2021Bac spé maths · Asie · Jour 2

Commun à tous les candidats

1. \[f(x) = \left(x^2 - 2x - 1\right)\mathrm{e}^x.\]

   On a \(f(x) = x^2\mathrm{e}^x - 2x\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^x\).

   ★  On sait que \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \mathrm{e}^x = 0\), puis que

   ★ \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 2x\mathrm{e}^x = 0\)

   ★ \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2\mathrm{e}^x = 0\), d'où par somme de limites : \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0\). Réponse C.

2. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{3}{5 + \mathrm{e}^x}\).

   ★ On a \(\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = \dfrac{3}{5}\) : la droite d'équation \(y = \dfrac{3}{5}\) est asymptote horizontale au voisinage de moins l'infini ;

   ★ On a \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0\) : l'axe des abscisses est asymptote horizontale au voisinage de plus l'infini. Réponse C.

3. On voit sur la figure que \(f''(- 3) = f''(2) = f''(5) = 0\) : la dérivée seconde s'annule trois fois donc la fonction \(f\) admet trois points d'inflexion. Réponse B.

4. On considère la suite \(\left(u_n\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = n^2 - 17n + 20\).

   \(n^2 - 17n + 20 = \left(n - \frac{17}{2} \right)^2 - \left(\frac{17}{2}\right)^2 + 20 = \left(n - \frac{17}{2} \right)^2 - \frac{289}{4} + \frac{80}{4} = \left(n - \frac{17}{2} \right)^2 - \frac{209}{4} = \left(n - \frac{17 - \sqrt{209}}{2} \right)\left(n - \frac{17 + \sqrt{209}}{2}\right).\)

   On a donc quel que soit \(n\),   \(u_n \geqslant - \frac{209}{4}\) : la suite est donc minorée. Réponse A.

5. Aucune réponse !

   On démontre aisément que la suite est majorée par 20 par récurrence :

   Initialisation : \(u_0 = 2 \leqslant 20\) : la relation est vraie au rang 0.

   Hérédité : supposons que pour \(n \in \mathbb{N}, \: u_n \leqslant 2\) alors par produit par 0,75 :

   \(0{,}75u_n \leqslant 0{,}75 \times 20\) ou encore \(0{,}75u_n \leqslant 15\) puis par somme de 5 :

   \(0{,}75u_n + 5 \leqslant 15 + 5\), soit finalement \(u_{n+1} \leqslant 20\).

   La suite étant majorée par 20 aucune des solutions proposées n'est correcte.

   En fait cet algorithme tourne indéfiniment.

Commun à tous les candidats

1. Avec C(1 ; 1 ; 0) et D(0 ; 1 ; 0), on obtient K\(\left(\frac{1}{2}~;~1~;~0\right)\), donc \(\overrightarrow{\text{AK}}\left(\frac{1}{2}~;~1~;~0\right)\) et on a \(\overrightarrow{\text{AL}}\left(0~;~1~;~\dfrac{3}{2}\right)\).

2. 1. ★ \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{AK}} = 3 - 3 + 0 = 0\) ;

      ★ \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{\text{AL}} = 0 - 3 + 3 = 0\) : le vecteur \(\overrightarrow{n}\) est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan AKL, il est donc orthogonal à ce plan ; c'est donc un vecteur normal à ce plan.

   2. On a donc \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{AKL}) \iff \overrightarrow{\text{A}M} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \iff 6x - 3y + 2z + d = 0\),   avec \(d \in \mathbb{R}\) et comme A appartient à ce plan on a : \(0 + 0 + 0 + d = 0\).

      Conclusion : \(M(x~;~y~;~z) \in (\text{AKL}) \iff 6x - 3y + 2z = 0\).

   3. La droite \(\Delta\) contient D et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{n}\), donc :

      \(M(x~;~y~;~z) \in \Delta \iff \text{il existe }\, t \in \mathbb{R}, \, \overrightarrow{\text{D}M} = t\overrightarrow{n} \iff \left\{\begin{array}{l c r} x &=&6t\\ y - 1 &=&-3t\\ z &=&2t \end{array}\right.,\, t \in \mathbb{R} \iff \left\{\begin{array}{l c r} x &=&6t\\ y &=&1-3t\\ z &=&2t \end{array}\right.,\, t \in \mathbb{R}\).

