2024Bac spé maths · Métropole, Antilles-Guyane (septembre) · Jour 2

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CG].

Le point N est le milieu du segment [IJ].

L'objectif de cet exercice est de calculer le volume du tétraèdre HFIJ.

On se place dans le repère orthonormé \(\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)\).

1. 1. A(0 ; 0 ; 0) et B(1 ; 0 ; 0) donc I(0,5 ; 0 ; 0) ;

      C(1 ; 1 ; 0) et G(1 ; 1 ; 1) donc J(1 ; 1 ; 0,5).

      Donc N(0,75 ; 0,5 ; 0,25).

   2. \(\overrightarrow{\text{IJ}}\begin{pmatrix}1 - 0{,}5\\1 - 0 \\0,5 - 0\end{pmatrix}\), soit \(\overrightarrow{\text{IJ}}\begin{pmatrix}0{,}5\\1 \\0,5\end{pmatrix}\).

      De même avec F(1 ; 0 ; 1), \(\overrightarrow{\text{NF}}\begin{pmatrix}1 - 0{,}5\\0 - 0{,}5\\1 - 0{,}25\end{pmatrix}\), soit \(\overrightarrow{\text{NF}}\begin{pmatrix}0{,}25\\0 - 0{,}5\\ 0{,}75\end{pmatrix}\).

   3. On calcule le produit scalaire des deux vecteurs précédents :

      \(\overrightarrow{\text{IJ}} \cdot \overrightarrow{\text{NF}} = 0{,}125 - 0{,}5 + 0{,}375 = 0\) : le produit scalaire est nul, les deux vecteurs \(\overrightarrow{\text{I{}J}}\) et \(\overrightarrow{\text{NF}}\) sont orthogonaux.

      On admet que NF \(= \dfrac{\sqrt{14}}{4}\).

   4. On a IJ\(^2 = 0{,}5^2 + 1^2 + 0{,}5^2 = 1{,}5 = \dfrac32 = \dfrac64\), d'où IJ \(= \dfrac{\sqrt{6}}{2}\).

      On a démontré que la droite (NF) est perpendiculaire à la droite (IJ) : la droite (FN) est donc la hauteur issue de N dans le triangle FIJ.

      L'aire de ce triangle est donc égale à \(\dfrac{\text{IJ} \times \text{FN}}{2} = \dfrac{\frac{\sqrt{6}}{2}\times \frac{\sqrt{14}}{4}}{2}= \dfrac{\sqrt{21}}{8}\).

2. On considère le vecteur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4\\- 1\\- 2\\ \end{pmatrix}\).

   1. On a \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\text{IJ}} = 2 - 1 - 1 = 0\). D'autre part \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\text{NF}} = 1 + 0{,}5 - 1{,}5 = 0\), donc le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan FIJ (car la droite (NF) est perpendiculaire à la droite (IJ)) : il est donc normal à ce plan.

   2. On sait que les coordonnées du vecteur normal au plan sont les coefficients respectifs de \(x,\,y\) et \(z\) dans l'équation de celui-ci :

      \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{FIJ}) \iff 4x - y - 2z + d = 0\), avec \(d \in \mathbb{R}\).

      Ainsi par exemple : F\((1~;~0~;~1) \in (\text{FIJ}) \iff 4 - 0 - 2 + d = 0 \iff d = - 2\).

      Conclusion : \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{FIJ}) \iff 4x - y - 2z - 2 = 0\)

   3. La droite \(d\) a donc pour vecteur directeur le vecteur \(\overrightarrow{u}\) et contient le point H. Ses équations paramétriques s'obtiennent en traduisant la colinéarité des vecteurs \(\overrightarrow{\text{H}M}\) et \(\overrightarrow{u}\) : avec H(0 ;1 ; 1),

      \(M(x~;~y~;~z) \in (d) \iff \overrightarrow{\text{H}M} = t\overrightarrow{u}\),   avec \(t \in \mathbb{R}\), soit :

      \(M(x~;~y~;~z) \in (d) \iff \left\{\begin{array}{l c l} x - 0&=&4t\\ y - 1&=&-t\\ z - 1&=&-2t\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&\phantom{1 -}4t\\ y &=&1 - t\\ z &=&1 -2t\\ \end{array}\right.\)

   4. La droite \(d\) est perpendiculaire au plan (FIJ) en un point K dont les coordonnées vérifient les équations de \(d\) et celle de (FIJ) soit le système :

      \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&\phantom{1 -}4t\\ y &=&1 - t\\ z &=&1 - 2t\\ 4x - y - 2z - 2 &=& 0 \end{array}\right.\)

      En remplaçant \(x\),   \(y\) et \(z\) par leurs valeurs en fonction de \(t\) dans la dernière équation, on obtient :

      \(4\times 4t - (1 - t) - 2(1 - 2t) - 2 = 0 \iff 16t - 1 + t- 2 + 4t - 2 = 0 \iff 21t - 5 = 0 \iff t = \dfrac{5}{21}\).

