2025Bac spé maths · Nouvelle-Calédonie · Jour 1

1. On complète l'arbre représentant la situation.

   

2. L'évènement « Le joueur obtient une boule avec la lettre A et un billet de 50 euros » est \(\left\{A \cap C\right\}\).

   \[P\left(A \cap C\right) = P(A) \times P_{A}(C) = 0{,}25 \times 0{,}6 = \boxed{0,15}\]

3. Les évènements \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales, on a :

   \[\begin{aligned} P(C)&= P\left(A \cap C\right) + P\left(\overline{A} \cap C\right) = P(A) \times P_{A}(C) + P\left(\overline{A}\right) \times P_{\overline{A}}(C)\\ &= 0{,}15 + 0{,}75 \times 0{,}25 = 0{,}15 + 0{,}1875\\ &= \boxed{0{,}3375} \end{aligned}\]

4. On doit calculer la probabilité \(P_{\overline{C}}\left(\overline{A}\right)\) :

   \[P_{\overline{C}}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{P\left(\overline{A}\cap \overline{C}\right)}{P\left(\overline{C}\right)} = \dfrac{P\left(\overline{A}\right) \times P_{\overline{A}}\left(\overline{C}\right)}{1 - P(C)} = \dfrac{0,75 \times 0{,}75}{1 - 0{,}3375} = \dfrac{0{,}5625}{0{,}6625} = \dfrac{45}{53} \approx 0{,}85.\]

   La probabilité que le joueur ait pris une boule avec la lettre B sachant qu'il a obtenu un billet de 10 euros est environ 85 %. L'affirmation est donc vraie.

   Attention, piège :

   On demande une probabilité conditionnelle : \(P_{\overline{C}}(\overline{A})\). Ne pas confondre avec la probabilité de l’intersection \(P(\overline{A} \cap \overline{C}) = 0{,}5625\), qui ne permet pas de conclure directement. Il faut diviser par \(P(\overline{C})\) pour répondre à la question posée.

5. La loi de probabilité de \(X_{1}\) est donnée par le tableau suivant :

   k_i	10	50
   P(X_1 = k_i)	0,6625	0,3375

   L'espérance de \(X_{1}\) est donc :

   \[E\left(X_{1}\right) = 10 \times 0{,}6625 + 50 \times 0{,}3375 = 6{,}625 + 16{,}875 = \boxed{23,5}.\]

   La variance de \(X_{1}\) est donc :

   \[\begin{aligned} V\left(X_{1}\right) & = E\left(X_{1}^{2}\right) - \left[E\left(X_{1}\right)\right]^{2} = \left (100 \times 0{,}6625 + 2500\times 0{,}3375 \right )- 23{,}5^{2}\\ & = 66{,}25 + 843{,}75 - 552{,}25 = \boxed{357,75}. \end{aligned}\]

6. 1. On sait que l'espérance d'une somme de variables aléatoires est égale à la somme des espérances; or \(X_{1}\) et \(X_{2}\) suivent la même loi, donc :

      \[E(Y) = 2 \times E\left(X_{1}\right) = 2 \times 23{,}5 = \boxed{47}.\]

   2. Puisque la boule et le billet ont été remis, les deux tirages sont indépendants, donc les variables aléatoires \(X_{1}\) et \(X_{2}\) sont indépendantes. Or on sait que la variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances (propriété de l'additivité). On a donc :

      \[\boxed{V(Y) = V\left(X_{1}\right) + V\left(X_{2}\right)} \text{~~et donc~~} \boxed{V(Y)=2\times 357{,}75 = 715{,}5}\]

7. Le joueur joue de même une troisième, une quatrième,…, une centième partie.

   On définit donc de la même façon les variables aléatoires \(X_3\), \(X_4\),…, \(X_{100}\).

   On note \(Z\) la variable aléatoire définie par \(Z = X_1 + X_2 + \ldots + X_{100}\).

