Annales Bac · Spécialité mathématiques › 2026
2026Bac spé maths · Antilles-Guyane · Jour 1
Épreuve écrite de spécialité mathématiques, série générale · 16 juin 2026
Exercice 1 (4 pts)
Partie A
L'agence de sûreté nucléaire ASNR contrôle les installations des centrales nucléaires afin de garantir leur sécurité et leur conformité. La fréquence des contrôles dépend de l'état du réacteur.
On considère que dans le parc nucléaire français :
20 % des réacteurs sont en arrêt pour maintenance ;
5 % des réacteurs fonctionnent au ralenti ;
le reste des réacteurs du parc nucléaire est en état de fonctionnement normal.
On considère également que parmi les réacteurs en arrêt, 85 % sont contrôlés et que parmi les réacteurs fonctionnant au ralenti, 60 % sont contrôlés.
On choisit au hasard un réacteur dans le parc nucléaire français, et on note :
\(A\) l'évènement « Le réacteur est en arrêt » ;
\(R\) l'évènement « Le réacteur fonctionne au ralenti » ;
\(N\) l'évènement « Le réacteur fonctionne normalement » ;
\(C\) l'évènement « Le réacteur subit un contrôle ».
Pour un évènement quelconque \(E\), on désigne par \(\overline{E}\) son évènement contraire et par \(P(E)\) sa probabilité.
On note \(x\) la probabilité que le réacteur subisse un contrôle sachant qu'il fonctionne normalement, c'est–à–dire \(x = P_N(C)\).
Recopier l'arbre des probabilités ci-contre en complétant les pointillés à l'aide des données de l'énoncé.
Calculer la probabilité que le réacteur soit en arrêt et qu'il subisse un contrôle.
On sait de plus que la probabilité qu'un réacteur du parc nucléaire soit contrôlé est égale à \(0{,}35\).
Montrer que la probabilité \(x\) est égale à \(0{,}2\).
Le réacteur choisi subit un contrôle. Déterminer la probabilité qu'il fonctionne normalement.
Partie B
Dans le Sud de la France, on compte 12 réacteurs nucléaires qu'on numérote de 1 à 12.
On sait que lorsque le réacteur fonctionne normalement, sa production journalière est égale à 16 GWh (gigawattheure), lorsque le réacteur fonctionne au ralenti, sa production journalière est réduite à 10 GWh et enfin lorsque le réacteur est à l'arrêt, sa production journalière est nulle.
On rappelle que \(P(N) = 0{,}75\), \(P(R) = 0{,}05\) et \(P(A) = 0{,}20\).
On désigne par \(X\) la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh d'un réacteur.
Recopier le tableau ci-dessous et compléter les pointillés donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\). On notera \(k\) les valeurs prises par la variable aléatoire \(X\) et \(p_k\) les probabilités égales à \(P(X=k)\).
\(k\) \(0\) \(\ldots\) \(\ldots\) \(p_k\) \(0{,}20\) \(\ldots\) \(\ldots\) Montrer que l'espérance \(E(X)\) de la variable aléatoire \(X\) est égale à \(12{,}5\) et que sa variance \(V(X)\) est égale à \(40{,}75\).
Pour tout entier naturel \(i\) compris entre 1 et 12, on note \(X_i\) la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du \(i\)-ème réacteur.
Ainsi, par exemple, \(X_2\) désigne la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du 2e réacteur.
On suppose que les variables \(X_1, X_2, \ldots, X_{12}\) suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire \(X\), et qu'elles sont indépendantes.
On considère la variable aléatoire \(S\) qui donne la production totale journalière des 12 réacteurs. On a ainsi \(S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}\).
On note \(E(S)\) l'espérance de la variable aléatoire \(S\) et \(V(S)\) sa variance.
Montrer que \(E(S) = 150\) et \(V(S) = 489\).
Afin d'éviter le risque de surcharge du réseau et de couvrir l'ensemble des besoins en électricité, la production totale journalière des 12 réacteurs doit être comprise strictement entre 100 GWh et 200 GWh.
Peut-on affirmer que la probabilité d'éviter le risque de surcharge et de couvrir l'ensemble des besoins en électricité est supérieure à \(0{,}80\) ? Justifier.
Voir le corrigé de l'exercice 1
Partie A
L'arbre des probabilités représentant la situation est :
Le réacteur est en arrêt et il subit un contrôle correspond à l'évènement \(A\cap C\).
\(P(A\cap C)= P(A) \times P_A(C)= 0{,}2 \times 0{,}85 = 0{,}17\)
La probabilité que le réacteur soit à l'arrêt et qu'il subisse un contrôle est égale à 0,17.
On sait de plus que la probabilité qu'un réacteur du parc nucléaire soit contrôlé est égale à \(0{,}35\) c'est-à-dire \(P(C)=0{,}35\).
Les évènements \(A\), \(R\) et \(N\) forment une partition de l'univers, donc, d'après la loi des probabilités totales on a :
\(\begin{aligned} P(C) = P(A \cap C) + P(R \cap C) + P(N \cap C) &\iff P(C)= P(A) \times P_A(C) + P(R) \times P_R(C) + P(N) \times P_N(C) \\ &\iff 0{,}35 = 0{,}2 \times 0{,}85 + 0{,}05 \times 0{,}6 + 0{,}75 \times x \\ &\iff 0{,}35 - 0{,}17 -0{,}03 = 0{,}75x \\ &\iff 0{,}15 = 0{,}75x\\ &\iff x= \dfrac{0,15}{0,75} = 0{,}2 \end{aligned}\)
On a bien : la probabilité \(x\) est égale à \(0{,}2\).