      Les coordonnées de K sont donc : \(\left\{\begin{array}{l c l} x &=&4\times \frac{5}{21}\\ y &=&1 - \frac{5}{21}\\ z &=&1 -2\times \frac{5}{21}\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=&\frac{20}{21}\\ y &=&\frac{16}{21}\\ z &=& \frac{11}{21}\\ \end{array}\right.\)

      La distance de H au plan (FIJ) est donc égale à HK et avec \(\overrightarrow{\text{HK}}\begin{pmatrix}\frac{20}{21}\\- \frac{5}{21}\\- \frac{10}{21}\end{pmatrix}\),

      HK\(^2 = \left(\frac{20}{21}\right)^2 + \left(- \frac{5}{21}\right)^2 + \left(- \frac{10}{21}\right)^2 = \frac{400 + 25 + 100}{21^2} = \frac{525}{21^2} = \frac{25 \times 21}{21^2}\), donc

      HK \(= \dfrac{5\sqrt{21}}{21}\).

   5. D'après la question précédente [HK] est la hauteur relative à la base (FIJ) du tétraèdre HFIJ, donc le volume de celui-ci est :

      \(V = \dfrac13 \times \mathcal{A}(\text{FIJ}) \times \text{HK} = \dfrac13 \times \dfrac{\sqrt{21}}{8}\times \dfrac{5\sqrt{21}}{21} = \dfrac{5 \times 3 \times 7}{3 \times 8 \times 21} = \dfrac{5}{24}\).

Partie A : étude du cas particulier où \(n = 2\)

Dans cette partie, le robot réalise deux déplacements successifs.

1. On complète l'arbre pondéré suivant:

   

2. On a \(P\left(D_1 \cap D_2\right) = P(D_1) \times P_{D_1}(D_2) = \dfrac13 \times \dfrac34 = \dfrac14\).

3. De la même façon \(P\left(\overline{D_1} \cap D_2\right) = P\left(\overline{D_1}\right) \times P_{\overline{D_1}}(D_2) = \dfrac23 \times \dfrac12 = \dfrac13\).

   D'après la loi des probabilités totales :

   \(p_2 = P(D_2) = P\left(D_1 \cap D_2\right) + P\left(\overline{D_1} \cap D_2\right) = \dfrac14 + \dfrac13 = \dfrac{3 + 4}{3 \times 4} = \dfrac{7}{12}\).

4. On a d'abord \(p\left(\overline{D_2}\right) = 1 - p(D_2) = 1 - \dfrac{7}{12} = \dfrac{5}{12}\).

   Il faut calculer la probabilité conditionnelle :

   \(p_{\overline{D_2}}(D_1) = \dfrac{p\left(\overline{D_2} \cap D_1\right) }{p\left(\overline{D_2}\right)}= \dfrac{p\left(D_1 \cap \overline{D_2}\right) }{p\left(\overline{D_2}\right)} = \dfrac{\frac13 \times \frac14}{\frac{5}{12}} = \dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}} = \dfrac15 = 0{,}2\).

Partie B : étude de la suite \((p_n)\).

1. \(p_{n+1} = \dfrac14 p_n + \dfrac12\)

   On reprend l'arbre initial en partant de la branche \(D_n\) pondérée par le nombre \(p_n\) et la branche \(\overline{D_n}\) pondérée par \(1 - p_n\), soit :

   

   Toujours d'après la loi des probabilités totales :

   \(\begin{aligned} p_{n+1} & = P(D_{n+1}) = P(D_n) \times P_{D_n}(D_{n+1}) + P(\overline{D_n}) \times P_{\overline{D_n}}(D_{n+1}) = p_n \times \dfrac34 + (1 - p_n) \times \dfrac12 \\ & = \dfrac34p_n + \dfrac12 - \dfrac12 p_n = \dfrac14 p_n + \dfrac12 \end{aligned}\)

2. 1. On montre par récurrence que pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), on a :

      \[p_n \leqslant p_{n+1} < \dfrac23.\]

      Initialisation : on a \(p_1 = \dfrac13 = \dfrac{4}{12}\), \(p_2 = \dfrac{7}{12}\) et \(\dfrac23 = \dfrac{8}{12}\).