   • \(E\left (Z\right ) = E\left (\displaystyle\sum_{k=1}^{100} X_k \right ) = \displaystyle\sum_{k=1}^{100} \left (E\left (X_k\right )\right ) = 100\times 23{,}5 = 2350\)

   • \(V\left (Z\right ) = V\left (\displaystyle\sum_{k=1}^{100} X_k \right ) = \displaystyle\sum_{k=1}^{100} \left (V\left (X_k\right )\right ) = 100\times 357{,}75 = 35\,775\)

   Pour tout réel \(t\) strictement positif, on a: \(P\left ( \left | Z-E(Z) \right | \geqslant t\right ) \leqslant \dfrac{V(Z)}{t^2}\).
   C'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

   On en déduit que: \(P\left ( \left | Z-E(Z) \right | < t\right ) \geqslant 1- \dfrac{V(Z)}{t^2}\). Donc: \(P\left ( \left | Z- 2350 \right | < t\right ) \geqslant 1- \dfrac{35\,775}{t^2}\)

   \(\left | Z- 2350 \right | < t \iff 2350-t < Z < 2350+ t\)

   Or on cherche \(P\left ( Z \in\, \left ] 1950\;;\; 2750 \right [\right )\) donc on prendra \(t=400\).

   On aura donc: \(P\left ( Z \in\, \left ] 1950\;;\; 2750 \right [\right ) \geqslant 1- \dfrac{35\,775}{400^2}\).

   \(1- \dfrac{35\,775}{400^2} \approx 0{,}776 \geqslant 0{,}75\). Donc la probabilité que \(Z\) appartienne à l'intervalle \(]1950~;~2750[\) est supérieure ou égale à \(0{,}75\).

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)\), on considère les points :

1. On a : \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5-1\\-3-(-4)\\2-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix}5-6\\-3-(-2)\\2-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}\).

   Donc : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = 1 \times (-1) + 1 \times (-1) - 2 \times (-1) = -1 -1 + 2 = 0.\)

   Puisque leur produit scalaire est nul, les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CB}\) sont orthogonaux, donc le triangle ABC est rectangle en B.

2. D'après la question précédente, les points A, B et C étant non alignés, ils définissent bien un plan. Leurs coordonnées vérifient donc toute équation cartésienne du plan ainsi défini.

   Or on a : \(4-(-4)-8 = 4 + 4 - 8 = 0,\) donc les coordonnées de A vérifient l'équation \(x - y - 8 = 0\).

   De même \(5 - (-3) - 8 = 5 + 3 - 8 = 0 \qquad \text{et} \qquad 6 - (-2) - 8 = 6 + 2 - 8 = 0,\) donc les coordonnées de B et C vérifient également l'équation \(x - y - 8 = 0\).

   Donc   \(x - y - 8 = 0\)   est bien une équation cartésienne du plan (ABC).

3. 1. On sait que si \(\overrightarrow{\mathrm{n}} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) est un vecteur normal à un plan, alors ce plan a une équation cartésienne de la forme \(ax + by + cz + d = 0\). Or on a vu à la question précédente que \(x - y - 8 = 0\) est une équation cartésienne du plan (ABC), donc \(\overrightarrow{\mathrm{n}} = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (ABC).

      Puisque \(d\) est orthogonale au plan (ABC), le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{n}} = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \(d\). De plus, la droite \(d\) passe par le point \(\mathrm{D}\,(5~;~1~;~1)\).
      Donc une représentation paramétrique de \(d\) est :

      \[\boxed{\left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 5 + t\\ y &=& 1 - t\\ z &=& 1 \end{array}\right. \qquad t \in \mathbb{R}.}\]

   2. Puisque la droite \(d\) est orthogonale au plan (ABC) et passe par D, le projeté orthogonal H de D sur (ABC) est le point d'intersection de la droite \(D\) et du plan (ABC). Les coordonnées \((x~;~y~;~z)\) du point H vérifient donc à la fois la représentation paramétrique de \(d\) et l'équation cartésienne de (ABC). Elles sont donc solution du système :

      \[\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 5 + t\\ y &=& 1 - t\\ z &=& 1\\ x - y - 8 &=& 0 \end{array}\right.\\ \\ \Longrightarrow 5 + t - (1 - t) - 8 = 0 \iff 2t - 4 = 0 \iff 2t = 4 \iff t = 2\\ \\ \left\{ \begin{array}{rcl} x &=& 5 + 2 = 7\\ y &=& 1 - 2 = -1\\ z &=& 1 \end{array}\right.\end{array}\]

      Les coordonnées du projeté orthogonal H de D sur (ABC) sont donc :

      \[\boxed{\mathrm{H}\,(7~;~-1~;~1)}\]

   3. \(\mathrm{DH} = \sqrt{(7-5)^2 + (-1-1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = \boxed{2\sqrt{2}}\)

4. 1. La pyramide ABCD admet pour base le triangle ABC et pour hauteur le segment [DH]. On a donc \(V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire}\,(\mathrm{ABC}) \times \mathrm{DH}\).

