Annales Bac · Spécialité mathématiques › 2021

2021Bac spé maths · Amérique du Nord · Jour 1

Épreuve écrite de spécialité mathématiques, série générale · mai 2021

mai 2021Durée : 4 heures20 points5 exercices
Fiche « Démonstration par récurrence »Fiche « Dérivée seconde et convexité »Fiche « Équation cartésienne d'un plan »Fiche « Loi binomiale »Couverture des fiches magiques Terminale spé maths

40 fiches · tout le programme

📒 Les fiches magiques

Exercice 1 (5 pts)

Probabilités

Commun à tous les candidats

Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à \(10^{-3}\).

Un laboratoire pharmaceutique vient d'élaborer un nouveau test anti-dopage.

Partie A

Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants:

  • si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est \(0{,}98\) (sensibilité du test) ;

  • si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est \(0{,}995\) (spécificité du test).

On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d'athlétisme.

On note \(D\) l'évènement « l'athlète est dopé » et \(T\) l'évènement « le test est positif ».

On admet que la probabilité de l'évènement \(D\) est égale à \(0{,}08\).

  1. Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.

  2. Démontrer que \(P(T) = 0{,}083\).

    1. Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu'il soit dopé ?

    2. Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l'évènement « un athlète présentant un test positif est dopé » est supérieure ou égale à \(0{,}95\).

      Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.

Partie B

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un athlète contrôlé présente un test positif est \(0{,}103\).

  1. Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler \(5\) athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.

    On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant un test positif parmi les \(5\) athlètes contrôlés.

    1. Donner la loi suivie par la variable aléatoire \(X\). Préciser ses paramètres.

    2. Calculer l'espérance \(E(X)\) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

    3. Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?

  2. Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l'évènement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à \(0{,}75\) ? Justifier.

Voir le corrigé de l'exercice 1

Commun à tous les candidats

Partie A

  1. Figure du corrigé de l'exercice 1

  2. D'après la loi des probabilités totales :

    \(P(T) = P(D \cap T) + P\left(\overline{D} \cap T \right)\) : or

    \(P(D \cap T) = P(D) \times P_D(T) = 0{,}08 \times 0{,}98 = 0{,}0784\) et

    \(P\left(\overline{D} \cap T \right) = P\left(\overline{D} \right) \times P_{\overline{D}}(T) = 0{,}92 \times 0{,}005 = 0{,}00460\). Donc :

    \(P(T) = 0{,}0784 + 0{,}0046 = 0{,}083\).

    1. La probabilité conditionnelle \(P_T(D) = \dfrac{P(T \cap D)}{P(T)} = \dfrac{P(D \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}0784}{0,083} \approx 0{,}9445\), soit 0,945 au millième près.

    2. D'après la question précédente \(0{,}945 < 0{,}95\), donc le test ne sera pas commercialisé.

Partie B

    1. Quel que soit l'athlète choisi la probabilité que cet athlète présente un test positif est \(0{,}103\). La variable aléatoire \(X\) suit donc une loi binomiale de paramètres \(n = 5\) et \(p = 0{,}103\).

    2. On sait que \(E = n \times p = 5 \times 0{,}103 = 0{,}515\) : ceci montre que sur un grand nombre de contrôles, il y aura à peu près 1 athlète sur 10 contrôlé positif.

    3. La probabilité qu'aucun athlète ne soit contrôlé positif est :

      \(0{,}103^0 \times (1 - 0{,}103)^5 = 0{,}897^5 \approx 0{,}5807\) soit environ 0,581 au millième près.

      Donc la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif est :

      \(1 - 0{,}581\), soit 0,419 au millième près.

  2. On a pour \(n\) athlètes contrôlés, \(P(X = 0) = 0{,}103^0 \times 0{,}897^n = 0{,}897^n\).

    Il faut donc trouver \(n\) tel que :

    \(1 - 0{,}897^n \geqslant 0{,}75 \iff 1 - 0{,}75 \geqslant 0{,}897^n \iff 0{,}25 \geqslant 0{,}897^n\).

