Sujet CRPE 2021 Mathématiques · Groupement 1 : corrigé

A.1

Corrigé

Le coût des 9 diodes est \(9 \times 0\text{,}18 = 1\text{,}62\) €.

Le support coûte \(0\text{,}93\) €.

Le coût de fabrication d’une ampoule de modèle A est donc \(1\text{,}62 + 0\text{,}93 = 2\text{,}55\) €.

Pour comprendre en détail

On peut aussi vérifier en calculant en centimes puis en convertissant le total en euros.

A.2.a

Corrigé

La formule à saisir en D2 est : =0,18*B2+C2.

En effet, la colonne B contient le nombre de diodes (B2 pour le modèle A), la colonne C contient le coût du support en euros (C2 pour le modèle A) et chaque diode coûte 0,18 €. En étirant vers le bas, les références s’ajustent automatiquement : D3 contiendra =0,18*B3+C3, D4 contiendra =0,18*B4+C4, etc.

Pour comprendre en détail

On peut aussi écrire \(=B2 \times 0\text{,}18 + C2\) ; l’ordre de la multiplication n’a pas d’importance.

A.2.b

Corrigé

=D2*E2

Pour comprendre en détail

Ici, on utilise des références relatives (sans $) : en étirant la formule vers le bas, D2 devient D3 puis D4, et E2 devient E3 puis E4, ce qui correspond bien à chaque ligne du tableau.

Une vérification peut être faite avec la ligne 2 : le coût unitaire \(2\text{,}55\) € multiplié par \(19\text{ }000\) ampoules donne bien le coût total de production du modèle A, mais l’énoncé ne demande ici que la formule.

A.3

Corrigé

Le coût de fabrication d’une ampoule du modèle A est \(2\text{,}55\) € (question A.1).

Coût d’une ampoule du modèle B : \(25 \times 0\text{,}18 + 0\text{,}98 = 4\text{,}50 + 0\text{,}98 = 5\text{,}48\) €.

Coût d’une ampoule du modèle C : \(32 \times 0\text{,}18 + 1\text{,}12 = 5\text{,}76 + 1\text{,}12 = 6\text{,}88\) €.

Coût total de la commande DUPONT : \(19\text{ }000 \times 2\text{,}55 + 14\text{ }900 \times 5\text{,}48 + 3\text{ }094 \times 6\text{,}88 = 48\text{ }450 + 81\text{ }652 + 21\text{ }286\text{,}72 = 151\text{ }388\text{,}72\) €.

Le coût total de production de la commande « DUPONT » est donc de \(151\text{ }388\text{,}72\) €.

Pour comprendre en détail

On peut aussi vérifier le résultat en calculant séparément le coût total de toutes les diodes et celui de tous les supports, mais la méthode par modèle est plus directe ici.

B.1

Corrigé

Le modèle A est un cylindre de diamètre \(4\text{,}5\) cm, donc son rayon est \(r = \dfrac{4\text{,}5}{2} = 2\text{,}25\) cm et sa hauteur est \(h = 6\) cm.

L’aire de sa base est \(B = \pi r^2 = \pi \times 2\text{,}25^2\).

Le volume est donc :

\(V = B \times h = \pi \times 2\text{,}25^2 \times 6 = 30\text{,}375\pi\) cm³.

Soit \(V \approx 95\text{,}4259\) cm³.

Or \(1\) cm³ \(= 1\text{ }000\) mm³, donc \(V \approx 95\text{ }425\text{,}9\) mm³.

Arrondi au millimètre cube : \(V \approx 95\text{ }426\) mm³.

Le volume d’une ampoule de modèle A est donc d’environ \(95\text{ }426\) mm³.

Pour comprendre en détail

B.2.a

Corrigé

Pour ranger un maximum de boîtes sur un étage, on pose chaque boîte sur sa face carrée de \(5\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}\), qui est la plus petite.