   4. Le point N est donc le point commun au plan (AKL) et à la droite \(\Delta\), donc ses coordonnées \((x~;~y~;~z)\) vérifient le système :

      \(\left\{\begin{array}{l c r} x &=&6t\\ y &=&1-3t\\ z &=&2t\\ 6x - 3y + 2z = 0 \end{array}\right.,\, t \in \mathbb{R} \Rightarrow 6 \times 6t + (-3)\times (1 - 3t) + 2\times 2t = 0 \iff\)

      \(36t - 3 + 9t + 4t = 0 \iff 49t = 3 \iff t = \dfrac{3}{49}\) ; en remplaçant dans les trois premières équations du système, on obtient :

      \(\left\{\begin{array}{l c r} x &=&6\times \dfrac{3}{49}\\ y &=&1-3\times\dfrac{3}{49}\\ z &=&2\times \dfrac{3}{49} \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r} x &=&\dfrac{18}{49}\\ y &=&\dfrac{40}{49}\\ z &=&\dfrac{6}{49} \end{array}\right.\).

      Conclusion : N\(\left(\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{40}{49}~;~\dfrac{6}{49} \right)\).

3. 1. Le triangle ADK est rectangle en D ; on a par définition AD = 1 et DK \(= \frac{1}{2}\).

      Donc \(\mathcal{A}(\text{ADK}) = \dfrac{\text{AD} \times \text{DK}}{2} = \frac{1}{4}\).

      D'autre part \(\text{DL} = \frac{3}{2}\), donc

      \(\mathcal{V}(\text{ADKL}) = \dfrac{\frac{1}{4} \times \frac{3}{2}}{3} = \dfrac{1}{8}\).

   2. On a \(\overrightarrow{\text{DN}}\left(\frac{18}{49}~;~\frac{40}{49} - 1~;~\dfrac{6}{49} \right)\), soit \(\overrightarrow{\text{DN}}\left(\frac{18}{49}~;~\frac{- 9}{49}~;~\frac{6}{49} \right)\), donc :

      \(\text{DN}^2 = \left(\frac{18}{49}\right)^2 + \left(\frac{-9}{49}\right)^2 + \left(\frac{6}{49}\right)^2 = \frac{18^2 + 9^2 + 6^2}{49^2} = \frac{324 + 81 + 36}{49^2} = \frac{441}{49^2} = \frac{21^2}{49^2} = \left(\frac{21}{49}\right)^2\).

      Donc DN \(= \dfrac{21}{49} = \dfrac{3}{7}\).

   3. En prenant comme base le triangle AKL, on a :

      \(\mathcal{V}(\text{ADKL}) = \dfrac{\mathcal{A}(\text{AKL}) \times \text{DN}}{3}\), soit \(\dfrac{1}{8} = \dfrac{\mathcal{A}(\text{AKL}) \times \frac{3}{7}}{3}\), d'où

      \(\mathcal{A}(\text{AKL}) = 7 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\) (u. a.).

Commun à tous les candidats

1. Il y a C\(_9^3 = \dfrac{9!}{3! \times (9 - 3)!} = \dfrac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2}3 \times 4 \times 7 = 84\) façons différentes de choisir 3 cases différentes parmi 9.

2. Il y a 3 lignes, 3 colonnes et 2 diagonales donc 8 combinaisons gagnantes.

   La probabilité qu'un ticket soit gagnant est égale à \(\dfrac{8}{84} = \dfrac{4\times 2}{4 \times 21} = \dfrac{2}{21}\).

3. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au montant algébrique de la somme gagnée.

   On a \(P(X = 4) = \dfrac{2}{21}\) et \(P(X = - 1) = \dfrac{19}{21}\).

   On a donc \(E(X) = 4 \times \dfrac{2}{21} + (- 1) \times \dfrac{19}{21} = \dfrac{8 - 19}{21} = - \dfrac{11}{21} \approx - 0{,}524\).

   En moyenne sur un grand nombre de parties un joueur perd 58 centimes d'euro par partie. Le jeu est défavorable au joueur.

4. 1. La variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les \(20\) tickets générés suit une loi binomiale de paramètres \(n = 20\) et \(p = \dfrac{2}{21}\).