    La calculatrice donne le plus petit \(n \in \mathbb{N}\) vérifiant cette inéquation : pour \(n = 13\), on a \(0{,}897^{13} \approx 0{,}243\).

    Il faut donc contrôler 13 athlètes en moyenne pour en trouver un positif.

Exercice 2 (5 pts)

SuitesAlgorithmique et Python

Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacifique.

Au début de l'année 2020, cette population comptait \(600\) individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.

Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite \(\left(u_n\right)\) définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l} u_0 &= &0{,}6\\ u_{n+1} &= &0{,}75 u_n\left(1 - 0{,}15 u_n\right) \end{array}\right.\]

où pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année \(2020 + n\).

  1. Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par

\[f(x) = 0{,}75x (1 - 0{,}15x).\]

  1. Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations.

  2. Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation \(f(x) = x\).

On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel \(n\),  \(u_{n+1} = f\left(u_n\right)\).

    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\),  \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1\).

    2. En déduire que la suite \(\left(u_n\right)\) est convergente.

    3. Déterminer la limite \(\ell\) de la suite \(\left(u_n\right)\).

  2. Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction.

    1. Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.

    2. Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace() ci-dessous:

      def menace() :
     u = 0,6
     n = 0
     while u > 0,02 :
     u = 0,75*u*(1-0,15*u)
     n = n+1
     return n

      Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace().

      Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Voir le corrigé de l'exercice 2
\[\left\{\begin{array}{l c l} u_0 &= &0{,}6\\ u_{n+1} &= &0{,}75 u_n\left(1 - 0{,}15 u_n\right) \end{array}\right.\]

où pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année \(2020 + n\).

  1. \(\bullet~~\)2021 correspond à \(n = 1\), donc \(u_1 = 0{,}75u_0 \times \left(1 - 0{,}15u_0\right) = 0{,}75 \times 0{,}6\times (1 - 0{,}15 \times 0{,}6) = 0{,}45 \times (1 - 0{,}09) = 0{,}45 \times0,91 = 0{,}4095\) soit environ \(410\) individus.

    \(\bullet~~\)2022 correspond à \(n = 2\), donc \(u_2 = 0{,}75u_1 \times \left(1 - 0{,}15u_1\right) = 0{,}75 \times 0{,}4095\times (1 - 0{,}15 \times 0{,}4095) = 0{,}307125 \times (1 - 0{,}061425) = 0{,}307125 \times 0{,}938575) \approx 0{,}2882\) soit environ 288 individus.

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par

\[f(x) = 0{,}75x (1 - 0{,}15x).\]

  1. \(f\) est une fonction polynôme dérivable sur \(\mathbb{R}\), donc sur [0 ; 1] et sur cet intervalle :

    \(f'(x) = 0{,}75(1 - 0{,}15x) - 0{,}75x \times 0{,}15 = 0{,}75 - 0{,}1125x - 0{,}1125x = 0{,}75 - 0{,}225x\).

    Or \(0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant 0{,}225x \leqslant 0{,}225 \Rightarrow - 0{,}225 \leqslant -0{,}225x \leqslant 0 \Rightarrow\)

    \(0{,}75 - 0{,}225 \leqslant 0{,}75 - 0{,}225x \leqslant 0{,}75\) ou enfin \(0{,}525 \leqslant f'(x) \leqslant 0{,}75\).

    Sur [0 ; 1], \(f'(x) > 0\), donc \(f\)est strictement croissante de \(f(0) = 0\) à \(f(1) = 0{,}75 \times 0{,}85 = 0{,}6375\).

  2. Sur [0 ; 1],   \(f(x) = x \iff 0{,}75x (1 - 0{,}15x) = x \iff 0{,}75x(1 - 0{,}15x) - x = 0 \iff x[0{,}75(1 - 0{,}15x) - 1] = 0 \iff x(0{,}75 - 0{,}1125x - 1) = 0 \iff x(- 0{,}25 - 0{,}1125x) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} x&=&0\,\text{ou}\\ -0{,}25 - 0{,}1125x&=0& \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x&=&0\,\text{ou}\\ -0{,}25 &=&0{,}1125x \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x&=&0\,\text{ou}\\ -\frac{0,25}{{0,1125}}&=&x \end{array}\right.\).