La probabilité qu'un réacteur fonctionne normalement sachant qu'il subit un contrôle correspond à \(P_C(N)\). Par définition des probabilités conditionnelles :
\(P_C(N)= \dfrac{P(N\cap C)}{P(C)}= \dfrac{0,75 \times 0{,}2 }{0,35} = \dfrac{3}{7} \approx 0{,}4286\)
La probabilité qu'un réacteur fonctionne normalement sachant qu'il subit un contrôle est égale à \(\dfrac{3}{7}\) soit environ \(0{,}43\).
Partie B
La variable aléatoire prend trois valeurs : 0 (quand le réacteur est à l'arrêt, il produit 0), 10 et 16.
On a : \(\{X = 0\} = A\); \(\{X = 10\} = R\) et \(\{X = 16\} = N\).
La loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) est donc :
\(k\) \(0\) \(10\) \(16\) \(p_k\) \(0{,}20\) \(0{,}05\) \(0{,}75\) \(\mathrm{E}(X)= 0 \times 0{,}2 + 10 \times 0{,}05 + 16 \times 0{,}75 = 12{,}5\).
\(\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \big(\mathrm{E}(X)\big)^2 = 0^2 \times 0{,}2 + 10^2 \times 0{,}05 + 16^2 \times 0{,}75 -12{,}5^2 = 40{,}75\).
L'espérance \(\mathrm{E}(X)\) de la variable aléatoire \(X\) est égale à \(12{,}5\) et sa variance \(\mathrm{V}(X)\) est égale à \(40{,}75\).
Ici, on va utiliser deux éléments pour justifier nos calculs :
(1) les variables aléatoires \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_{12}\) suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire \(X\);
(2) les variables aléatoires \(X_1\), \(X_2\), …, \(X_{12}\) sont indépendantes.
Avec ceci :
\(\begin{aligned}[t] \mathrm{E}(S) &= \mathrm{E} (X_1 + X_2 + \cdots + X_{12})\\ &= \mathrm{E} (X_1 ) + \mathrm{E} (X_2 ) + \cdots + \mathrm{E} (X_{12}) \quad \text{ par linéarité de l'espérance;}\\ &= 12 \times \mathrm{E}(X) \quad \mathbf{(1)}\\ &= 12 \times 12{,}5 \\ &= 150 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{V}(S) &= \mathrm{V} (X_1 + X_2 + \cdots + X_{12})\\ &= \mathrm{V} (X_1 ) + \mathrm{V} (X_2 ) + \cdots + \mathrm{V} (X_{12}) \quad \mathbf{(2)}\\ &= 12 \times \mathrm{V}(X)\quad \mathbf{(1)}\\ &= 12 \times 40{,}75\\ &= 489 \end{aligned}\)
On a bien : \(\mathrm{E}(S) = 150\) et \(\mathrm{V}(S) = 489\).
Déterminons la probabilité d'éviter le risque de surcharge et de couvrir l'ensemble des besoins en électricité c'est-à-dire la probabilité que la production totale journalière des 12 réacteurs soit comprise strictement entre 100 GWh et 200 GWh.
On a : \(P(100<S<200)= P(-50< S-150<50) = 1- P\Big(\big|S-150\big| \geqslant 50\Big)\)
Or, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
\(\forall t \in \mathbb{R}^{*+}, \quad P\Big(\big|S - \mathrm{E}(S)\big| \geqslant t\Big) \leqslant \dfrac{\mathrm{V}(S)}{t^2 }\).
Avec \(t= 50\) on a : \(P\Big(\big|S- 150\big| \geqslant 50\Big) \leqslant \dfrac{489}{ 50^2 }\);
soit \(P\Big(\big|S-150\big| \geqslant 50 \Big) \leqslant 0{,}1956\).
On a donc : \(1- P\Big(\big|S-150\big| \geqslant 50 \Big) \geqslant 1- 0{,}1956\).
D'où : \(P(100<S<200) \geqslant 0{,}8044\)
La probabilité d'éviter le risque de surcharge et de couvrir l'ensemble des besoins en électricité est donc supérieure à \(0{,}80\).
Exercice 2 (6 pts)
Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.
La notice du médicament indique que:
le traitement doit durer au moins 7 h ;
lorsque sa quantité, en mg, présente dans le sang est supérieure ou égale à 3 mg, il y a un risque de toxicité.
On s'intéresse à la quantité de médicament présente dans le sang au cours du temps sachant que le patient reçoit une première dose de 1 mg.
Deux protocoles sont étudiés dans les deux parties qui sont indépendantes.
Partie A : étude du premier protocole
Après l'injection de la première dose, une quantité supplémentaire de médicament est administrée régulièrement et de façon continue à un patient mis sous perfusion.
Dans cette partie, on modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient par une fonction \(q\) définie sur \([0~;~+\infty[\), où \(q(t)\) désigne la quantité, en mg, de médicament présente dans le sang du patient, et \(t\) représente le temps, en heure, écoulé depuis l'injection initiale. On a ainsi \(q(0) = 1\).