La palette mesure \(1\text{ }200\ \text{mm} = 120\ \text{cm}\) de longueur et \(800\ \text{mm} = 80\ \text{cm}\) de largeur.

Dans la longueur : \(120 \div 5 = 24\), donc 24 boîtes.

Dans la largeur : \(80 \div 5 = 16\), donc 16 boîtes.

Le nombre total de boîtes sur un étage est donc \(24 \times 16 = 384\).

Cette disposition remplit exactement la surface de la palette, donc le nombre maximum de boîtes sur un étage est bien 384.

Pour comprendre en détail

La boîte a pour dimensions \(5\ \text{cm} \times 5\ \text{cm} \times 7\ \text{cm}\). Posée sur sa face \(5\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}\), elle occupe une aire de \(25\ \text{cm}^2\), ce qui est l’aire minimale possible. La palette a une aire de \(120 \times 80 = 9\text{ }600\ \text{cm}^2\), soit \(9\text{ }600 \div 25 = 384\) ; aucune disposition ne peut donc dépasser 384 boîtes.

B.2.b

Corrigé

La hauteur de la palette est \(145\ \text{mm}=14\text{,}5\ \text{cm}\).
Chaque étage de boîtes mesure \(7\ \text{cm}\).
La hauteur maximale totale est \(1\text{,}20\ \text{m}=120\ \text{cm}\).

Soit \(n\) le nombre d’étages. La hauteur totale chargée est \(14\text{,}5+7n\). On doit avoir :

\[14\text{,}5+7n \le 120\]

Donc \(7n \le 120-14\text{,}5=105\text{,}5\), puis \(n \le \dfrac{105\text{,}5}{7}\approx 15\text{,}07\).

Le nombre d’étages étant un entier, on peut positionner au maximum 15 étages de 384 boîtes.

Pour comprendre en détail

L’erreur fréquente est d’oublier la hauteur de la palette vide : on obtiendrait alors \(120 \div 7 \approx 17\text{,}14\), soit 17 étages, mais cela dépasserait la hauteur autorisée une fois la palette ajoutée.

B.2.c

Corrigé

Pour comprendre en détail

L’arrondi se fait toujours à l’entier supérieur : par exemple \(3\text{,}3\) palette signifie qu’il faut 4 palettes, même si la dernière n’est pas pleine.

On peut vérifier : 4 palettes pour le modèle A offrent \(4 \times 5\text{ }760 = 23\text{ }040\) emplacements, ce qui couvre les \(19\text{ }000\) ampoules ; 3 palettes pour le modèle B en offrent \(17\text{ }280\), etc.

B.3

Corrigé

Nombre total d’ampoules à emballer : \(19\text{ }000 + 14\text{ }900 + 3\text{ }094 = 36\text{ }994\).

Chaque ampoule nécessite une boîte, donc il faut \(36\text{ }994\) boîtes.

Coût des boîtes : \(36\text{ }994 \times 0\text{,}12 = 4\text{ }439\text{,}28\) €.

D’après la question B.2.c, le coût des palettes nécessaires est de \(120\) €.

Coût total de l’emballage : \(4\text{ }439\text{,}28 + 120 = 4\text{ }559\text{,}28\) €.

Le coût total de l’emballage pour la commande « DUPONT » est donc \(4\text{ }559\text{,}28\) €.

Pour comprendre en détail

C.1

Corrigé

Le salaire maximum de la série est \(2\text{ }192\text{,}48\) € et le salaire minimum est \(1\text{ }488\text{,}11\) €.

L’étendue est la différence entre ces deux valeurs :
\(2\text{ }192\text{,}48 - 1\text{ }488\text{,}11 = 704\text{,}37\).

L’étendue de cette série est donc de \(704\text{,}37\) €.

Pour comprendre en détail

C.2

Corrigé

Il y a 13 salaires : les 8 de la chaîne de fabrication, les 3 de l’emballage (tous à 1 864,37 €) et les 2 de la comptabilité (tous à 1 593,38 €).

