{,}4 \times 0{,}01 + 0{,}6 \times 0{,}02 = 0{,}004 + 0{,}012 = 0{,}016\).

Un message de longueur huit bits est appelé un octet.

On admet que la probabilité qu'un octet soit transmis sans erreur est égale à 0,88.

1. On a une loi binomiale de paramètres \(n = 10\) et \(p = 0{,}88\). Si \(x\) est la variable aléatoire égal au nombre d'octets transmis sans erreur, on a :

   \(p(X = 7) = \binom{10}{7}\times 0{,}88^7 \times (1 - 0{,}88)^{10-7} = \binom{10}{7}\times 0{,}88^7 \times (0{,}12)^{3} \approx 0{,}0847\) soit 0,085 au millième près.

2. On a \(p(X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - \binom{10}{0}0{,}88^{0} \times 0{,}12^{10} = 1 - 0{,}12^{10}\).

3. On a \(p(X = 18) = 0{,}88^{18} \approx 0{,}109 > 0{,}1\). Donc \(N_0 = 18\).