On admet que :
la fonction \(q\) est dérivable sur \([0~;+\infty[\) et on note \(q'\) sa fonction dérivée ;
la fonction \(q\) est solution sur \([0~;+\infty[\) de l'équation différentielle \((E)\) :
\[y' = -\frac{3}{10}y + 1\]où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(t\), définie et dérivable sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\), et \(y'\) sa fonction dérivée.
Donner les solutions sur \([0~;~+\infty[\) de l'équation différentielle \((E)\).
Montrer que pour tout réel \(t\) appartenant à \([0~;~+\infty[\), \(q(t) = \dfrac{10}{3} - \dfrac{7}{3}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}\).
Déterminer la limite de la fonction \(q\) en \(+\infty\). Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Étudier les variations de la fonction \(q\) sur \([0~;+\infty[\).
Déterminer, en résolvant une inéquation, au bout de combien de temps après l'injection initiale le médicament présente un risque pour le patient. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à \(10^{-1}\).
D'après ce modèle, le protocole présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.
Partie B : étude du second protocole
On injecte au patient une première dose de médicament de 1 mg. On admet que la quantité de médicament présente dans le sang du patient baisse de 30 % toutes les heures. Pour compenser cette baisse, on injecte une dose supplémentaire de 0,75 mg de médicament toutes les heures.
On modélise la situation par une suite \((u_n)\), où, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) représente la quantité, en mg, de médicament présente dans le sang du patient au bout de \(n\) heures écoulées depuis l'injection initiale.
Sous ces conditions, on a \(u_0 = 1\).
Justifier que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}7 \times u_n + 0{,}75\).
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\).
En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
Déterminer la limite \(\ell\) de la suite \((u_n)\).
D'après ce modèle, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.
On considère la suite \((v_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_n = u_n - 2{,}5\).
Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.
Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}7^n\).
D'après ce modèle, au bout de combien d'injections supplémentaires la quantité de médicament présente dans le sang de ce patient dépasse-t-elle 2,4 mg ?
Voir le corrigé de l'exercice 2
Partie A : étude du premier protocole
L'équation différentielle \((E)\) : \(y' = -\dfrac{3}{10}y + 1\) est de la forme \(y'=ay+b\) avec \(a=-\dfrac{3}{10}\) et \(b= 1\).
Les solutions sont donc les fonctions de la forme \(t \longmapsto C \mathrm{e}^{at} -\dfrac{b}{a}\) avec \(C\in \mathbb{R}\).
or : \(\dfrac{b}{a}= \dfrac{1}{-\dfrac{3}{10}}= -\dfrac{10}{3}\).
Sur \([0 ; +\infty[\), les solutions de l'équation différentielle \((E)\) sont donc les fonctions de la forme :
\(t \longmapsto C\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t }+\dfrac{10}{3}\) avec \(C \in \mathbb{R}\).
La fonction \(q\) est solution sur \([0~;+\infty[\) de l'équation différentielle \((E)\), donc il existe un réel \(C\) tel que pour tout réel positif \(t\), \(q(t) = C\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t }+\dfrac{10}{3}\).
Or on sait \(q(0)=1\) donc \(C\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}\times 0} +\dfrac{10}{3}=1\).
D'où \(C+\dfrac{10}{3}=1\) soit \(C= 1-\dfrac{10}{3}=-\dfrac{7}{3}\).
Finalement, pour tout réel \(t\) appartenant à \([0 ; +\infty[\), \(q(t) = - \dfrac{7}{3}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}+\dfrac{10}{3}\).
\(\begin{cases} \lim\limits_{t\to +\infty } -\dfrac{3}{10}t = -\infty \\ \lim\limits_{X \to -\infty }\mathrm{e}^{X}=0 \end{cases}\) donc, par composition \(\lim\limits_{t \to +\infty }\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}= 0\)
par produit et somme, on a donc \(\lim\limits_{t \to +\infty } - \dfrac{7}{3}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}+\dfrac{10}{3} = \dfrac{10}{3}\).
On a donc : \(\lim\limits_{t \to +\infty } q(t) = \dfrac{10}{3}\).
Dans le contexte de l'exercice, à long terme, la quantité de médicament présente dans le sang du patient se stabilisera vers \(\dfrac{10}{3} \,\rm{mg}\).
Pour étudier les variations de la fonction \(q\) sur \([0 ; +\infty[\), étudions le signe de sa dérivée.
Pour tout réel positif \(t\), \(q'(t) = -\dfrac{7}{3} \times \dfrac{-3}{10} \mathrm{e}^{ -\frac{3}{10}t} = \dfrac{7}{10}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}\).
Or, une exponentielle est toujours strictement positive, donc pour tout réel positif \(t\), \(q'(t) >0\).
La fonction \(q\) est donc strictement croissante sur \([0;+\infty[\).
Déterminons au bout de combien de temps après l'injection initiale le médicament présente un risque pour le patient.
On sait qu'il y a un risque lorsque la quantité présente dans le sang est supérieure ou égale à 3 mg.
Nous allons donc résoudre l'inéquation \(q(t) \geqslant 3\).