On range ces 13 valeurs en ordre croissant :

1 488,11 ; 1 539,45 ; 1 593,38 ; 1 593,38 ; 1 864,37 ; 1 864,37 ; 1 864,37 ; 1 938,36 ; 1 948,37 ; 1 994,38 ; 1 998,93 ; 2 048,37 ; 2 192,48.

L’effectif total, 13, est impair ; la médiane est donc la valeur de rang \(\dfrac{13+1}{2}=7\), c’est-à-dire la 7e valeur de la série ordonnée.

La 7e valeur est 1 864,37.

Le salaire médian est donc de 1 864,37 €.

Pour comprendre en détail

C.3

Corrigé

Somme des salaires de la chaîne de fabrication :
\(1\text{ }938\text{,}36 + 1\text{ }488\text{,}11 + 1\text{ }994\text{,}38 + 2\text{ }048\text{,}37 + 2\text{ }192\text{,}48 + 1\text{ }998\text{,}93 + 1\text{ }539\text{,}45 + 1\text{ }948\text{,}37 = 15\text{ }148\text{,}45\) €.

Somme des salaires d’emballage et organisation des livraisons :
\(3 \times 1\text{ }864\text{,}37 = 5\text{ }593\text{,}11\) €.

Somme des salaires de comptabilité et gestion :
\(2 \times 1\text{ }593\text{,}38 = 3\text{ }186\text{,}76\) €.

Masse salariale totale :
\(15\text{ }148\text{,}45 + 5\text{ }593\text{,}11 + 3\text{ }186\text{,}76 = 23\text{ }928\text{,}32\) €.

Nombre total de salariés : \(8 + 3 + 2 = 13\).

Salaire moyen :
\(\dfrac{23\text{ }928\text{,}32}{13} = 1\text{ }840\text{,}64\) €.

Le salaire moyen dans cette entreprise est donc de \(1\text{ }840\text{,}64\) €.

Pour comprendre en détail

Ici, comme les salaires d’emballage et de comptabilité sont identiques, on utilise une multiplication par les effectifs \(3\) et \(2\) pour alléger le calcul, ce qui revient à additionner les salaires un par un.

C.4

Corrigé

Pour un salarié de l’emballage et de l’organisation des livraisons, le salaire net est \(1\text{ }864\text{,}37\) €.

On applique la formule :
\(\text{Coût global} = \dfrac{1\text{ }864\text{,}37}{0\text{,}78} \times 1\text{,}45\).

\(\dfrac{1\text{ }864\text{,}37}{0\text{,}78} \approx 2\text{ }390\text{,}22\) puis \(2\text{ }390\text{,}22 \times 1\text{,}45 \approx 3\text{ }465\text{,}82\).

Le coût global pour un salarié de l’emballage et de l’organisation des livraisons est d’environ \(3\text{ }465\text{,}82\) €.

Pour comprendre en détail

La formule donnée permet de passer du salaire net au coût global supporté par l’entreprise : diviser par \(0\text{,}78\) revient à retrouver le salaire brut avant cotisations salariales, puis multiplier par \(1\text{,}45\) ajoute les charges patronales.

Le résultat est arrondi au centime d’euro.

C.5.a

Corrigé

Une augmentation de 3 % revient à multiplier par le coefficient :
\(1+\dfrac{3}{100}=1\text{,}03\).

On a donc :
\(1\text{ }488\text{,}11 \times 1\text{,}03 = 1\text{ }532\text{,}7533\).

En arrondissant au centime d’euro : \(1\text{ }532\text{,}75\) €.

Le salaire net après augmentation est de \(1\text{ }532\text{,}75\) €.

Pour comprendre en détail

On aurait pu aussi calculer l’augmentation \(0\text{,}03 \times 1\text{ }488\text{,}11\) puis l’ajouter au salaire initial, mais le coefficient multiplicateur est plus direct.