      Puisque ABC est rectangle en B, on a :

      \[\begin{aligned} \text{aire}\,(\text{ABC}) &= \dfrac{\mathrm{AB}\times\mathrm{CB}}{2} = \dfrac{\|\overrightarrow{AB}\| \times \|\overrightarrow{CB}\|}{2}\\ &= \dfrac{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} \times \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}{2}\\ &= \dfrac{\sqrt{1+1+4}\times\sqrt{1+1+1}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}\times\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{18}}{2}\\ &= \dfrac{3\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}\]

      On a donc :

      \[V = \dfrac{1}{\cancel{3}} \times \dfrac{\cancel{3}\sqrt{2}}{\cancel{2}} \times \cancel{2}\sqrt{2} = \boxed{2}\]

      Le volume de la pyramide ABCD est \(2\).

   2. La distance du point A au plan (BCD) est la longueur de la hauteur issue de A de la pyramide ABCD. Soit \(x\) cette distance. On a alors \(V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire\,(BCD)} \times x\). Donc :

      \[\dfrac{1}{3} \times \dfrac{\sqrt{42}}{2} \times x = 2 \iff x\sqrt{42} = 2 \times 3 \times 2 \iff x = \dfrac{12}{\sqrt{42}} = \dfrac{2\times6}{\sqrt{6} \times \sqrt{7}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{7}} = \boxed{\dfrac{2\sqrt{42}}{7}}\]

      La distance du point A au plan (BCD) est \(\dfrac{2\sqrt{42}}{7}\).

On considère \(n\) un entier naturel non nul.

On considère la fonction \(f_n\) définie sur l'intervalle \([0~;~1]\) par : \(f_n(x) = x^n \mathrm{e}^{1 - x}.\)

Partie A

1. \(f_1(x)=x \mathrm{e}^{1-x}\) donc \(f'_{1}(x) = 1 \times \mathrm{e}^{1 - x} + x \times \left(-\mathrm{e}^{1-x}\right) = \boxed{(1-x)\mathrm{e}^{1-x}}\)

   On sait que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) on a \(\mathrm{e}^{1-x} > 0\), donc \(f'_{1}(x)\) est du signe de \(1 - x\). Or, \(1 - x \geqslant 0 \iff x \leqslant 1\). Donc, pour tout \(x \in {\left[0~;~1\right[}\), \(f'_{1}(x)\) est strictement positif.

2. 

   \[f_{1}(0) = 0 \times \mathrm{e}^{1-0} = 0\] \[f_{1}(1) = 1 \times \mathrm{e}^{1-1} = \mathrm{e}^{0} = 1\]

3. La fonction \(f_{1}\) est continue (puisque dérivable) et strictement croissante sur \(\left[0~;~1\right]\), avec

   \(f_{1}(0) = 0 < 0{,}1\) et \(f_{1}(1) = 1 > 0{,}1\), donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f_{1}(x) = 0{,}1\) admet une solution unique dans \(\left[0~;~1\right]\).

Partie B

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par

On admet que \(u_1 = \mathrm{e} - 2\).

1. 1. Pour \(x \in \, [0~;~1]\), on a: \(0\leqslant x \leqslant 1\).