\(\begin{aligned} q(t) \geqslant 3 & \iff \dfrac{10}{3}- \dfrac{7}{3}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t} \geqslant 3 \\ &\iff \dfrac{10}{3}- 3 \geqslant \dfrac{7}{3}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t} \\ &\iff \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{7} \geqslant \mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t} \quad \text{ car } \dfrac{3}{7} >0\\ &\iff \ln \left( \dfrac{1}{7}\right) \geqslant -\dfrac{3}{10}t \quad \text{car la fonction } \ln \text{ est strictement croissante sur } \mathbb{R}^{+*}\\ &\iff -\ln(7) \geqslant -\dfrac{3}{10}t \\ &\iff -\ln(7) \times \dfrac{-10}{3} \leqslant t \quad \text{ car } -\dfrac{10}{3} <0\\ &\iff \dfrac{10 \ln(7)}{3} \leqslant t \end{aligned}\)
Le médicament présente un risque pour le patient \(\dfrac{10 \ln(7)}{3}\) heures, soit environ \(6{,}5\) heures après l'injection initiale.
Le traitement devant durer au moins 7 heures, le protocole présente un risque pour le patient car la concentration dépassera les 3 mg avant la fin du traitement.
Partie B : étude du second protocole
La quantité de médicament présente dans le sang du patient baisse de 30 % toutes les heures donc elle est multipliée par \(1-\dfrac{30}{100}\) soit 0,7.
Pour compenser cette baisse, on injecte une dose supplémentaire de 0,75 mg de médicament toutes les heures donc on ajoute \(0{,}75\).
On a donc, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}7 \times u_n + 0{,}75\).
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(P_n\) l'affirmation : « \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\) ».
Initialisation : Pour \(n= 0\), on a :
\(u_0 = 1\) et \(u_1=0{,}7 \times u_0 +0{,}75 = 0{,}7 \times 1 +0{,}75 = 1{,}45\)
On a bien \(u_0 \leqslant u_1 \leqslant 4\)
L'affirmation \(P_0\) est vraie.
Hérédité : soit \(n\) un entier naturel (\(n \geqslant 0\)), on suppose que pour cet entier \(n\), l'affirmation \(P_n\) est vraie.
\(\begin{aligned} P_n \text{ est vraie} &\implies u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\\ &\implies 0{,}7 \times u_n \leqslant 0{,}7\times u_{n+1} \leqslant 0{,}7 \times 4 \quad \text{car } \quad 0{,}7 > 0\\ &\implies 0{,}7 \times u_n + 0{,}75 \leqslant 0{,}7\times u_{n+1} +0{,}75 \leqslant 0{,}7 \times 4 +0{,}75 \\ &\implies u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 3{,}55 \leqslant 4\\ &\implies P_{n+1} \text{ est vraie} \end{aligned}\)
Conclusion : la propriété \(P_0\) est vraie, et pour \(n\) entier naturel, la véracité de \(P_n\) est héréditaire, donc par principe de récurrence :
Pour tout entier naturel \(n\), \(P_n\) est vraie, c'est-à-dire : \(u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\).
Pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n \leqslant u_{n+1}\) donc la suite \(\left(u_n\right)\) est croissante.
Pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n \leqslant 4\) donc la suite \(\left(u_n\right)\) est majorée.
La suite \(\left(u_n\right)\) est croissante et majorée donc, d'après le théorème de convergence monotone, elle est convergente vers une limite \(\ell\) telle que \(1 \leqslant \ell \leqslant 4\).
La suite \((u_{n})\) est définie par une relation de récurrence \(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) =0{,}7x+0{,}75\), une fonction affine, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
De plus, la suite \((u_{n})\) est convergente vers une limite \(\ell\).
D'après le théorème du point fixe, la limite \(\ell\) est donc solution de l'équation \(f(x)=x\).
Résolvons l'équation : \(\begin{aligned}[t] x = 0{,}7x + 0{,}75 &\iff x - 0{,}7x = 0{,}75\\ &\iff 0{,}3x = 0{,}75\\ &\iff x = \dfrac{0,75}{0,3}\\ &\iff x = 2{,}5 \end{aligned}\)
La suite \((u_n)\) a pour limite \(\ell =2{,}5\).
La suite \((u_n)\) est croissante donc elle est majorée par sa limite : pour tout entier \(n\), \(u_n \leqslant 2{,}5\).
D'après ce modèle, le traitement ne présente donc pas de risque pour le patient, car, quelle que soit la durée du traitement, la quantité de médicament sera toujours inférieure ou égale à 2,5 mg soit en dessous de la quantité toxique.
On considère la suite \((v_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\), par \(v_n = u_n - 2{,}5\).
Pour tout entier naturel \(n\) :
\(\begin{aligned}[t] v_{n+1} & =u _{n+1} -2{,}5 \\ &= 0{,}7 u_n +0{,}75 -2{,}5 \\ &= 0{,}7 \times (v_n+2{,}5) -1{,}75 \\ &= 0{,}7 \times v_n + 1{,}75-1{,}75\\ &=0{,}7v_n. \end{aligned}\)
On reconnaît la relation de récurrence d'une suite géométrique : la suite \((v_n)\) est donc une suite géométrique, de raison \(q=0{,}7\) et de terme initial \(v_0 =u_0-2{,}5 = 1-2{,}5=-1{,}5\).