C.5.b

Corrigé

Le salaire net après augmentation est : \(1\text{ }488\text{,}11 \times 1\text{,}03 = 1\text{ }532\text{,}7533\) €.

Coût global \(= \dfrac{1\text{ }532\text{,}7533}{0\text{,}78} \times 1\text{,}45 \approx 2\text{ }849\text{,}35\) €.

Le coût global de ce salaire après augmentation est donc d’environ \(2\text{ }849\text{,}35\) €.

Pour comprendre en détail

C.5.c

Corrigé

Coût global avant augmentation :
\(\dfrac{1\text{ }488\text{,}11}{0\text{,}78}\times 1\text{,}45 \approx 2\text{ }766\text{,}36\ \text{€}\).

Après une augmentation de \(3\ \%\), le salaire net est multiplié par \(1+\dfrac{3}{100}=1\text{,}03\).
Comme le coût global est proportionnel au salaire net, il est lui aussi multiplié par \(1\text{,}03\) :

\(c' = \dfrac{1\text{,}03 \times 1\text{ }488\text{,}11}{0\text{,}78}\times 1\text{,}45 = 1\text{,}03 \times 2\text{ }766\text{,}36 \approx 2\text{ }849\text{,}35\ \text{€}\).

Pourcentage d’augmentation du coût global :

\(\dfrac{2\text{ }849\text{,}35 - 2\text{ }766\text{,}36}{2\text{ }766\text{,}36}\times 100 \approx 3\text{,}00\ \%\).

Le coût global a donc augmenté de \(3\ \%\), comme le salaire net.

Pour comprendre en détail

D.1.a

Corrigé

On calcule l’image de 0 par chaque fonction :

• \(f(0)=12 \times 0+284=284\)
• \(g(0)=29 \times 0+115=115\)

La courbe qui passe par le point \((0\,; 284)\) est la courbe \(\mathcal{C}_1\), donc \(\mathcal{C}_1\) représente la fonction \(f\).

La courbe qui passe par le point \((0\,; 115)\) est la courbe \(\mathcal{C}_2\), donc \(\mathcal{C}_2\) représente la fonction \(g\).

Pour comprendre en détail

On peut aussi vérifier la cohérence avec le graphique : les deux droites se coupent environ à \(x=10\), ce qui est cohérent avec \(12x+284=29x+115\).

D.1.b

Corrigé

À l’abscisse 6, la droite \(C_2\) (société B) est située en dessous de la droite \(C_1\) (société A).

Par le calcul :
\(g(6)=29\times6+115=289\) € et \(f(6)=12\times6+284=356\) €.

Comme \(289 \lt 356\), la société B est la plus économique pour une commande de 6 palettes.

Pour comprendre en détail

La droite la plus basse correspond au tarif le moins cher pour un nombre de palettes donné. Les deux droites se coupent vers \(x\approx10\) ; pour \(x=6\), on est avant ce seuil, donc la société B est avantageuse.

D.1.c

Corrigé

Sur le graphique, la droite \(C_2\) est en dessous de \(C_1\) tant que le nombre de palettes \(x\) est inférieur à environ \(10\). Comme le nombre de palettes est un nombre entier, cela correspond à \(x \leqslant 9\).

Les deux droites se coupent pour une valeur de \(x\) comprise entre 9 et 10 (\(x \approx 9\text{,}94\)).

Ainsi :

• pour une commande de 1 à 9 palettes, la société B (courbe \(C_2\)) est la plus économique ;
• pour une commande de 10 palettes ou plus, la société A (courbe \(C_1\)) est la plus économique.

Au voisinage de 10 palettes, les coûts sont très proches.

Pour comprendre en détail

Le graphique donne une lecture approchée du point d’intersection : en résolvant \(12x+284=29x+115\), on trouve \(x=\dfrac{169}{17}\approx 9\text{,}94\). Comme le nombre de palettes est un entier, on ne peut pas avoir exactement \(9\text{,}94\) palettes ; on compare donc les coûts pour \(x=9\) et \(x=10\).