   2. On a \(p(X = 5) = \binom{20}{5}\times \left(\dfrac{2}{21}\right)^5\times \left(\dfrac{19}{21}\right)^{20-5} \approx 0{,}0271\), soit 0,027 à \(10^{-3}\) près.

   3. On a \(p(X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - \left(\dfrac{2}{21}\right)^{0}\times \left(\dfrac{19}{21}\right)^{20}  \approx (1 - 0{,}1351) \approx 0{,}8649\) soit 0,865 à \(10^{-3}\) près.

Partie I : modèle discret

1. On a pour \(n = 0\),   \(u_1 = u_0 + 0{,}05(20 - u_0) = 1 + 0{,}05 \times 19 = 1 + 0{,}95 = 1{,}95\).

2. 1. Pour tout naturel \(n\),   \(u_{n+1} = u_n + 0{,}05\left(20 - u_n\right) = u_n + 1 - 0{,}05u_n = u_n(1 - 0{,}05) + 1 = 0{,}95u_n + 1\).

   2. Pour tout naturel \(n\),   \(v_{n+1} = 20 - u_{n+1} = 20 - \left(0{,}95u_n + 1\right) = 20 - 0{,}95u_n - 1 =\)

      \(19 - 0{,}95u_n = 0{,}95 \times 20 - 0{,}95u_n = 0{,}95\left(20 - u_n \right) = 0{,}95v_n\).

      Conclusion : pour tout naturel \(n\),  \(v_{n+1} = 0{,}95v_n\) : cette égalité montre que la suite \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique de terme initial \(v_0 = 20 - u_0 = 20 - 1 = 19\) et de raison 0,95.

   3. On sait que pour tout \(n \in n\mathbb{N}\),   \(v_n = v_0 \times q^n\), \(q\) étant la raison, soit \(v_n = 19 \times 0{,}95^n\).

      Or \(v_n = 20 - u_n \iff u_n = 20 - v_n = 20 - 19 \times 0{,}95^n\).

3. On vient de démontrer que pour tout naturel \(n\),   \(u_n = 20 - 19\times 0{,}95^n\).

   Comme \(0 < 0{,}95 < 1\), on sait que \(\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0{,}95^n = 0\), d'où par somme de limites :

   \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 20.\]

Partie II : modèle continu

1. \(L\) est la somme de fonctions dérivables sur \([0~;~+\infty[\) et sur cet intervalle :

   \(L'(t) = - 0{,}05 \times \left(- 19\mathrm{e}^{-0{,}05t}\right) = 0{,}95\mathrm{e}^{-0{,}05t}\).

   Donc \(L\) est solution de \((E)\) si :

   \(y' = 0{,}05(20 - y) \iff 0{,}95\mathrm{e}^{-0{,}05t} = 0{,}05\left(20 - (\left(20 - 19\mathrm{e}^{-0{,}05t}\right)\right) \iff 0{,}95\mathrm{e}^{-0{,}05t} = 0{,}05\left (19\mathrm{e}^{-0{,}05t}\right) \iff 0{,}95\mathrm{e}^{-0{,}05t} = 0{,}95\mathrm{e}^{-0{,}05t}\) qui est vraie.

   De plus \(L(0) = 20 - 19\mathrm{e}^{-0{,}05\times 0} = 20 - 19\times 1 = 1\).

2. 1. ★ \(L'(0) = 0{,}95\mathrm{e}^{-0{,}05\times 0} = 0{,}95 \times 1 = 0{,}95\).

      ★ \(L'(5) = 0{,}95\mathrm{e}^{-0{,}05\times 5} = 0{,}95 \times \mathrm{e}^{-0{,}25} \approx 0{,}74\).

      Donc \(L'(0) > L'(5)\).

   2. On sait que \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \mathrm{e}^{-0{,}05t} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty} L'(t) = 0\).

      Ce résultat est bien en cohérence avec la description du modèle de croissance du bambou : celui-ci a une taille croissante (\(L'(t) > 0\)) de 1 m (taille initiale) à 20 m (taille finale), la dérivée donc la vitesse de croissance se rapprochant de zéro.

On considère la suite \(\left(u_n\right)\) de terme initial \(u_0 = 10\) et telle que \(u_{n+1} = f\left(u_n\right)\) pour tout entier naturel \(n\).