Par propriété des suites géométriques, le terme général de la suite \((v_n)\) est donc : \(v_n= v_0 \times q^n\)
Donc, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n = -1{,}5 \times 0{,}7^n\).
D'où \(u_n = v_n+2{,}5 = - 1{,}5 \times 0{,}7^n +2{,}5\).
On a bien, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}7^n\).
La quantité de médicament présente dans le sang de ce patient dépassera 2,4 mg lorsque \(u_n >2{,}4\).
Résolvons cette inéquation : \(\begin{aligned}[t] u_n > 2{,}4 &\iff 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}7^n>2{,}4 \\ &\iff 2{,}5 -2{,}4 > 1{,}5 \times 0{,}7^n\\ &\iff \dfrac{0,1}{1,5} > 0{,}7^n \\ &\iff \ln \left(\dfrac{1}{15} \right)> \ln \left(0{,}7^n\right)\\ &\iff - \ln(15) > n \ln(0{,}7) \\ &\iff \dfrac{-\ln(15)}{\ln(0{,}7)} < n \quad \text{ car } \ln(0{,}7) <0. \end{aligned}\)
or \(\dfrac{-\ln(15)}{\ln(0{,}7)} \approx 7{,}59\), donc, d'après ce modèle, la quantité de médicament présente dans le sang de ce patient dépassera 2,4 mg au bout de 8 injections supplémentaires.
Exercice 3 (4 pts)
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse donnée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O};\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right)\).
On considère :
les points \(S(-1~;~\sqrt{2}~;-4)\), A\((2~;~\sqrt{2}~;~-1)\), B\((1~;~\sqrt{2}~;0)\) et C\((2~;~0~;-1)\) ;
la droite \(d\) dont une représentation paramétrique est donnée par :
\[\begin{cases} x = 2-k\\ y = \sqrt{2}\,k\\ z = -1-k \end{cases}, \quad k \in \mathbb{R}~;\]le plan \(P\) dont une équation cartésienne est : \(x - z + 1 = 0\).
On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Affirmation 1 : Le vecteur \(\overrightarrow{\text{SA}}\) est un vecteur normal au plan (ABC).
Affirmation 2 : Les droites (SB) et \(d\) sont sécantes.
Affirmation 3 : La droite \(d\) est parallèle au plan \(P\).
Affirmation 4 : Le projeté orthogonal de S sur le plan \(P\) est le point H de coordonnées \((-3~;~\sqrt{2}~;~-2)\).
Voir le corrigé de l'exercice 3
Affirmation 1 : Vraie
On a : \(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \begin{pmatrix} x_\mathrm{B} - x_\mathrm{A}\\ y_\mathrm{B} - y_\mathrm{A}\\ z_\mathrm{B} - z_\mathrm{A}\\ \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \begin{pmatrix}1- 2\\ \sqrt{2}-\sqrt{2}\\ 0 - (-1) \end{pmatrix}\) et donc, finalement : \(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1\\\end{pmatrix}\).
De même : \(\overrightarrow{\mathrm{AC}} \begin{pmatrix} x_\mathrm{C} - x_\mathrm{A}\\ y_\mathrm{C} - y_\mathrm{A}\\ z_\mathrm{C} - z_\mathrm{A}\\ \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\mathrm{AC}} \begin{pmatrix} 2- 2\\ 0-\sqrt{2}\\ -1 - (-1) \end{pmatrix}\) et donc, finalement : \(\overrightarrow{\mathrm{AC}} \begin{pmatrix} 0\\ -\sqrt{2}\\ 0\\ \end{pmatrix}\).
Et : \(\overrightarrow{\mathrm{SA}} \begin{pmatrix} x_\mathrm{A} - x_\mathrm{S}\\ y_\mathrm{A} - y_\mathrm{S}\\ z_\mathrm{A} - z_\mathrm{S}\\ \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\mathrm{SA}} \begin{pmatrix} 2- (-1)\\ \sqrt{2}- \sqrt{2}\\ -1-(-4) \end{pmatrix}\) et donc, finalement : \(\overrightarrow{\mathrm{SA}} \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ 3\\ \end{pmatrix}\).
Comme le repère est orthonormé, on va utiliser la formule analytique pour calculer les produits scalaires :
\(\overrightarrow{\mathrm{SA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = 3\times (-1) + 0\times 0 + 3 \times 1 = -3+0+3=0\). \(\overrightarrow{\mathrm{SA}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) sont orthogonaux;
\(\overrightarrow{\mathrm{SA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} = 3\times 0 +0 \times (-\sqrt{2}) + 3\times 0 = 0\) \(\overrightarrow{\mathrm{SA}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) sont orthogonaux.
\(\overrightarrow{\mathrm{SA}}\) est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires qui forment une base du plan (ABC), donc il est normal au plan (ABC).
Le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{SA}}\) est un vecteur normal au plan (ABC).
Affirmation 2 : Fausse
On a : \(\overrightarrow{\mathrm{SB}} \begin{pmatrix} x_\mathrm{B} - x_\mathrm{S}\\ y_\mathrm{B} - y_\mathrm{S}\\ z_\mathrm{B} - z_\mathrm{S}\\ \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\mathrm{SB}} \begin{pmatrix} 1- (-1)\\ \sqrt{2}- \sqrt{2}\\ 0-(-4) \end{pmatrix}\) et donc, finalement : \(\overrightarrow{\mathrm{SB}} \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 4\\ \end{pmatrix}\).