On vérifie : pour \(x=9\), \(f(9)=392\) € et \(g(9)=376\) €, donc B est moins chère ; pour \(x=10\), \(f(10)=404\) € et \(g(10)=405\) €, donc A est moins chère.

D.2

Corrigé

\[

\begin{aligned}

f(x)=g(x) &\Leftrightarrow 12x+284=29x+115 \\

&\Leftrightarrow 284-115=29x-12x \\

&\Leftrightarrow 169=17x \\

&\Leftrightarrow x=\frac{169}{17}\approx 9\text{,}94.

\end{aligned}

\]

Les prix sont donc égaux pour environ \(9\text{,}94\) palettes, ce qui ne correspond pas à un nombre entier de palettes. Pour un nombre entier de palettes :

- si \(x\leqslant 9\), alors \(x\lt 9\text{,}94\) donc \(g(x)\lt f(x)\) : la société B est plus économique ;

- si \(x\geqslant 10\), alors \(x\gt 9\text{,}94\) donc \(f(x)\lt g(x)\) : la société A est plus économique.

Conclusion : pour la commande, la société B est plus économique jusqu’à 9 palettes et la société A à partir de 10 palettes.

Pour comprendre en détail

Le graphique donnait une intersection voisine de \(10\) palettes ; le calcul permet de trancher précisément autour de cette valeur, car la commande est constituée d’un nombre entier de palettes.

1

Corrigé

Notons \(p\) la probabilité d’obtenir chacune des faces 1, 2, 3, 4 ou 5. La somme des probabilités de toutes les issues est 1, donc :

\(5p+\dfrac{1}{2}=1\), donc \(5p=\dfrac{1}{2}\), d’où \(p=\dfrac{1}{10}\).

La probabilité d’obtenir 3 est donc \(p\), soit \(\dfrac{1}{10}=0\text{,}1\).

Pour comprendre en détail

On peut aussi raisonner ainsi : la probabilité restante pour les faces 1 à 5 est \(1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\), et comme ces cinq faces sont équiprobables, on divise cette probabilité par 5.

2

Corrigé

D'après la question précédente, \(P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=0\text{,}1\) et \(P(6)=0\text{,}5\).

L'événement « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues 2, 4 et 6.

La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent :

\(P(\text{nombre pair}) = P(2) + P(4) + P(6) = 0\text{,}1 + 0\text{,}1 + 0\text{,}5 = 0\text{,}7\).

La probabilité d'obtenir un nombre pair est donc \(0\text{,}7\).

Pour comprendre en détail

Autre méthode possible : utiliser l'événement contraire « obtenir un nombre impair » (1, 3 ou 5) dont la probabilité est \(0\text{,}1+0\text{,}1+0\text{,}1 = 0\text{,}3\), donc \(P(\text{pair}) = 1 - 0\text{,}3 = 0\text{,}7\).

3

Corrigé

L’événement « obtenir un résultat strictement supérieur à 4 » est constitué des issues 5 et 6.

Pour le dé truqué : la somme des probabilités vaut 1 et \(P(6)=\dfrac12\). Donc \(P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=\dfrac{1-\frac12}{5}=\dfrac{1}{10}=0\text{,}1\).

Donc \(P(\text{strictement supérieur à }4)=P(5)+P(6)=0\text{,}1+0\text{,}5=0\text{,}6\).

Pour un dé équilibré : \(P(\text{strictement supérieur à }4)=P(5)+P(6)=\dfrac16+\dfrac16=\dfrac26=\dfrac13 \approx 0\text{,}33\).

Comme \(0\text{,}6>\dfrac13\), Rémi a intérêt à utiliser le dé truqué.

Pour comprendre en détail

La clé est de commencer par déterminer les probabilités manquantes du dé truqué. On utilise le fait que la somme des probabilités de toutes les issues est toujours égale à 1.

Enfin, l’événement « strictement supérieur à 4 » contient deux issues : 5 et 6, pas uniquement 6.