      On a \(\dfrac{4}{12} < \dfrac{7}{12} < \dfrac{8}{12}\), soit \(p_1 < p_2 < \dfrac23\) : l'encadrement est vrai au rang 1.

      Hérédité : soit \(n\) un naturel avec \(n \geqslant 1\) et supposons que \(p_n \leqslant p_{n+1} < \dfrac23\) ; comme \(\dfrac14 > 0\), on a donc par produit :

      \(\dfrac14p_n \leqslant \dfrac14p_{n+1} < \dfrac14\times \dfrac23\), soit \(\dfrac14p_n \leqslant \dfrac14p_{n+1} < \dfrac16\) et, en ajoutant à chaque

      membre \(\dfrac12\) :

      \(\dfrac14p_n + \dfrac12\leqslant \dfrac14p_{n+1} + \dfrac12 < \dfrac16 + \dfrac12\), soit d'après la relation de récurrence démontrée à la question 1. : \(p_{n+1} < p_{n+2} < \dfrac23.\)

      La relation est donc vraie au rang \(n+1\).

      Conclusion : la relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie au rang \(n\) au moins égal à 1, elle l'est aussi au rang \(n + 1\) : d'après le principe de récurrence, quel que soit \(n \in \mathbb{N}^*\), on a: \(p_{n} < p_{n+1} < \dfrac23.\)

   2. Le résultat précédent montre que la suite est croissante et majorée par \(\dfrac23\) : d'après le théorème de la convergence monotone, elle converge donc vers un nombre réel inférieur ou égal à \(\dfrac23\).

3. 1. Quel que soit \(n \geqslant 1\), on a \(\begin{aligned}[t] u_{n+1}& = p_{n+1} - \dfrac23 = \dfrac14p_n + \dfrac12 - \dfrac23 = \dfrac14p_n + \dfrac36 - \dfrac46 = \dfrac14p_n - \dfrac16 \\ & = \dfrac14\left(p_n - \dfrac46\right) = \dfrac14\left(p_n - \dfrac23\right) = \dfrac14 u_n. \end{aligned}\)

      La relation \(u_{n+1} = \dfrac14u_n\), avec \(n \geqslant 1\) montre que la suite \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac14\) et de premier terme \(u_1 = p_1 - \dfrac23 = \dfrac13 - \dfrac23 = - \dfrac13\).

   2. On sait que pour \(n \geqslant 1\),   \(u_n = - \frac13 \times \left(\dfrac14\right)^{n-1}\).

      Comme \(- 1 < \dfrac14 < 1\), on sait que \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac14\right)^{n-1} = 0\) et donc \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} - \frac13 \times \left(\dfrac14\right)^{n-1} = 0\).

      On a donc \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = p_n - \dfrac23 = 0\) et finalement : \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = \dfrac23.\)

      Conclusion : sur un grand nombre de déplacements du robot celui-ci se dirigera en moyenne deux fois sur trois à droite et donc une fois sur trois à gauche.

Partie C

La variable aléatoire \(X\) égale au nombre de déplacements vers la droite suit une loi binomiale de paramètres \(n = 10\) et \(p = \dfrac34\).

La seule possibilité de revenir au point de départ est de faire (globalement) 5 déplacements à droite et donc 5 déplacements à gauche, soit :

\(P(X = 5) = \displaystyle\binom{10}{5} \times \left(\dfrac34\right)^5 \times \left(\dfrac14\right)^5 \approx 0{,}0583\), soit 0,058 au millième près.

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par: \(f(x) = \dfrac{6}{1 + 5\mathrm{e}^{-x}}\).

1. On a \(f(\ln 5) = \dfrac{6}{1 + 5\mathrm{e}^{-\ln 5}}\).

   Or \(\mathrm{e}^{-\ln 5} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{\ln 5}} = \dfrac15\), donc \(f(\ln 5) = \dfrac{6}{1 + 5\times \frac15} = \dfrac{6}{2} = 3\). Donc A \((\ln\,5\,;\,3) \in \mathcal{C}_f\).

2. On sait que \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \mathrm{e}^{-x} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + 5\mathrm{e}^{-x} = 1\) et \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 6\).