    Or \(-\frac{0,25}{{0,1125}} < 0\) donc dans [0 ; 1],   \(S = \{0\}\).

On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel \(n\),  \(u_{n+1} = f\left(u_n\right)\).

    1. Initialisation : on a vu que \(0 \leqslant 0{,}4095 \leqslant 0{,}6 \leqslant 1\), soit \(0 \leqslant u_1 \leqslant u_0\leqslant 1\) : la relation est vraie au rang \(0\) ;

      Hérédité : Supposons que pour \(n \in \mathbb{N}\), on ait :

      \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1\) ; la fonction \(f\) étant strictement croissante sur [0 ; 1], on a donc : \(f(0) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(u_n\right) \leqslant f(1)\),

      soit puisque \(f(0) = 0\) et \(f(1) = 0{,}75 \times (1 - 0{,}15) = 0{,}6375 \leqslant 1\) :

      \(0 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1\) : la relation est donc vraie au rang \(n + 1\).

      Conclusion : la relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang \(n\) naturel quelconque, elle est vraie au rang \(n+1\) : d'après le principe de récurrence :

      Pour tout entier naturel \(n\),  \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1\).

    2. La suite \(\left(u_n\right)\) est d'après la question précédente décroissante et minorée par \(0\) ; elle est donc est convergente.

    3. Le résultat précédent montre que la suite \(\left(u_n\right)\) converge vers un nombre \(\ell \geqslant 0\) et ce nombre \(\ell\) vérifie l'équation \(f(x) = x\), dont on a vu à la question 3. qu'elle n'avait que \(0\) comme solution.

      Conclusion : \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \ell = 0\).

    1. L'étude précédente a montré que le nombre d'individus décroit, donc le biologiste a raison puisque la limite de la suite du nombre d'individus est égale à zéro.

    2. L'algorithme calcule les termes de la suite tant que ceux-ci sont supérieurs à 0,02

      Il s'arrête à \(n = 11\) car \(u_{10} \approx 0{,}019\)

      L'espèce sera donc menacée d'extinction en 2031.

Exercice 3 (5 pts)

Géométrie dans l'espace

Commun à tous les candidats

Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante

On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].

Figure de l'exercice 3

  1. Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé \(\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AE}}\right)\).

    1. Donner les coordonnées des points I et J.

    2. Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{\text{IJ}},~\overrightarrow{\text{AE}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) sont coplanaires.

On considère le plan \(\mathcal P\) d'équation \(x + 3y - 2z + 2 = 0\) ainsi que les droites \(d_1\) et \(d_2\) définies par les représentations paramétriques ci-dessous:

\[d_1 : \left\{\begin{array}{l c l} x &=&3 + t\\ y &=& 8 - 2t\\ z &=& - 2 + 3t\\ \end{array}\right. , t \in \mathbb{R}\quad \text{et}\quad d_2 : \left\{\begin{array}{l c l} x &=&4 + t\\ y &=&1 + t\\ z &=&8 + 2t\\ \end{array}\right. , t \in \mathbb{R}.\]

  1. Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

  2. Montrer que la droite \(d_2\) est parallèle au plan \(\mathcal P\).

  3. Montrer que le point L(4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point M(5 ; 3 ; 1) sur le plan \(\mathcal P\).

Voir le corrigé de l'exercice 3

Commun à tous les candidats

Figure du corrigé de l'exercice 3

En prenant le repère orthonormé \(\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AE}}\right)\) on a :

\[\text{A}(0~;~0~;~0),\, \text{B}(1~;~0~;~0),\, \text{C}(1~;~1~;~0),\, \text{D}(0~;~1~;~0),\, \text{E}(0~;~0~;~1)\] \[\, \text{F}(1~;~0~;~1),\, \text{G}(1~;~1~;~1),\, \text{H}(0~;~1~;~1),\, \text{I}(0{,}5~;~0~;~1),\, \text{J}(1~;~0{,}5~;~0),\, \text{K}(0~;~0~;~0{,}5)\]

  1. On a \(\overrightarrow{\text{AI}}(0{,}5~;~0~;~1)\) et \(\overrightarrow{\text{KH}}(0~;~1~;~0{,}5)\) : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.