Partie I :

1. Il faut écrire dans la cellule B3 : \(\fbox{=B2 - ln(B2 - 1)}\).

2. On peut penser que la suite est décroissante et a pour limite \(2\).

Partie II :

1. On a \(\displaystyle\lim_{x \to 1} x - 1 = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \ln (x - 1) = - \infty\) et enfin par somme de limites \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = + \infty\).

   Rem. : la droite d'équation \(x = 1\) est asymptote verticale à la représentation graphique de la fonction \(f\).

2. 1. Sachant que \(\left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u}\), \(u(x)\) étant une fonction de \(x\) ne s'annulant pas sur l'intervalle \(]1~;~ +\infty[\), on a donc :

      \(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{x - 1 - 1}{x - 1} = \dfrac{x - 2}{x - 1}\) sur l'intervalle \(]1~;~ +\infty[\).

   2. Sur l'intervalle \(]1~;~ +\infty[\) on a bien entendu \(x > 1\), donc le signe de \(f'(x)\) est celui du dénominateur \(x - 2\) :

      ★ \(x - 2 > 0 \iff x > 2\) : \(f'(x) > 0\) sur \(]2~;~+ \infty[\) ; la fonction \(f\) est croissante sur \(]2~;~+ \infty[\) ;

      ★ \(x - 2 < 0 \iff x < 2\) : \(f'(x) > 0\) sur \(]1~;~2[\) ; la fonction \(f\) est décroissante sur \(]1~;~2[\) ;

      ★ \(x - 2 = 0 \iff x = 2\) : \(f'(2) = 0\) la fonction \(f\) a un minimum \(f(2) = 2 - \ln 1 = 2 - 0 = 2\) sur \(]1~;~+ \infty[\). D'où le tableau de variations :

      

   3. La question précédente a montré que \(f(2)= 2\) est le minimum de la fonction \(f\) sur l'intervalle \(]1~;~+ \infty[\), donc a fortiori sur l'intervalle \(]1~;~+ \infty[\).

      On a donc pour tout \(x \geqslant 2\),  \(f(x) \geqslant 2\).

Partie III :

1. Initialisation : on a \(u_0 = 10 \geqslant 2\) : la proposition est vraie au rang \(0\).

   Hérédité : supposons que pour \(n \in \mathbb{N}\), on ait : \(u_n \geqslant 2\).

   Par croissance de la fonction \(f\), on a donc \(f\left(u_n\right) \geqslant f(2)\), c'est-à-dire :

   \(u_{n+1} \geqslant 2\) : la proposition est donc vraie au rang \(n + 1\).

   Conclusion : La proposition est vraie au rang \(0\) et si elle est vraie au rang \(n \in \mathbb{N}\) elle est vraie au rang \(n + 1\) : d'après le principe de récurrence la proposition :

   « \(u_n \geqslant 2\) pour tout entier naturel \(n\) » est vraie.

2. Pour \(n \in \mathbb{N}\), calculons \(u_{n+1} - u_n = f\left(u_n \right) - u_n = u_n - \ln \left(u_n - 1 \right) - u_n = - \ln \left(u_n - 1 \right)\).

   Or d'après la question précédente, quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(u_n \geqslant 2\), donc \(u_n - 1 \geqslant 2 - 1\), ou \(u_n - 1 \geqslant 1\), donc \(\ln \left(u_n - 1 \right) \geqslant 0\) et enfin \(- \ln \left(u_n - 1 \right) \leqslant 0\).

   Conclusion : quel que soit \(n \in \mathbb{N}\),   \(u_{n+1} - u_n \leqslant 0\) ou \(_{n+1} \leqslant u_n\) : la suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante.

3. On a donc démontré dans les deux questions précédentes que la suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante et minorée par 2 : elle converge donc vers une limite \(\ell\), telle \(\ell \geqslant 2\).

4. \(f(\ell) = \ell \iff \ell - \ln (\ell - 1) = \ell \iff 0 = \ln (\ell- 1) \iff 1 = \ell - 1\) (par croissance de la fonction logarithme népérien), d'où \(2 = \ell\).

   La suite \(\left(u_n\right)\) converge vers le nombre \(2\).