   Donc la droite d'équation \(y = 6\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).

3. 1. Pour tout réel: \(f'(x) = - 6 \times \dfrac{(1 + 5\mathrm{e}^{-x})'}{\left(1 + 5\mathrm{e}^{-x}\right)^2}= - \dfrac{6 \times 5 \times (- 1) \mathrm{e}^{-x}}{\left(1 + 5\mathrm{e}^{-}x\right)^2} = \dfrac{30\mathrm{e}^{-x}}{\left(1 + 5\mathrm{e}^{-x} \right)^2}\)

   2. On sait que quel que soit \(x \in \mathbb{R}\),   \(30\mathrm{e}^{-x} > 0\) et \(\left(1 + 5\mathrm{e}^{-x} \right)^2 > 0\) ; donc \(f'(x) > 0\) sur \(\mathbb{R}\) : la fonction \(f\) est croissante (strictement) sur \(\mathbb{R}\)..

      D'autre part \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \mathrm{e}^{-x} = + \infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 1 + 5\mathrm{e}^{-x} = + \infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) =0\).

      Donc l'axe des abscisses est asymptote à la courbe \(\mathcal{C}_f\) en \(-\infty\).

      Enfin \(f(0) = \dfrac{6}{1 + 5 \times 1} = \dfrac 66 = 1\) : d'où le tableau de variation :

      \(\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x & -\infty & & 0 & & \ln 5 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & & + & & + & \\ \hline & & & & & & & 6 \\ f(x) & & \nearrow & \color{red}{1} & \nearrow & \color{red}{3} & \nearrow & \\ & 0 & & & & & & \\ \hline\end{array}\)

4. 1. Comme \(30\mathrm{e}^{-x} > 0, \, 1 + 5\mathrm{e}^{-x} > 0\) et donc \(\left(1 + 5\mathrm{e}^{-x}\right)^3 > 0\), le signe de \(f''(x)\) est celui de \(5\mathrm{e}^{-x} - 1\) :

      • \(5\mathrm{e}^{-x} - 1 = 0 \iff 5\mathrm{e}^{-x} = 1 \iff \mathrm{e}^{-x} = \dfrac15 \Rightarrow -x = \ln \dfrac15 \iff - x = - \ln 5 \iff x = \ln 5\) ;

      • \(5\mathrm{e}^{-x} - 1 > 0 \Rightarrow x > \ln 5\) ;

      • \(5\mathrm{e}^{-x} - 1 < 0 \Rightarrow x < \ln 5\).

      Conclusion : \(f\) est convexe sur l'intervalle \(]- \infty~;~\ln 5[\), concave sur \(]\ln 5~;~+ \infty[\) et a en \(\ln 5\) un point d'inflexion car la dérivée seconde change de signe en ce point: il s'agit du point A.

   2. Une équation de la tangente \(T_0\) à \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse 0 est :

      \(M(x~;~y) \in T_0 \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0)\).

      On a vu que \(f(0) = 1\) et \(f'(0) = \dfrac{30\mathrm{e}^{0}}{\left(1 + 5 \mathrm{e}^{0}\right)^2} = \dfrac{30}{36} = \dfrac56\).

      Donc \(M(x~;~y) \in T_0 \iff y - 1 = \dfrac56(x-0) \iff y = \dfrac56 x + 1\).

      Or on a vu que sur l'intervalle \(]- \infty~;~\ln 5[\), la fonction \(f\) est convexe et par conséquent que sa courbe représentative \(\mathcal{C}\) est au dessus de toutes ses tangentes menées en un point de l'intervalle \(]- \infty~;~\ln 5[\), donc en particulier au dessus de la tangente \(T_0\) en \(x = 0\), donc numériquement :

      \[f(x)\geqslant \dfrac56 x + 1 \quad \text{sur }\, ]- \infty~;~\ln 5[.\]

5. On considère une fonction \(F_k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(F_k(x) = k \ln \left(\mathrm{e}^x + 5\right)\), où \(k\) est une constante réelle.

   1. \(F_k\) est une fonction composée de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) (car \(\mathrm{e}^x + 5 > 0\)), elle est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) : elle est une primitive de \(f\) si :

      \(F'_k(x) = f(x) \iff k\dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + 5} = \dfrac{6}{1 + 5\mathrm{e}^{-x}}\),

      soit en multipliant chaque terme de \(F'_k(x)\) par \(\mathrm{e}^{-x}\) :

      \(k\dfrac{1}{1 + 5\mathrm{e}^{-x}} = \dfrac{6}{1 + 5\mathrm{e}^{-x}} \iff k = 6\).