4.a

Corrigé

La seule façon d’obtenir 12 avec deux dés est d’obtenir \(6+6\).

Les lancers des deux dés sont indépendants, donc :

\(P(\text{obtenir }12)=P(\text{6 sur le dé truqué}) \times P(\text{6 sur le dé équilibré}) = \dfrac12 \times \dfrac16 = \dfrac1{12}\).

La probabilité d’obtenir 12 est \(\dfrac1{12}\).

Pour comprendre en détail

4.b

Corrigé

La somme des probabilités du dé truqué vaut 1, donc \(P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=\dfrac{1}{10}\).

Les façons d’obtenir 10 sont \(4+6\), \(5+5\) et \(6+4\) (dé truqué + dé équilibré). Les lancers sont indépendants.

\(P(10)=\dfrac{1}{10}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{6}\)

\(P(10)=\dfrac{0\text{,}1}{6}+\dfrac{0\text{,}1}{6}+\dfrac{0\text{,}5}{6}=\dfrac{0\text{,}7}{6}=\dfrac{7}{60}\).

La probabilité d’obtenir 10 est \(\dfrac{7}{60}\).

Pour comprendre en détail

Les deux dés sont lancés indépendamment : on multiplie donc les probabilités de chaque dé. Pour le dé équilibré, chaque issue a pour probabilité \(\dfrac{1}{6}\).

Ne pas oublier non plus le couple \(6+4\) en plus de \(4+6\), car les dés sont différents (truqué et équilibré).

1

Corrigé

On sait que \(EO = AC\).

Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\), le théorème de Pythagore donne :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 32\).

Donc \(AC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}\) cm.

Comme \(EO = AC\), on obtient \(EO = 4\sqrt{2}\) cm.

La valeur exacte de \(EO\) est \(4\sqrt{2}\) cm.

Pour comprendre en détail

La diagonale d’un carré de côté \(c\) vaut toujours \(c\sqrt{2}\), ce qui permet un calcul direct. Ici, le théorème de Pythagore justifie ce résultat.

L’égalité \(EO = AC\) est une donnée inhabituelle de l’énoncé ; ce n’est pas une propriété générale des pyramides régulières, mais elle s’applique à cette situation précise.

2

Corrigé

D’après la question 1, \(EO = AC = 4\sqrt{2}\) cm.

Dans le carré ABCD de côté 4 cm, la diagonale \(AC = 4\sqrt{2}\) cm, donc \(AO = \dfrac{AC}{2} = 2\sqrt{2}\) cm.

La pyramide étant régulière, [EO] est la hauteur, donc le triangle AOE est rectangle en O.

D’après le théorème de Pythagore :
\(AE^2 = AO^2 + EO^2 = (2\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 8 + 32 = 40\).

Donc \(AE = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\) cm (valeur exacte).

Or \(\sqrt{40} \approx 6\text{,}3246\), donc l’arrondi au millimètre est \(6\text{,}3\) cm.

Pour comprendre en détail

L’arrondi au millimètre s’obtient en arrondissant \(6\text{,}3246\) cm au dixième de centimètre : on obtient \(6\text{,}3\) cm et non \(6\text{,}32\) cm, qui serait l’arrondi au centième.

3

Corrigé

Tracer un carré ABCD de 4 cm de côté.

Sur chaque côté du carré, construire un triangle isocèle ayant pour base ce côté (4 cm) et pour côtés égaux \(AE = 2\sqrt{10}\) cm, soit environ \(6\text{,}3\) cm.

Par exemple, pour le côté [AB] : tracer un arc de cercle de centre A et de rayon \(2\sqrt{10}\) cm, puis un arc de cercle de centre B et de rayon \(2\sqrt{10}\) cm ; leur intersection extérieure au carré est le sommet E. Relier E à A et E à B.

Répéter la construction pour les trois autres côtés, en plaçant les sommets à l'extérieur du carré.