La droite (SB) est dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{SB}} \begin{pmatrix} 2\\0\\4 \end{pmatrix}\).
Par lecture de sa représentation paramétrique, on peut dire que \((d)\) est dirigée par \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1\\\sqrt{2}\\-1 \end{pmatrix}\).
Les deux vecteurs ont des coordonnées clairement non proportionnelles, donc ils ne sont pas colinéaires.
Les droites (SB) et \((d)\) ne sont donc pas parallèles (ni strictement, ni confondues).
Elles peuvent donc être sécantes, ou non coplanaires.
Pour trancher, cherchons à établir si elles ont un point commun.
Une représentation paramétrique de (SB) est : \(\begin{cases} x = x_{\mathrm{S}} + x_{\overrightarrow{\mathrm{SB}}}\times t\\ y = y_{\mathrm{S}} + y_{\overrightarrow{\mathrm{SB}}}\times t\\ z = z_{\mathrm{S}} + z_{\overrightarrow{\mathrm{SB}}}\times t\\ \end{cases}\quad \text{ où } t \in \mathbb{R}\)
Soit, en remplaçant par les valeurs connues : \(\begin{cases} x = -1 +2t\\ y = \sqrt{2}\\ z = -4+4t \end{cases}, \quad \text{ où } t \in \mathbb{R}\)
Le point de paramètre \(k\) sur \((d)\) est confondu avec le point de paramètre \(t\) sur (AB) si et seulement si \((k ; t)\) est solution du système :
\(\begin{aligned} \begin{cases} 2-k = -1+2t\\ \sqrt{2} k = \sqrt{2}\\ -1-k = -4+4t \end{cases} &\iff \begin{cases} 3-k = 2t\\ k = 1\\ 3-k = 4t \end{cases}\\ &\iff \begin{cases} 2t = 3-1=2\\ k=1\\ 4t = 3-1=2 \end{cases}\\ &\iff \begin{cases} t = 1\\ k=1\\ t = \dfrac{1}{2} \end{cases} \end{aligned}\)
Les équations 1 et 3 du système sont incompatibles.
Le système n'a pas de solution.
Il n'y a donc aucun point commun entre les droites (SB) et \((d)\), qui sont donc non coplanaires, et pas sécantes.
Les droites (SB) et \(d\) ne sont pas sécantes.
Affirmation 3 : Vraie
Par lecture de sa représentation paramétrique, on peut dire que \((d)\) est dirigée par \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1\\\sqrt{2}\\-1 \end{pmatrix}\).
Par lecture de son équation cartésienne, on peut dire qu'un vecteur normal au plan \(P\) est \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}\).
Comme le repère est orthonormé, on va utiliser la formule analytique pour calculer les produits scalaires :
\(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} = -1 \times 1 + \sqrt{2} \times 0 + (-1) \times (-1) = -1 + 0 +1 = 0\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{n}\) sont orthogonaux donc la droite \(d\) est parallèle au plan \(P\).
Affirmation 4 : Vraie
Le point H est le projeté orthogonal de S sur le plan \(P\) si : \(\begin{cases} H \in P; \\ \text{La droite (SH) est orthogonale au plan }P.\end{cases}\)
\(x_{\mathrm{H}} -z_{\mathrm{H}}+1 = -3 - (-2) +1= -3 +2 +1=0\)
Donc H est bien un point du plan \(P\).
On a : \(\overrightarrow{\mathrm{SH}} \begin{pmatrix} x_\mathrm{H} - x_\mathrm{S}\\ y_\mathrm{H} - y_\mathrm{S}\\ z_\mathrm{H} - z_\mathrm{S}\\ \end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\mathrm{SH}} \begin{pmatrix} -3- (-1)\\ \sqrt{2}- \sqrt{2}\\ -2-(-4) \end{pmatrix}\) et donc, finalement : \(\overrightarrow{\mathrm{SH}} \begin{pmatrix} -2\\ 0\\ 2\\ \end{pmatrix}\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{SH}}\) et \(\overrightarrow{n}\) sont colinéaires, donc la droite (SH) est orthogonale au plan \(P\).
Le point H de coordonnées \((-3 ; \sqrt{2} ; -2)\) est donc le projeté orthogonal de S sur le plan \(P\).
Exercice 4 (6 pts)
Partie A : lecture graphique
On considère une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[\). On note \(f'\) sa fonction dérivée et \(f''\) sa fonction dérivée seconde.
On a tracé, dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction \(f\), notée \(\mathcal{C}\), ainsi que la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}\) au point A(1 ; 0). On précise que \(T\) passe par le point B\((0~;~-2)\).
On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.
Déterminer \(f'(1)\).
La fonction \(f\) est-elle concave sur \(\left]\dfrac{1}{2}~;+\infty\right[\) ?
Déterminer \(f''(1)\).
Partie B : étude de fonction
On admet que la fonction représentée graphiquement dans la partie A est définie sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[\) par :
\[f(x) = x\ln(2x-1)\]où \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien.