      Donc \(F_6(x) = 6 \ln \left(\mathrm{e}^x + 5\right)\).

   2. On a vu que \(f(0) = 1 > 0\) et la fonction est croissante ; elle est donc positive sur l'intervalle \([0~;~\ln 5]\).

      L'aire demandée \(\mathcal{A}\) est donc égale (en unités d'aire) à :

      \(\begin{aligned} \mathcal{A} & = \displaystyle\int_0^{\ln 5} f(x) \,\text{d}x = \left[F_6(x) \right]_0^{\ln 5} = F_6(\ln 5) - F_6(0) = 6\ln\left(\mathrm{e}^{\ln 5} + 5\right) - 6\ln\left(\mathrm{e}^0 + 5\right) \\ & = 6\ln 10 - 6\ln 6 = 6[\ln 10 - \ln 6] = 6\ln \dfrac{10}{6} = 6\ln \dfrac53. \end{aligned}\)

Partie B

L'objectif de cette partie est d'étudier l'équation différentielle: \((E) \qquad y' = y - \dfrac16 y^2.\)

1. On a \(\begin{aligned}[t] f(x) - \dfrac16 [f(x)]^2 & = \dfrac{6}{1 + 5\mathrm{e} ^{-x}} - \dfrac16 \times \dfrac{36}{\left(1 + 5\mathrm{e} ^{-x}\right)^2} \\ & = \dfrac{6}{1 + 5\mathrm{e} ^{-x}} - \dfrac{6}{\left(1 + 5\mathrm{e} ^{-x}\right)^2} = \dfrac{6\left(1 + 5\mathrm{e} ^{-x}\right) - 6}{\left(1 + 5\mathrm{e} ^{-x}\right)^2} = \dfrac{30\mathrm{e} ^{-x}}{\left(1 + 5\mathrm{e} ^{-x}\right)^2} = f'(x) \end{aligned}\)

   Donc \(f\) est bien une solution de l'équation \((E)\).

2. • Les solutions de l'équation \(y' = - y\) sont les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(x \longmapsto K\mathrm{e}^{-x}\) avec \(K \in \mathbb{R}\) ;

   • La fonction constante \(x \longmapsto \dfrac16\) est la seule fonction constante solution de l'équation à résoudre ;

   • Les fonctions solutions de l'équation différentielle proposée sont les fonctions définies par :

     \[x \longmapsto \dfrac16 + K\mathrm{e}^{-x}\quad \text{avec }\, K \in \mathbb{R}.\]

3. 1. On a donc : \(h'(x) = - h(x) + \dfrac16\)

      Or si \(h(x) = \dfrac{1}{g(x)}\), alors \(h'(x) = - \dfrac{g'(x)}{[g(x)]^2}\).

      L'équation précédente devient :

      \(- \dfrac{g'(x)}{[g(x)]^2} = - \dfrac{1}{g(x)} + \dfrac16\) soit en multipliant par \([g(x)]^2\)

      \(-g'(x) = - g(x) + \dfrac16 [g(x)]^2 \iff g'(x) = g(x) - \dfrac16 [g(x)]^2\) ce qui signifie que la fonction \(g\) est une solution de l'équation différentielle \(y' = y - \dfrac16 y^2\).

   2. \[g_m(x) = \dfrac{6}{1 + 6m\mathrm{e}^{-x}}.\]

      Puisque \(m\) est positif, alors \(6m\mathrm{e}^{-x}\) l'est aussi et \(1 + m\mathrm{e}^{-x} \geqslant 1 > 0\), donc finalement \(g_m(x) > 0\) quel que soit le réel \(x\). La fonction \(h_m\) définie par \(h_m(x) = \dfrac{1}{g_m(x)}\) est donc bien définie sur \(\mathbb{R}\).

      Or \(h_m(x) = \dfrac{1}{g_m(x)} = \dfrac{1 + 6m\mathrm{e}^{-x}}{6} = \dfrac16 + m\mathrm{e}^{-x}\) et on reconnait une solution de l'équation différentielle de la question 2..

      On a ensuite vu à la question 3. a. que si la fonction \(h_m\) était une solution de \(y' = - y + \dfrac16\), alors \(g_m\) était elle solution de l'équation \(y' = y - \dfrac16 y^2\).