      \(x\geqslant 0\) donc \(x^n\geqslant 0\); on multiplie l'inégalité précédente par \(x^n\):

      \(0\times x^n \leqslant x \times x^n \leqslant 1 \times x^n \iff 0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n\)

      On a donc démontré que pour tout entier naturel \(n\), on a:

      \[\boxed{0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n}\]

   2. On sait que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\mathrm{e}^{1-x} > 0\), donc, d'après la question précédente :

      \[0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^{n} \iff 0 \leqslant x^{n+1}\mathrm{e}^{1-x} \leqslant x^{n}\mathrm{e}^{1-x}.\]

      Donc, d'après la positivité de l'intégration :

      \[0 \leqslant x^{n+1}\mathrm{e}^{1-x} \leqslant x^{n}\mathrm{e}^{1-x} \implies 0 \leqslant \int_{0}^{1}x^{n+1}\mathrm{e}^{1-x}\,\text{d}x \leqslant \int_{0}^{1}x^{n}\mathrm{e}^{1-x}\,\text{d}x \iff \boxed{0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}}\]

   3. D'après la question précédente, puisque \(u_{n+1} \leqslant u_{n}\) la suite \(\left(u_{n}\right)\) est décroissante.

      De plus, puisque \(0 \leqslant u_{n}\), elle est minorée par \(0\).

      Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente vers une limite positive ou nulle.

2. 1. On sait que pour \(u\) et \(v\) dérivables on a : \(\displaystyle\int_{a}^{b}u'(x)v(x)\,\text{d}x = \left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b} - \displaystyle\int_{a}^{b}u(x)v'(x)\,\text{d}x\).

      Posons \(u'(x) = \mathrm{e}^{1-x}\) et \(v(x) = x^{n+1}\). Alors \(u(x) = -\mathrm{e}^{1-x}\) et \(v'(x) = (n+1)x^{n}\).

      On a donc :

      \[\begin{aligned} \int_{0}^{1}x^{n+1}\mathrm{e}^{1-x}\,\text{d}x &= \left[-x^{n+1}\mathrm{e}^{1-x}\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}(n+1)x^{n}\left(-\mathrm{e}^{1-x}\right)\,\text{d}x\\ &= -1^{n+1}\mathrm{e}^{1-1} - \left(-0^{n+1}\mathrm{e}^{1-0}\right) - (n+1)\int_{0}^{1}-x^{n}\mathrm{e}^{1-x}\,\text{d}x\\ &= -1 + (n+1)\int_{0}^{1}x^{n}\mathrm{e}^{1-x}\,\text{d}x \end{aligned}\]

      On a donc bien :

      \[\boxed{u_{n+1} = (n+1)u_{n} - 1}.\]

   2. On complète le script Python en bleu ci-dessus pour que la fonction suite() renvoie la valeur de \(\displaystyle\int_0^1 x^8 \mathrm{e}^{1-x} \, \text{d}x\).

      from math import exp
      
      

      def	suite() :
      	u = exp(1)-2
      	for n in range (1,8):
      	u = (n+1) * u - 1
      	return u

      Attention, piège :

      En Python, range(1,8) itère pour \(n=1,2,\dots,7\). Comme \(u\) est initialisé à \(u_1\), il faut appliquer la relation \(u_{n+1}=(n+1)u_n-1\) jusqu'à \(n=7\) pour obtenir \(u_8\) ; range(1,9) donnerait \(u_9\).

3. 1. On se place dans l'intervalle d'intégration : soit \(x \in [0~;~1]\), donc

      \(\begin{aligned}[t] 0 \leqslant x \leqslant 1 &\implies 1-x \leqslant 1 \implies \mathrm{e}^{1-x} \leqslant \mathrm{e} \text{~~~~(croissance de la fonction exponentielle)}\\ &\implies x^n \mathrm{e}^{1-x} \leqslant x^n\times \mathrm{e} ~~~~(x^n\geqslant 0)\\ &\implies \displaystyle\int_{0}^{1} x^n \mathrm{e}^{1-x} \,\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} x^n\times \mathrm{e} \,\text{d}x \text{~~~~(craoissance de l'intégration)}\\ &\implies \displaystyle\int_{0}^{1} x^n \mathrm{e}^{1-x} \,\text{d}x \leqslant \mathrm{e} \displaystyle\int_{0}^{1} x^n \,\text{d}x \implies u_n \leqslant \mathrm{e} \left [ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right ]_{0}^{1}\\ & \implies u_n \leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{n+1} \\ \end{aligned}\)

   2. On sait que pour tout \(n\), on a: \(0\leqslant u_n\); donc \(0\leqslant u_n \leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{n+1}\).