On rappelle que :
la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;+\infty\right[\), que \(f'\) désigne sa fonction dérivée et \(f''\) sa fonction dérivée seconde ;
\(\mathcal{C}\) désigne la courbe représentative de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[\).
Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction \(f\) en \(\dfrac{1}{2}\). En déduire une interprétation graphique.
Résoudre l'équation \(f(x) = 0\) sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[\).
On admet que pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;+\infty\right[\) :
\[f'(x) = \ln(2x-1) + \dfrac{2x}{2x-1}.\]Montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;+\infty\right[\) :
\[f''(x) = \dfrac{4(x-1)}{(2x-1)^2}.\]Montrer que \(\mathcal{C}\) admet un unique point d'inflexion et que ce point est l'intersection de \(\mathcal{C}\) avec l'axe des abscisses.
Montrer que la fonction \(f\) est positive sur l'intervalle \([1~;~2]\).
On admet que pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[\), on a :
\[\dfrac{x^2}{2x-1} = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}\times\dfrac{2}{2x-1}.\]Montrer que :
\[\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2}{2x-1}\, \text{d}x = 1 + \dfrac{1}{8}\ln (3).\]On note \(\mathcal{A}\) l'aire du domaine délimité par la courbe \(\mathcal{C}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x=1\) et \(x=2\).
En vous aidant d'une intégration par parties, déterminer la valeur exacte de l'aire \(\mathcal{A}\) en unité d'aire.
Partie C : généralisation
On désigne par \(a\) un réel strictement positif et par \(f_a\) la fonction définie sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{a}~;~+\infty\right[\) par :
\[f_a(x) = x\ln(ax - 1).\]On admet que \(f_a\) est deux fois dérivable sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{a}~;~+\infty\right[\). On note \(f_a'\) sa fonction dérivée, \(f_a''\) sa fonction dérivée seconde, et \(\mathcal{C}_a\) sa représentation graphique.
On admet que pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{a}~;~+\infty\right[\):
\[f_a''(x) = \dfrac{a(ax-2)}{(ax-1)^2}.\]Montrer que pour tout réel \(a\) strictement positif, la courbe \(\mathcal{C}_a\) admet un unique point d'inflexion A\(_a\).
Montrer que les points A\(_a\) sont alignés, \(a\) appartenant à l'intervalle \(]0~;~+\infty[\).
Voir le corrigé de l'exercice 4
Partie A : lecture graphique
\(f'(1)\) est égal au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1, donc de la tangente \(T\).
Le point B appartient à cette tangente donc :
\(f'(1) = \dfrac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}= \dfrac{-2-0}{0-1}= 2\).
La courbe représentative de la fonction \(f\) semble au-dessus de la tangente \(T\) sur l'intervalle \(]1;+\infty[\) or la courbe représentative d'une fonction concave est située en dessous de toutes ses tangentes.
La fonction \(f\) n'est donc pas concave sur \(\left]\dfrac{1}{2}~;+\infty\right[\).
La courbe \(\mathcal{C}\) semble traverser la tangente au point A, donc A semble être un point d'inflexion. Avec la précision de lecture permise par le graphique, on en déduit : \(f''(1)=0\).
Partie B : étude de fonction
\(\begin{cases} \lim\limits_{x\to {\frac{1}{2}}^+} 2x-1 =0^+ \\ \lim\limits_{X \to 0^+} \ln(X) = -\infty \end{cases}\) donc, par composition, \(\lim\limits_{x \to {\frac{1}{2}}^+ } \ln(2x-1) = -\infty\).
De plus \(\lim\limits_{x \to {\frac{1}{2}}^+ } x = \dfrac{1}{2}\) donc, par produit, \(\lim\limits_{x \to {\frac{1}{2}}^+ } f(x) =-\infty\).
Graphiquement, la droite d'équation \(x= \dfrac{1}{2}\) est asymptote verticale à la courbe \(\mathcal{C}\).
Résolvons l'équation \(f(x) = 0\) sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[\).
\(\begin{aligned} f(x) =0 &\iff x\ln (2x-1)=0 \\ &\iff \ln(2x-1) =0 \quad \text{ car } x>0 \text{ sur } \left]\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[\\ &\iff 2x-1 =1 \\ &\iff 2x=2 \\ &\iff x=1. \end{aligned}\)
Sur l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[\), l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution : \(x=1\).
\(f'\) est de la forme \(f = \ln(w) + \dfrac{u}{v}\), avec \(\begin{cases} w(x)= 2x-1 \\ u(x) = 2x \\ v(x) = 2x-1 \end{cases}\). On a donc \(\begin{cases} w'(x)= 2 \\ u'(x) = 2 \\ v'(x) = 2 \end{cases}\).
En appliquant les formules de dérivation, on sait que \(f''= \dfrac{w'}{w} + \dfrac{u'v-v'u}{v^2}\).
Donc, pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;+\infty\right[\) :
\(\begin{aligned} f''(x)&= \dfrac{2}{2x-1} + \dfrac{2(2x-1) - 2\times 2x }{(2x-1)^2} = \dfrac{2 (2x-1) + 4x-2-4x}{(2x-1)^2} = \dfrac{4x-2-2}{(2x-1)^2} = \dfrac{4x-4}{(2x-1)^2}\\ &= \dfrac{4(x-1)}{(2x-1)^2} \end{aligned}\)
Pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{2}~;+\infty\right[\), on a bien : \(f''(x) = \dfrac{4(x-1)}{(2x-1)^2}.\)
Pour déterminer les abscisses des point d'inflexion de \(\mathcal{C}\) étudions le signe de \(f''(x)\).