    1. Voir plus haut.

    2. On a \(\overrightarrow{\text{IJ}}(0{,}5~;~0{,}5~;~-1), \, \overrightarrow{\text{AE}}(0~;~0~;~1)\, \overrightarrow{\text{AC}}(1~;~1~;~0)\).

      On a \(2\overrightarrow{\text{IJ}} + 2\overrightarrow{\text{AE}} = \overrightarrow{\text{AC}}\).

      Le vecteur \(\overrightarrow{\text{AC}}\) est donc une combinaison des vecteurs \(\overrightarrow{\text{IJ}}\) et \(\overrightarrow{\text{AE}}\) : ces trois vecteurs sont donc coplanaires.

  3. \(d_1\) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u_1}(1~;~-2~;~3)\) et \(d_2\) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u_2}(1~;~1~;~2)\) : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas parallèles

  4. Le plan a pour vecteur normal le vecteur \(\overrightarrow{p}(1~;~3~;~-2)\) et \(d_2\) a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u_2}(1~;~1~;~2)\).

    Or \(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{u_2} = 1 + 3 - 4 = 0\) : les vecteurs sont orthogonaux donc la droite \(d_2\) est parallèle au plan \(\mathcal P\).

  5. Méthode 1

    Soit \(\Delta\) la perpendiculaire à \(\mathcal P\) contenant M. Cette droite a pour vecteur directeur le vecteur \(\overrightarrow{p}\), donc une équation paramétrique de \(\Delta\) est :

    \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&5 + 1t\\ y &=&3 + 3t\\ z &=&1 - 2t\\ \end{array}\right., t \in \mathbb{R}.\)

    Le projeté L, de M sur le plan \(\mathcal P\) a ses coordonnées qui vérifient les quatre équations :

    \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&5 + 1t\\ y &=&3 + 3t\\ z &=&1 - 2t\\ x + 3y - 2z + 2&=&0 \end{array}\right. , t \in \mathbb{R}. \Rightarrow 5 + t + 3(3 + 3t) - 2(1 - 2t) + 2 = 0 \iff\)

    \(5 + t + 9 + 9t - 2 + 4t + 2 = 0 \iff 14t + 14 = 0 \iff t + 1 = 0 \iff t = - 1\).

    En reportant dans les trois premières équations du système, on trouve les coordonnées de L projeté orthogonal de M sur \(\mathcal P\) :

    \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&5 - 1\\ y &=&3 + 3\times (- 1)\\ z &=&1 - 2\times (- 1)\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&4\\ y &=&0\\ z &=&3\\ \end{array}\right.\)

    Donc le projeté orthogonal de M sur le plan \(\mathcal P\) est le le point L(4 ; 0 ; 3).

Méthode 2

On a \(\overrightarrow{\text{ML}}(-1~;~- 3~;~2)\), donc \(\overrightarrow{\text{ML}} = - \overrightarrow{p}\) est un vecteur normal au plan \(\mathcal{P}\).

D'autre part L(4 ; 0 ; 3) \(\in \mathcal{P} \iff 4 + 3 \times 0 - 2 \times 3 + 2 = 6 - 6 = 0\) est vraie, donc L est le projeté orthogonal de M sur le plan \(\mathcal P\).

Exercice A (5 pts)

Fonction exponentielleDérivation et convexité
Principaux domaines abordés :
\(\bullet~~\)Fonction exponentielle
\(\bullet~~\)Convexité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

On justifiera chaque réponse.

Affirmation 1 : Pour tous réels \(a\) et \(b\),  \(\left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2a} + \text{e}^{2b}\).

Affirmation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = - 2 + (3 - x)\text{e}^x\) admet pour équation réduite \(y = 2x + 1\).

Affirmation 3 : \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + \dfrac{3}{x}\right) = 0\).

Affirmation 4 : L'équation \(1 - x + \text{e}^{-x} = 0\) admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2].

Affirmation 5 : La fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x^2 - 5x + \text{e}^x\) est convexe.