On obtient ainsi un patron de la pyramide ABCDE en vraie grandeur.

Pour comprendre en détail

La pyramide est régulière à base carrée, donc ses quatre faces latérales sont des triangles isocèles superposables et les arêtes [AE], [BE], [CE] et [DE] ont la même longueur, trouvée à la question 2 : \(AE = 2\sqrt{10}\) cm, soit environ \(6\text{,}3\) cm.

La construction du patron repose sur le fait que chaque face latérale partage un côté de la base carrée et que les arêtes latérales se rejoignent au sommet E. En plaçant les triangles autour du carré, les arêtes latérales coïncident deux à deux lors du pliage.

Pour une construction précise, on peut reporter au compas la valeur exacte \(2\sqrt{10}\) cm si possible, sinon utiliser l'arrondi au millimètre \(6\text{,}3\) cm ; le tracé reste acceptable en vraie grandeur.

1.a

Corrigé

Programme A avec le nombre 5 :

• \(5 - 4 = 1\) ;
• \(3 \times 1 = 3\) ;
• \(3 + 3 = 6\).

Le programme A affiche donc 6.

Pour comprendre en détail

La méthode consiste à suivre pas à pas la séquence des instructions en partant de la valeur entrée.

1.b

Corrigé

Programme B avec 5 : \(3 \times 5 = 15\) puis \(15 - 9 = 6\).

Le nombre obtenu avec le programme B est \(6\).

Pour comprendre en détail

Le programme B correspond à l'expression \(3x - 9\) : la variable prend d'abord la valeur \(3 \times \text{réponse}\), puis on lui ajoute \(-9\).

1.c

Corrigé

Pour le programme A, en entrant \(5\text{,}2\) :
\(5\text{,}2 - 4 = 1\text{,}2\) ;
\(1\text{,}2 \times 3 = 3\text{,}6\) ;
\(3\text{,}6 + 3 = 6\text{,}6\).

Pour le programme B, en entrant \(5\text{,}2\) :
\(3 \times 5\text{,}2 = 15\text{,}6\) ;
\(15\text{,}6 - 9 = 6\text{,}6\).

Les deux programmes donnent donc \(6\text{,}6\).

Pour comprendre en détail

1.d

Corrigé

Conjecture : les deux programmes donnent le même résultat quel que soit le nombre choisi.

Démonstration : soit \(x\) le nombre entré.

Programme A : \((x-4)\times 3 + 3 = 3x-12+3 = 3x-9\).

Programme B : \(3\times x - 9 = 3x-9\).

Les deux expressions sont identiques, donc la conjecture est validée.

Pour comprendre en détail

On utilise une variable \(x\) car les exemples des questions 1.a à 1.c ne prouvent rien pour tous les nombres.

2

Corrigé

Le programme B calcule \(3x-9\), où \(x\) est le nombre entré.

On cherche \(x\) tel que \(3x-9=14\).

\(3x=14+9=23\)

\(x=\dfrac{23}{3}\approx 7\text{,}67\).

Il faut donc entrer \(\dfrac{23}{3}\) (soit environ \(7\text{,}67\)) avec le programme B pour obtenir 14.

Pour comprendre en détail

On peut aussi remonter le programme à l’envers : partant de 14, on ajoute 9 puis on divise par 3, ce qui revient à la même résolution.

3

Corrigé

Soit \(x\) le nombre entier entré dans le programme B.

Le programme B calcule \(3x\), puis \(3x-9\).

Or \(3x-9=3(x-3)\).

Comme \(x\) est un entier, \(x-3\) est aussi un entier, donc \(3(x-3)\) est le produit de 3 par un entier : c'est un multiple de 3.

Ainsi, le résultat obtenu avec le programme B est divisible par 3 quel que soit le nombre entier entré.

Pour comprendre en détail

Ici, la factorisation par 3 permet de reconnaître un multiple de 3, c'est-à-dire un nombre divisible par 3.