Un carré étant toujours positif, \(f''(x)\) est du signe de \(x-1\).
On a donc :
\(f''(x)\) s'annule en changeant de signe en \(x=1\) donc le point d'abscisse 1 est l'unique point d'inflexion pour \(\mathcal{C}\).
De plus, \(f(1) = 1 \times \ln(2\times 1 -1 ) = \ln(1)=0\).
Le point d'inflexion a pour coordonnés \((1 ; 0)\) et est donc l'intersection de \(\mathcal{C}\) avec l'axe des abscisses.
\(\begin{aligned}[t] 1\leqslant x \leqslant 2 &\implies 2 \leqslant 2x \leqslant 4 \\ &\implies 2-1 \leqslant 2x -1\leqslant 4 -1\\ &\implies 1 \leqslant 2x-1 \leqslant3\\ &\implies \ln(1) \leqslant \ln(2x-1) \leqslant \ln(3) \, \text{ car la fonction } \ln \text{est strictement croissante sur } [1;3]\\ &\implies 0 \leqslant \ln(2x-1). \end{aligned}\)
De plus \(x>0\) sur l'intervalle \([1;2]\) donc, par produit, \(f(x) >0\) sur l'intervalle \([1;2]\).
La fonction \(f\) est bien positive sur l'intervalle \([1 ; 2]\).
\(\begin{aligned}[t] \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2}{2x-1}\, \mathrm{\,d}x &= \int_1^2 \left( \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}\times\dfrac{2}{2x-1}\right)\mathrm{\,d}x\\ &= \left[ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{8} \ln(2x-1) \right]_1^2\\ &= \left( \dfrac{1}{4}\times 2^2 + \dfrac{1}{4} \times 2 + \dfrac{1}{8} \ln(2\times 2-1) \right) -\left( \dfrac{1}{4} \times1^2 + \dfrac{1}{4}\times 1 + \dfrac{1}{8} \ln(2 \times 1-1)\right) \\ &= 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} \ln (3) - \dfrac{1}{4} -\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} \ln(1) \\ &= 1 + \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{8} \ln (3) -\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} +0 \\ &= 1 +\dfrac{1}{8} \ln (3) \end{aligned}\)
On a bien : \(\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2}{2x-1}\, \text{d}x = 1 + \dfrac{1}{8}\ln (3).\)
La fonction \(f\) étant positive et continue sur l'intervalle \([1;2]\), l'aire \(\mathcal{A}\), en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe \(\mathcal{C}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x=1\) et \(x=2\) est égale à \(\mathcal{A} = \displaystyle \int_1^2 f(x) \mathrm{\,d}x = \int_1^2 x \ln (2x-1) \mathrm{\,d}x\)
\(x \longmapsto x \ln(2x-1)\) est de la forme \(u' v\) avec \(\begin{cases}u'(x)=x\\ v(x)= \ln(2x-1)\end{cases}\)
Ce qui implique : \(\begin{cases}u(x)= \dfrac{1}{2}x^2\\v'(x)=\dfrac{2}{2x-1} \end{cases}\)
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont continues et dérivables sur \([1;2]\) et les fonctions \(u'\) et \(v'\) sont continues sur \([1;2]\), donc, d'après la formule d'intégration par parties :
\(\displaystyle \int_{a}^{b} u'(x)v(x)\, \mathrm{\,d}x= \Big [ u(x)v(x)\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u(x)v'(x) \, \mathrm{d}x\)
d'où \(\begin{aligned}[t] \mathcal{A} & =\left[ \dfrac{1}{2}X^2 \ln(2x-1) \right]_1^{2}-\int_1^{2} \dfrac{x^2}{2x-1 }\, \mathrm{\,d}x\\ & = \dfrac{1}{2} \times 4 \ln(3) -\dfrac{1}{2} \ln (1) - 1 -\dfrac{1}{8} \ln(3) \quad \text{ d'après la question précédente}\\ & = \dfrac{15}{8}\ln(3) -1 \\ \end{aligned}\)
L'aire \(\mathcal{A}\) est égale à \(\dfrac{15}{8}\ln(3) -1\) unité d'aire.
Partie C : généralisation
Étudions le signe de \(f''(x)\).
\(ax-2=0 \iff x= \dfrac{2}{a}\) et \(a>0\) donc :
La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour \(x= \dfrac{2}{a}\).
De plus : \(f_a \left(\dfrac{2}{a}\right) = \dfrac{2}{a} \ln \left( a \times \dfrac{2}{a} -1 \right) = \dfrac{2}{a} \ln(1) = 0\).
Pour tout réel \(a\) strictement positif, la courbe \(\mathcal{C}_a\) admet un unique point d'inflexion A\(_a\) de coordonnées \(\left( \dfrac{2}{a} ; 0\right)\)
Les points A\(_a\) Pour tout réel \(a\) appartenant à l'intervalle \(]0 ; +\infty[\), les points A\(_a\) ont une ordonnée nulle, ils sont donc tous sur l'axe des abscisses et ils sont donc alignés.
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