Voir le corrigé de l'exercice A

Affirmation 1 : Pour tous réels \(a\) et \(b\),  \(\left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2(a + b)} = \text{e}^{2a + 2b} = \text{e}^{2a} \times \text{e}^{2b}\). Donc l'affirmation est fausse.

Affirmation 2 : Une équation de la tangente \(t\) au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = - 2 + (3 - x)\text{e}^x\) est :

\(M(x~;~y) \in t \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0)\).

Or \(f(0) = - 2 + 3\text{e}^0 = - 2 + 3 = 1\) et

\(f'(x) = -\text{e}^x + (3 - x)\text{e}^x = (2 - x)\text{e}^x\), d'où \(f'(0) = 2\text{e}^0 = 2\).

Donc \(M(x~;~y) \in t \iff y - 1 = 2(x - 0) \iff y = 2x + 1\). L'affirmation est vraie.

Affirmation 3 : On a quel que soit le réel \(x\) : \(\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} + \dfrac{3}{x}= \text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} - 1 + \dfrac{3}{x\text{e}^{x}}\right)\).

On a \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{x} = + \infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3}{x\text{e}^{x}} = 0\).

Par somme de limites \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x} - 1 + \dfrac{3}{x\text{e}^{x}} = + \infty\) et par produit de limites :

\(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} - 1 + \dfrac{3}{x\text{e}^{x}}\right) = + \infty\). L'affirmation est fausse.

Affirmation 4 : Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 1 - x + \text{e}^{-x}\)

\(f\) somme de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) est dérivable et sur cet intervalle :

\(f'(x) = - 1 - \text{e}^{-x} = - \left(1 + \text{e}^{-x} \right) < 0\) car quel que soit le réel \(x\),   \(\text{e}^{-x} > 0\), donc \(1 + \text{e}^{-x} > 1\) puis \(- \left(1 + \text{e}^{-x} \right) < - 1 < 0\).

La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

On a \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty\), et \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} - x = + \infty\)  donc par somme de limites \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty\).

De même \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - x = - \infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = 0\), d'où par somme de limites : \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty\).

D'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe donc \(x_0 \in \mathbb{R}\) tel que \(f\left(x_0\right) = 0\).

Comme \(f(0) = 1 + 1 = 2 > 0\) et \(f(2) = 1 - 2 + \text{e}^{-2} \approx - 0{,}86 < 0\), on a bien \(0 < x_0 < 2\). L'affirmation est vraie.

Affirmation 5 : On a \(g'(x) = 2x - 5 + \text{e}^x\) et \(g''(x) = 2 + \text{e}^x > 0\) comme somme de deux termes supérieurs à zéro. la fonction \(g\) est donc convexe sur \(\mathbb{R}\). L'affirmation est vraie.

Exercice B (5 pts)

Logarithme népérienDérivation et convexité
Principaux domaines abordés :
\(\bullet~~\)Fonction logarithme népérien
\(\bullet~~\)Convexité

Dans le plan muni d'un repère, on considère ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_f\) représentative d'une fonction \(f\), deux fois dérivable sur l'intervalle \(]0~;~ +\infty[\).

La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une tangente horizontale \(T\) au point A(1 ; 4).

Figure de l'exercice B

  1. Préciser les valeurs \(f(1)\) et \(f'(1)\).

On admet que la fonction \(f\) est définie pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]0~;~ +\infty[\) par:

\[f(x) = \dfrac{a + b \ln x}{x} \,\, \text{où }\, a \text{ et}\, b \text{ sont deux nombres réels}.\]

  1. Démontrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif, on a :

    \[f'(x) = \dfrac{b - a - b\, \ln x}{x^2}.\]

  2. En déduire les valeurs des réels \(a\) et \(b\).

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction \(f\) est définie pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]0~;~ +\infty[\) par:

\[f(x) = \dfrac{4 + 4\ln x}{x}.\]

  1. Déterminer les limites de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\).

  2. Déterminer le tableau de variations de \(f\) sur l'intervalle \(]0~;~ +\infty[\).

  3. Démontrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif, on a :

    \[f''(x) = \dfrac{- 4 + 8\ln x}{x^3}.\]