1. On considère le script écrit en langage Python ci-dessous.

   def seuil(S) :
        n=0
        u=7
        while u < S :
                 n=n+1
                 u=1.05*u+3
        return(n)

   Affirmation 1 : l'instruction seuil(100) renvoie la valeur 18. Vraie

   En partant de 7 l'algorithme multiplie le nombre précédent par \(1{,}05\) et ajoute 3.

   On peut simuler ceci avec une simple calculatrice et on obtient en arrondissant au centième:

   \(n\)	0	1	2	\(\cdots\)	17	\(\color{blue} 18\)
   \(u\)	7	\(10{,}35\)	\(13{,}87\)	\(\cdots\)	\(93{,}57\)	\(\color{blue} 101{,}24\)

   10,35 est le premier résultat et 101,24 le 18^e l'algorithme s'arrête au 19^e passage.

2. Soit \((S_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par

   \[S_n = 1 + \dfrac15 + \dfrac{1}{5^2} + \ldots + \dfrac{1}{5^n}.\]

   Affirmation 2 : la suite \((S_n)\) converge vers \(\dfrac54\).Vraie

   On a la somme des \(n\) premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison \(\dfrac15\).

   En écrivant sous la somme \(S\) la somme \(\dfrac15 S\) décalée d'un rang vers la droite et en calculant la différence des deux lignes, on obtient :

   \(S - \dfrac15 S = 1 - \dfrac{1}{5^{n+1}} \iff \dfrac45 S = 1 - \dfrac{1}{5^{n+1}}\iff S = \dfrac54\left[1 - \dfrac{1}{5^{n+1}}\right]\).

   Comme \(-1< \dfrac15 < 1\), on sait que \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac15\right)^{n+1} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1 - \dfrac{1}{5^{n+1}} = 1\) et enfin \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S = \dfrac54 = 1{,}25\).

3. Affirmation 3 : dans une classe composée de 30 élèves, on peut former \(870\) binômes de délégués différents. Fausse

   Le nombre de binômes différents est \(\displaystyle\binom{30}{2} = \dfrac{30 \times 29}{2} = 435\).

4. On considère la fonction \(f\) définie sur \([1~;~ +\infty[\) par \(f(x) = x(\ln x)^2\).

   Affirmation 4 : Vraie l'équation \(f(x) = 1\) admet une solution unique dans l'intervalle \([1~;~ +\infty[\).

   La fonction \(f\) est dérivable sur \([1~;~ +\infty[\) et sur cet intervalle :

   \(f'(x) = (\ln x)^2 + x \times 2 \times \dfrac 1x \times \ln x = (\ln x)^2 + 2\ln x = \ln x \left (\ln x + 2\right )\).

   On sait que la fonction logarithme népérien est croissante et comme \(\ln 1 = 0\) et \(\ln 1 + 2 > 0\), \(f'(x) \geqslant 0\).

   La fonction est donc croissante de \(f(1) = 0\) à plus l'infini : d'après le théorème des valeurs intermédiaires \(f\) ne peut prendre la valeur 1 qu'une seule fois.

5. Affirmation 5 : Vraie

   \[\displaystyle\int_0^1 x\mathrm{e}^{-x}\,\text{d}x = \dfrac{\mathrm{e} - 2}{\mathrm{e}}.\]

   Les fonctions \(x \longmapsto x\) et \(x \longmapsto \mathrm{e}^{-x}\) étant dérivables sur \(\mathbb{R}\) donc sur [0 ; 1], on fait une intégration par parties :

   avec \(u(x) = x\) et \(v'(x) = \mathrm{e}^{-x}\), on obtient : \(u'(x) = 1\) et \(v(x) = - \mathrm{e}^{-x}\), d'où :

   \(\begin{aligned} \displaystyle\int_0^1 x\mathrm{e}^{-x}\,\text{d}x & = \left[-x\mathrm{e}^{-x} \right]_0^{1} + \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{-x}\,\text{d}x = \left[x\mathrm{e}^{-x} \right]_0^1 + \left[-\mathrm{e}^{-x} \right]_0^1 = \left[-\mathrm{e}^{-x}(1 + x) \right]_0^1\\ & = - 2\mathrm{e}^{-1} + 1 = 1 - \dfrac{2}{\mathrm{e}} = \dfrac{\mathrm{e} - 2}{\mathrm{e}} \end{aligned}\)