      Or \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{\mathrm{e}}{n+1} = 0\), donc d'après le théorème des gendarmes, on peut dire que

      \[\boxed{\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0}\]

1. Puisque \(x > 0\), on peut écrire \(f(x) = x^2\left(\dfrac{\ln (x)}{x^2} - 1\right)\).

   On sait (croissances comparées) que \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{\ln (x)}{x^2} = 0\), donc que \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{\ln (x)}{x^2} - 1 = - 1\).

   Comme \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x^2 = + \infty\), on obtient finalement par produit de limites

   \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 \left(\dfrac{\ln (x)}{x^2} - 1\right) = - \infty\).

   L'affirmation 1 est vraie.

2. \(f(x)=2\,\cos\left (x\right )- \sin\left (x\right )\), donc: \(f'(x)= -2\,\sin\left (x\right ) - \cos\left (x\right )\). Donc:

   \(\begin{aligned}[t] - 2f'(x) + 3f(x) & = -2\left ( -2\,\sin\left (x\right ) - \cos\left (x\right )\right ) +3 \left (2\,\cos\left (x\right )- \sin\left (x\right ) \right )\\ & = 4\,\sin\left (x\right ) +2\,\cos\left (x\right ) +6\,\cos\left (x\right ) -3\,\sin\left (x\right )\\ & = \sin\left (x\right ) +8\,\cos\left (x\right ) \end{aligned}\)

   Donc la fonction \(f\) est solution de l'équation différentielle \(-2y' +3y = \sin\left (x\right ) +8\,\cos\left (x\right )\).

   L'affirmation 2 est vraie.

3. On a \(u_0 = 25\) et donc \(u_1 = \ln (3 \times 25 + 1) + 8 \approx 12{,}3 < 25\).

   On peut donc supposer que la suite est décroissante ce que l'on démontre par récurrence : soit \((P_n) : u_{n+1} < u_n\)

   Initialisation : on a vu que \(u_1 < u_0\) donc \(P_0\) est vraie.

   Hérédité : soit \(n \in \mathbb{N}\) et supposons que \(u_{n+1} < u_n\) : on a succésivement :

   \[\begin{aligned} u_{n+1} < u_n &\iff & 3u_{n+1} < 3u_n\\ &\iff &3u_{n+1} + 1 < 3u_n + 1\\ &\iff &\ln \left(3u_{n+1} + 1\right) < \ln \left(3u_n + 1\right)\:\text{par croissance de la fonction ln}\\ &\iff &\ln \left(3u_{n+1} + 1\right) + 8 < \ln \left(3u_n + 1\right) + 8\\ &\iff &u_{n+2} < u_{n+1} \end{aligned}\]

   La relation est vraie au rang \(n+1\).

   Conclusion : La relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang \(n \in \mathbb{N}\), elle l'est aussi au rang \(n + 1\) : d'après le principe de récurrence quel que soit \(n \in \mathbb{N}, \\\: u_{n+1} < u_n\) : ceci montre que la suite \((u_n)\) est décroissante.

   L'affirmation 3 est vraie.

4. Une application affine est de la forme \(h(x) = ax + b\), avec \(a \in \mathbb{R}\) et \(b \in \mathbb{R}\).

   Donc \(k(x) = x^4 + x^2 + ax + b\) ; \(k\) est une fonction polynôme dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sur cet intervalle on a successivement :

   \(k'(x) = 4x^3 + 2x + a\), puis

   \(k''(x) = 12x^2 + 2\), comme un carré est supérieur ou égal à zéro, il en résulte que \(k''(x) \geqslant 2 > 0\).

   Sur \(\mathbb{R}\), la dérivée seconde est supérieure à zéro : la fonction \(k\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

   L'affirmation 4 est vraie.

5. Avec 5 lettres différentes le nombre d'anagrammes est égal à \(5! = 120\).

   Comme EULER possède deux lettres identiques le nombre d'anagrammes est égal à

   \(\dfrac{5!}{2!} = \dfrac{120}{2} = 60\).

   L'affirmation 5 est fausse.