  4. Montrer que la courbe \(\mathcal{C}_f\) possède un unique point d'inflexion B dont on précisera les coordonnées.

Voir le corrigé de l'exercice B
Figure du corrigé de l'exercice B

  1. A\((1~;~4) \in \mathcal{C}_f\), donc \(f(1) = 4\) et la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une tangente horizontale \(T\) au point A(1 ; 4); le coefficient directeur de cette tangente en ce point est nul ou encore le nombre dérivé est nul : \(f'(1) = 0\).

\[f(x) = \dfrac{a + b \ln x}{x} \,\, \text{où }\, a \text{ et}\, b \text{ sont deux nombres réels}.\]

  1. \(f\) est une fonction quotient de fonctions dérivables sur \(]0~;~ +\infty[\), le dénominateur ne s'annulant pas et sur cet intervalle :

    \(f'(x) = \dfrac{\frac{b}{x} \times x - 1(a + b\ln x)}{x^2} = \dfrac{b - a - b\ln x}{x^2}\).

  2. En utilisant les résultats du 1. :

    \(f(1) = \dfrac{a + b \ln 1}{1} = 4 \iff a = 4\) ;

    \(f'(1) = \dfrac{b - 4 - b\ln 1}{1^2} = 0 \iff b - 4 = 0 \iff b = 4\).

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction \(f\) est définie pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(]0~;~ +\infty[\) par:

\[f(x) = \dfrac{4 + 4\ln x}{x}.\]

  1. \(\bullet~~\)\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln x = - \infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} 4+4\ln x = - \infty\) donc par quotient \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = - \infty\) ;

    \(\bullet~~\) On a \(f(x) = \dfrac{4}{x} +4 \dfrac{\ln x}{x}\).

    On a \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{4}{x} = 0\) et on sait que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0\), donc par somme :

    \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0\).

  2. On a donc sur \(]0~;~+ \infty[\),   \(f'(x) = \dfrac{-4\ln x}{x^2}\) qui a pour signe celui de \(-4\ln x\).

    On sait que sur \(]0~;~1[\),   \(\ln x < 0\), donc \(f'(x) > 0\) sur ]0 ; 1[ ;

    Par contre sur \(]1~;~+ \infty[\),   \(\ln x > 0\), donc \(f'(x) < 0\) sur \(]1~;~+ \infty[\) ;

    \(f'(1) = 0\), donc le point de coordonnées (1 ; 4) est le maximum de la fonction sur \(]0~;~+ \infty[\).

    La fonction \(f\) est donc croissante sur ]0 ; 1[ de \(- \infty\) à 4, puis décroissante sur \([1~;~+ \infty[\) de 4 à 0 avec un maximum 4 pour \(x = 1\).

  3. \(f'\)étant une fonction quotient de fonctions dérivables sur \(]0~;~+ \infty[\), le dénominateur ne s'annulant pas est dérivable et sur cet intervalle :

    \(f''(x) = \dfrac{-4 \times \frac{1}{x} \times x^2 - 2x \times (- 4\ln x)}{x^4} = \dfrac{- 4x + 8x\ln x}{x^4} = \dfrac{- 4 + 8\ln x}{x^3}.\)

  4. La courbe présente un point d'inflexion lorsque la dérivée seconde s'annule. Or :

    \(f''(x) = 0 \iff \dfrac{- 4 + 8\ln x}{x^3} = 0 \iff - 4 + 8\ln x = 0 \iff -1 + 2\ln x= 0 \iff \ln x= \dfrac{1}{2} \iff x = \text{e}^{\frac{1}{2}} \approx 1{,}649\) \(\left(\text{ou}\, \sqrt{\text{e}} \right)\).

    L'ordonnée de ce point unique d'inflexion est \(f\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}\right) = \dfrac{4 + 4\times \frac{1}{2}}{\text{e}^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{6}{\text{e}^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{6} {\sqrt{\text{e}}} \approx 3{,}639\).

    Ce point d'inflexion et la tangente en ce point sont indiqués sur la figure ci-dessus.

U m

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